複利

元金を含む累積総額${\displaystyle P}$複利計算${\displaystyle I}$は、次の式で与えられます。^{[ 8 ] [ 9 ]}$${\displaystyle A=P\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{tn}}$$

どこ：

• Aは最終金額です
• Pは元金です
• rは名目年利率です
• nは複利計算の頻度（1：年、12：月、52：週、365：日）^{[ 10 ]}
• tは、利息が適用される全体の期間です（rと同じ時間単位、通常は年で表されます）。

発生する複利の合計は、最終金額から初期元金を差し引いたものです。最終金額は元金と利息の合計に等しいからです。^{[ 11 ]}

$${\displaystyle I=P\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{tn}-P}$$

元金Pは単なる係数であるため、簡略化のために省略されることが多く、代わりに累積関数が使用されます。累積関数は、1ドルが一定期間後にどれだけ増えるかを示します。複利の累積関数は次のとおりです。$${\displaystyle a(t)=\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{tn}}$$

年間複利計算期間数が無制限に増加すると、連続複利計算が発生し、その場合、実効年利率は上限値e ^r − 1に近づきます。連続複利計算は、 n を無限大に近づけることで複利計算期間を無限小にすることとみなすことができます。t 期間の連続複利計算後の金額は、初期金額P ₀を用いて次のように表すことができます。

$${\displaystyle P(t)=P_{0}e^{rt}.}$$

複利計算期間の数が増えるにつれて${\displaystyle n}$連続複利では無限大に近づくため、連続複利利率は利子力と呼ばれます。${\displaystyle \delta }$連続的に微分可能な累積関数a(t)の場合、関心のある力、より一般的には対数リターンまたは連続複利リターンは、次のように時間の関数になります。

$${\displaystyle \delta _{t}={\frac {a'(t)}{a(t)}}={\frac {d}{dt}}\ln a(t)}$$

これは累積関数の対数微分です。

逆に： $${\displaystyle a(t)=e^{\int _{0}^{t}\delta _{s}\,ds}\,,}$$（以来${\displaystyle a(0)=1}$これは積積分の特殊なケースと見なすことができる。）

上記の式を微分方程式の形式で表すと、注目すべき力は変化量の係数になります。 $${\displaystyle da(t)=\delta _{t}a(t)\,dt}$$

一定の年利率rによる複利の場合、利子力は定数であり、利子力による複利の累積関数はeの単純なべき乗になります。 $${\displaystyle \delta =\ln(1+r)}$$または $${\displaystyle a(t)=e^{t\delta }}$$

利子力は、年実効金利よりは小さいが、年実効割引率よりは大きい。これは、 e倍化時間の逆数である。

インフレの力をモデル化する一つの方法として、ストゥードリーの公式がある。${\displaystyle \delta _{t}=p+{s \over {1+rse^{st}}}}$ここで、 p、r、sは推定値である。

ある複利計算方式の金利を別の複利計算方式に変換すると、

$${\displaystyle \left(1+{\frac {r_{1}}{n_{1}}}\right)^{n_{1}}=\left(1+{\frac {r_{2}}{n_{2}}}\right)^{n_{2}}}$$

使用

$${\displaystyle r_{2}=\left[\left(1+{\frac {r_{1}}{n_{1}}}\right)^{\frac {n_{1}}{n_{2}}}-1\right]{n_{2}},}$$

ここで、r _{1は複利計算頻度}n _{1 の}金利、r _{2は複利計算頻度}n ₂の金利です。

利息が継続的に複利計算される場合は、

$${\displaystyle \delta =n\ln {\left(1+{\frac {r}{n}}\right)},}$$

どこ${\displaystyle \delta }$は連続複利計算に基づく利率であり、 rは複利計算頻度nにおける表示利率である。

返済方式のローンや住宅ローン（つまり、ローンが完済されるまで毎月一定額を支払うローン）の利息は、多くの場合、毎月複利計算されます。支払額の計算式は、以下の議論から導き出されます。

PMT(金利、支払回数、現在価値、将来価値、[タイプ])

元本預金と定期預金がある場合、投資の総収益は単位時間当たりの複利計算によって算出できます。必要に応じて、追加の非定期預金と定期預金の利息も同じ式で定義できます（下記参照）。^{[ 12 ]}

• ${\displaystyle P}$＝元本預金
• ${\displaystyle r}$= 収益率（月次）
• ${\displaystyle M}$= 月々の預金、
• ${\displaystyle t}$＝時間（月単位）

各預金に対する複利は以下のとおりです。 $${\displaystyle M'=M(1+r)^{t}}$$ 全期間tにおけるすべての定期預金を合計すると、（預金が元本投資から始まる場合はiは0から始まり、預金が翌月から始まる場合はiは1から始まる）： $${\displaystyle M'=\sum _{i=0}^{t-1}{M(1+r)^{t-i}}}$$等比数列 を認識する：${\displaystyle M'=M\sum _{i=0}^{t-1}(1+r)^{t}{\frac {1}{(1+r)^{i}}}}$そして閉形式の公式（共通比：${\displaystyle 1/(1+r)}$):

$${\displaystyle P'=M{\frac {(1+r)^{t}-1}{r}}+P(1+r)^{t}}$$

2種類以上の預金（定期預金または非定期預金）が発生した場合、得られる複利値は次のように表すことができます。

$${\displaystyle {\text{Value}}=M{\frac {(1+r)^{t}-1}{r}}+P(1+r)^{t}+k{\frac {(1+r)^{t-x}-1}{r}}+C(1+r)^{t-y}}$$

ここで、C は各一括払い、k はそれぞれ月次ではない定期預金であり、x と y は新しい預金とモデル化している全期間 t の間の時間の差です。

各定期預金の正確な日付と金額が不明な場合の収益率の逆算の実用的な推定値、期間にわたって毎月の定期預金が均一であると仮定した式は次のとおりです。^{[ 13 ]}$${\displaystyle r=\left({\frac {P'-P-\sum {M}}{P+\sum {M}/2}}\right)^{1/t}}$$または$${\displaystyle r=\left({\frac {P'-\sum {M}/2}{P+\sum {M}/2}}\right)^{1/t}-1}$$