利回り曲線

利回り曲線は、比較可能な一連の債務証券の利回りと満期までの期間の関係を示します。実際には、この用語は通常、信用力やその他の特徴が可能な限り類似するように、単一の発行体または市場セグメントから構築された曲線を指し、たとえば米国財務省の国債の利回り曲線などです。^{[ 1 ]}

さまざまな市場は、さまざまな目的で関連するカーブを公表しています。一般的な例としては、国債カーブ、翌日物インデックススワップカーブ、金利スワップカーブなどがあります。これらのカーブ群は、中央銀行やデータプロバイダーが各市場の金融商品の価格から作成し、構造上、同一カーブ群内で比較可能なように維持されています。^{[ 2 ]}

アナリストは、10年物米国債利回りと3ヶ月物米国債利回りの差などの「期間スプレッド」で、金利曲線の形状を要約することが多い。中央銀行は、持続的な逆転が歴史的に米国の景気後退に先行しており、単純な景気後退確率モデルで使用されるため、これらの指標を追跡している。^{[ 3 ] [ 4 ]}

利回り曲線は金利の期間構造と密接に関係している。公式の情報源では、ゼロクーポンまたは「スポット」曲線、インプライドフォワード曲線、パー利回り曲線など、利回り曲線を要約するいくつかの方法が区別されており、それぞれ同じ基礎価格から導出される。^{[ 1 ]}

傾斜は、期間スプレッドで要約されることが多い。一般的な選択肢は、10年物米国債利回りから3ヶ月物米国債利回りを引いた値（ニューヨーク連銀の慣例）である。10年物米国債利回りから2年物米国債利回りを引いた値など、他のペアも実際に使用されている。^{[ 5 ]}スプレッドが広いほど、傾斜が急であることを示す。^{[ 6 ]}

There are two common explanations for upward sloping yield curves. First, it may be that the market is anticipating a rise in the risk-free rate. If investors hold off investing now, they may receive a better rate in the future. Therefore, under the arbitrage pricing theory, investors who are willing to lock their money in now need to be compensated for the anticipated rise in rates—thus the higher interest rate on long-term investments. Another explanation is that longer maturities entail greater risks for the investor (i.e. the lender). A risk premium is needed by the market, since at longer durations there is more uncertainty and a greater chance of events that impact the investment. This explanation depends on the notion that the economy faces more uncertainties in the distant future than in the near term. This effect is referred to as the liquidity spread. If the market expects more volatility in the future, even if interest rates are anticipated to decline, the increase in the risk premium can influence the spread and cause an increasing yield.

The opposite situation can also occur, in which the yield curve is "inverted", with short-term interest rates higher than long-term. For instance, in November 2004, the yield curve for UK Government bonds was partially inverted. The yield for the 10-year bond stood at 4.68%, but was only 4.45% for the 30-year bond. The market's anticipation of falling interest rates causes such incidents. Negative liquidity premiums can also exist if long-term investors dominate the market, but the prevailing view is that a positive liquidity premium dominates, so only the anticipation of falling interest rates will cause an inverted yield curve. Strongly inverted yield curves have historically preceded economic recessions.

The shape of the yield curve is influenced by supply and demand: for instance, if there is a large demand for long bonds, for instance from pension funds to match their fixed liabilities to pensioners, and not enough bonds in existence to meet this demand, then the yields on long bonds can be expected to be low, irrespective of market participants' views about future events.

The yield curve may also be flat or hump-shaped, due to anticipated interest rates being steady, or short-term volatility outweighing long-term volatility.

Yield curves continually move all the time that the markets are open, reflecting the market's reaction to news. A further "stylized fact" is that yield curves tend to move in parallel; i.e.: the yield curve shifts up and down as interest rate levels rise and fall, which is then referred to as a "parallel shift".

Types of yield curve

全ての人にとっての資金調達コストを表す単一の利回り曲線は存在しません。利回り曲線を決定する上で最も重要な要素は、証券の通貨です。各通貨を使用する国や企業の経済状況は、利回り曲線を決定する主要な要因となります。様々な機関は、信用力に応じて異なる利率で資金を借り入れます。

政府が自国通貨で発行する債券の利回り曲線は、国債利回り曲線（政府利回り曲線）と呼ばれます。銀行やその他の発行体は、銀行間資金調達やデリバティブの価格を反映したスワップ曲線に基づいて価格が提示され、通常は同じ通貨の国債利回り曲線よりも上に位置します。市場参加者はこれをスワップ曲線と呼びます。スワップ曲線の構成については、以下で説明します。

