サンクトペテルブルクのパラドックス

このパラドックスの古典的な解決策は、効用関数、期待効用仮説、および貨幣の限界効用逓減の仮定を明示的に導入することであった。

ダニエル・ベルヌーイによれば：

物の価値の決定は、価格ではなく、それがもたらす効用に基づいて行われるべきである。1000ダカット の利益は、たとえ両者が同じ額を得たとしても、貧しい者にとっては金持ちよりも大きな意味を持つことは疑いようがない。

ダニエル・ベルヌーイが提唱した一般的な効用モデルは、対数関数U ( w ) = ln( w ) (対数効用として知られる) です。これはギャンブラーの総資産wの関数であり、貨幣の限界効用逓減の概念が組み込まれています。期待効用仮説は、現実の人々の行動の良い基準となる効用関数が存在すると仮定しています。つまり、賭けが良いギャンブルかどうかを示す正または負の値を返す関数です。起こりうる各事象について、効用の変化ln(事象後の資産)  −  ln(事象前の資産)は、その事象が発生する確率によって重み付けされます。ゲームに参加するために課される費用をcとします。宝くじの期待増分効用は、有限の値に収束します。

${\displaystyle \Delta E(U)=\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {1}{2^{k}}}\left[\ln \left(w+2^{k}-c\right)-\ln(w)\right]<+\infty \,.}$

この公式は、ギャンブラーの資産と彼が支払うべき金額（具体的には、期待効用がプラスに変化するような任意のc ）との間に暗黙の関係を示しています。例えば、自然対数効用を用いると、100万ドルの富豪は最大20.88ドルまで支払うべきであり、1000ドルの人は最大10.95ドルまで支払うべきであり、2ドルの人は1.35ドルを借りて最大3.35ドルまで支払うべきであると言えます。

ダニエル・ベルヌーイが1738年に発表する以前、ジュネーブ共和国の数学者ガブリエル・クレーマーは1728年にすでにこのアイデアの一部を発見していた（これもサンクトペテルブルクのパラドックスに触発されたもので）、

数学者は貨幣をその量に比例して評価し、良識ある人々はそれをどれだけ有効に活用できるかに比例して評価する。

彼はニコラ・ベルヌーイへの手紙^{[ 7 ]}の中で、利益の限界便益の逓減を表す平方根関数でこの問題を解決できることを示した。しかし、ダニエル・ベルヌーイとは異なり、彼は個人の全財産を考慮せず、宝くじによる利益のみを考慮した。

しかし、クレイマーとベルヌーイによるこの解決策は、完全に満足のいくものではありません。なぜなら、宝くじを簡単に変更することで、パラドックスが再び現れるからです。そのためには、報酬がさらに急速に増加するようにゲームを変更すればよいのです。任意の無制限の効用関数に対して、サンクトペテルブルクのパラドックスの変種を許容する宝くじを見つけることができます。これはメンガーによって最初に指摘されました。^{[ 8 ]}

近年、期待効用理論は、より行動的な意思決定モデルへと拡張されてきた。累積プロスペクト理論など、これらの新しい理論の中には、効用関数が凹関数であっても、有界関数であっても、特定の場合にはサンクトペテルブルクのパラドックスが再び現れるものがある。^{[ 9 ]}

ニコラ・ベルヌーイ自身もパラドックスを解決する別のアイデアを提案した。彼は、人々は起こりそうもない出来事を無視するだろうと推測した。^{[ 4 ]}サンクトペテルブルクの宝くじでは、起こりそうもない出来事だけが期待値が無限になる高額賞金をもたらすため、これがパラドックスを解決する可能性がある。確率重み付けのアイデアは、ダニエル・カーネマンとエイモス・トベルスキーによるプロスペクト理論の研究でずっと後に再び登場した。ポール・ウェイリッチも同様に、リスク回避がパラドックスを解決する可能性があると書いた。ウェイリッチはさらに、賞金を増やすと実際にゲームに参加するためにお金を支払う可能性が減ると書き、「手の中にある鳥の数の方が、茂みの中にある鳥の数よりも価値がある」と述べた。^{[ 10 ] [ 11 ]}しかし、一部の理論家は、ギャンブルのリスクを楽しむ人もいること、賞金を増やすとリスクが増えると仮定するのは非論理的であることから、この考えを否定している。

累積プロスペクト理論は、多くの行動規則性を予測できる期待効用理論の一般的な一般化の 1 つです。 ^{[ 12 ]}しかし、累積プロスペクト理論で導入された小さな確率のイベントの過大評価は、サンクトペテルブルクのパラドックスを再現する可能性があります。累積プロスペクト理論は、効用関数のべき乗係数が確率重み付け関数のべき乗係数よりも低い場合にのみ、サンクトペテルブルクのパラドックスを回避します。^{[ 13 ]}直感的には、効用関数は単に凹関数であるだけでなく、サンクトペテルブルクのパラドックスを回避するために、確率重み付け関数に対して凹関数である必要があります。プロスペクト理論の式は、$400 未満の領域で得られると主張することができます。^{[ 12 ]}これは、サンクトペテルブルクのパラドックスにおける無限に増加する合計には適用できません。

