パレート効率

厚生経済学では、パレート改善は結果が「あらゆる点でよりよい」という考え方を形式化したものである。変化によって社会の全員がよりよい状態になる（または少なくとも以前と同程度によい状態になる）場合、その変化はパレート改善と呼ばれる。可能なすべてのパレート改善がすでになされている場合、その状況はパレート効率的またはパレート最適と呼ばれる。言い換えれば、ある人の状態を悪化させることなく、ある人の状態を良くする方法はもはや残されていないということである。^[1]

社会選択理論では、同じ概念は全会一致の原理と呼ばれることもあり、社会の全員が（非厳密に）AをBより好む場合、社会全体も非厳密にAをBより好むというものです。パレート面は、すべてのパレート効率的な状況で構成されます。^[2]

配分の効率性の文脈に加えて、パレート効率の概念は、生産の効率性とx非効率性の対比の文脈でも生じます。ある財の生産量が増える一方で他のすべての財の生産量が増加するか同じままになるような生産投入の再配分が実行不可能である場合、その財の生産量はパレート効率的です。^[3]

パレート効率の概念は、経済学以外にも、工学や生物学における選択肢の選択にも応用されています。まず、各オプションを複数の基準で評価し、次に、他のオプションが特定のオプションを決定的に上回ることができないという特性を持つオプションのサブセットを特定します。これは、多目的最適化(パレート最適化とも呼ばれる) の対象において、他の変数に悪影響を与えずに 1 つの変数を改善することは不可能であるという主張です。

この概念は、経済効率と所得分配の研究にこの概念を用いたイタリアの土木技術者であり経済学者であるヴィルフレド・パレート（1848年 - 1923年）にちなんで名付けられました。

パレートはもともとこの概念に「最適」という言葉を使っていましたが、これはやや誤った呼び方です。パレートの概念は「効率」という考え方に近いものです。なぜなら、パレートの概念は単一の「最良」（最適）な結果を特定しないからです。代わりに、少なくとも一人の人が最適だと考えるかもしれない結果の集合を特定するだけです。 ^[4]

正式には、少なくとも 1 人の参加者の幸福度が高く、他の誰の幸福度も低くならない代替状態が存在しない場合に、その状態はパレート最適です。この条件を満たす状態変化がある場合、新しい状態は「パレート改善」と呼ばれます。パレート改善が不可能な場合、その状態は「パレート最適」です。

言い換えれば、パレート効率とは、一方の当事者を有利にすると他方の当事者を不利にすることなしには不可能な場合である。^[5]この状態は、他方の当事者に損害を与えることなく一方の当事者を有利にするような方法で資源を割り当てることがもはや不可能であることを示す。パレート効率の状態では、資源は可能な限り最も効率的な方法で割り当てられる。^[5]

パレート効率は、すべてのプレイヤーiに対してu _i (s') ≥ u _i (s)、かつあるプレイヤーjに対してu _j (s') > u _j (s)となるような他の戦略プロファイルs'が存在しない場合に数学的に表現されます。この式では、 sは戦略プロファイル、uは効用または利益、jはプレイヤーを表します。^[6]

効率性はゲームにおける行動を判断する上で重要な基準である。以下に示す標準形ゲームでは、囚人のジレンマと呼ばれる有名で頻繁に分析されるゲームにおいて、戦略プロファイル（協力、協力）が（裏切り、裏切り）よりも効率的であるという点で、この効率性の概念が観察される。^[6]

上記の定義を使用して、s = (-2, -2) ( Both Defect )、s' = (-1, -1) ( Both Cooperate ) とします。すると、すべてのiについてu _i (s') > u _i (s)となります。したがって、Both Cooperate はBoth Defectよりもパレート改善であり、つまりBoth Defect はパレート効率的ではありません。さらに、残りの戦略プロファイル(0, -5)と(-5, 0)はどちらも、 -5 < -1であるため、Both Cooperateよりもパレート改善ではありません。したがって、Both Cooperate はパレート効率的です。

