マーケットデザイン

マーケットデザインは、経済学に対する学際的な^[1]工学主導の^{[2]アプローチであり、特定の特性を持つ市場を創出するための実用的な方法論であり、部分的に}メカニズムデザインに基づいています。^[3]マーケットデザインでは、交換のルール、つまり誰が何をどのような手順で割り当てられるかに焦点が当てられています。マーケットデザインは、特定の市場の仕組みに関係しており、市場が壊れている場合はそれを修復し、市場が欠けている場合は市場を構築します。^[4]マーケットデザイン理論の実際の応用には、労働市場のマッチング（国家レジデンシーマッチプログラムなど）、臓器移植、学校選択、大学入学などがあります。

オークションに関する初期の研究は、2 つの特殊なケース、すなわち買い手がアイテムの真の価値のプライベート シグナルを持つ共通価値オークションと、価値が同一かつ独立に分布するプライベート価値オークションに焦点を当てていました。Milgrom と Weber (1982) は、正の相関値を持つオークションのより一般的な理論を提示しています。n 人の買い手はそれぞれプライベートシグナル を受け取ります。買い手iの価値は において厳密に増加し 、 は の増加する対称関数です。シグナルが独立かつ同一に分布している場合、買い手iの期待値は他の買い手のシグナルとは無関係です。したがって、買い手の期待値は独立かつ同一に分布します。これが標準的なプライベート価値オークションです。このようなオークションでは、収益等価定理が成り立ちます。つまり、予想収益は封印されたファーストプライス オークションとセカンドプライス オークションで同じです。 ${\displaystyle {{x}_{i}}}$${\displaystyle \phi ({{x}_{i}},{{x}_{-i}})}$${\displaystyle {{x}_{i}}}$${\displaystyle {{x}_{-i}}}$${\displaystyle {{v}_{i}}={{E}_{{x}_{-i}}}\{\phi ({{x}_{i}},{{x}_{-i}})\}}$

ミルグロムとウェーバーは、プライベートシグナルは「関連している」と仮定した。2人の買い手がいる場合 、ランダム変数と確率密度関数は 、${\displaystyle {{v}_{1}}}$${\displaystyle {{v}_{2}}}$${\displaystyle f({{v}_{1}},{{v}_{2}})}$

${\displaystyle f({{v}_{1}}^{\prime },{{v}_{2}}^{\prime })f({{v}_{1}},{{v}_{2}})\geq f({{v}_{1}},{{v}_{2}}^{\prime })f({{v}_{1}}^{\prime },{{v}_{2}})}$、すべての人々のために。${\displaystyle v}$${\displaystyle {v}'<v}$

ベイズの定理を適用すると 、すべておよびすべてに対して となります。 ${\displaystyle f({{v}_{2}}^{\prime }|{{v}_{1}}^{\prime })f({{v}_{2}}|{{v}_{1}})\geq f({{v}_{2}}|{{v}_{1}}^{\prime })f({{v}_{2}}^{\prime }|{{v}_{1}})}$${\displaystyle v}$${\displaystyle {v}'<v}$

この不等式を整理し、それ について積分すると、次のようになる。${\displaystyle {{v}_{2}}^{\prime }}$

${\displaystyle {\frac {F({{v}_{2}}|{{v}_{1}}^{\prime })}{f({{v}_{2}}|{{v}_{1}}^{\prime })}}\geq {\frac {F({{v}_{2}}|{{v}_{1}})}{f({{v}_{2}}|{{v}_{1}})}}}$、すべての 人々のために。（１）${\displaystyle {{v}_{2}}}$${\displaystyle {{v}_{1}}^{\prime }<{{v}_{1}}}$

以下の議論において重要なのは、この所属関係の含意です。

2つ以上の対称分布するランダム変数について、結合確率密度関数f(v )で連続的に分布するランダム変数の集合とする。n個のランダム変数は、 ${\displaystyle V=\{{{v}_{1}},...,{{v}_{n}}\}}$

