限界代替率

経済学において、限界代替率（MRS）とは、消費者が同じ効用レベルを維持しながら、ある財をいくらか手放して別の財をいくらか得ることができるかを示す割合である。均衡消費水準（外部性がないと仮定）では、限界代替率は同一となる。限界代替率は、限界生産性を構成する3つの要素のうちの1つであり、他の2つは限界変換率と要素の限界生産性である。^{[ 1 ]}

新古典派経済学の標準的な仮定である財とサービスは連続的に分割可能であるという仮定の下では、限界代替率は交換の方向に関係なく同じであり、その点における問題の消費バンドルを通る無差別曲線の傾き（より正確には、傾きに-1を掛けたもの）に対応します。数学的には、それは暗黙の導関数です。XとYのMRSは、消費者が局所的に1単位のXと交換できるYの量です。MRSは無差別曲線に沿った各点で異なるため、定義において位置を維持することが重要です。さらにこの仮定、または効用が定量化されているという仮定の下では、財またはサービスXの限界代替率（MRS _xy ）は、Xの限界効用をYの限界効用で割った値にも等しくなります。形式的には、

${\displaystyle MRS_{xy}=-m_{\mathrm {indif} }=-(dy/dx)\,}$

${\displaystyle MRS_{xy}=MU_{x}/MU_{y}\,}$

一定の効用を与える財Xと財Yの組み合わせ（無差別曲線上の点）を比較する場合、 Xの限界効用は、放棄されるYの単位数で測定される。

例えば、限界代替率（MRS）が_xy  =  2の場合、消費者はXを1単位追加で得るためにYを2単位諦めることになる。

（標準的な凸型の）無差別曲線に沿って下へ移動すると、限界代替率は低下します（無差別曲線の傾きの絶対値で測定され、この値は減少します）。これは限界代替率逓減の法則として知られています。

無差別曲線は原点に関して凸であり、MRSを無差別曲線の負の傾きとして定義したので、

${\displaystyle \ MRS_{xy}\geq 0}$

消費者効用関数は次のように定義されると仮定する。${\displaystyle U(x,y)}$ここで、Uは消費者効用、xとyは財である。すると、限界代替率は偏微分によって次のように計算できる。

また、以下の点にもご注意ください。

${\displaystyle \ MU_{x}=\partial U/\partial x}$

${\displaystyle \ MU_{y}=\partial U/\partial y}$

どこ${\displaystyle \ MU_{x}}$は財xに関する限界効用であり、${\displaystyle \ MU_{y}}$は財yに関する限界効用です。

効用関数方程式の全微分をとることにより、以下の結果が得られる。

${\displaystyle \ dU=(\partial U/\partial x)dx+(\partial U/\partial y)dy}$または、上記から代入して、

${\displaystyle \ dU=MU_{x}dx+MU_{y}dy}$または、一般性を失うことなく、財xに関する効用関数の全微分、

${\displaystyle {\frac {dU}{dx}}=MU_{x}{\frac {dx}{dx}}+MU_{y}{\frac {dy}{dx}}}$つまり、

${\displaystyle {\frac {dU}{dx}}=MU_{x}+MU_{y}{\frac {dy}{dx}}}$。

無差別曲線上の任意の点において、dU/dx = 0 となる。なぜなら、U  = cであり、c は定数だからである。上記の式から、次のことが導かれる。 

${\displaystyle 0=MU_{x}+MU_{y}{\frac {dy}{dx}}}$または並べ替え

${\displaystyle -{\frac {dy}{dx}}={\frac {MU_{x}}{MU_{y}}}}$

限界代替率は、関心のある財の組み合わせ数量における無差別曲線の傾きの絶対値として定義される。これは、限界効用の比率に等しいことがわかる。

${\displaystyle \ MRS_{xy}=MU_{x}/MU_{y}\,}$。

消費者が予算制約に関して効用を最大化する場合、無差別曲線は予算線に接するため、mは傾きを表す。

${\displaystyle \ m_{\mathrm {indif} }=m_{\mathrm {budget} }}$

${\displaystyle \ -(MRS_{xy})=-(P_{x}/P_{y})}$

${\displaystyle \ MRS_{xy}=P_{x}/P_{y}}$

したがって、消費者が予算線上で効用を最大化する市場バスケットを選択するとき、

${\displaystyle \ MU_{x}/MU_{y}=P_{x}/P_{y}}$

${\displaystyle \ MU_{x}/P_{x}=MU_{y}/P_{y}}$

この重要な結果は、消費者の予算配分が、支出単位当たりの限界効用が各財で等しくなるように行われる場合に効用が最大化されることを示しています。この等式が成り立たない場合、消費者は支出単位当たりの限界効用が低い財への支出を減らし、他の財への支出を増やすことで効用を高めることができます。限界代替率を低下させるには、消費者は（限界効用逓減の法則により）限界効用を低下させたい財をより多く購入する必要があります。

経済理論の重要な原則の一つは、財Xを財Yに代替する度合いが増すにつれて、財Xの財Yに対する限界代替率が低下するということである。言い換えれば、消費者が財Xを多く持つようになるにつれて、財Yを諦める度合いは減っていくということである。

これは、消費者のXの在庫が増加し、Yの在庫が減少するにつれて、消費者はXの増加分に対してYをどれだけ減らす意思があるかが徐々に小さくなることを意味します。言い換えれば、消費者がXをより多く持ち、Yをより少なく持つようになるにつれて、XをYに代替する限界率は低下します。XをYに代替する限界率が低下することは、無差別曲線上のさまざまな点に接線を引くことによってもわかります。

消費者の効用関数が凸であるかどうかを判断するために分析する場合、2つの財の期間では、消費者の選好が凸であるかどうかを判断するために、簡単な微分テスト（MRSの微分を取る）を適用できます。MRSの微分が負の場合、効用曲線は下に凸となり、最大値があり、その両側で減少します。この効用曲線は、小文字のnに似た形状になります。MRSの微分が0の場合、効用曲線は直線となり、傾きは効用曲線全体で一定になります。MRSの微分が正の場合、効用曲線は上に凸となり、最小値があり、その両側で増加します。この効用曲線は、uに似た形状になります。これらの記述は、以下に数式で示されています。

${\displaystyle \ {\frac {dMRS_{xy}}{dx}}<0{\text{ Non Convexity of Utility Function}}}$

${\displaystyle \ {\frac {dMRS_{xy}}{dx}}=0{\text{ Weak Convexity of Utility Function}}}$

${\displaystyle \ {\frac {dMRS_{xy}}{dx}}>0{\text{ Strict Convexity of Utility Function}}}$

変数が2つを超える場合は、ヘッセ行列の使用が必要です。

• 周辺概念
• 技術的限界代替率（生産面における同様の概念）
• 無差別曲線
• 消費者理論
• 凸型選好
• 暗黙的微分
• 労働経済学

アダム・ヘイズ (2021年3月31日)。限界代替率の内部。Investopedia。ジェレリン、R. (2017年5月30日)。限界代替率逓減｜無差別曲線｜経済学。Economics Discussion

• クルーグマン、ポール；ウェルズ、ロビン（2008）。ミクロ経済学（第2 版）。パルグレイブ。ISBN 978-0-7167-7159-3。
• Pindyck, Robert S. ; Rubinfeld, Daniel L. (2005).ミクロ経済学（第6 版）. Pearson Prentice Hall. ISBN 0-13-008461-1。
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