エルズバーグのパラドックス

意思決定理論において、エルズバーグのパラドックス（またはエルズバーグのパラドックス）は、人々の意思決定が主観的期待効用理論と矛盾するというパラドックスである。ジョン・メイナード・ケインズは1921年にこのパラドックスの一種を発表した。 ^[1]ダニエル・エルズバーグは1961年の論文「リスク、曖昧性、そして野蛮な公理」でこのパラドックスを広めた。^{[2]これは一般に}曖昧性回避の証拠とみなされており、人は未知で計算不可能なリスクよりも定量化可能なリスクを伴う選択を好む傾向がある。

エルズバーグの調査結果によると、リスクの可能性が不明な場合よりも、リスクの可能性が明らかな場合には、潜在的なリスクレベルを伴う選択肢が好まれることが示されています。意思決定者は、未知の選択肢の方がより大きな効用を生み出す可能性が高い場合でも、リスクの可能性が明らかな選択肢を圧倒的に好みます。リスクが変化する選択肢が提示された場合、人々は、その選択肢の効用が低い場合でも、計算可能なリスクを伴う選択肢を好みます。^[3]

エルズバーグの実験的研究には、2 つの壺と 2 色のシナリオと 1 つの壺と 3 色のシナリオという 2 つの別々の思考実験が含まれていました。

2 つの壷があり、それぞれに 100 個のボールが入っています。壷 A には赤ボールが 50 個、黒ボールが 50 個入っていることは分かっていますが、壷 B には赤ボールと黒ボールが混ざった未知のボールが入っています。

参加者には以下の賭けが提供されます:

1Aを賭ける: 壷Aから赤が引かれたら$1 、そうでない場合は$0

2Aを賭ける:壷Aから黒が引かれたら$1 、そうでない場合は$0

1Bを賭ける: 壷Bから赤が引かれたら$1 、そうでない場合は$0

2Bを賭ける:壷Bから黒が引かれたら$1 、そうでなければ$0 を得る

通常、参加者は賭け 1A と賭け 2A の間で無関心であるように見えましたが (期待効用理論と一致しています)、賭け 1A を賭け 1B より、賭け 2A を賭け 2B より厳密に好むように見えました。この結果は、一般的に曖昧さ回避(不確実性回避とも呼ばれます) の結果であると解釈されます。つまり、人々は結果に確率を結び付けることができない状況を本質的に嫌い、この場合は確率と効用結果 (それぞれ 0.5 と 1 ドル) がわかっている賭けを好みます。

90 個のボールが入った壺が1 つあります。30 個は赤で、残りの 60 個は黒または黄色で、割合は不明です。ボールはよく混ぜられているため、どのボールも他のボールと同じように引かれる可能性があります。次に、参加者はギャンブルのシナリオを選択します。

さらに、参加者は同じ状況パラメータ内で別のギャンブル シナリオを選択することもできます。

エルズバーグが考案した実験条件は、2つの経済原理に依存している。1つ はナイトの不確実性、つまり1つの壷の中に黄色と黒のボールが混ざるという定量化できない性質、もう1つは赤いボールがいつ引かれるかという確率である。1/3⁠対⁠2/3⁠ .

効用理論は、これらのギャンブルを選択する際に、赤以外のボールが黄色か黒である確率を人々が想定し、2 つのギャンブルの期待効用を個別に計算することで選択をモデル化します。

賞品は同じなので、参加者が赤いボールを引く可能性が黒いボールを引く可能性よりも高いと信じている場合に限り、参加者はギャンブル A をギャンブル B より厳密に 好むことになります (期待効用理論による)。また、参加者が赤いボールが出る可能性が黒いボールが出る可能性と同じだと考えた場合、選択肢の間には無差別性があることになります。同様に、参加者が赤いボールまたは黄色いボールを引く可能性が黒いボールまたは黄色いボールを引く可能性よりも高いと信じている場合に限り、参加者はギャンブル C をギャンブル D より厳密に好むことになります。赤いボールを引く可能性が黒いボールを引く可能性よりも高い場合、赤いボールまたは黄色いボールを引く可能性も黒いボールまたは黄色いボールを引く可能性よりも高いことは直感的に思えるかもしれません。したがって、参加者がギャンブル A をギャンブル B より厳密に好むと仮定すると、参加者はギャンブル C をギャンブル D より厳密に好むことになり、同様にその逆も同様です。

しかし、曖昧さ回避により、人々はギャンブル A をギャンブル B より、ギャンブル D をギャンブル C より厳密に好むだろうと予測されます。

エルズバーグの調査結果は、一般的な期待効用理論の仮定に反しており、参加者はギャンブル A をギャンブル B より、ギャンブル D をギャンブル C より 明確に選んでいる。

数学的には、各色のボールの推定確率は、R、Y、Bとして表すことができます。参加者がギャンブル B よりもギャンブル A を厳密に好む場合、効用理論により、この好みは 2 つのギャンブルの期待効用によって反映されていると推定されます。効用計算で矛盾が生じます。この矛盾は、参加者の好みが期待効用理論と一致していないことを示しています。

この結果は効用関数に関係なく成立します。実際、報酬の額も同様に無関係です。どのギャンブルを選択しても、勝った場合の賞金は同じで、負けた場合のコストも同じ (コストなし) なので、最終的には特定の金額を受け取るか、何も受け取らないかの 2 つの結果しかありません。したがって、何も受け取らないよりはいくらかのお金を受け取る方が望ましいと仮定すれば十分です (この仮定は必須ではありません。上記の数学的処理では、U ($100) >  U ($0) と仮定しましたが、 U ($100) <  U ($0) およびU ($100) =  U ($0) の場合は依然として矛盾が生じます)。