${\displaystyle f({x}',{y}')f(x,y)\geq f(x,{y}')f({x}',y)}$ すべての に対して、において と なります。${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle ({x}',{y}')}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle ({x}',{y}')<(x,y)}$

^[5]）

n人の買い手それぞれがプライベート シグナル を受信するとします。買い手iの価値は で厳密に増加し 、 の増加対称関数です。シグナルが関連している場合、密封された第一価格オークションの均衡入札関数は、密封された第二価格オークションの均衡予想支払額よりも小さくなります。 ${\displaystyle {{x}_{i}}}$${\displaystyle \phi ({{x}_{i}},{{x}_{-i}})}$${\displaystyle {{x}_{i}}}$${\displaystyle {{x}_{-i}}}$${\displaystyle {{b}_{i}}=B({{x}_{i}})}$

この結果の直観は次のようになります。密封された第 2 価格オークションでは、価値vを持つ落札者の予想支払額は、落札者自身の情報に基づきます。収益等価定理により、すべての購入者が同じ信念を持っていれば、収益等価になります。ただし、価値が関連している場合、価値vを持つ購入者は、より低い価値を持つ購入者が価値の分布についてより悲観的な信念を持っていることを知っています。したがって、密封された高額入札オークションでは、そのような低い価値の購入者は、同じ信念を持っている場合よりも低い価格で入札します。したがって、価値vを持つ購入者はそれほど激しく競争する必要がなく、同様に低い価格で入札します。したがって、情報効果により、密封された第 1 価格オークションでの落札者の均衡支払額が低下します。

ここでは、2人の買い手がいて、それぞれの買い手の価値が自分のシグナルにのみ依存する最も単純なケースを考察する。この場合、買い手の価値は非公開で関連している。封印された第2価格オークション（またはヴィックレイオークション）では、各買い手が自分の価値で入札することが支配的な戦略である。両方の買い手がそうした場合、価値vの買い手は期待支払額が ${\displaystyle {{v}_{i}}=\phi ({{x}_{i}})}$

${\displaystyle e(v)={\frac {\int \limits _{0}^{v}{}yf(y|v)dy}{F(v|v)}}}$ （２） .

封印された第一価格オークションでは、入札戦略が相互に最善の応答である場合、入札関数 B ( v ) は均衡です。つまり、買い手 1 が価値 v を持っている場合、相手が同じ入札関数を使用していると信じる場合、最善の応答は b = B ( v )に入札することです。買い手1が逸脱して、 B ( v )ではなく b = B ( z )に入札したとします。U(z) を結果として得られる利得とします。B ( v ) が均衡入札関数であるためには、U ( z ) がx = vで最大値をとる必要があります。入札額がb = B ( z )の場合、買い手 1 が勝つのは、次の場合です。

${\displaystyle B({{v}_{2}})<B(z)}$つまり、 の場合です 。${\displaystyle {{v}_{2}}<z}$

すると、勝率は次の ようになるので、買い手1の期待利益は ${\displaystyle w=F(z|v)}$

${\displaystyle U(z)=w(v-B(z))=F(z|v)(v-B(z))}$。

対数をとってzで微分すると、

${\displaystyle {\frac {{{U}^{\prime }}(z)}{U(z)}}={\frac {{w}'(z)}{w(z)}}-{\frac {{B}'(z)}{v-B(z)}}={\frac {f(z|v)}{F(z|v)}}-{\frac {{B}'(z)}{v-B(z)}}}$（３）

右辺第1項は、買い手が入札額を から に引き上げた場合の勝率の比例的な増加です 。 第2項は、買い手が勝った場合の報酬の比例的な減少です。均衡のためには、 U ( z )はz = vで最大になる必要があると主張しました。(3)のzに を代入し、導関数をゼロに設定すると、次の必要条件が得られます。 ${\displaystyle B(z)}$${\displaystyle B(z+\Delta z)}$