政府金利曲線とLIBOR金利曲線の他に、企業金利曲線も存在します。これらは企業が発行する債券の利回りから算出されます。企業はほとんどの政府や大手銀行よりも信用力が低いため、これらの利回りは通常高くなります。企業金利曲線は、関連するスワップ曲線に対する「クレジットスプレッド」として表示されることがよくあります。例えば、ボーダフォンの5年物金利曲線はLIBOR +0.25%と表示されることがありますが、0.25%（多くの場合25ベーシスポイントまたは25bpsと表記）がクレジットスプレッドです。

通常の利回り曲線

大恐慌後から現在に至るまで、イールドカーブは通常「正常」であり、満期が長くなるにつれて利回りが上昇します（つまり、イールドカーブの傾きは正です）。正の傾きは、将来の短期金利の上昇予想と、インフレや長期金利に関する不確実性を補償する期間プレミアムと整合しています。正の傾きを持つカーブでは、債券が満期が短くなるにつれて利回りが通常低下し、価格が上昇するため、利回りが変わらない場合はリターンに貢献します。^{[ 7 ]}

しかし、イールドカーブが常に正の傾きを持つ状態であったわけではありません。19世紀の大部分から20世紀初頭にかけて、米国経済はインフレではなく、持続的なデフレを伴うトレンド成長を経験しました。この期間、イールドカーブは通常逆イールドとなり、デフレによって現在のキャッシュフローの価値が将来のキャッシュフローよりも低くなる（つまり、1ドルの購買力が時間とともに増加する）ことを反映していました。このような持続的なデフレの期間には、「正常な」イールドカーブは負の傾きを持っていました。

急勾配の利回り曲線

歴史的に見ると、20年物米国債の利回りは、3ヶ月物米国債の利回りを平均して約2パーセントポイント上回っています。この差が拡大する状況（例えば、20年物米国債の利回りが3ヶ月物米国債の利回りを大幅に上回る場合）では、将来的に経済が急速に改善すると予想されます。このような利回り曲線は、景気拡大の初期（または景気後退の終息後）に見られます。この場合、経済停滞によって短期金利は低下しますが、経済活動の活発化によって資本需要が回復すると、金利は上昇し始めます。

2010年1月、2年物米国債と10年物米国債の利回り差は2.92パーセントポイントに拡大し、過去最高を記録した。

平坦または山型のイールドカーブ

イールドカーブが平坦になるのは、すべての満期の利回りがほぼ同じ場合です。一方、短期と長期の利回りが等しく、中期の利回りが短期と長期の利回りよりも高い場合は、ハンプドカーブとなります。平坦なカーブは、経済の不確実性を示すシグナルです。この混合シグナルは、通常のカーブに戻る場合もあれば、後に逆イールドカーブになる場合もあります。これは、後述するセグメント市場理論では説明できません。

逆イールドカーブ

異例の状況下では、投資家は近い将来に景気後退に陥ると考える場合、低リスクの長期債に伴う低い利回りでも受け入れるだろう。例えば、S&P500指数は2007年半ばに急落したが、2013年初頭には完全に回復した。2006年に10年物米国債を購入していた投資家は、2015年まで安全で安定した利回りを得ることができ、この変動の激しい時期に株式に投資していた投資家よりも高いリターンを得られた可能性がある。

経済学者キャンベル・ハーベイの1986年の博士論文^{[ 8 ]}は、逆イールドカーブが米国の景気後退を正確に予測することを示した。逆イールドカーブは1970年以降、8回にわたって将来の経済状況の悪化を示唆してきた。^{[ 9 ]}

逆イールドカーブは、経済の衰退を示唆する可能性があるだけでなく、市場がインフレ率が低いまま推移すると考えていることも意味します。これは、たとえ景気後退が起こっても、低い債券利回りは低いインフレ率によって相殺されるためです。しかし、安全資産への逃避や世界経済・通貨情勢などの技術的な要因により、イールドカーブの長期部分における債券需要が増加し、長期金利が低下する可能性があります。短期金利の上昇がある中で長期金利が低下する現象は、「グリーンスパンの難問」として知られています。^{[ 10 ]}

