期待効用仮説

ニコラウス・ベルヌーイは1713年にサンクトペテルブルクのパラドックス（無限の期待値を含む）を記述し、2人のスイスの数学者がその解決策として期待効用理論を開発した。ベルヌーイの論文は限界効用の最初の形式化であり、期待効用理論に加えて経済学において幅広く応用されている。彼はこの概念を用いて、同じ額の追加資金が、すでに裕福な人にとっては貧しい人よりも有用性が低いという考えを形式化した。この理論は、期待値のみの場合よりも、より現実的なシナリオ（期待値が有限である場合）をより正確に記述することもできる。彼は、リスク回避を考慮し、結果の期待値の代わりに結果の効用の非線形関数を使用すべきだと提案した。リスクプレミアムは、特定の結果の支払額と期待値の差よりも、確率の低い事象の方が高い。ベルヌーイはさらに、ギャンブラーの目標は期待利益を最大化することではなく、利益の対数を最大化することだと提案した。

期待効用の概念は、18世紀の政治思想家で経済問題を頻繁に取り上げたウィリアム・プレイフェアによってさらに発展させられました。1785年のパンフレット『製造業、商業、金融の増進』の中で、イギリスの高利貸し法を批判したプレイフェアは、投資家がプロジェクトに資金を投入する前に行う計算について、次のように主張しました。プレイフェアによれば、投資家は潜在的な利益と潜在的な損失を推定し、それぞれの確率を評価します。これは事実上、期待効用方程式を言葉で表現したものです。プレイフェアは、政府が成功したプロジェクトの潜在的な利益を制限すれば、一般的に投資が抑制され、国民経済が低迷すると主張しました。^{[ 3 ]}

ダニエル・ベルヌーイは、個人の意思決定プロセスの背後にある心理的および行動的要素に注目し、富の効用には限界効用逓減の法則があると提唱した。例えば、1ドル余分に得たり、追加の財を得たりしても、人が裕福になるにつれてその価値は低下していく。言い換えれば、金銭的利益に対する望ましさは、利益そのものと個人の富に依存する。ベルヌーイは、人々は期待される金銭的価値ではなく、「道徳的期待」を最大化すると示唆した。ベルヌーイは、期待値と期待効用を明確に区別した。彼は、加重結果を用いる代わりに、確率を乗じた加重効用を用いた。彼は、現実生活で使用される効用関数は、その期待値が無限であっても有限であることを証明した。^{[ 4 ]}

1926年、フランク・ラムジーはラムジーの表現定理を発表しました。期待効用に関するこの表現定理は、各オプションが異なる利回りを持つ一連の賭けに対して選好が定義されることを前提としています。ラムジーは、個人の選好に従って常に最良の期待結果を得るように意思決定を行うべきだと考えていました。これは、個人の優先順位と選好を理解できれば、その人の選択を予測できることを意味します。^{[ 5 ]}このモデルでは、価格空間の豊かさを活用するために、各オプションの数値効用を定義しました。各選好の結果は互いに排他的です。たとえば、勉強すれば友達に会うことはできません。しかし、授業で良い成績が得られます。このシナリオでは、個人の選好と信念を分析し、人がどのオプションを選択するかを予測することができます（たとえば、学業成績よりも社交生活を優先する人は、友達と出かけるでしょう）。この定理によれば、人の意思決定が合理的であると仮定すると、選択を見るだけでその人の信念と効用を知ることができるはずです（これは誤りです）。ラムジーは、2つの可能な結果が等しい価値を持つ場合、命題を「倫理的に中立」と定義しています。言い換えれば、確率を選好として定義できる場合、各命題は両方の選択肢に対して無関心であるために 1/2 を持つ必要があります。^{[ 6 ]} ラムジーは、

${\displaystyle P(E)=(1-U(m))(U(b)-U(w))}$^{[ 7 ]}

1950年代、アメリカの統計学者レナード・ジミー・サベージは、期待効用を理解するための枠組みを考案した。サベージの枠組みは、7つの公理を通して、期待効用が複数の行為の中から最適な選択をするために使用できることを証明することであった。^{[ 8 ]}サベージは著書『統計学の基礎』の中で、リスク下（確率が既知の場合）と不確実性下（確率が客観的に知られていない場合）の意思決定に関する規範的な説明を統合した。サベージは、人々は不確実性に対して中立的な態度を持ち、観察によって不確実な事象の確率を予測するのに十分であると結論付けた。^{[ 9 ]}サベージの枠組みの重要な方法論的側面は、観察可能な選択に焦点を当てていることである。認知プロセスや意思決定の他の心理的側面は、選択に直接影響を与える場合にのみ重要となる。

主観的期待効用理論は、2 つの概念を組み合わせたものです。1 つ目は個人の効用関数、2 つ目は個人の確率分布(通常はベイズ確率論に基づく) です。この理論モデルは、その明快で洗練された構造で知られており、一部の研究者からは「これまでに開発された効用の最も優れた公理的理論」とみなされています。^{[ 10 ]}サベージは、事象の確率を仮定する代わりに、行為に対する選好の観点からそれを定義しました。サベージは、状態 (人が制御できないもの) を使用して事象の確率を計算しました。一方、彼は効用と内在的選好を使用して事象の結果を予測しました。サベージは、各行為と状態が結果を一意に決定するのに十分であると仮定しました。しかし、個人が事象について十分な情報を持っていない場合には、この仮定は成り立ちません。

さらに、彼は、結果は状態に関係なく同じ効用を持つべきだと考えていた。したがって、どの発言が結果であるかを正しく特定することが不可欠である。例えば、「仕事を得た」という発言は、経済的な必要性や会社に対する判断といった内在的な要因によって発言の効用が人それぞれ異なるため、結果とはみなされない。したがって、いかなる状態も行為の実行を排除することはできない。状態と行為を同時に評価することによってのみ、結果を確実に判断することができる。^{[ 11 ]}