ゼロサムゲームでは、すべての結果はパレート効率的です。

状態の特殊なケースは、リソースの割り当てです。経済における概念の正式な表現は次のとおりです。エージェントと商品のある経済を考えてみましょう。割り当て（ただし、すべてのiに対して）は、他の実行可能な割り当て（ただし、効用関数 に対して、各エージェント に対して、すべての に対して、ある に対して）がない場合にパレート最適です。^[7]ここで、この単純な経済では、「実現可能性」とは、割り当てられた各商品の合計量が、経済における商品の合計量以下になる割り当てを指します。生産を伴うより複雑な経済では、割り当ては消費ベクトルと生産ベクトルの両方で構成され、実現可能性では、消費される各商品の合計量が初期賦存量と生産量の合計以下になることが求められます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$${\displaystyle x_{i}\in \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle \{x_{1}',\dots ,x_{n}'\}}$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle u_{i}(x_{i}')\geq u_{i}(x_{i})}$${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$${\displaystyle u_{i}(x_{i}')>u_{i}(x_{i})}$${\displaystyle i}$

第一厚生定理の仮定の下では、競争市場はパレート効率的な結果をもたらす。この結果は、経済学者ケネス・アローとジェラール・ドブリューによって初めて数学的に実証された。^{[8]しかし、この結果は、市場があらゆる財に対して存在し、}外部性が存在せず、市場が完全に競争的であり、市場参加者が完全な情報を持っているという定理の仮定の下でのみ成立する。

完全な情報や完全な市場がない場合、グリーンワルド・スティグリッツの定理によれば、結果は一般的にパレート非効率となる。^[9]

第二の福祉定理は、本質的には第一の福祉定理の逆である。同様の理想的な仮定の下では、いかなるパレート最適も何らかの競争均衡、または自由市場システムによって達成できるが、一括した富の移転が必要になる場合もあることを述べている。^[7]

自由市場における資源の非効率的な配分は市場の失敗として知られています。改善の余地があることを考えると、市場の失敗はパレート非効率性を意味します。

たとえば、有害な商品（薬物やタバコなど）を過剰に使用すると、非喫煙者に費用がかかり、喫煙者の死亡率も早まります。タバコ税は、喫煙をやめるのに役立つと同時に、喫煙によって引き起こされる病気に対処するための資金を集めることにもつながります。

パレート改善が見られる場合もありますが、これは必ずしも結果が望ましい、または公平であることを意味するわけではありません。パレート改善の後でも、不平等は依然として存在する可能性があります。ただし、少なくとも 1 人の人が不利になるため、いかなる変更も「害を与えない」原則に違反することを意味します。

社会はパレート効率的であるが、不平等のレベルがかなり高い場合があります。最も公平な行動は、3 人の人間と 1 つのパイがある場合、パイを 3 等分することです。3 人目は損をしません (パイを食べなくても)。したがって、パイを半分に分割して 2 人の個人に渡すことは、パレート効率的であると考えられます。

生産可能性の限界では、パレート効率が実現します。経済が A 点、B 点、C 点などの基本的な生産可能性限界で機能している場合、サービスの生産量を減らさずに製品の生産量を増やすことは不可能です。

複数のサブ目標（）が存在し、ベクトル値の目的関数 に結合されている場合、一般に、一意の最適値を見つけることは困難になります。 これは、 の全順序関係がないため、あるターゲットを別のターゲットよりも常に優先するとは限りません（辞書式順序など）。 多目的最適化設定では、比較を容易にする全順序関係がないため、さまざまなソリューションが「比較不可能」になる可能性があります^[10]。 パレート順序のみが適用されます。 ${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle i>1}$${\displaystyle {\vec {f}}=(f_{1},\dots f_{n})^{T}}$${\displaystyle {\vec {x}}^{*}}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle {\vec {f}}({\vec {x}}^{*})\geq {\vec {f}}({\vec {x}})}$