イールドカーブの傾きは、将来の経済成長、インフレ、景気後退を予測する最も強力な指標の1つです。 ^{[ 11 ] [ 12 ]}イールドカーブの傾きの1つの指標（10年物米国債利回りと3ヶ月物米国債利回りの差）は、セントルイス連邦準備銀行が発行する金融ストレス指数に含まれています。^{[ 13 ]}別の傾きの指標（10年物米国債利回りとフェデラルファンド金利の差）は、コンファレンスボードが発行する景気先行指標指数に組み込まれています。^{[ 14 ]}

逆イールドカーブは景気後退の前兆となることが多い。正の傾きのイールドカーブはインフレ成長の前兆となることが多い。アルトゥーロ・エストレラとトビアス・エイドリアンの研究は、逆イールドカーブが景気後退を予測する力を持つことを明らかにした。彼らのモデルは、連邦準備制度理事会の金融引き締めサイクルの終わりに短期金利（彼らは3ヶ月物米国債を使用）と長期金利（10年物米国債）の差がマイナスまたは93ベーシスポイント未満のプラスである場合、通常は失業率の上昇が起こることを示している。^{[ 15 ]}ニューヨーク連銀は、イールドカーブから導き出された、エストレラの研究に基づく景気後退確率予測を毎月公表している。

1970 年以降の米国の景気後退はすべて、逆イールドカーブ (10 年対 3 か月) に先行して発生しています。同じ期間において、逆イールドカーブが発生した後は必ず、NBER の景気循環日付委員会によって景気後退が宣言されています。^{[ 16 ]} 2019 年前半には、2007 年以来初めてイールドカーブが逆転しました。^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}

エストレラらは、イールドカーブが銀行（または銀行のような金融機関）のバランスシートを通じて景気循環に影響を与えると提唱している。 ^{[ 20 ]}イールドカーブが逆転すると、銀行は新規の長期ローンで得られる収益よりも短期預金（またはその他の短期卸売資金調達形態）で支払う金額の方が多くなり、収益性の低下と融資への消極性につながり、信用収縮を引き起こす。イールドカーブが右肩上がりの場合、銀行は短期預金を利益を上げて受け入れ、新規の長期ローンを行うことができるため、借り手に積極的に信用を提供する。これが最終的に信用バブルにつながる。

利回りが満期によってどのように変化するかを説明しようとする主な経済理論は3つある。そのうち2つは極端な立場であり、3つ目はその2つの中間的な立場を見出そうとするものである。

利回り曲線の一般的な表現は、将来のすべての時点tで定義される関数 P を用いて表されます。P ( t ) は、 t年後に1 単位の通貨を受け取る場合の今日の価値を表します。P が将来のすべての時点tで定義されている場合、次の式を用いて、その期間の借入利回り (すなわち年率換算の金利) を容易に求めることができます。

${\displaystyle Y(t)=P(t)^{-1/t}-1.}$

したがって、利回り曲線を定義する上で最も難しいのは、関数 P( t ) を決定することである。P は割引係数関数、またはゼロクーポン債と呼ばれる。

利回り曲線は、債券市場またはマネーマーケットで入手可能な価格から作成されます。債券市場から作成される利回り曲線は、特定の種類の債券（例えば、英国政府が発行する債券）の価格のみを使用しますが、マネーマーケットから作成される利回り曲線は、曲線の「短期」部分（t  ≤  3ヶ月）を決定する今日のLIBORレートの「現金」価格、曲線の中間部分（3ヶ月 ≤ t ≤ 15ヶ月）を決定する金利先物、および「長期」部分（1年≤ t ≤ 60年）を決定する金利スワップの価格を使用します。       

右の表に示されている例は、 LIBOR レートまたはスワップレートを使用して構築されるため、LIBORカーブとして知られています。LIBOR カーブは、A+ 程度の格付けの民間企業の信用価値を表すため、最も広く使用されている金利カーブであり、これは商業銀行とほぼ同等です。LIBOR とスワップレートを国債利回りに置き換えると、政府カーブと呼ばれるものが得られ、これは通常、原通貨のリスクフリー金利カーブとみなされます。LIBOR (またはスワッ) レートと満期が同じ国債利回りとのスプレッドは通常プラスであり、民間の借り入れは政府の借り入れよりもプレミアム付きであることを意味します。このスプレッドは、2 種類の借り入れに対する貸し手のリスク許容度の差の尺度です。米国市場では、このようなスプレッドの一般的なベンチマークは、いわゆるTED スプレッドによって与えられます。