人々はしばしば「リスク」を定量化可能な実体として捉えます。平均分散分析の文脈では、分散はポートフォリオ収益のリスク尺度として用いられます。しかし、これは収益が正規分布または楕円分布に従う場合^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}、あるいは効用関数が二次形式になるという稀な場合にのみ有効です。ただし、David E. Bellは、ある種のフォン・ノイマン＝モルゲンシュテルン効用関数から自然に導かれるリスク尺度を提案しました^{[ 16 ]} 。 富の効用を次のように定義します。

${\displaystyle u(w)=w-be^{-aw}}$

個人固有の正のパラメータaとbの場合、期待効用は次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [u(w)]&=\operatorname {E} [w]-b\operatorname {E} [e^{-aw}]\\&=\operatorname {E} [w]-b\operatorname {E} [e^{-a\operatorname {E} [w]-a(w-\operatorname {E} [w])}]\\&=\operatorname {E} [w]-be^{-a\operatorname {E} [w]}\operatorname {E} [e^{-a(w-\operatorname {E} [w])}]\\&={\text{期待資産}}-b\cdot e^{-a\cdot {\text{期待資産}}}\cdot {\text{リスク}}.\end{aligned}}}$

したがって、リスク尺度は${\displaystyle \operatorname {E} (e^{-a(w-\operatorname {E} w)})}$パラメータの値が異なる場合、2人の個人間で異なる値となる。${\displaystyle a,}$特定のポートフォリオに関連するリスクの程度について、他の人が意見を異にすることを許容する。特定のリスク尺度（特定のaの値に基づく）を共有する個人でも、 bの値が異なる可能性があるため、異なるポートフォリオを選択する可能性がある。エントロピーリスク尺度も参照のこと。

しかし、一般的な効用関数においては、期待効用分析では、選好の表現を、対象となる変数の期待値を表すパラメータと、そのリスクを表すパラメータの2つに分離することはできない。

心理学者は、人間による確率計算と行動の体系的な違反を発見しました。これは、モンティ・ホール問題などの例によって証明されており、人々は実験された確率に従って信念の度合いを修正せず、確率は個々のケースに適用できないことが示されました。一方、証拠を使用して確率分布を更新する標準的な方法は、条件付き確率、つまりベイズの定理を使用します。信念の修正に関する実験では、人間は非公式な判断を使用するよりもベイズ法を使用する方が信念を速く変更することが示唆されています。^{[ 25 ]}

実証結果によれば、意思決定理論において、合理的信念と欲求の特性に関する理論的主張を正当化する問題の区別はほとんど認識されてこなかった。主な理由の一つは、人々の基本的な好みや損失に対する選好は、さまざまなシナリオの下で変化するため、効用で表すことができないことである。^{[ 26 ]}

行動ファイナンスは、人々の選択が期待効用理論によって予測されるものから逸脱する場合を説明するために、いくつかの一般化された期待効用理論を生み出してきました。これらの逸脱は、実際のコスト、報酬、または確率ではなく、問題の提示方法に依存する可能性があるため、「非合理的」と表現されます。プロスペクト理論、ランク依存期待効用、累積プロスペクト理論などの特定の理論は、選好と期待効用を予測するには不十分であると考えられています。^{[ 27 ]} さらに、実験では、Savageとvon Neumann-Morgensternの結果に基づく体系的な違反と一般化が示されています。これは、異なるコンテキストで構築された選好と効用関数が大きく異なるためです。これは、保険と宝くじのコンテキストでの個人の選好の対比で実証されており、期待効用理論の不確定性の程度を示しています。さらに、実験では、Savageとvon Neumann-Morgensternの結果に基づく体系的な違反と一般化が示されています。

実際には、確率が不明な状況が多く、不確実性の下で行動せざるを得ない場面が多々あります。経済学では、ナイト的不確実性、すなわち曖昧性が生じる可能性があります。そのため、確率について仮定を立てる必要がありますが、様々な意思決定の期待値は、その仮定に非常に敏感になることがあります。これは、ロングテール分布のように、期待値がまれな極端な事象によって支配されている場合に特に問題となります。代替的な意思決定手法は、結果の確率の不確実性に対して頑健であり、結果の確率に依存せずシナリオ分析のみを必要とするもの（ミニマックス法やミニマックス後悔法など）や、仮定に対する感度が低いものがあります。

ベイズ的手法では、確率を信念の度合いとして扱います。そのため、リスクとより広い意味での不確実性の概念を区別せず、ナイトの不確実性の存在を否定します。ベイズ的手法では、不確実な確率を階層モデル、すなわち、上位レベルの分布（ハイパープリオード）からパラメータが抽出される分布としてモデル化します。

Lichtenstein & Slovic (1971) などの研究から始まり、被験者が異なる宝くじの確実性等価について選好の逆転を示すことがあることが発見されました。具体的には、確実性等価を引き出すとき、被験者は「p ベット」（低い賞金を獲得する確率が高い宝くじ）を「$ ベット」（高い賞金を獲得する確率が低い宝くじ）よりも低く評価する傾向があります。しかし、被験者が直接比較してどちらの宝くじを好むかを尋ねられると、多くの場合、「p ベット」を「$ ベット」よりも好みます。^{[ 28 ]}多くの研究が、実験的観点 (例: Plott & Grether、1979) ^{[ 29 ]}と理論的観点 (例: Holt、1986) ^{[ 30 ]}の両方からこの「選好の逆転」を検証しており、特定の仮定の下でこの行動が新古典派経済学理論と整合させることができることを示しています。