コンピュータ実験

コンピュータ実験またはシミュレーション実験は、コンピュータシミュレーション（ in silicoシステムとも呼ばれる）を研究するために使用される実験です。この分野には、計算物理学、 計算化学、計算生物学、およびその他の同様の分野 が含まれます。

コンピュータ シミュレーションは、物理システムをエミュレートするために構築されます。これらはシステムの一部を詳細に再現することを目的としているため、多くの場合、解析的なソリューションは得られません。そのため、離散イベント シミュレーション や有限要素ソルバーなどの方法が使用されます。コンピュータ モデルは、それが再現するシステムについて推論を行うために使用されます。たとえば、地球サイズのオブジェクトでの実験は不可能であるため、気候モデルがよく使用されます。

コンピュータ実験は、さまざまな目的を念頭に置いて実施されてきました。そのいくつかを次に示します。

• 不確実性の定量化: コンピュータ シミュレーションの構築中に未知の要素から生じる、コンピュータ シミュレーション内に存在する不確実性を特徴付けます。
• 逆問題: 物理データからシステムの根本的な特性を発見します。
• バイアス補正: 物理データを使用してシミュレーションのバイアスを補正します。
• データ同化: 複数のシミュレーションと物理データ ソースを完全な予測モデルに組み合わせます。
• システム設計: 最適なシステムパフォーマンス測定をもたらす入力を見つけます。

コンピュータ実験のモデリングでは、通常、ベイズ統計の枠組みが使用されます。ベイズ統計は、世界の真の状態に関するすべての証拠が確率の形で明示的に表現される統計分野の解釈です。コンピュータ実験の領域では、ベイズ解釈は、コンピュータモデルの構造に関する事前の信念を表す事前分布を形成する必要があることを意味します。この考え方をコンピュータ実験に使用することは 1980 年代に始まり、Sacks ら (1989) [1] によってうまくまとめられています。ベイズアプローチは広く使用されていますが、頻度主義アプローチは最近議論されています [2]。

このフレームワークの基本的な考え方は、コンピュータ シミュレーションを一連の入力の未知の関数としてモデル化することです。コンピュータ シミュレーションは、出力のコレクションを生成するために評価できるコンピュータ コードとして実装されます。これらのシミュレーションへの入力の例としては、基礎となるモデルの係数、初期条件、強制関数などがあります。シミュレーションを、これらの入力を出力のコレクションにマッピングする決定論的な関数と見なすのが自然です。シミュレータをこのように見ることに基づいて、入力のコレクションを 、コンピュータ シミュレーション自体を、結果の出力を と呼ぶのが一般的です。と はどちらもベクトル量であり、非常に大きな値のコレクションになる可能性があり、多くの場合、空間、時間、または空間と時間の両方でインデックスが付けられます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$

原理的には分かっていますが、実際にはそうではありません。多くのシミュレーターは、直感では理解できない何万行もの高水準のコンピュータコードで構成されています。気候モデルなどの一部のシミュレーションでは、単一の入力セットに対する出力の評価に数百万時間のコンピュータ時間が必要になる場合があります [3]。 ${\displaystyle f(\cdot )}$

コンピュータ コード出力の一般的なモデルは、ガウス過程です。表記を簡単にするために、 はスカラーであると仮定します。ベイズの枠組みにより、関数 はガウス過程に従うと確信します。ここ で、は平均関数、は共分散関数です。一般的な平均関数は低次の多項式であり、一般的な共分散関数はマターン共分散です。これは、指数共分散 ( ) とガウス共分散 ( として) の両方を含みます。 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\sim \operatorname {GP} (m(\cdot ),C(\cdot ,\cdot )),}$${\displaystyle m}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \nu =1/2}$${\displaystyle \nu \rightarrow \infty }$

コンピュータ実験の設計は、パラメトリック モデルの実験設計とは大きく異なります。ガウス過程事前分布は無限次元表現であるため、パラメータの誤差を減らすことに重点を置いた A 基準と D 基準の概念 (最適設計を参照) は使用できません。コンピュータ シミュレーションに誤差がない場合でも、複製は無駄になります。適切な実験設計を決定するために使用される基準には、積分平均二乗予測誤差 [4] と距離に基づく基準 [5] があります。

設計のための一般的な戦略には、ラテンハイパーキューブサンプリングと低矛盾シーケンスが含まれます。

物理的な実験とは異なり、コンピュータ実験では何千もの異なる入力の組み合わせがあることが一般的です。標準的な推論では、サンプル数 ( ) のサイズの正方行列の逆行列計算が必要なので、コストは に伴って増大します。大規模で密な行列の逆行列計算は、数値的な不正確さを引き起こす可能性もあります。現在、この問題は貪欲決定木技術によって解決されており、無制限の次元とサンプルサイズに対して効果的な計算が可能です (特許 WO2013055257A1)。または、近似法 (例 [6]) を使用して回避することもできます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{3})}$

• シミュレーション
• 不確実性の定量化
• ベイズ統計
• ガウス過程エミュレータ
• 実験計画
• 分子動力学
• モンテカルロ法
• 代理モデル
• グレーボックスの完了と検証
• 人工金融市場

• サントナー、トーマス（2003）。『コンピュータ実験の設計と分析』ベルリン：シュプリンガー。ISBN 0-387-95420-1。

• Fehr, Jörg; Heiland, Jan; Himpe, Christian; Saak, Jens (2016). 「モデル削減ソフトウェアで例示されるコンピューターベースの実験の複製可能性、再現性、再利用性に関するベストプラクティス」. AIMS Mathematics . 1 (3): 261–281. arXiv : 1607.01191 . doi :10.3934/Math.2016.3.261. S2CID  14715031.