${\displaystyle {B}'(v)={\frac {f(v|v)}{F(v|v)}}(v-B(v))}$（４）

価値xを持つ買い手1は条件付き確率密度関数を持っている。彼は他の買い手全員が同じ信念を持っていると素朴に信じていると仮定する。封印された最高入札オークションでは、彼はこれらの素朴信念を使用して均衡入札関数を計算する。上記のように議論すると、条件(3)は次のようになる。 ${\displaystyle f({{v}_{2}}|x)}$

${\displaystyle {\frac {{{U}^{\prime }}(z)}{U(z)}}={\frac {f(z|x)}{F(z|x)}}-{\frac {{B}'(z)}{v-B(z)}}}$. (3分)

x > vなので、より高い価値により高い質量を置くという素朴な信念の下では、より高い入札に対する比例ゲインが大きいことが帰結します（条件（1）を参照）。前と同じように議論すると、均衡の必要条件は、（3'）がx = vでゼロになる必要があることです。したがって、均衡入札関数は次の微分方程式を満たします。 ${\displaystyle {{B}_{x}}(v)}$

${\displaystyle {{B}_{x}}^{\prime }(v)={\frac {f(v|x)}{F(v|x)}}(v-{{B}_{x}}(v))}$（５）

収益等価定理によれば、すべての買い手が同じ分布から独立して値を引き出す場合、2 つのオークションでの勝者の予想支払額は同じになります。したがって、 。したがって、証明を完了するには、 を確立する必要があります。 (1) によれば、(4) と (5) から、すべてのv < xに対して が成り立ちます。 ${\displaystyle {{B}_{x}}(x)=e(x)}$${\displaystyle B(x)\leq {{B}_{x}}(x)}$

${\displaystyle {{B}_{x}}^{\prime }(v)\geq \left({\frac {v-{{B}_{x}}(v)}{v-B(v)}}\right)B(v)}$

したがって、区間[0,x]内の 任意のvに対して

${\displaystyle B(v)-{{B}_{x}}(v)>{{0}_{}}{{\Rightarrow }_{}}{B}'(v)-{{B}_{x}}^{\prime }(v)<0}$。

と仮定する 。価値0の買い手の均衡入札額は0なので、y < xが存在し、 ${\displaystyle B(x)>{{B}_{x}}(x)}$

1. ${\displaystyle {}B(y)-{{B}_{x}}(y)={{0}_{}}}$そして
2. ${\displaystyle {}B(v)-{{B}_{x}}(v)>0{{,}_{}}\forall v\in [y,x]}$。

しかし、このような間隔ではが減少することを示したばかりなので、これは不可能です。つまり、密封された最高入札オークションでは、落札者の予想支払額が低くなるということです。 ${\displaystyle B(v)-{{B}_{x}}(v)}$${\displaystyle {{B}_{x}}(x)=e(x)}$

ミルグロムは、組み合わせオークションの理解にも貢献しています。ラリー・オーズベルとの共同研究 (オーズベルとミルグロム、2002) では、代替品または補完品である可能性のある複数のアイテムのオークションが検討されています。彼らは、次のように構築される「昇順プロキシオークション」というメカニズムを定義しています。各入札者は、入札者が関心を持つすべてのパッケージについて、プロキシエージェントに自分の値を報告します。予算の制約も報告できます。次に、プロキシエージェントは、実際の入札者に代わってパッケージ入札を行う昇順オークションで入札し、報告された値に基づいて、受け入れられた場合に実際の入札者の利益 (価値から価格を引いたもの) を最大化する許容入札を繰り返し提出します。オークションは、無視できるほど小さな入札増分で実施されます。各ラウンドの後に、入札の実現可能な組み合わせからの総収益を最大化する暫定的な落札入札が決定されます。入札者の入札はすべて、オークション中はライブで保持され、相互に排他的として扱われます。オークションは、新しい入札がないラウンドが 1 回発生すると終了します。上昇プロキシオークションは、動的な組み合わせオークションのコンパクトな表現として、または実用的な直接メカニズムとして見ることができます。これは、ミルグロムが後に「コア選択オークション」と呼ぶものの最初の例です。