ベクトル値の最小化問題を考えてみましょう。パレート優位とは、次の場合に限ります。^[11]  :かつと書きます。ここで はパレート順序です。これは、がどの目標よりも悪くはないが、少なくとも 1 つの目標 では の方が優れている ( が小さいため)ことを意味します。パレート順序は厳密な部分順序ですが、積順序ではありません(厳密でも非厳密でもありません)。 ${\displaystyle {\vec {y}}^{(1)}\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\vec {y}}^{(2)}\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \forall i\in {1,\dots m}:{\vec {y}}_{i}^{(1)}\leq {\vec {y}}_{i}^{(2)}}$${\displaystyle \exists j\in {1,\dots m}:{\vec {y}}_{j}^{(1)}<{\vec {y}}_{j}^{(2)}.}$${\displaystyle {\vec {y}}^{(1)}\prec {\vec {y}}^{(2)}}$${\displaystyle \prec }$${\displaystyle {\vec {y}}^{(1)}}$${\displaystyle {\vec {y}}^{(2)}}$${\displaystyle j}$

^[11] の場合、これは探索空間における事前順序を定義し、パレートが選択肢よりも優勢であると言い、 と書きます。 ${\displaystyle {\vec {f}}({\vec {x}}_{1})\prec {\vec {f}}({\vec {x}}_{2})}$${\displaystyle {\vec {x}}_{1}}$${\displaystyle {\vec {x}}_{2}}$${\displaystyle {\vec {x}}_{1}\prec _{\vec {f}}{\vec {x}}_{2}}$

弱いパレート効率とは、すべての個人に対して厳密に改善することができない状況である。 ^[12]

正式には、強いパレート改善は、すべてのエージェントが厳密に有利な状況として定義されます (1 つのエージェントが厳密に有利であり、他のエージェントも少なくとも同じくらい有利であることを要求する単なる「パレート改善」とは対照的です)。強いパレート改善がない場合、 状況は弱いパレート効率的です。

強いパレート改善は、弱いパレート改善でもあります。逆は当てはまりません。たとえば、2 つのリソースがあるリソース割り当て問題を考えてみましょう。アリスはリソースを {10, 0} と評価し、ジョージはリソースを {5, 5} と評価します。ユーティリティ プロファイルが (10, 0) である、すべてのリソースをアリスに与える割り当てを考えます。

• 他の割り当てが両方のエージェントにとって厳密に優れているわけではないため、これは弱い PO です (強力なパレート改善はありません)。
• しかし、ジョージが2番目のリソースを取得する割り当ては、ジョージにとって厳密に優れており、アリスにとって弱く優れているため（弱いパレート改善）、これは強いPOではありません。その効用プロファイルは（10、5）です。

市場は弱いパレート最適に到達するために局所的な非飽和を必要としない。 ^[13]

制約付きパレート効率性はパレート最適性の弱体化であり、潜在的な計画者（例えば政府）が分散型市場の結果を、たとえそれが非効率であったとしても改善できない可能性があるという事実を説明しています。これは、個々のエージェントと同じ情報的または制度的制約によって制限されている場合に発生します。^[14]

例として、個人が私的情報を持っている設定（たとえば、労働者自身の生産性は労働者には知られているが潜在的な雇用主には知られていない労働市場、または自動車の品質は売り手には知られているが買い手には知られていない中古車市場）が挙げられます。これは、モラル ハザードまたは逆選択と次善の結果をもたらします。このような場合、状況を改善したい計画者は、市場の参加者が持っていない情報にアクセスできる可能性は低いです。したがって、計画者は、個人の特異な特性に基づく割り当てルールを実装することはできません。たとえば、「人がタイプAの場合、価格p ₁を支払うが、タイプBの場合、価格p ₂を支払う」（リンダール価格を参照）。基本的に、匿名ルール（「全員が価格p を支払う」など）または観察可能な行動に基づくルールのみが許可されます。「誰かが価格p _xでx を選択した場合、10 ドルの補助金を受け取り、それ以外は何も受け取りません。」市場の結果をうまく改善できる許容ルールが存在しない場合、その結果は「制約付きパレート最適」であると言われます。