古典的なサンクトペテルブルクゲームでは、カジノまたは銀行家が無限の資金を持っていると想定されています。この想定は、非現実的であるとして長い間異議を唱えられてきました。^{[ 14 ] [ 15 ]}アレクシス・フォンテーヌ・デ・ベルタンは1754年に、ゲームの潜在的な出資者の資金は有限であると指摘しました。^{[ 16 ]}さらに重要なことに、ゲームの期待値はカジノの資金に対して対数的にしか増加しません。その結果、現実的に考えられる最大の資金を持つカジノを相手にプレイした場合でも、ゲームの期待値はかなり控えめです。1777年、ジョルジュ＝ルイ・ルクレール・ド・ビュフォン伯爵は、 29ラウンドのプレイ後にはフランス王国に賭け金を賄うのに十分な資金がないと計算しました。^{[ 17 ]}

カジノのリソースが有限である場合、そのリソースが枯渇するとゲームは終了しなければなりません。^{[ 15 ]}カジノの総リソース（または最大ジャックポット）がWドルであるとします（より一般的には、Wはゲームの初期賭け金の半分単位で測定されます）。すると、カジノが次の賭け金を完全にカバーできなくなるまでにプレイできる最大回数はL = ⌊ log ₂ ( W ) ⌋です。^{[ 18 ] [ nb 1 ]}カジノが賭け金をカバーできなくなったときにゲームが終了すると仮定すると、宝くじの期待値Eは次のようになります。 ^{[ 18 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}E&=\sum _{k=1}^{L}{\frac {1}{2^{k}}}\cdot 2^{k}=L\,.\end{aligned}}}$

以下の表は、様々な潜在的な銀行家とその資金Wにおけるゲームの期待値Eを示しています。

注：プレイヤーがカジノの資金よりも多く勝った場合、カジノの資金全額が支払われるというゲームルールでは、追加の期待値は、カジノがもう1ラウンド分の資金を持っている場合よりも少なく、つまり1ドル未満になります。プレイヤーがWを獲得するには、 L +1ラウンドをプレイすることが許可されなければなりません。したがって、追加の期待値はW / ^{2L +1}です。

無限の資源という前提は、経済学において様々な明らかなパラドックスを生み出す。マルチンゲール賭博システムでは、コイン投げに賭けるギャンブラーは、負けるたびに賭け金を倍にし、最終的に勝てばすべての損失を補填する。しかし、このシステムは有限の資金では破綻する。ギャンブラーの破産概念は、勝ったときに賭け金を資金の一定割合まで増やし、負けたときに賭け金を減らさないギャンブラーは、たとえゲームの期待値が正であっても、最終的には必ず破産することを示している。

ビュフォン^{[ 17 ]}は、合理的な行動の理論は、現実生活で合理的な意思決定者が行うことに対応していなければならないと主張し、合理的な人々は十分に起こりそうもない出来事を定期的に無視するので、合理的な意思決定者もそのようなまれな出来事を無視するはずだと主張した。

無視できる閾値の推定値として、彼は、56歳の男性がその日の死亡率表によれば1/10189の確率で今後24時間以内に死亡する可能性を無視していることから、1/10,000未満の確率の事象は無視できると主張した。そう仮定すると、サンクトペテルブルクゲームの期待ペイオフはわずか${\displaystyle \sum _{k=1}^{13}2^{k}{\frac {1}{2^{k}}}=13}$。

ジャン・ル・ロン・ダランベールやジョン・メイナード・ケインズなど、多くの著者が期待値（効用でさえも）の最大化を適切な行動規範として否定している。^{[ 22 ] [ 23 ]}特にケインズは、代替案の相対リスクが十分に高ければ、その期待値が非常に大きくても、それを拒否する可能性があると主張した。^{[ 23 ]}最近では、一部の研究者が期待値を中央値に置き換えて公正価値とすることを提案している。 ^{[ 24 ] [ 25 ]}

乗法的なダイナミクスを仮定した基本的な数学的議論を含む初期の解決策は、1870 年にウィリアム・アレン・ウィットワースによって提案された。^{[ 26 ]}エルゴード性の問題との明確な関連性は、 2011 年にピーターズによって示された。 ^{[ 27 ]}これらの解決策は、数学的にはケリー基準または対数効用を使用することと類似している。純粋に乗法的な場合を超えた一般的なダイナミクスは、2020 年にカーとチェルビーニによって指摘されたように、非対数効用関数に対応する可能性がある。^{[ 28 ]}

ウィリアム・フェラーはサンプリングを用いた解決策を提案した。^{[ 29 ]}フェラーの答えは直感的に言えば「このゲームを多数の人々で実行し、サンプル抽出から期待値を計算する」ということである。この方法では、無限回のゲームが可能な場合、期待値は無限大になり、有限回の場合は、期待値ははるかに小さい値になる。

