Loading article…
経済学と金融において、現在価値( PV ) は、現在割引価値( PDV )とも呼ばれ、評価日時点での予想収入の流れの価値です。現在価値は通常、将来価値よりも低くなります。これは、お金には利息を得る可能性があり、この特性はお金の時間的価値と呼ばれますが、マイナス金利の時期には、現在価値が将来価値と同等かそれ以上になるからです。[ 1 ]時間的価値は、「今日の1ドルは明日の1ドルよりも価値がある」という簡略化された表現で説明できます。ここで、「価値がある」とは、その価値が明日よりも大きいことを意味します。今日の1ドルが明日の1ドルよりも価値があるのは、1ドルを投資して1日分の利息を得ることができ、合計が明日までに1ドル以上の価値になるからです。利息は家賃に例えることができます。[ 2 ]家賃が資産の所有権を移転することなく借主から貸主に支払われるのと同様に、利息は、返済する前に一定期間お金にアクセスできる借主から貸主に支払われます。貸し手は借り手に資金へのアクセスを許可することで、その資金の交換価値を犠牲にしており、その見返りとして利息を得ている。当初の借入額（現在価値）は、貸し手に支払われる総額よりも少ない。
現在価値計算、そして同様に将来価値計算は、ローン、住宅ローン、年金、償却基金、永久年金、債券などの評価に使用されます。これらの計算は、同時発生しないキャッシュフロー間の比較を行うために使用されます。 [ 1 ]価値を比較するには、時間と日付が一致している必要があるためです。投資するプロジェクトを選択する際には、それぞれのプロジェクトの利率または収益率で期待収益の流れを割り引くことにより、各プロジェクトの現在価値を比較して選択することができます。現在価値が最も高いプロジェクト、つまり今日最も価値のあるプロジェクトを選択する必要があります。
今日100ドルを受け取るか、1年後に100ドルを受け取るかの選択肢が与えられ、かつ年間を通じて実質金利がプラスである場合、合理的な人は今日100ドルを受け取ることを選択します。これは経済学者によって時間選好と呼ばれています。時間選好は、米国財務省証券のようなリスクフリーの証券を競売にかけることで測定できます。1年後に支払われるゼロクーポンの100ドルの債券が現在80ドルで売却された場合、80ドルは1年後に100ドルの価値になる債券の現在価値です。これは、お金を銀行口座やその他の（安全な）投資に預けて、将来利息を得ることができるためです。
資金を持っている投資家には、今すぐ使うか貯蓄するかの2つの選択肢があります。しかし、貯蓄（使わずに貯蓄すること）による金銭的なメリットは、資金を借り入れ先（資金を預けている銀行口座）から受け取る複利によって、資金の価値が積み上がっていくことです。
したがって、一定期間経過後の現在の金額の実質価値を評価するために、経済主体は一定の（金利）率でその金額を複利運用します。ほとんどの保険数理計算では、例えば銀行の預金口座が提供する最低保証金利に相当するリスクフリー金利が使用されます。これは、銀行が預金者に対して期日通りに資金を返還しないというリスクがないことを前提としています。購買力の変化を比較するには、実質金利（名目金利からインフレ率を差し引いたもの）を使用する必要があります。
現在価値を将来価値に換算する操作を資本化（100ドルを5年後にいくらにするか）と呼びます。その逆の操作、つまり将来得られる金額の現在価値を算出する操作を割引（100ドルを5年後に宝くじなどで受け取る場合、現在価値はいくらになるか）と呼びます。
したがって、今日100ドルを受け取るか、1年後に100ドルを受け取るかを選択する必要がある場合、合理的な判断は今日100ドルを受け取ることを選択することである。1年後に資金を受け取る場合、貯蓄口座の金利が5%であると仮定すると、2つの選択肢（今日100ドルを受け取るか、1年後に105ドルを受け取るか）が同等となるためには、少なくとも1年後には105ドルを受け取ることが提示されなければならない。これは、100ドルを貯蓄口座に預け入れた場合、銀行の破綻による元本損失のリスクがないと仮定すると、1年後にはその価値が105ドルになるためである。