部分的パレート効率性は、公平なアイテムの割り当てという文脈でパレート効率性を強化するものである。分割不可能なアイテムの割り当ては、一部のアイテムがエージェント間で分割される割り当てによってもパレート支配されない場合、部分的パレート効率的（fPEまたはfPO）である。これは、実行可能な（離散的な）割り当てによる支配のみを考慮する標準的なパレート効率性とは対照的である。^{[15] [16]}

例として、アリスが {3, 2} と評価し、ジョージが {4, 1} と評価する 2 つのアイテムがあるアイテム割り当て問題を考えます。最初のアイテムをアリスに、2 番目のアイテムをジョージに与える割り当てを考えます。ここで、効用プロファイルは (3, 1) です。

• 他の個別の割り当て（項目を分割しない）では誰かが不利になるため、これはパレート効率的です。
• しかし、最初の品目の半分と2番目の品目の全体をアリスに与え、最初の品目の残りの半分をジョージに与える割り当てによってパレート優位になっているため、部分的パレート効率的ではありません。その効用プロファイルは(3.5, 2)です。

公平なランダム割り当てやランダムな社会的選択、部分的な承認投票など、意思決定プロセスがランダムな場合、事後パレート効率と事前パレート効率には違いがあります。

• 事後パレート効率とは、ランダム プロセスのあらゆる結果がパレート効率的であることを意味します。
• 事前のパレート効率とは、プロセスによって決定されるくじが期待効用に関してパレート効率的であることを意味します。つまり、他のくじは、1 人のエージェントにこれより高い期待効用を与え、すべてのエージェントに少なくとも同じくらい高い期待効用を与えません。

ある宝くじL が事前 PE であれば、それは事後 PE でもあります。証明: Lの事後結果の 1 つxが他の何らかの結果yによってパレート優位になっているとします。次に、確率質量をxからyに移動すると、 L を事前パレート優位にする別の宝くじL 'が得られます。

その逆は真ではありません。事前 PE は事後 PE よりも強力です。たとえば、車と家という 2 つのオブジェクトがあるとします。アリスは車を 2 と評価し、家を 3 と評価します。ジョージは車を 2 と評価し、家を 9 と評価します。次の 2 つの宝くじを考えてみましょう。

1. 確率 1/2 で、車をアリスに、家をジョージに与えます。そうでない場合は、車をジョージに、家をアリスに与えます。期待効用は、アリ​​スの場合(2/2 + 3/2) = 2.5 、ジョージの場合(2/2 + 9/2) = 5.5です。両方の割り当ては事後 PE です。なぜなら、車を手に入れた人がより豊かになることは、家を手に入れた人に損害を与えることなしにはできないからです。
2. 確率 1 で車をアリスに渡し、その後確率 1/3 で家をアリスに渡し、そうでない場合はジョージに渡します。期待効用はアリスの場合(2 + 3/3) = 3 、ジョージの場合(9 × 2/3) = 6です。繰り返しますが、両方の割り当ては事後 PE です。

両方の宝くじは事後PEですが、宝くじ1は宝くじ2によってパレート支配されているため、事前PEではありません。

もう1つの例は、二分法的な選好に関するものである。^{[17] 5つの可能な結果}（a、b、c、d、e）と6人の有権者がいる。有権者の承認セットは（ac、ad、ae、bc、bd、be）である。5つの結果はすべてPEなので、すべてのくじは事後PEである。しかし、 c、d、e をそれぞれ1/3の確率で選択するくじは、各有権者に1/3の期待効用を与えるため、事前PEではない。一方、a、b をそれぞれ1/2の確率で選択するくじは、各有権者に1/2の期待効用を与える。

ベイズ効率は、プレイヤーが他のプレイヤーのタイプに関して不完全な情報しか持たない設定にパレート効率を適応させたものです。

順序パレート効率は、プレイヤーが個々のアイテムのランキングのみを報告し、バンドル全体をどのようにランク付けするかが確実にわからない設定にパレート効率を適応させたものです。