彼らは、報告された値の集合に関して、昇順代理オークションは常にコア結果、つまり実行可能でブロックされていない結果を生成することを証明しています。さらに、入札者の値が代替条件を満たす場合、正直な入札は昇順代理オークションのナッシュ均衡であり、 Vickrey–Clarke–Groves（VCG）メカニズムと同じ結果をもたらします。ただし、代替条件は、必要条件であると同時に十分条件でもあります。つまり、1人の入札者の値が代替条件に違反する場合、加算的に分離可能な値を持つ他の3人の入札者を適切に選択すると、VCGメカニズムの結果はコアの範囲外になります。そのため、昇順代理オークションはVCGメカニズムと一致できず、正直な入札はナッシュ均衡にはなり得ません。彼らはまた、代替品の選好の完全な特徴付けを提供します。間接効用関数が劣モジュラである場合に限り、商品は代替品です。

Ausubel と Milgrom (2006a、2006b) は、これらのアイデアを詳しく説明しています。これらの記事の最初の「素敵だけど孤独な Vickrey オークション」は、市場設計において重要な点を指摘しています。VCG メカニズムは、理論上は非常に魅力的ですが、代替条件に違反するといくつかの弱点が生じる可能性があり、実験的な応用には適していません。特に、VCG メカニズムには、売り手の収益が低い (またはゼロ)、入札者セットと入札額における売り手の収益が単調ではない、負けた入札者の連合による共謀の脆弱性、および 1 人の入札者が複数の入札 ID を使用する脆弱性が見られる可能性があります。これが、VCG オークション設計が理論上は非常に魅力的であるにもかかわらず、実際には非常に孤独である理由を説明している可能性があります。

ミルグロムがラリー・オーズベル、ピーター・クラムトンと共同で行ったこの分野での追加研究は、実際の市場設計に特に大きな影響を与えました。オーズベル、クラムトン、ミルグロム (2006) は共同で、現在ではコンビナトリアル クロック オークション(CCA) と呼ばれる新しいオークション形式を提案しました。これは、クロック オークション ステージとそれに続く密封入札補足ラウンドで構成されます。すべての入札はパッケージ入札として解釈され、最終的なオークション結果はコア選択メカニズムを使用して決定されます。CCA は、2008 年の英国の 10～40 GHz スペクトル オークションで初めて使用されました。それ以来、CCA はスペクトル オークションの新しい標準となり、オーストリア、デンマーク、アイルランド、オランダ、スイス、英国の主要なスペクトル オークションで利用され、オーストラリアとカナダの今後のオークションでも使用される予定です。

2008年のネマーズ賞会議では、ペンシルベニア州立大学の経済学者ビジェイ・クリシュナ氏^[6]とラリー・オーズベル氏^[7]が、ミルグロム氏のオークション理論への貢献とそれがオークション設計に与えた影響について強調した。

経済理論によれば、一定の条件下では、すべての経済主体の自発的な交換が、交換に従事する人々の最大の福祉につながる。しかし、現実には状況は異なり、私たちは通常、市場の失敗に直面し、もちろん、混雑した市場、不快な市場、^[8]、安全でない市場などの条件や制約に直面することもあります。これは、市場設計者が最適な状況を実現するために特定のルールと制約を備えたインタラクティブなプラットフォームを作成しようとする場合です。このようなプラットフォームは、最大の効率と社会への利益をもたらすと主張されています。

マッチングとは、市場の両側、つまり商品やサービスの需要者と供給者の間に適切な関係を確立するという考え方を指します。この理論は、経済的な相互作用において誰が何を達成するかを探ります。^[9]マッチングの考え方は、シャプレーやゲイルなどの数学者による理論的努力の形で現れました。それはロスなどの経済学者の努力によって成熟し、現在では市場設計とマッチングはミクロ経済学とゲーム理論の最も重要な分野となっています。

