幾何ブラウン運動

幾何ブラウン運動（GBM） （指数ブラウン運動とも呼ばれる）は、ランダムに変化する量の対数がドリフトを伴うブラウン運動（ウィーナー過程とも呼ばれる）に従う連続時間確率過程である。^[1]これは確率微分方程式（SDE）を満たす確率過程の重要な例であり、特に数理ファイナンスではブラック・ショールズ・モデルで株価をモデル化するのに使用される。

確率過程S _{t は}、次の確率微分方程式(SDE)を満たす場合、GBM に従うと言われます。

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}}$

ここで、はウィーナー過程またはブラウン運動であり、(「パーセンテージドリフト」) と(「パーセンテージボラティリティ」) は定数です。 ${\displaystyle W_{t}}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \sigma}$

前者のパラメーターは決定論的な傾向をモデル化するために使用され、後者のパラメーターは動作中に発生する予測不可能なイベントをモデル化します。

任意の初期値S ₀に対して、上記のSDEは解析解を持つ（伊藤の解釈による）。

${\displaystyle S_{t}=S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right).}$

導出には伊藤計算が必要である。伊藤の公式を適用すると次のようになる。

${\displaystyle d(\ln S_{t})=(\ln S_{t})'dS_{t}+{\frac {1}{2}}(\ln S_{t})''\,dS_{t}\,dS_{t}={\frac {dS_{t}}{S_{t}}}-{\frac {1}{2}}\,{\frac {1}{S_{t}^{2}}}\,dS_{t}\,dS_{t}}$

ここで、SDE の 2 次変化です。${\displaystyle dS_{t}\,dS_{t}}$

${\displaystyle dS_{t}\,dS_{t}\,=\,\sigma ^{2}\,S_{t}^{2}\,dW_{t}^{2}+2\sigma S_{t}^{2}\mu \,dW_{t}\,dt+\mu ^{2}S_{t}^{2}\,dt^{2}}$

のとき、は より速く 0 に収束します。なぜなら だからです。したがって、上記の無限小は次のように簡略化できます。 ${\displaystyle dt\to 0}$${\displaystyle dt}$${\displaystyle dW_{t}}$${\displaystyle dW_{t}^{2}=O(dt)}$

${\displaystyle dS_{t}\,dS_{t}\,=\,\sigma ^{2}\,S_{t}^{2}\,dt}$

の値を上の式に代入して簡略化すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle dS_{t}}$

${\displaystyle \ln {\frac {S_{t}}{S_{0}}}=\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\,\right)t+\sigma W_{t}\,.}$

指数関数を取り、両辺にを掛けると、上で主張した解が得られます。 ${\displaystyle S_{0}}$

SDEを満たす プロセス${\displaystyle X_{t}=\ln {\frac {S_{t}}{S_{0}}}}$

${\displaystyle dX_{t}=\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\,\right)dt+\sigma dW_{t}\,,}$

あるいはより一般的にはSDEを解くプロセス

${\displaystyle dX_{t}=m\,dt+v\,dW_{t}\,,}$

ここで、 および は実定数であり、初期条件 に対して、は算術ブラウン運動 (ABM) と呼ばれます。これは、 1900 年にルイ・バシュリエが株価に対して提唱したモデルであり、ブラウン運動をモデル化する最初の公開された試みであり、今日ではバシュリエ モデルとして知られています。上で示したように、ABM SDE は、伊藤の公式を介して GBM の対数から取得できます。同様に、GBM は伊藤の公式を介して ABM を累乗することで取得できます。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle v>0}$${\displaystyle X_{0}}$

上記の解（tの任意の値に対して）は、期待値と分散が^[2]で与えられる対数正規分布のランダム変数である。${\displaystyle S_{t}}$

${\displaystyle \operatorname {E} (S_{t})=S_{0}e^{\mu t},}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (S_{t})=S_{0}^{2}e^{2\mu t}\left(e^{\sigma ^{2}t}-1\right).}$

これらは、 がマルチンゲールであり、 ${\displaystyle Z_{t}=\exp \left(\sigma W_{t}-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t\right)}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\exp \left(2\sigma W_{t}-\sigma ^{2}t\right)\mid {\mathcal {F}}_{s}\right]=e^{\sigma ^{2}(ts)}\exp \left(2\sigma W_{s}-\sigma ^{2}s\right),\quad \forall 0\leq s<t.}$

の確率密度関数は次のようになります。 ${\displaystyle S_{t}}$

${\displaystyle f_{S_{t}}(s;\mu ,\sigma ,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,{\frac {1}{s\sigma {\sqrt {t}}}}\,\exp \left(-{\frac {\left(\ln s-\ln S_{0}-\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)t\right)^{2}}{2\sigma ^{2}t}}\right).}$

GBMのさらなる特性を導くには、GBMが解であるSDEを使うか、または上で示した明示的な解を使うことができる。例えば、確率過程log( S _t )を考える。これは興味深い過程である。なぜなら、ブラック・ショールズ・モデルでは株価の対数収益率と関係しているからである。伊藤の補題をf ( S ) = log( S ) とすると、次のようになる。

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}d\log(S)&=f'(S)\,dS+{\frac {1}{2}}f''(S)S^{2}\sigma ^{2}\,dt\\[6pt]&={\frac {1}{S}}\left(\sigma S\,dW_{t}+\mu S\,dt\right)-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\,dt\\[6pt]&=\sigma \,dW_{t}+(\mu -\sigma ^{2}/2)\,dt.\end{alignedat}}}$