結果がパレート改善であっても、それが公平であることを意味するものではありません。パレート改善後も不平等が続く可能性があります。パレート最適性という概念と関連して頻繁に使用されるにもかかわらず、「効率」という用語は、社会の生産性を向上させるプロセスを指します。^[18]社会がパレート効率を持ちながら、高いレベルの不平等も持つことは可能です。次のシナリオを考えてみましょう。パイと3人の人がいます。最も公平な方法は、パイを3つの均等な部分に分割することです。ただし、パイを半分に分割して2人で共有すると、パレート効率的であると見なされます。つまり、3人目の人は損をしません（パイの一部を受け取らないにもかかわらず）。判断を下すときは、社会的効率、全体的な福祉、限界価値の減少などの問題など、さまざまな側面を考慮することが重要です。

市場の失敗を完全に理解するには、まず市場の成功を理解する必要がある。市場の成功とは、一連の理想的な競争市場が、資源配分の点でパレート最適な均衡資源配分を達成する能力と定義される。市場の失敗の定義によると、それは福祉の第一基本定理の結論が誤っている状況、つまり市場を通じて行われた配分が効率的でない状況である。^[19]自由市場において、市場の失敗は非効率的な資源配分と定義される。改善が可能であるという事実により、市場の失敗はパレート非効率性を意味する。例えば、減価する品目（薬物/タバコ）の過剰消費は、非喫煙者に外部費用をもたらし、禁煙しない喫煙者は早死にする。タバコの値上げは、喫煙をやめる動機を与えると同時に、喫煙関連の病気の治療のための資金を集めることにもなる。

ε > 0の場合、他の結果がすべてのエージェントに少なくとも同じ効用を与えず、1 人のエージェントに少なくとも (1 +  ε ) 高い効用を与える場合、結果はεパレート効率的であると呼ばれます。これは、(1 + ε ) よりも小さい改善は無視できるほど小さく、効率性の違反とは見なされない という概念を表しています 。

各エージェントi に正の重みa _iが割り当てられているとします。すべての割り当てxについて、xの福祉をx内のすべてのエージェントの効用の加重合計として定義します。

${\displaystyle W_{a}(x):=\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}(x).}$

x _{a を}すべての割り当ての中で福祉を最大化する割り当てと します。

${\displaystyle x_{a}\in \arg \max _{x}W_{a}(x).}$

割り当てx _{a が}パレート効率的であることを示すのは簡単です。すべての重みが正であるため、パレート改善によって合計が増加し、x _aの定義に矛盾します。

日本の新ワルラス派経済学者根岸隆は、ある仮定の下では逆も成り立つことを証明した^{[20] 。}すなわち、パレート効率的な配分xに対して、 xがWaを_最大化する正のベクトルaが存在するということである。より簡潔な証明はハル・バリアンによってなされている^[21]。

パレート効率の概念は工学で使われてきました。^[22]選択肢の集合とその評価方法が与えられた場合、パレートフロント（またはパレート集合、パレートフロンティア）はパレート効率的な選択肢の集合です。パレート効率的な選択肢の集合に注意を限定することで、設計者はすべてのパラメータの全範囲を考慮するのではなく、この集合内でトレードオフを行うことができます。 ^[23]

現代のミクロ経済理論は、パレート効率の概念に大きく影響を受けています。パレートとその後継者たちは、この最適資源配分の技術的定義を、市場競争の抽象モデル内で理論的に達成できる均衡という文脈で説明する傾向がありました。そのため、この定義はアダム・スミスの「見えざる手」の概念の裏付けとして扱われることが多くなりました。より具体的には、 1930 年代の「市場社会主義」をめぐる議論のきっかけとなりました。 ^[4]

しかし、非対称情報、シグナリング、逆選択、モラルハザードなどの問題が持ち込まれると、現実世界ではパレート効率的な結果を評価することが難しいため、ほとんどの人は厚生経済学の定理を現実世界の正確な説明とは見なさない。したがって、経済学の2つの厚生定理の重要性は、公共政策に関する新古典派の考え方を支配してきた枠組みを生み出す能力にある。その枠組みとは、厚生経済学の定理によって、「市場の失敗」と「再分配の問題」という2つの状況で政治経済学を研究できるというものである。^[24]