ミルグロムは、マッチング市場の設計の理解にも貢献しました。ジョン・ハットフィールドとの共同研究 (ハットフィールドとミルグロム、2005) では、安定した結婚マッチング問題を一般化して「契約によるマッチング」を可能にする方法を示しました。このマッチングでは、市場の両側のエージェント間のマッチング条件がマッチングプロセスを通じて内生的に発生します。彼らは、デビッド・ゲイルとロイド・シャプレーの延期承認アルゴリズムを適切に一般化すると、彼らの設定で安定したマッチングが見つかること、さらに、安定したマッチングの集合が格子を形成し、同様の空席チェーンダイナミクスが存在することを示しています。

安定したマッチングが格子であるという観察は、マッチングモデルを一般化する洞察の鍵となるよく知られた結果でした。彼らは（他の同時代の著者と同様に）、安定したマッチングの格子が、完全な格子からそれ自身への増加関数には、完全な格子を形成する空でない固定点の集合があるというタルスキの不動点定理の結論を彷彿とさせることに気づきました。しかし、何が格子で、何が増加関数であるかは明らかではありませんでした。ハットフィールドとミルグロムは、累積されたオファーと拒否が格子を形成し、オークションでの入札プロセスと延期承認アルゴリズムがこの格子の増加関数である累積的なオファープロセスの例であることを観察しました。

一般化により、特定のパッケージオークション（ポール・ミルグロム：ポリシーも参照）は、契約によるマッチングの特殊なケースとして考えることができることも示されています。このケースでは、市場の片側にはエージェント（競売人）が 1 人しかおらず、契約には譲渡されるアイテムと譲渡価格の合計の両方が条件として含まれています。このように、市場設計の 2 つの大きな成功例、医療マッチングに適用された延期承認アルゴリズムと、FCC スペクトルオークションに適用された同時上昇オークションは、数学的に深いつながりがあります。さらに、この研究（特に、延期承認アルゴリズムの「累積オファー」バリエーション）は、日本の研修医と病院のマッチング^[10]や、米国陸軍の士官候補生と支部のマッチングに使用されるメカニズムの最近提案された再設計の基礎となっています。^[11]

一般的に、マーケットデザイナーが研究するトピックは、マッチング市場におけるさまざまな問題に関連しています。アルヴィン・ロスは、市場参加者のマッチングにおける障害を3つの主要なカテゴリーに分類しています。^{[12] [13]}

1. 時には、「市場の薄さ」のために市場参加者がお互いのことを知らないことがあります。この場合、市場は十分な厚みが不足しています。
2. 場合によっては、市場の混雑と市場参加者がお互いを知る機会の不足が機能不全の原因となることがあります。このような場合、市場の過密により、市場関係者は好みのオプションを選択する時間が十分にありません。
3. 一部の市場では、特別な取り決めにより、市場参加者による戦略的な行動の可能性があり、そのため人々は自分の好みをあまり反映しません。このような場合、市場は実際の好みを表現するのに安全ではありません。

これらの問題に直面した市場設計者の解決策は、市場参加者の選好情報を受け取り、適切なマッチングアルゴリズムを使用するための中央決済機関の設立を提案することです。情報の集約、いくつかのルールの設計、およびこれらのアルゴリズムの使用は、市場参加者の適切なマッチング、市場環境の安全性、および市場配分の改善につながります。この定式化では、メカニズムは、事前に決定されたルールと市場参加者から受信したシグナルに基づいてこの相互作用の結果を決定する、経済的相互作用の当事者間の通信システムとして機能します。^[14]したがって、市場設計の目的は、単にゲームのルールを決定してゲームの結果を最適化することです。

