短期金利モデル

金利デリバティブの文脈における短期金利モデルは、通常 と表記される短期金利の将来の変化を記述することによって金利の将来の変化を記述する数学モデルです。 ${\displaystyle r_{t}\,}$

短期金利モデルでは、確率的 状態変数は瞬間 スポット金利とみなされる。^[1]すると、短期金利 は、（連続複利、年率）金利であり、ある主体が時点 から極めて短期間に資金を借り入れることができる金利である。現在の短期金利を指定しても、利回り曲線全体を指定することにはならない。しかし、裁定なしの議論によれば、かなり緩い技術的条件下で、リスク中立尺度の下での確率過程としての発展をモデル化すると、時点 で満期を迎え、ペイオフが 1 であるゼロクーポン債の時点 での価格は次のように表される。 ${\displaystyle r_{t}\,}$${\displaystyle t}$${\displaystyle r_{t}\,}$ ${\displaystyle Q}$${\displaystyle t}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle P(t,T)=\operatorname {E} ^{Q}\left[\left.\exp {\left(-\int _{t}^{T}r_{s}\,ds\right)}\right|{\mathcal {F}}_{t}\right],}$

ここで、はプロセスの自然な濾過です。ゼロクーポン債によって暗示される金利は、利回り曲線、より正確にはゼロ曲線を形成します。したがって、短期金利のモデルを指定すると、将来の債券価格が指定されます。これは、瞬間フォワードレートも通常の式で指定されること を意味します。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle f(t,T)=-{\frac {\partial }{\partial T}}\ln(P(t,T)).}$

短期金利モデルは、内生的と外生的に分類されることが多い。内生的短期金利モデルは、金利またはゼロクーポン債価格の期間構造がモデルの出力である短期金利モデルであり、したがって「モデルの内部」（内生的）にあり、モデルパラメータによって決定される。外生的短期金利モデルは、そのような期間構造が入力となるモデルであり、モデルには、特定の市場期間構造を入力できる時間依存の関数またはシフトが含まれるため、期間構造は外部（外生的）から来る。^[2]${\displaystyle T\mapsto P(0,T)}$

このセクション全体を通して、リスク中立確率測度とその微分での標準ブラウン運動を表します。モデルが対数正規 の場合、変数はオルンシュタイン・ウーレンベック過程に従うと仮定され、に従うと仮定されます。 ${\displaystyle W_{t}\,}$${\displaystyle dW_{t}\,}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle r_{t}\,}$${\displaystyle r_{t}=\exp {X_{t}}\,}$

以下は 1 因子モデルです。これらのモデルでは、単一の確率的因子 (短期金利) がすべての金利の将来の変化を決定します。金利の平均回帰を捉えない Rendleman–Bartter および Ho–Lee を除き、これらのモデルは Ornstein–Uhlenbeck プロセスの特定のケースと考えることができます。Vasicek、Rendleman–Bartter、および CIR モデルは内生モデルであり、自由パラメータの数は有限であるため、モデルがゼロクーポン債またはフォワード金利契約やスワップなどの線形商品のいくつかの観測市場価格 (「キャリブレーション」) と一致するようにこれらのパラメータ値を指定することはできません。または、これらの線形商品にベスト フィットを実行して、市場価格に最も近い内生的短期金利モデル パラメータを見つけます。これにより、パラメータが線形商品に適合するために使用されているため、キャップ、フロア、スワップションなどの適合オプションは使用できません。この問題は、パラメータが時間とともに決定論的に変化できるようにするか、^{[3] [4]}または内生モデルに決定論的なシフトを追加することで克服されます。^[5] このようにして、Ho-Leeモデルやその後継モデルなどの外生モデルを市場データに合わせて調整することができ、これにより、これらのモデルは利回り曲線を構成する債券の価格を正確に返すことができ、残りのパラメータはオプションの調整に使用できます。実装は通常、（二項）短期金利ツリー^[6]またはシミュレーションを介して行われます。「格子モデル（金融）」§「オプションの価格設定のための金利デリバティブとモンテカルロ法」を参照してください。ただし、一部の短期金利モデルにはゼロクーポン債の閉形式の解があり、キャップやフロアさえも存在するため、調整作業が大幅に容易になります。