利息とは、ある期間の開始時と終了時の間に得られる追加の金額のことです。利息は貨幣の時間的価値を表し、貸し手からお金を借りるために借り手に要求される賃料と考えることができます。[ 2 ] [ 3 ]例えば、個人が銀行から融資を受けると、利息が課せられます。あるいは、個人が銀行にお金を預けると、そのお金に利息がつきます。この場合、銀行は資金の借り手であり、口座保有者に利息を計上する責任があります。同様に、個人が企業に投資する場合（社債や株式を通じて）、企業は資金を借り入れており、個人に利息を支払わなければなりません（クーポン支払い、配当、または株価上昇の形で）。[ 1 ] 利率は、1回の複利計算期間中の金額の変化をパーセンテージで表したものです。複利計算期間とは、利息が計上される、つまり合計に加算されるまでに経過しなければならない時間の長さです。[ 2 ]例えば、年複利の利息は年に一度計上され、複利計算期間は1年です。四半期複利の利息は年に4回計上され、複利計算期間は3ヶ月です。複利計算期間は任意の長さにすることができますが、一般的な期間としては、年、半年、四半期、月、日、さらには連続などがあります。
金利にはいくつかの種類と用語があります。
将来のある時点で現在の金額を評価する操作は、資本化と呼ばれます（今日の100は5年後にはいくらの価値になるでしょうか？）。その逆の操作、つまり将来の金額の現在価値を評価する操作は、割引と呼ばれます（5年後に受け取る100は今日ではいくらの価値になるでしょうか？）。[ 3 ]
スプレッドシートには、現在価値を計算する関数が一般的に用意されています。Microsoft Excelには、単回支払いの現在価値を計算する関数「=NPV(...)」と、均等な定期支払いの現在価値を計算する関数「=PV(...)」があります。プログラムを使えば、あらゆるキャッシュフローや金利、あるいは異なる時期における様々な金利のスケジュールに対して、柔軟に現在価値を計算できます。
現在価値評価で最も一般的に用いられるモデルは複利計算を用いる。標準的な計算式は以下のとおりである。
どこは、割り引かなければならない将来の金額です。これは、現在の日付から合計が価値を持つようになる日までの間の複利計算期間の数です。、は、1回の複利計算期間の利率です（複利計算期間の終了とは、例えば、年ごと、半年ごと、四半期ごと、月ごと、日ごとに利息が適用される時点のことです）。利率は、はパーセンテージで与えられますが、この式では小数で表されます。
頻繁、現在価値係数[ 2 ]と呼ばれています。
これは、負の時間における将来価値の公式からも導き出されます。
例えば、5年後に1000ドルを受け取る場合、この期間の実質年利が10%（または0.10）であれば、この金額の現在価値は
解釈としては、実質年利が10%の場合、個人は5年後に1000ドルを受け取るのと、今日620.92ドルを受け取るのとどちらでも構わないということになる。[ 1 ]
今日の貨幣における金額の購買力お金の、数年後の未来も、同じ式で計算できます。この場合これは想定される将来のインフレ率です。
割引率( i )を低く設定すると、割引後の将来における現在価値が高くなる。
キャッシュフローとは、ある期間の終わりに支払われる、または受け取られる金額のことで、正または負の符号で区別されます。慣例として、受け取ったキャッシュフローは正の符号（総現金が増加した）で表され、支払ったキャッシュフローは負の符号（総現金が減少した）で表されます。ある期間のキャッシュフローは、その期間のお金の純増減を表します。[ 3 ]正味現在価値を計算すると、キャッシュフローの流れの現在価値は、現在価値係数と適切な複利期間数を使用して各キャッシュフローを現在価値に割り引き、これらの値を組み合わせることによって算出される。[ 1 ]
例えば、キャッシュフローの流れが、第1期末に+$100、第2期末に-$50、第3期末に+$35で構成され、複利計算期間あたりの利率が5%（0.05）である場合、これら3つのキャッシュフローの現在価値は次のようになります。