「市場の失敗」の分析は、外部性に関する文献から理解できる。「実体」経済を完全な偶発市場経済（効率的であると考えられている）と比較すると、非効率性が明らかになる。これらの非効率性、つまり外部性は、財産権や是正税などのメカニズムによって対処することができる。^[24]

「再分配の問題」の分析は、所得税や物品税をどのように活用すべきかという政治的な問題を扱う。定理によれば、いかなる課税もパレート効率的ではなく、再分配を伴う課税はパレート非効率的である。このため、文献のほとんどは、税制が存在する場合、利用可能な税制の変更によって誰も得をしない状況を税制がどのように規定できるかという解決策を見つけることに焦点を当てている。^[24]

パレート最適化は生物学的プロセスでも研究されている。^[25]細菌では、遺伝子は安価に作れる（資源効率が良い）か、読みやすい（翻訳効率が良い）かのいずれかであることが示された。自然選択は、資源利用と翻訳効率のために、発現の高い遺伝子をパレートフロンティアに押しやる働きをする。^[26]パレートフロンティアに近い遺伝子は、よりゆっくりと進化することも示された（選択的優位性をもたらしていることを示している）。^[27]

パレート効率を社会的最適化と同等に扱うのは誤りである。^[28]後者は規範的な概念であり、通常は分配の不平等の程度による結果を説明する解釈の問題である。^[29]一例としては、固定資産税収入が低い学区と、はるかに高い収入がある学区を、政府の再分配の助けを借りてより平等な分配が行われている兆候として解釈することがあげられる。^[30]

一部の評論家は、パレート効率性がイデオロギー的な道具として使われる可能性があると反論している。パレート効率性は資本主義が自己規制されていることを暗示しており、失業などの根深い構造的問題は均衡や規範から逸脱しているものとして扱われ、無視されたり軽視されたりする可能性がある。^[4]

パレート効率は富の完全に公平な分配を必要としないが、これも批判を招くもう一つの側面である。^{[31]少数の富裕層が}大多数の資源を保有する経済はパレート効率的になり得る。簡単な例は、3人の間でのパイの分配である。最も公平な分配は、各人に3分の1ずつ割り当てることである。しかし、例えば、2人の個人にそれぞれ半分ずつ割り当て、3人目には何も割り当てないという割り当ても、公平ではないにもかかわらずパレート最適である。なぜなら、誰かの取り分を減らさずに、誰の受益者も得をすることができないからである。そして、そのような分配の例は他にもたくさんある。パレート非効率的なパイの分配の例は、3人にそれぞれパイの4分の1ずつ割り当て、残りを捨てることである。^[32]

アマルティア・センが詳述したリベラル・パラドックスは、人々が他人の行動に対して好みを持っている場合、パレート効率の目標が個人の自由の目標と衝突する可能性があることを示している。^[33]

最後に、パレート効率性が、効率性の他の基準についての議論をある程度妨げたのではないかという説がある。ウォートン校のベン・ロックウッド教授が主張するように、その理由の1つとして、新古典派の領域で確立された他の効率性基準は、最終的にはパレート効率性に帰着するからである。^[4]

• 許容される意思決定ルール、意思決定理論における類似
• アローの不可能性定理
• ベイズ効率
• 福祉経済学の基本定理
• デッドウェイト損失
• 経済効率
• 最高かつ最良の使用
• カルドア・ヒックス効率
• 限界効用
• 市場の失敗、市場の結果がパレート最適ではない場合
• 最大要素、順序理論における概念
• 点集合の最大値
• 多目的最適化
• ナッシュ均衡
• パレート効率的な嫉妬のない分割
• 「（弱い）パレート原理」の社会的選択と個人の価値
• トトレップ
• 福祉経済学

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