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数学の不合理な非効率性という表現は、物理学者ユージン・ウィグナーの論文「自然科学における数学の不合理な有効性」に由来する。この表現は、数学的解析が物理学ほど他の分野では価値を発揮していないことを示唆している。
生物数学や分子生物学、その他多くの応用数学分野で活躍した数学者、 IMゲルファンドは次のように述べていると伝えられている。
ユージン・ウィグナーは、自然科学における数学の不合理な有効性について有名なエッセイを書いた。もちろん、彼が言及したのは物理学である。物理学における数学の不合理な有効性よりも不合理なことが一つだけある。それは、生物学における数学の不合理な非有効性である。[ 1 ]
反対の見解は、DNAコンピューティングの分野を開拓した理論計算機科学者のレナード・アドレマンによって示されている。アドレマンの見解では、「科学は数学化される段階に達する」のであり、最初は周辺分野から始まるが、最終的には「その分野の中心的な問題が十分に理解され、数学的に考えることができるようになる」。物理学ではルネサンス期頃に起こり、化学ではジョン・ドルトンが原子論を発展させた後に始まり、1990年代には生物学でも起こっていた。[ 2 ] 1990年代初頭には、「生物学はもはや冷蔵庫の中で変な匂いがするものの科学ではなくなった（1960年代の学部生時代の私の見解）。この分野は革命の真っ只中にあり、以前は物理科学にのみ関連付けられていた深みと力を急速に獲得しつつあった。生物学は今や、DNAに蓄えられた情報、つまりA、T、G、Cの4文字の文字列と、その情報が細胞内で受ける変換を研究する学問になっていた。ここには数学があったのだ！」[ 3 ]
K. ヴェラ・ヴェールピライは『経済学における数学の不合理な非効率性』について書いた。[ 4 ] [ 5 ]彼によれば、「経済学者が数学の伝統に関する不完全な知識を身につけようと無鉄砲に突き進んだ結果、不自然な数理経済学と非数値的な経済理論が生まれた」。彼の議論は、次の主張に基づいている。
数理経済学は不当に非効率的である。不当である理由は、数学的仮定が経済的に正当化されないからであり、非効率的である理由は、数学的定式化が非構成的かつ計算不可能な構造を内包するからである。経済学の合理的かつ効率的な数学化は、ディオファントス形式主義を伴う。これらは、自然な決定不能性と計算不能性を伴う。これに対し、将来の経済学は、代替的な数学的構造に支えられた実験的方法論をより自由に探求できるだろうという推測がある。[ 4 ]：要約
一方、セルジオ・M・フォカルディとフランク・J・ファボッツィは、「経済学は一般的に物理科学よりも実行可能性が低いと考えられている」こと、そして「経済の洗練された数学モデルが開発されてきたが、その正確性には疑問があり、 2008年の金融危機はしばしば欠陥のある数学モデルへの不当な信頼のせいだとされている」ことを認めている。[ 6 ] [ 7 ]それにもかかわらず、彼らは次のように主張している。
経済学における数学的アプローチは実際にはかなり成功しており、モデルは（かつての）危機の原因ではない。経済学は不変の自然法則を研究するのではなく、私たちの経済や金融市場といった複雑な人為的産物を研究する。これらの産物は、本質的に不確実性を持つように設計されている ため、モデルの精度は中程度にとどまる。それでもなお、数学モデルは経済システムを設計するための貴重なツールとなる。しかし、経済学と金融の数学は物理学の数学とは異なる。経済学と金融の数学は、生物系や生態系を研究する際に用いられる数学と同様に、学習と複雑性の数学である。[ 6 ]：要約
アーヴィング・フィッシャーによるより一般的なコメントは次のとおりです。
経済問題を数学的に定式化すると、現実の生活とはかけ離れた理論的な正確さの像が浮かび上がるという主張は、全く正しい。しかし、私の考えでは、これは反対意見ではなく、非常に明確な利点である。なぜなら、それによって原理が鮮明に浮かび上がり、現実の生活とかけ離れている点を明確に指摘できるようになるからである。[ 8 ]
マギル大学のロベルト・ポリは、 1999年に「認知科学における数学の不合理な非効率性」と題する一連の講演を行った。その要旨は以下のとおりである。
私の主張は、物理世界の研究における数学の「不合理な有効性」をよりよく理解できるのは、認知科学（そしてより一般的には、物理現象に関する知識に還元できないあらゆる形態の知識）における数学の同様に「不合理な非有効性」を理解したときに限られる、というものです。生物学、心理学、経済学、倫理学、歴史学はすべて、物理学で非常に実り豊かな分析に少しでも匹敵するような本質的な数学化を行うことがこれまで不可能であった事例です。認知数学（＝認知科学のための数学）の問題を枠組み化する上で重要となる可能性のあるいくつかの概念的問題、すなわちn-ダイナミクス、同一性、タイミング、そして見かけ上の現在の問題について考察します。上記の分析は、数学の基礎の問題に関して、やや異例な視点から行われます。[ 9 ]