いずれの場合も、利用可能な市場データはキャッシュフローの行列Aを提供し、各行は特定の金融商品を表し、各列は時点を表します。行列の ( i , j ) 番目の要素は、商品i がj日に支払う金額を表します。ベクトルF が商品の今日の価格を表すとします (つまり、i番目の商品の値はF ( i ) です)。割引係数関数Pの定義により、 F = APとなります(これは行列の乗算です)。実際には、金融市場のノイズにより、この方程式を正確に解くPを見つけることは不可能であり、私たちの目標は、次のようなベクトルPを見つけることになります。

${\displaystyle AP=F+\バレプシロン \,}$

どこ${\displaystyle \varepsilon }$は可能な限り小さいベクトルである（ベクトルの大きさは、例えばそのノルムを取ることによって測定される）。

この方程式を解くことができたとしても、 P ( t )が決定できるのは、曲線を作成する際に参考にしている元の金融商品のうち、1つ以上からキャッシュフローが発生するtの値に限られます。その他のtの値は、通常、何らかの補間法を用いて決定されます。

実務家や研究者は、A*P = F 方程式を解くための多くの方法を提案してきました。最も自然な方法は、${\displaystyle \epsilon }$最小二乗回帰法を用いると、満足のいく結果が得られない。行列Aに多数のゼロが含まれているため、関数Pは「でこぼこ」した形状になる。

ジェームズとウェバーは、金利モデリングに関する包括的な著書の中で、Pを求める問題を解決するために以下の手法が提案されていると述べている。

1. ラグランジュ多項式を用いた近似
2. パラメーター化された曲線（スプライン、ネルソン・シーゲル族、スベンソン族、指数多項式^{[ 21 ]}族、またはケアンズ制限指数族曲線など）を使用してフィッティングします。Van Deventer、Imai、Meslerは、フォワード金利、ゼロクーポン債価格、またはゼロクーポン債利回りのいずれかの最大平滑性を満たす曲線フィッティングの3つの異なる手法をまとめています。
3. カーネルを用いた局所回帰
4. 線形計画法

金融市場の実務家は、金利曲線の異なる領域を解くために、異なる手法を用いる場合がある。例えば、キャッシュフローが少ない短期金利曲線では、Pの最初のいくつかの要素は、ブートストラップ法を用いて一つずつ求めることで得られる。長期金利曲線では、平滑性を評価するコスト関数を用いた回帰分析手法が用いられる可能性がある。

ブートストラップ法は、イールドカーブの正確な非パラメトリック抽出を提供するが、不安定またはギザギザのフォワードカーブになる可能性がある。より滑らかで、より経済的に直感的な期間構造を実現するために、アナリストはパラメトリックモデルに目を向ける。ネルソン・シーゲル・スベンソン（NSS）モデルは、観測された債券価格または金利からイールドカーブを適合および補間するための広く使用されているフレームワークである。これは、ネルソンとシーゲル（1987）の3因子モデル^{[ 22 ]}を拡張したもので、イールドカーブを、レベル、傾き、曲率の3つのコンポーネントで記述し、それぞれが指数関数的減衰項によって支配される。

スヴェンソン（1994）は、第4の因子と第2の減衰パラメータを導入し、モデルにさまざまな成熟度での山や谷を捉えるためのより大きな柔軟性を与えた。^{[ 23 ]}

${\displaystyle y(\tau )=\beta _{0}+\beta _{1}{\frac {1-e^{-\tau /\lambda _{1}}}{\tau /\lambda _{1}}}+\beta _{2}\left({\frac {1-e^{-\tau /\lambda _{1}}}{\tau /\lambda _{1}}}-e^{-\tau /\lambda _{1}}\right)+\beta _{3}\left({\frac {1-e^{-\tau /\lambda _{2}}}{\tau /\lambda _{2}}}-e^{-\tau /\lambda _{2}}\right)}$

どこ${\displaystyle \tau }$成熟とは、${\displaystyle \beta _{0}}$長期的な水準を制御し、${\displaystyle \beta _{1}}$短端傾斜、${\displaystyle \beta _{2}}$そして${\displaystyle \beta _{3}}$中期曲率成分、および${\displaystyle \lambda _{1}}$、${\displaystyle \lambda _{2}}$それらの成分の減衰速度。

NSSモデルは、欧州中央銀行、ドイツ連邦銀行、スイス国立銀行など、いくつかの主要中央銀行によって運用的に使用され、公式の適合イールドカーブを公表している。^{[ 24 ]}そのパラメータは直接的な経済的解釈が可能である。${\displaystyle \beta _{0}}$は曲線が収束する長期利回りを表し、${\displaystyle \beta _{1}}$短期金利と長期金利の間の期間スプレッドを捉えます。DieboldとLi（2006）は、ネルソン・シーゲル因子をレベル、傾斜、曲率と再ラベル付けし、潜在的な動的因子として扱うことで、サンプル外予測のパフォーマンスが向上することを実証しました。^{[ 25 ]}