したがって、正味現在価値は次のようになります。
いくつか考慮すべき点があります。
ここ、は名目年利率で、四半期ごとに複利計算され、四半期ごとの利率は
多くの金融取引（債券、その他のローン、リース、給与、会費、年金（即時年金および期首年金を含む）、定額減価償却費など）では、一定の期間ごとに同じ金額を支払うという構造化された支払スケジュールが規定されています。このような取引は年金と呼ばれます。このような支払いの現在価値を表す式は、等比級数の和です。
年金には、即時年金と期首払い年金の2種類があります。即時年金の場合、支払いは各期間の終わりに、1～一方、期首払い年金の場合は、支払いは各期間の開始時、0 から に受領（または支払われる）されます。[ 3 ]この微妙な違いは、現在価値を計算する際に考慮に入れなければならない。
期首払い年金は、利息発生期間がもう1つ多い即時年金です。したがって、2つの現在価値は係数で異なります。:
即時年金の現在価値は、時点0におけるキャッシュフローの流れの価値である。
どこ：
上記の式（1）は、年金即時計算のためのものであり、一般のユーザーにとってはほとんど意味がなく、何らかの計算機の使用を必要とします。より分かりやすく、計算も簡単で、専門家でない人にも理解しやすい近似式があります。それは[ 4 ]で示されています。
ここで、上記のとおり、Cは年金支払額、PVは元本、nは最初の期間の終わりから始まる支払回数、iは期間当たりの利率です。言い換えれば、Cは利率iでn期間にわたってPVのローンを返済する期間ごとのローン返済額です。この式は、ni≤3の場合に有効です（n、iが正の場合）。補足として、ni≥3の場合の近似値は次のようになります。。
この公式は、状況によっては、暗算だけで計算を簡略化できます。たとえば、PV = $10,000 のローンを n = 10 年間、年利 15% (i = 0.15) で返済する場合、（おおよその）返済額はいくらでしょうか。適用可能な近似式は、C ≈ 10,000*(1/10 + (2/3) 0.15) = 10,000*(0.1+0.1) = 10,000*0.2 = $2000 pa で、暗算だけで計算できます。実際の答えは $1993 で、非常に近い値です。
全体的な近似値は、金利が0≤i≤0.20の場合、±6%以内（n≥1の場合すべて）の精度であり、金利が0.20≤i≤0.40の場合、±10%以内の精度です。ただし、これはあくまで概算計算のためのものです。
永久年金とは、無期限に受け取れる定期的な支払いを指しますが、そのような金融商品はほとんど存在しません。永久年金の現在価値は、上記の式においてnが無限大に近づくときの極限をとることで計算できます。
式（2）は、式（1）からn期間遅延した永久年金の現在価値を差し引くことによって、または支払いの現在価値を直接合計することによっても求めることができる。
これらは等比数列を形成する。
ここでも、期間の終わりに支払いを受け取る即時永久年金と、期間の初めに支払いを受け取る期首永久年金には違いがあります。年金計算と同様に、期首永久年金と即時永久年金には、次の係数で違いがあります。:
企業は、投資家から資金を調達するために、利息を生む債務証券である債券を発行します。 [ 3 ]債券には額面があり、クーポンレート、、そして満期日。これにより、債務が満期を迎えて返済しなければならないまでの期間数が決まります。債券保有者は、（特に指定がない限り）半年ごとにクーポン支払いを受け取ります。債券が満期を迎えるまで、債券保有者は最終クーポン支払いと債券の額面金額を受け取ります。。
債券の現在価値は購入価格である。[ 2 ] 購入価格は次のように計算できる。
クーポンレートが市場の現在の金利と等しい場合、購入価格は債券の額面価格と等しくなり、この場合、債券は「額面価格で」売却されたと言われます。クーポンレートが市場金利より低い場合、購入価格は債券の額面価格より低くなり、債券は「割引価格」または額面価格を下回る価格で売却されたと言われます。最後に、クーポンレートが市場金利より高い場合、購入価格は債券の額面価格より高くなり、債券は「プレミアム価格」または額面価格を上回る価格で売却されたと言われます。[ 3 ]