ポール・サミュエルソンは、たとえある主体が無限の資源を持っていたとしても、そのゲームは決して提供されないだろうと主張することで、このパラドックスを解決している^{[ 30 ]}。宝くじがプレイヤーにとって無限の期待利益を表すならば、それは同時に主催者にとって無限の期待損失を表すことになる。ゲームが提供されないため、誰もそのゲームにお金を払う様子は観察できない。サミュエルソンはこの議論を次のように要約している。「ポールは、ピーターがそのような契約に対して要求するほどの金額を支払う意思は決してないだろう。したがって、示された活動は、ゼロ強度の均衡レベルで行われることになるだろう。」

サンクトペテルブルクゲームの多くのバリエーションが、このゲームに対する提案された解決策に対抗するために提案されている。^{[ 11 ]}

例えば、「パサデナゲーム」: ^{[ 31 ]}${\displaystyle n}$コイン投げの回数とする。${\displaystyle n}$奇妙なことに、プレイヤーはユニットを獲得します${\displaystyle {\frac {2^{n}}{n}}}$そうでなければプレイヤーは負ける${\displaystyle {\frac {2^{n}}{n}}}$効用単位。ゲームからの期待効用は次のようになる。$\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2}$しかし、この和は絶対的に収束するわけではないため、正または負の無限大を含む任意の数に和が収束するように並べ替えられる可能性があります。これは、パサデナゲームの期待効用が和の順序に依存することを示唆していますが、標準的な意思決定理論では、和の順序を選択するための原理的な方法は提供されていません。

サンクトペテルブルクのパラドックスを解決する上で注目を集めているアプローチの一つは、戦略の認知的側面に関連するパラメーターを使用することです。このアプローチは、金融における非エルゴード的システムを研究することによって開発されました。金融市場の非定常性については多くの研究が行われています。^{[ 32 ] [ 33 ]}

統計的な観点から言えば、ある現象に関する知識は予測の確率を高めます。実際には、有用な情報を取り入れた非ランダムな予測アルゴリズムによって生成された結果は、ランダムに再現することはできません（予測回数が増えるにつれて確率はゼロに近づきます）。したがって、戦略が認知的に機能しているのか、ランダムに機能しているのかを理解するには、ランダムに同等以上の結果が得られる確率を計算するだけで十分です。サンクトペテルブルクのパラドックスの場合、賭け金の倍増戦略は、賭け金の総額という点では完全にランダムであるものの同等の一定賭け戦略と比較されました。この比較から、賭け金の倍増戦略は、賭け回数が増えるにつれて確率が50%に近づくことで、より良い結果を得ることが示されています。倍増戦略がシステムに関する何らかの有用な情報を活用している場合、この確率は50%に収束するのではなく、ゼロに近づくはずです。これは、この戦略が有用な情報を一切使用していないことを示しています。

この観点から見ると、サンクトペテルブルクのパラドックスは、無限大に近づく期待利益が必ずしも認知的かつ非ランダムな戦略の存在を意味するわけではないことを教えてくれる。したがって、意思決定の観点から、知識が期待利益よりも重要となるような価値の階層構造を構築することができる。

サンクトペテルブルクのパラドックスと同様のジレンマは、スーパーセンテナリアンのパラドックスとして議論されている。^{[ 34 ]}このパラドックスは、${\displaystyle t}$10歳の人はさらに10年間生き延びるだろう${\displaystyle \Delta t}$年、${\displaystyle t}$そして${\displaystyle \Delta t}$は非負の実数である。直感的には、どの年齢でも生存確率は非常に高いように思える。${\displaystyle t}$時間間隔が${\displaystyle \Delta t}$十分に小さい、例えば1日${\displaystyle (\Delta t=1/365)}$。

しかし、勝率が高いという確実性は、生涯確率分布に大きく依存する。これは、サンクトペテルブルクのパラドックスの理論的根拠に類似している。このパラドックスでは、ゲームの数学的に無限の期待値は、理論的には、合理的なギャンブラーはゲームを一度プレイするために任意の金額を支払う意思があることを意味する。実際には、ギャンブラーはほぼ確実にわずかな金額しか勝てない。この理論的期待と実際的判断の間の不一致から、ニコラ・ベルヌーイは、人々は起こりそうもない出来事を無視する傾向があると推測した。^{[ 35 ]}

どちらの場合も、理論的な結果は、非常に長いテールのシーケンス（サンクトペテルブルク）や、人々が非常に長生きすること（スーパーセンテナリアン）といった稀な事象の寄与によって決定的に影響を受ける。${\displaystyle t}$（高齢）は理論計算には重要であるが、現実世界の意思決定に大きな影響を与えるほど起こりそうもない。極めて低い確率の事象を無視するという考えは、1777年にジョルジュ＝ルイ・ルクレール・ド・ビュフォン伯爵によって早くも指摘された。^{[ 36 ]}ビュフォンは、健康状態が良いと信じている56歳の男性が、死亡率表によればその期間に死亡する確率は10,189分の1しかないにもかかわらず、今後24時間以内に死亡する確率を無視するだろうと観察した。このようにビュフォンは、確率が1万分の1以下の事象は、実際の人間の判断では無視してもよいと効果的に示唆した。