インプライドボラティリティ

金融数学において、オプション契約のインプライド・ボラティリティ（IV ）は、原資産のボラティリティの値であり、オプション価格設定モデル（通常はブラック・ショールズ）に入力されると、オプションの価格に等しい理論値を返します。金利キャップなどのオプションが組み込まれた非オプション金融商品も、インプライド・ボラティリティを持つことができます。インプライド・ボラティリティは将来を見据えた主観的な尺度であり、ヒストリカル・ボラティリティとは異なります。ヒストリカル・ボラティリティは証券の既知の過去の収益から計算されるからです。原資産に関してインプライド・ボラティリティがどこに位置づけられているかを理解するために、インプライド・ボラティリティ・ランクを使用して、1 年間の最高および最低の IV からインプライド・ボラティリティを理解します。

ブラック・ショールズなどのオプション価格設定モデルでは、さまざまな入力を使用してオプションの理論的な価値を導き出します。価格設定モデルへの入力は、価格設定するオプションの種類と使用する価格設定モデルによって異なります。ただし、一般的にオプションの価値は、原資産の将来の実現価格変動率 σ の推定値によって決まります。数学的には、次のようになります。

${\displaystyle C=f(\sigma ,\cdot )\,}$

ここで、C はオプションの理論値であり、f はσ とその他の入力に依存する価格設定モデルです。

関数fはσ について単調に増加します。つまり、ボラティリティの値が高いほど、オプションの理論的な価値が高くなります。逆に、逆関数定理により、 への入力として適用された場合、 Cの特定の値をもたらすσ の値は最大で 1 つになります。 ${\displaystyle f(\sigma ,\cdot )\,}$

言い換えると、逆関数g = f ⁻¹が存在すると仮定し、

${\displaystyle \sigma _{\bar {C}}=g({\bar {C}},\cdot )\,}$

ここで、 はオプションの市場価格です。 値は、市場価格によって暗示されるボラティリティ、つまりインプライド ボラティリティです。 ${\displaystyle \scriptstyle {\bar {C}}\,}$${\displaystyle \sigma _{\bar {C}}\,}$${\displaystyle \scriptstyle {\bar {C}}\,}$

一般的に、コール価格に関してインプライドボラティリティの閉形式の式を与えることは不可能である（レビューについては^[1]を参照）。しかし、いくつかのケース（大ストライク、小ストライク、短期満期、長期満期）では、コール価格に関してインプライドボラティリティの漸近展開を与えることが可能である。 ^[2]閉形式の近似に基づく別のアプローチも研究されている。^{[3] [4]}

配当金を支払わない XYZ 社の 1 株に対する行使価格 50 ドルの欧州コール オプション は、32日後に満期を迎えます。リスクフリー金利は5% です。XYZ 株は現在 51.25 ドルで取引されており、 の現在の市場価格は2.00 ドルです。標準的なブラック ショールズ価格モデルを使用すると、市場価格から推定されるボラティリティは18.7% です。つまり、 ${\displaystyle C_{XYZ}}$${\displaystyle C_{XYZ}}$${\displaystyle C_{XYZ}}$

${\displaystyle \sigma _{\bar {C}}=g({\bar {C}},\cdot )=18.7\%}$

検証するために、価格モデルfにインプライドボラティリティを適用し、理論値 2.0004 ドルを生成します。

${\displaystyle C_{theo}=f(\sigma _{\bar {C}},\cdot )=\$2.0004}$

これは、市場の予想ボラティリティの計算を裏付けるものです。

一般に、価格設定モデル関数fには、その逆関数gの閉形式の解がありません。代わりに、方程式を解くために 根を求める手法がよく使用されます。

${\displaystyle f(\sigma _{\bar {C}},\cdot )-{\bar {C}}=0\,}$

根を求める手法は数多くありますが、最も一般的に使用されるのはニュートン法とブレント法の 2 つです。オプション価格は非常に急速に変動することがあるため、インプライド ボラティリティを計算する際には、最も効率的な方法を使用することが重要になることがよくあります。

ニュートン法は収束が速いが、オプションの理論値のボラティリティに関する第 1 偏導関数、つまり が必要であり、これはベガとも呼ばれる(ギリシャ人を参照)。価格設定モデル関数がベガの閉形式の解を生成する場合(ブラック・ショールズ・モデルの場合)、ニュートン法の方が効率的である可能性がある。しかし、二項モデルなどのほとんどの実用的な価格設定モデルではそうではないため、ベガは数値的に導出する必要がある。ベガ を数値的に解く必要がある場合は、クリストファー・サルキン法を使用するか、アウト・オブ・ザ・マネーのインプライド・ボラティリティをより正確に計算するには、コラード・ミラー・モデルを使用することができる。^[5]${\displaystyle {\frac {\partial C}{\partial \sigma }}\,}$

特にブラック[-ショールズ-マートン]モデルの場合、Jaeckelの「Let's Be Rational」^[6]法は、すべての可能な入力値に対して、サブマイクロ秒の時間で、達成可能な完全な（標準の64ビット浮動小数点）マシン精度で暗黙のボラティリティを計算します。このアルゴリズムは、一致した漸近展開に基づく初期推定と、（常に正確に）2つのハウスホルダー改善ステップ（収束次数4）で構成され、3ステップ（つまり、非反復）の手順になります。C++の参照実装^[7]は無料で入手できます。上記の根を求める手法の他に、多変量逆関数を直接近似する方法もあります。多くの場合、それらは多項式または有理関数に基づいています。^[8]

バシュリエ（「正規」ではなく「対数正規」）モデルについては、Jaeckel ^{[9] は}、すべての可能な入力値に対して完全に達成可能な（標準の64ビット浮動小数点）機械精度を与える、完全に解析的で比較的単純な2段階式を発表しました。

