SABRボラティリティモデル

数理ファイナンス において、SABRモデルは確率的ボラティリティモデルであり、デリバティブ市場のボラティリティスマイルを捉えようとするものである。この名前は「確率的 アルファ、ベータ、ロー」の略で、モデルのパラメータを指す。SABRモデルは金融業界、特に金利デリバティブ市場の実務家によって広く使用されている。このモデルは、パトリック・S・ハーガン、ディープ・クマール、アンドリュー・レスニエフスキー、ダイアナ・ウッドワードによって開発された。^[1]

SABR モデルは、LIBORフォワード レート、フォワード スワップ レート、フォワード株価などの単一のフォワードを表します。これは、市場参加者がボラティリティを見積もるために使用する市場標準の 1 つです。フォワードのボラティリティは、パラメーター によって表されます。SABR は、およびが確率状態変数によって表される動的モデルであり、その時間発展は、次の確率微分方程式のシステムによって与えられます。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \sigma}$

${\displaystyle dF_{t}=\sigma _{t}\left(F_{t}\right)^{\beta }\,dW_{t},}$

${\displaystyle d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}^{}\,dZ_{t},}$

規定された時間ゼロ（現在観測されている）値および を持つ。ここで、および は相関係数 を持つ2 つの相関ウィーナー過程である。 ${\displaystyle F_{0}}$${\displaystyle \sigma _{0}}$${\displaystyle W_{t}}$${\displaystyle Z_{t}}$${\displaystyle -1<\rho <1}$

${\displaystyle dW_{t}\,dZ_{t}=\rho \,dt}$

定数パラメータは条件を満たします。 はボラティリティのボラティリティのようなパラメータです。は原資産とそのボラティリティ間の瞬間的な相関です。 初期ボラティリティはATMインプライド ボラティリティ レベルの高さを制御します。 相関と の両方がインプライド スキューの傾きを制御します。 ボラティリティのボラティリティは、その曲率を制御します。 ${\displaystyle \beta ,\;\alpha }$${\displaystyle 0\leq \beta \leq 1,\;\alpha \geq 0}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma _{0}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$

上記のダイナミクスは、歪度パラメータを持つCEV モデルの確率的バージョンです。実際、 の場合、これは CEV モデルに簡約されます。パラメータはしばしばvolvolと呼ばれ、その意味はボラティリティ パラメータ の対数正規ボラティリティの意味です。 ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha =0}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \sigma }$

数年後に満期を迎える、で行使されたフォワードのヨーロピアン オプション(コールなど)について考えます。このオプションの価値は、プロセス の確率分布の下でのペイオフの適切に割引された期待値に等しくなります。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle K}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \max(F_{T}-K,\;0)}$${\displaystyle F_{t}}$

およびの特殊なケースを除いて、この確率分布の閉じた形式の表現は知られていません。一般的なケースは、パラメータ の漸近展開によって近似的に解くことができます。一般的な市場条件下では、このパラメータは小さく、近似解は実際にはかなり正確です。また、この解はかなり単純な関数形式であり、コンピュータ コードで実装するのが非常に簡単で、リアルタイムでの大規模なオプション ポートフォリオのリスク管理に適しています。 ${\displaystyle \beta =0}$${\displaystyle \beta =1}$${\displaystyle \varepsilon =T\alpha ^{2}}$

オプションのインプライド ボラティリティ でソリューションを表現すると便利です。つまり、オプションの SABR モデル価格をブラック モデル評価式の形式に強制します。すると、ブラック モデルの対数正規ボラティリティ パラメータの値で SABR 価格と一致するように強制するインプライド ボラティリティは、おおよそ次の式で表されます。 ${\displaystyle \sigma _{\textrm {impl}}}$