前述のように、一部の市場では、価格設定メカニズムによってリソースが最適に割り当てられない場合があります。そのような市場の 1 つが労働市場です。通常、雇用主または企業は、労働市場の需要と供給が等しくなるほどに提示賃金を下げることはありません。企業にとって重要なのは、まさに「最も適切な労働者」を選択することです。一部の労働市場では、「最も適切な雇用主」を選択することは、求職者にとっても重要です。市場参加者に互いの好みを伝えるプロセスが中断されるため、市場のパフォーマンスを向上させるようにルールを設計する必要があります。

マッチングのもう 1 つの重要な応用は、腎臓移植市場です。腎臓移植の申請者は、適合する腎臓が不足するという問題にしばしば直面します。市場設計者は、腎臓申請者と腎臓提供者をマッチングするシステムを設計することで、腎臓交換市場をより効率的にしようとします。腎臓申請者と提供者間の一般的な 2 つのコミュニケーション タイプは、チェーン交換システムと循環交換システムです。循環交換では、腎臓提供者と受信者が腎臓交換のサイクルを形成します。

ミルグロムは、実際の市場設計においてメッセージ空間を単純化することの効果の理解に貢献しました。彼は、多くの市場の重要な設計要素として、融合という概念に注目し、発展させました。融合とは、参加者がさまざまな好みに対して同じ値を入力するように強制することで、参加者の豊富な好みを伝える能力を制限するという考え方です。融合の例は、病院と医師のマッチングに関するゲイルとシャプレーの延期承認アルゴリズムに見られます。このアルゴリズムでは、病院は、一般的な代替の好みを提出するよう求められる可能性があるにもかかわらず、応答的な好み (つまり、医師とキャパシティのランキング) のみを提出できます。インターネットのスポンサー付き検索オークションでは、広告主は、どの広告位置を獲得するかに関係なく、クリック単価を 1 回だけ提出できます。類似の、より以前のアイデアである、融合された汎用品目のオークションは、組み合わせクロックオークション（Ausubel、Cramton、Milgrom、2006）の重要な構成要素であり、英国の最近の800MHz / 2.6GHzオークションを含むスペクトルオークションで広く使用されており、インセンティブオークションにも提案されています。^[16]入札 者は、オークションの割り当て段階で、特定の割り当て（後の割り当て段階で決定されます）に関係なく、周波数の量のみを表明できます。Milgrom（2010）は、特定の「結果の閉鎖性」により、融合によって均衡として新しい意図しない結果が追加されないことを示し、市場が厚くなることで価格競争が激化し、収益が増加する可能性があると主張しました。

メッセージを単純化するというアイデアの具体的な応用として、ミルグロム (2009) は嗜好の割り当てメッセージを定義しています。割り当てメッセージでは、エージェントは、さまざまな代替可能性を伴う特定の非線形嗜好を線形目標にエンコードできます。これは、オブジェクトが効用を生成する際に果たすことができる複数の「役割」をエージェントが記述できるようにすることで実現され、生成された効用が合計されます。オブジェクトのセットに対する評価は、オブジェクトをさまざまな役割に最適に割り当てることで達成できる最大値です。割り当てメッセージは、金銭を使わないリソース割り当てにも適用できます。たとえば、Budish、Che、Kojima、および Milgrom (2013) が分析した学校でのコース割り当ての問題を参照してください。そうすることで、この論文はバーコフ-フォン ノイマン定理 (二重確率行列に関する数学的特性) の一般化を提供し、それを適用して、特定のランダム割り当てが実行可能な決定論的結果に対する抽選として「実装」できる場合を分析しました。

より一般的な言語である、付与された割り当てメッセージは、ハットフィールドとミルグロム (2005) によって研究されています。ミルグロムは、ミルグロム (2011) でこれらの問題の概要を示しています。

• 経済メカニズムの設計

• ネマー賞講演、2008年
• 全米科学財団 LiveScience プログラム インタビュー、2012 年