ビッグデータとデータサイエンスの登場により、一貫した内挿と外挿の目的のために、インプライドボラティリティのパラメータ化が重要になってきました。古典的なモデルは、 IVP拡張を備えたSABRモデルとSVIモデルです。^[10]

ブライアン・バーンが述べたように、オプションのインプライド・ボラティリティは、オプションの価格よりもオプションの相対的価値を測る上でより有用な指標です。その理由は、オプションの価格が原資産の価格に最も直接的に左右されるからです。オプションがデルタ・ニュートラル・ポートフォリオ（原資産価格の小さな変動に対してヘッジされているポートフォリオ）の一部として保有されている場合、オプションの価値を決定する上で次に重要な要素は、インプライド・ボラティリティになります。

インプライド・ボラティリティは非常に重要であるため、特にプロのトレーダーの間では、オプションは価格ではなくボラティリティの観点から引用されることが多いです。

コール オプションは 1.50 ドルで取引されており、原資産は 42.05 ドルで取引されています。オプションの暗黙のボラティリティは 18.0% と判定されます。しばらくすると、オプションは 2.10 ドルで取引され、原資産は 43.34 ドルとなり、暗黙のボラティリティは 17.2% になります。2 回目の測定ではオプションの価格が高くなっていますが、ボラティリティに基づくと依然として安いとみなされます。その理由は、コール オプションをヘッジするために必要な原資産をより高い価格で販売できるためです。

インプライド ボラティリティを別の視点から見ると、将来の株価変動の尺度ではなく、価格として考えるということになります。この観点からすると、インプライド ボラティリティは、通貨よりもオプション価格を伝えるのに便利な方法ということになります。価格は統計量とは性質が異なります。将来の原資産収益のボラティリティは、多数の推定方法のいずれかを使用して推定できますが、得られる数値は価格ではありません。価格には、買い手と売り手という 2 つの相手方が必要です。価格は需要と供給によって決まります。統計推定値は、時系列と、使用するモデルの数学的構造に依存します。取引を暗示する価格と、単に計算から得られる統計推定の結果を混同するのは間違いです。インプライド ボラティリティは価格です。実際の取引から導き出されたものです。この観点から見ると、インプライド ボラティリティが特定の統計モデルが予測するものと一致しないのは驚くことではありません。

しかし、上記の見解は、インプライド ボラティリティの値が計算に使用するモデルによって異なるという事実を無視しています。つまり、同じ市場オプション価格に異なるモデルを適用すると、インプライド ボラティリティは異なります。したがって、インプライド ボラティリティを価格として捉えるこの見解を採用する場合、一意のインプライド ボラティリティ価格が存在せず、同じ取引の買い手と売り手が異なる「価格」で取引している可能性があることを認めなければなりません。

一般的に、同じ原資産に基づくオプションでも、権利行使価格と満期日が異なると、インプライド・ボラティリティは異なります。これは、原資産のボラティリティが一定ではなく、価格水準や時間などの要因によって決まることの証拠と見なすことができます。また、原資産の価格変動が、検討中のモデル（ブラック・ショールズなど）で想定されている分布に従わないことの証拠と見なすこともできます。ボラティリティ面のパラメータ化（ショーンブッシャー、SVI、gSVI）や、それらの裁定解除方法論はいくつか知られています。^[11]詳細については、 確率的ボラティリティとボラティリティ・スマイルを参照してください。

ボラティリティ商品は、他のデリバティブ証券のインプライド・ボラティリティの値を追跡する金融商品です。たとえば、CBOEボラティリティ指数 ( VIX ) は、 S&P 500 指数のさまざまなオプションのインプライド・ボラティリティの加重平均から計算されます。また、VXN 指数 (ナスダック100 指数先物ボラティリティ指標)、QQV (QQQ ボラティリティ指標)、IVX - インプライド・ボラティリティ指数 (米国の証券および上場投資商品の将来の一定期間の予想株価ボラティリティ) など、よく参照されるボラティリティ指数や、これらのボラティリティ指数自体に直接基づくオプションや先物デリバティブもあります。

• フォワードボラティリティ
• 実現差異オプション
• ボラティリティリスク

• Beckers, S. (1981)、「オプション価格に暗示される標準偏差は将来の株価変動の予測因子となる」、Journal of Banking and Finance、5 (3): 363–381、doi :10.1016/0378-4266(81) 90032-7、2009-07-07取得
• メイヒュー、S.（1995）、「インプライドボラティリティ」、ファイナンシャルアナリストジャーナル、51（4）：8–20、doi：10.2469/faj.v51.n4.1916
• Corrado, CJ; Su, T. (1997)、「S によって示唆されるインプライド ボラティリティの歪みと株価指数の歪み度および尖度」( PDF)、The Journal of Derivatives (SUMMER 1997)、doi :10.3905/jod.1997.407978、S2CID  154383156、2009-07-07取得
• Grunspan, C. (2011)、「正規分布と対数正規分布のインプライド・ボラティリティの等価性に関する注記: モデルフリー・アプローチ」、SSRN  1894652
• Grunspan, C. (2011)、「モデルフリーアプローチにおける暗黙の対数正規分布ボラティリティの漸近展開」、SSRN  1965977
• トリッピ、ロバート (1978)。「オプションプレミアムが示唆する株価変動期待」。The Journal of Finance。33 : 1–15 – JSTOR 経由。

• Serdar SENによるインプライドボラティリティの計算
• ビジュアルインプライドボラティリティ計算機 2017-02-08 にWayback Machineでアーカイブ
• Excelでベータを計算する