さらに、この結果はリスク回避度に関係なく成り立ちます。つまり、すべてのギャンブルにはリスクが伴うのです。ギャンブルDを選択すると、参加者は3分の1の確率で何も受け取れず、ギャンブルAを選択すると、3分の2の確率で何も受け取れません。ギャンブルAがギャンブルBよりもリスクが低い場合、^[4]ギャンブルCはギャンブルDよりもリスクが低い（逆もまた同様）ため、この方法ではリスクは回避されません。

しかし、ギャンブルAとDの正確な勝率は分かっているが、ギャンブルBとCの勝率は分かっていないため、これはある種の曖昧さ回避の証拠とみなすことができ、期待効用理論では説明できない。この現象は、選択セットが曖昧な命題とそれほど曖昧でない命題との比較を可能にする場合にのみ発生することが実証されている（曖昧な命題が単独で評価される場合には発生しない）。^[5]

エルズバーグの観察を意思決定理論的に説明しようとするさまざまな試みがなされてきました。意思決定者が利用できる確率情報は不完全であるため、これらの試みは意思決定者が直面する非確率的な曖昧さを定量化することに焦点を当てることがあります。ナイトの不確実性を参照してください。つまり、これらの代替アプローチでは、エージェントが起こり得る結果に対して主観的な（必ずしもベイズ的ではない）確率を定式化すると想定することがあります。

そうした試みの1つは、情報ギャップ決定理論に基づいています。エージェントはいくつかの結果の正確な確率を知らされますが、確率の数値の実際の意味は完全には明らかではありません。たとえば、上で説明したギャンブルでは、赤いボールが出る確率は⁠30/90⁠、これは正確な数字です。それにもかかわらず、参加者はこれを、例えば ⁠ と直感的に区別できないかもしれません。30/91⁠。その他の結果に関しては確率情報は一切提供されていないため、参加者はこれらの確率について非常に不明確な主観的な印象を抱いています。

結果の確率の曖昧さを考慮すると、エージェントは正確な期待効用を評価することができません。したがって、期待効用を最大化することに基づいた選択も不可能です。情報ギャップアプローチは、エージェントが主観的に不確実な確率に対して暗黙的に情報ギャップモデルを定式化すると想定しています。次に、エージェントは期待効用を満たし、不正確な確率の不確実性に対する堅牢性を最大化しようとします。この堅牢性満足アプローチは、意思決定者の選択がエルズバーグが観察した選好の逆転を正確に示すはずであることを明示的に示すために開発することができます。^[6]

もう一つの考えられる説明は、この種のゲームが欺瞞回避メカニズムを誘発するというものである。多くの人間は、現実世界の状況において、ある出来事の確率を知らされない場合、それは自分を欺くためであると自然に想定する。参加者は、実験者が被験者の利益に反して行動する欺瞞者である可能性が高い、関連しているが同一ではない現実の問題に関して行うのと同じ決定を、実験において行う。赤いボールと黒いボールのどちらかを選択する場合、⁠30/90⁠ は、⁠の下部と比較されます0/90⁠ – ⁠60/90⁠範囲（黒玉が出る確率）で黒玉の数が決まる。平均的な人は、黒玉の数が黄玉の数より少ないと予想する。なぜなら、現実世界のほとんどの状況では、このようなギャンブルをする場合、壷の中に黒玉を少なく入れた方が実験者に有利だからである。一方、赤玉と黄玉、黒玉と黄玉のどちらかを選ぶように言われた場合、人々は、騙すために必要な黄玉の数は30個未満でなければならないと想定する。決定を下す際に、実験者が抽選の合間に壷の中身を変更する機会がないことを人々が考慮に入れない可能性は十分にある。現実の状況では、壷が変更されないとしても、人々はその点でも騙されることを恐れるだろう。^[7]

不確実性回避が存在する世界で個人がどのように意思決定を行うかを説明するために、期待効用フレームワークの修正が提案されています。これには以下が含まれます。

• ショケの期待効用: フランスの数学者ギュスターヴ・ショケによって考案された、未知のパラメータを伴う状況における期待効用を測定する方法として使用される劣加法積分。この数学的原理は、合理的選択理論、期待効用理論、およびエルズバーグの独創的な発見の間の矛盾を調和させる方法と見なされています。
• マックスミニ期待効用：ギルボアとシュメイドラー^[8]によって公理化されたものは、曖昧さ回避の選好を考慮した効用最大化の代替として広く受け入れられている。このモデルは、直感的な決定がエルズバーグのパラドックスとアレのパラドックスの両方で確立された曖昧さの中立性に違反する可能性があるという概念を調和させる。

他の代替的な説明としては、有能仮説^[9]や比較無知仮説^[5]などがある。どちらの理論も、曖昧さ回避の原因は参加者の既存の知識にあるとしている。

エルズバーグは1952年にハーバード大学で経済学を専攻して卒業すると、すぐに同大学を離れ、米海兵隊に入隊し、その後1957年にハーバード大学に戻り、不確実性下での意思決定に関する大学院研究を修了した。 ^{[10]エルズバーグは大学院の研究を中断して}ランド研究所に戦略アナリストとして入社したが、その傍らで学術研究を続けていた。彼は1960年12月の計量経済学会で画期的な論文を発表した。エルズバーグの研究は、 JMケインズとFHナイトの両者による以前の研究を基にしており、支配的な合理的選択理論に異議を唱えていた。この研究は、エルズバーグの人生をめぐるペンタゴン文書スキャンダルのため、出版から約40年後の2001年に公表された。この本は非常に影響力のある論文とみなされており、リスクの曖昧さと不確実性に関する経済学界では今でも影響力があると考えられている。

• アレのパラドックス
• 曖昧さ回避
• 実験経済学
• 主観的期待効用
• 効用理論