${\displaystyle \sigma _{\text{impl}}=\alpha \;{\frac {\log(F_{0}/K)}{D(\zeta )}}\;\left\{1+\left[{\frac {2\gamma _{2}-\gamma _{1}^{2}+1/\left(F_{\text{mid}}\right)^{2}}{24}}\;\left({\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}\right)^{2}+{\frac {\rho \gamma _{1}}{4}}\;{\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}+{\frac {2-3\rho ^{2}}{24}}\right]\varepsilon \right\},}$

ここで、わかりやすくするために と設定しています。 のとき、この式は定義されていないため、 の極限 で置き換えます。これは、因数を 1 で置き換えることによって得られます。の値は、 との間の都合よく選択された中間点を表します(幾何平均や算術平均など)。また、 と設定しています。 ${\displaystyle C\left(F\right)=F^{\beta }}$${\displaystyle K=F_{0}}$${\displaystyle K\to F_{0}}$${\displaystyle {\frac {\log(F_{0}/K)}{D(\zeta )}}}$${\displaystyle F_{\text{mid}}}$${\displaystyle F_{0}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\sqrt {F_{0}K}}}$${\displaystyle \left(F_{0}+K\right)/2}$

${\displaystyle \zeta ={\frac {\alpha }{\sigma _{0}}}\;\int _{K}^{F_{0}}{\frac {dx}{C(x)}}={\frac {\alpha }{\sigma _{0}(1-\beta )}}\;\left(F_{0}{}^{1-\beta }-K^{1-\beta }\right),}$

そして

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {C'(F_{\text{mid}})}{C(F_{\text{mid}})}}={\frac {\beta }{F_{\text{mid}}}}\;,}$

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {C''(F_{\text{mid}})}{C(F_{\text{mid}})}}=-{\frac {\beta (1-\beta )}{\left(F_{\text{mid}}\right)^{2}}}\;,}$

上記の式に入る 関数は次のように表される。${\displaystyle D\left(\zeta \right)}$

${\displaystyle D(\zeta )=\log \left({\frac {{\sqrt {1-2\rho \zeta +\zeta ^{2}}}+\zeta -\rho }{1-\rho }}\right).}$

あるいは、SABR 価格をBachelierモデルで表現することもできます。その場合、暗黙の正規ボラティリティは次の式で漸近的に計算できます。

${\displaystyle \sigma _{\text{impl}}^{\text{n}}=\alpha \;{\frac {F_{0}-K}{D(\zeta )}}\;\left\{1+\left[{\frac {2\gamma _{2}-\gamma _{1}^{2}}{24}}\;\left({\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}\right)^{2}+{\frac {\rho \gamma _{1}}{4}}\;{\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}+{\frac {2-3\rho ^{2}}{24}}\right]\varepsilon \right\}.}$

通常の SABR インプライド ボラティリティは、一般に、対数正規インプライド ボラティリティよりもいくらか正確であることは注目に値します。

オプションの価格設定にCEVモデルによる同等のボラティリティを使用すれば、近似精度と裁定の度合いをさらに向上させることができる。 ^[2]${\displaystyle \beta }$

近年人気が高まっている マイナス金利のためのSABRモデルの拡張は、シフトSABRモデルであり、シフトフォワードレートはSABRプロセスに従うと想定されている。

${\displaystyle dF_{t}=\sigma _{t}(F_{t}+s)^{\beta }\,dW_{t},}$

${\displaystyle d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}\,dZ_{t},}$

プラスのシフトについては、市場の相場にシフトが含まれており、マイナス金利の範囲には直感的なソフトな境界があるため、シフトされた SABR はマイナス金利に対応するための市場のベストプラクティスとなっています。 ${\displaystyle s}$

SABR モデルは、次のように変更してマイナス金利をカバーすることもできます。

${\displaystyle dF_{t}=\sigma _{t}|F_{t}|^{\beta }\,dW_{t},}$

${\displaystyle d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}\,dZ_{t},}$

については 、については自由境界条件が成り立つ。相関がゼロの場合の厳密な解と、一般的なケースの効率的な近似値が得られる。^[3]このアプローチの明らかな欠点は、自由境界を介した潜在的な非常にマイナスの金利の事前仮定である。 ${\displaystyle 0\leq \beta \leq 1/2}$${\displaystyle F=0}$