推定には6つのパラメータに対する非線形最適化が必要なため、収束は初期値に敏感です。国際決済銀行は、よくある落とし穴に対処する技術ノートを公開しています。^{[ 26 ]}ユーザーがNSSパラメータを変更し、結果として得られる曲線の形状をリアルタイムで観察できるインタラクティブツールが、直感を助けるために開発されています。^{[ 27 ]}

債券価格の分析には時間軸が関係します。購入時に10年債だったものが、1年後には9年債になり、さらにその翌年には8年債になる、といった具合です。債券は毎年満期に近づくにつれて、ボラティリティが低下し、デュレーションが短くなり、イールドカーブが上昇しているときは、より低い金利が要求されます。金利の低下は価格の上昇につながるため、満期が短くなるにつれて金利が低くなり、それが新たな市場金利となるため、債券価格は当初上昇します。しかし、債券は常に最終満期によって価格が決まる仕組みになっているため、いずれは価格が方向転換し、償還時に額面価格まで下落することになります。

債券の市場価値は、その存続期間のさまざまな時点で計算することができます。イールドカーブが急勾配の場合、債券は最初の数年間で大きなキャピタルゲインが見込まれるものの、その後価格が下落すると予測されます。イールドカーブが平坦な場合、キャピタルゲインははるかに少なくなり、債券のトータルリターンは時間の経過とともにほとんど変動しないと予測されます。

市場金利が上昇または下降しても、イールドカーブ上の各ポイントでその影響が全く同じになることは稀であり、つまり、イールドカーブが常に平行に上下することはほとんどない。長期債はデュレーションが長いため、金利上昇による元本損失は短期債よりも大きくなる。しかし、ほとんどの場合、長期債の金利変動幅ははるかに小さく、イールドカーブは平坦化する。短期債の金利変動幅が大きいほど、デュレーションが短い短期債のメリットはある程度相殺されることになる。

長期債は平均回帰性を持つ傾向があり、長期平均に容易に収束する。金利が変わっていなくても、インフレが予想される場合、利回りは5～10年債の中間期間で最大の割合で上昇する。一方、長期債は平均回帰性のため、利回りの変動幅はそれほど大きくない。

債券の年間「総収益」は、a) クーポン利回りの合計、b) 利回り曲線に沿って下落するにつれて変化する評価額によるキャピタルゲイン、c) 利回り曲線のその時点での金利変動によるキャピタルゲインまたはキャピタルロスの合計である。^{[ 28 ]}

• 短期モデル
• ゼロ金利政策
• マルチカーブフレームワーク

1. ^ニューヨーク連邦準備銀行の景気後退予測モデルは、月平均10年債利回りと月平均3ヶ月債相当利回りを使用して期間スプレッドを計算します。したがって、日中および日次の逆転は、月平均ベースで逆転しない限り、逆転とはみなされません。2018年12月、イールドカーブの一部が2008～2009年の景気後退以来初めて逆転しました。^{[ 29 ]}しかし、10年債と3ヶ月債の部分は2019年3月22日まで逆転せず、2019年4月1日（つまりわずか8日後）には正の傾きに戻りました。^{[ 30 ] [ 31 ]} 10年債と3ヶ月債（債券相当利回り）の差の月平均は、2019年5月にゼロベーシスポイントに達しました。2019年3月と4月は、日中および日々の逆転があったにもかかわらず、月平均スプレッドがゼロベーシスポイントを超えていました。したがって、表では2019年の逆転が2019年5月から始まっていることを示しています。同様に、1998年9月の日々の逆転は月平均ベースでマイナスの期間スプレッドにはならなかったため、誤報ではありません。

2. ^景気後退予測モデルでは、景気後退は世界保健機関がCOVID-19をパンデミックと宣言する1か月前の2020年2月に始まったと規定されていた。

• ユーロ圏の利回り曲線– 欧州中央銀行のウェブサイト
• 動的利回り曲線– このグラフは、金利と株価の長期的な関係を示しています。
• 利回り曲線：10年物米国債の定利回りから2年物米国債の定利回りを差し引いたもの（1976年6月以降の日次データ、FRED経由）