ということになります。 ${\displaystyle \operatorname {E} \log(S_{t})=\log(S_{0})+(\mu -\sigma ^{2}/2)t}$

この結果は、GBM の明示的な解に対数を適用することによっても導き出すことができます。

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\log(S_{t})&=\log \left(S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right)\right)\\[6pt]&=\log(S_{0})+\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}.\end{alignedat}}}$

期待値を取ると、上記と同じ結果が得られます 。 ${\displaystyle \operatorname {E} \log(S_{t})=\log(S_{0})+(\mu -\sigma ^{2}/2)t}$

# プロット用のPythonコード

 numpyを npとして インポートする
 matplotlib.pyplot を pltとして インポートします。

ミュー =  1
 50 人​
dt  =  0.1
0  =  100です
np .ランダム.シード( 1 )

シグマ =  np 。オレンジ( 0.8 、 2 、 0.2 )

x  =  np . exp (
    (ミュー - シグマ **  2  /  2 )  *  dt
    +  sigma  *  np . random . normal ( 0 ,  np . sqrt ( dt ),  size = ( len ( sigma ),  n )) . T
）
x  =  np . vstack ([ np . ones ( len ( sigma )),  x ])
x  =  x0  *  x . cumprod (軸= 0 )

plt .プロット( x )
plt . legend ( np . round ( sigma ,  2 ))
plt .xlabel ( "$t$ " )
plt . ylabel ( "$x$" )
plt .タイトル(
    「異なる分散を持つ幾何ブラウン運動の実現\n $\mu=1$」
）
plt .表示()

GBMは、複数の相関する価格経路がある場合にも拡張できる。^[3]

それぞれの価格経路は基礎となるプロセスに従う

${\displaystyle dS_{t}^{i}=\mu _{i}S_{t}^{i}\,dt+\sigma _{i}S_{t}^{i}\,dW_{t}^{i},}$

ここで、ウィーナー過程は次のように相関している。 ${\displaystyle \operatorname {E} (dW_{t}^{i}\,dW_{t}^{j})=\rho _{i,j}\,dt}$${\displaystyle \rho _{i,i}=1}$

多変量の場合、これは次のことを意味する。

${\displaystyle \operatorname {Cov} (S_{t}^{i},S_{t}^{j})=S_{0}^{i}S_{0}^{j}e^{(\mu _{i}+\mu _{j})t}\left(e^{\rho _{i,j}\sigma _{i}\sigma _{j}t}-1\right).}$

駆動ブラウン運動を独立に保つ多変量定式化は ${\displaystyle W_{t}^{i}}$

${\displaystyle dS_{t}^{i}=\mu _{i}S_{t}^{i}\,dt+\sum _{j=1}^{d}\sigma _{i,j}S_{t}^{i}\,dW_{t}^{j},}$

ここで、との間の相関関係は、項を通じて表現されます。 ${\displaystyle S_{t}^{i}}$${\displaystyle S_{t}^{j}}$${\displaystyle \sigma _{i,j}=\rho _{i,j}\,\sigma _{i}\,\sigma _{j}}$

幾何ブラウン運動はブラック・ショールズ・モデルで株価をモデル化するために使用され、株価の挙動をモデル化する最も広く使用されているモデルである。^[4]

GBM を使用して株価をモデル化する理由の一部は次のとおりです。

• GBMの期待収益はプロセスの価値（株価）とは無関係であり、これは現実に予想されるものと一致しています。^[4]
• GBM プロセスでは、実際の株価と同様に、正の値のみを想定します。
• GBM プロセスは、実際の株価に見られるのと同じ種類の「粗さ」をその経路に示します。
• GBM プロセスによる計算は比較的簡単です。

しかし、GBM は完全に現実的なモデルではなく、特に以下の点では現実に及ばないと言えます。

• 実際の株価では、ボラティリティは時間の経過とともに変化します（確率的に変化する可能性もあります）が、GBM ではボラティリティは一定であると想定されます。
• 現実の世界では、株価は予測できない出来事やニュースによって急騰することがよくありますが、GBM では、その経路は連続的です (不連続性はありません)。

株価のモデリング以外にも、幾何ブラウン運動は取引戦略の監視にも応用されています。^[5]

GBM を株価モデルとしてより現実的なものにする試みとして、ボラティリティ スマイル問題との関連でも、ボラティリティ ( ) が一定であるという仮定を捨てることができる。ボラティリティが株価と時間の決定論的関数であると仮定すると、これはローカル ボラティリティモデルと呼ばれる。ブラック ショールズ GBM の直接的な拡張は、分布が GBM の分布の混合であるローカル ボラティリティ SDE であり、対数正規混合ダイナミクスはオプションのブラック ショールズ価格の凸結合をもたらす。^{[3] [6] [7] [8]}代わりに、ボラティリティが独自のランダム性を持っていると仮定すると (多くの場合、異なるブラウン運動によって駆動される異なる方程式によって記述される)、モデルは確率的ボラティリティモデルと呼ばれる。たとえば、ヘストン モデルを参照。^[9]${\displaystyle \sigma }$

• ブラウン運動面

• まれなイベントを除く株価の動きに対する幾何ブラウン運動モデル。
• 株価をシミュレートする幾何ブラウン運動の Excel シミュレーション
• 「インタラクティブ Web アプリケーション: 定量的ファイナンスで使用される確率過程」。2015 年 9 月 20 日にオリジナルからアーカイブ。2015 年 7 月 3 日に取得。
• 非ニュートン微積分学のウェブサイト
• 取引戦略のモニタリング: PnL を幾何ブラウン運動としてモデル化する