現在価値は加算可能です。複数のキャッシュフローの現在価値は、それぞれのキャッシュフローの現在価値の合計です。詳しくは、貨幣の時間価値の項を参照してください。これらの計算には前提条件があるため、慎重に適用する必要があります。
（実際、一定金利におけるキャッシュフローの現在価値は、そのキャッシュフローのラプラス変換における1点に数学的に相当し、変換変数（通常は「s」で表される）を金利に等しいとして評価されます。完全なラプラス変換は、金利の関数としてプロットされたすべての現在価値の曲線です。支払いが長い期間で分離される離散時間の場合、変換は合計に簡略化されますが、支払いがほぼ連続的に行われている場合は、連続関数の数学を近似として使用できます。）
現在価値には主に2つの種類があります。キャッシュフローの時期と金額の両方に不確実性がある場合、期待現在価値アプローチが適切な手法となることがよくあります。不確実性下での現在価値では、将来の配当金は条件付き期待値に置き換えられます。
使用される金利は、プロジェクトにリスクが全くない場合のリスクフリー金利です。プロジェクトからの収益率は、このリスクフリー金利以上でなければならず、そうでなければ、リスクフリー資産に資金を投資する方が賢明です。投資にリスクが伴う場合は、リスクプレミアムを用いることでそれを反映させることができます。必要なリスクプレミアムは、同様のリスクを持つ他のプロジェクトに必要な収益率と当該プロジェクトを比較することで算出できます。このようにして、投資家は様々な投資に伴う不確実性を考慮に入れることが可能になります。
投資家、つまり資金の貸し手は、どの金融プロジェクトに資金を投資するかを決定しなければなりません。現在価値は、その決定方法の1つを提供します。[ 1 ] 金融プロジェクトには、株式の価格や社債の価格など、初期投資が必要です。プロジェクトは、初期投資額に加えて、いくらかの余剰金（例えば、利息や将来のキャッシュフロー）を回収すると謳っています。投資家は、各プロジェクトの現在価値を計算し（各計算に同じ金利を使用）、それらを比較することで、どのプロジェクトに投資するかを決定できます。現在価値が最も小さいプロジェクト、つまり初期投資額が最も少ないプロジェクトが選択されます。なぜなら、それは他のプロジェクトと同じリターンを最も少ない資金で提供するからです。[ 2 ]
将来の収入の流れを現在の資本額として評価する伝統的な方法は、平均予想年間キャッシュフローに「購入年数」と呼ばれる倍率を掛けることです。たとえば、年間賃料10,000ドルで99年間のリース契約でテナントに貸し出されている不動産を第三者に売却する場合、「20年購入」で取引が成立する可能性があり、その場合、リースの価値は20×10,000ドル、つまり200,000ドルとなります。これは、永久に5%で割り引いた現在価値に相当します。よりリスクの高い投資の場合、購入者はより少ない購入年数での支払いを要求します。これは、たとえば16世紀初頭の修道院解散で没収された荘園の再販価格を設定する際にイングランド王室が使用した方法です。標準的な使用法は20年購入でした。[ 5 ]
![{\displaystyle PV=\sum _{k=1}^{n}{\frac {C}{(1+i)^{k}}}=C\left[{\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}\right],\qquad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a066ae37c39918d2d70ded42d528b3fdd4d62f56)
![{\displaystyle PV=\left[\sum _{k=1}^{n}Fr(1+i)^{-k}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ded6592018770a0310beed7f91db0372ad6426b3)