漸近解法の実装は非常に簡単ですが、近似によって暗示される密度は、特に非常に低いストライクの場合、常に裁定取引がないわけではありません (密度が負になるか、密度が 1 に積分されません)。

式を「修正」する 1 つの方法は、確率的コロケーション法を使用して、対応する暗示的かつ不適切なモデルを裁定取引のない変数 (正規分布など) の多項式に投影することです。これにより、生成された密度が裁定取引のない状態のまま、コロケーション ポイントでの確率の等価性が保証されます。^[4]投影法を使用すると、分析的なヨーロピアン オプションの価格が利用可能になり、暗示的ボラティリティは漸近式によって最初に得られた値に非常に近くなります。

もう一つの可能​​性は、高速かつ堅牢なPDEソルバーをフォワードPDEの同等の展開に頼ることです。これにより、数値的に0次モーメントと1次モーメントが保存され、裁定取引が存在しないことが保証されます。^[5]

SABRモデルは、パラメータが時間依存であると仮定することで拡張できます。ただし、これによりキャリブレーション手順が複雑になります。時間依存SABRモデルの高度なキャリブレーション方法は、いわゆる「有効パラメータ」に基づいています。^[6]

あるいは、ゲレロとオーランド^[7]は、時間依存の局所確率的ボラティリティ（SLV）モデルを、ワイ・ノルマン分解法とリー代数的手法を用いて、熱核を使用して解くことができる自律偏微分方程式のシステムに簡約できることを示しています。これらの手法によって得られる明示的な解は、従来のモンテカルロシミュレーションに匹敵し、数値計算の時間を短縮できます。

確率的ボラティリティ過程は幾何ブラウン運動に従うため、その正確なシミュレーションは簡単です。しかし、フォワード資産過程のシミュレーションは簡単な作業ではありません。通常、オイラー・丸山法やミルスタイン法などのテイラーベースのシミュレーションスキームが検討されます。最近、SABRモデルのほぼ正確なモンテカルロシミュレーションのための新しい方法が提案されました。 ^[8] SABRモデルに関する広範な研究が最近検討されています。^[9] 通常のSABRモデル（での境界条件なし）の場合、閉じた形式のシミュレーション方法が知られています。^[10]${\displaystyle \beta =0}$${\displaystyle F=0}$

• ボラティリティ（金融）
• 確率的ボラティリティ
• リスク中立的な対策

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• Hagan, Patrick; Lesniewski, Andrew (2008-04-30). 「SABR スタイルの確率的ボラティリティを備えた LIBOR 市場モデル」(PDF)。2022-03-03 にオリジナル(PDF)からアーカイブ。2022-04-30に取得。
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• オブロジ、ジャン (2008-03-18)。 「笑顔を微調整 – ヘイガンらの修正」。arXiv : 0708.0998 [q-fin.CP]。
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• 「SABR キャリブレーション」 2012 年 12 月 26 日。2016 年 5 月 27 日にオリジナルからアーカイブ。2022年 4 月 30 日に閲覧。
• Antonov, Alexandre; Spector, Michael (2012-03-23) 「SABR モデルの高度な分析」SSRN  2026350。
• アントノフ、アレクサンドル; コニコフ、マイケル; スペクター、マイケル (2019-05-02)。現代の SABR 分析: 量子、元物理学者、数学者のための公式と洞察 (Springer Briefs in Quantitative Finance) 第 1 版。doi : 10.1007 /978-3-030-10656-0。ISBN 978-3-030-10655-3. ISSN  2192-7014. S2CID  182484805./ プレスリリース、ニューヨーク州ニューヨーク – 2019年6月24日
• Gulisashvili, Archil; Horvath, Blanka; Jacquier, Antoine (Jack) (2016-11-22)。「無相関SABRモデルにおけるゼロの質量とインプライド ボラティリティの漸近解析」。SSRN  2563510。