まず、次の内生モデルをリストします。

1. マートンのモデル（1973）は、短期レートを次のように説明しています。ここで、はスポットマルチンゲール測度の下での1次元ブラウン運動です。^[7]このアプローチでは、短期レートは算術ブラウン運動に従います。${\displaystyle r_{t}=r_{0}+at+\sigma W_{t}^{*}}$${\displaystyle W_{t}^{*}}$
2. Vasicekモデル(1977) は短期金利を とモデル化し、 と表記されることが多い。^[8] 2 番目の形式の方が一般的で、パラメータの解釈がより直接的になる。パラメータは平均回帰の速度、パラメータは長期平均、パラメータは瞬間的なボラティリティである。この短期金利モデルでは、短期金利にOrnstein–Uhlenbeck 過程が使用される。短期金利の確率分布はガウス分布であるため、このモデルではマイナス金利が許容される。また、このモデルでは債券価格と債券オプションおよびキャップ/フロアの閉形式の解が許容され、Jamshidian のトリック を使用するとスワップションの式も得られる。^[2]${\displaystyle dr_{t}=(\theta -\alpha r_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}}$${\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \sigma}$
3. レンドルマン・バーターモデル（1980）^[9]またはドーサンモデル（1978）^[10]は、短期金利を と説明する。このモデルでは、短期金利は幾何ブラウン運動に従う。このモデルはオプションの閉形式の式を持たず、平均回帰しない。さらに、短期間で銀行口座の期待残高が無限になるという問題もある。同じ問題は、すべての対数正規短期金利モデルに存在するだろう^[2]${\displaystyle dr_{t}=\theta r_{t}\,dt+\sigma r_{t}\,dW_{t}}$
4. Cox –Ingersoll–Ross モデル(1985) は を仮定しており、 と表記されることが多い。 この係数は (一般に) マイナス金利の可能性を排除する。^[11] 2 番目の定式化におけるパラメータの解釈は、Vasicek モデルの場合と同じである。 Feller 条件は、厳密に正の短期金利を保証する。 このモデルは Feller 平方根過程に従い、負でない金利を持ち、債券価格と債券オプションおよびキャップ/フロアの閉じた形式の解を許容し、Jamshidian のトリックを使用すると、スワップションの式も得ることができる。 このモデルと Vasicek モデルは両方ともアフィン モデルと呼ばれている。これは、有限の満期 T の時点 t における連続複利スポット金利の式が のアフィン関数であるためである。^[2]${\displaystyle dr_{t}=(\theta -\alpha r_{t})\,dt+{\sqrt {r_{t}}}\,\sigma \,dW_{t}}$${\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+{\sqrt {r_{t}}}\,\sigma \,dW_{t}}$${\displaystyle \sigma {\sqrt {r_{t}}}}$${\displaystyle 2ab>\sigma ^{2}}$${\displaystyle r_{t}}$

ここで、外生的短期金利モデルをいくつか挙げます。

1. Ho-Leeモデル（1986）は短期金利を としてモデル化します。^[12]パラメータは、金利または債券価格の初期の期間構造をモデルの入力として考慮します。このモデルは、時間に依存する決定論的ドリフトパラメータを持つ算術ブラウン運動に従います。${\displaystyle dr_{t}=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$${\displaystyle \theta_{t}}$
2. ハル・ホワイトモデル（1990）は、拡張されたヴァシチェックモデルとも呼ばれ、 を仮定している。多くの説明では、パラメータの1つ以上とが時間に依存しない。短期金利の分布は正規分布であり、モデルはマイナス金利を許容する。定数とを持つモデルが最も一般的に使用され、債券価格、債券オプション、キャップとフロア、ジャムシディアンのトリックによるスワップションの閉形式の解を可能にする。このモデルは、時間依存関数 を通じて金利の初期期間構造の正確な較正を可能にする。バミューダスワップションおよび解析式のない商品の格子ベースの実装は、通常、三項式 である。^{[13] [14]}${\displaystyle dr_{t}=(\theta _{t}-\alpha _{t}r_{t})\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}}$${\displaystyle \theta,\alpha}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \theta_{t}}$
3. ブラック・ダーマン・トイモデル（1990）は、時間依存の短期金利変動率については対数正規分布に従う。^[15]このモデルにはオプションに関する閉形式の公式はない。また、すべての対数正規分布モデルと同様に、有限時間内に銀行口座の期待残高が爆発的に増加するという問題がある。${\displaystyle d\ln(r)=[\theta _{t}+{\frac {\sigma '_{t}}{\sigma _{t}}}\ln(r)]dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$${\displaystyle d\ln(r)=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$
4. ブラック・カラシンスキー・モデル（1991）は対数正規分布であり、である。^[16]このモデルはハル・ホワイトの対数正規分布の応用とみなすことができる。^[17]格子ベースの実装も同様に三項分布である（二項分布では変化する時間ステップを必要とする）。^[6]このモデルには閉じた形の解はなく、ゼロクーポン債の価格を生成するには、初期の期間構造に対する基本的な調整でさえ数値的手法で行う必要がある。このモデルも、有限時間内に予想される銀行口座残高が爆発的に増加するという問題を抱えている。${\displaystyle d\ln(r)=[\theta _{t}-\phi _{t}\ln(r)]\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$
5. Kalotay –Williams–Fabozziモデル（1993）は短期金利を と表し、Ho–Leeモデルの対数正規類似体であり、Black–Derman–Toyモデルの特殊ケースである。^[18]このアプローチは実質的に「オリジナルのSalomon Brothersモデル」（1987）^[19]に似ており、これもHo-Leeの対数正規変形である。^[20]${\displaystyle d\ln(r_{t})=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$
6. CIR++ モデルは、2001 年にBrigoとMercurio ^{[5]によって導入され、詳細に研究され、それ以前に Scott (1995) [21]}によっても定式化されましたが、CIR モデルを使用していますが、ダイナミクスに時間依存のパラメータを導入する代わりに、外部シフトが追加されています。このモデルは次のように定式化されます。ここで、は決定論的なシフトです。シフトを使用して、市場の期間構造を吸収し、モデルをこれと完全に一致させることができます。このモデルは、基本的な CIR モデルの解析的扱いやすさを維持し、債券とすべての線形製品、および Jamshidian のトリックによるキャップ、フロア、スワップションなどのオプションのクローズド フォーム ソリューションを可能にします。このモデルでは、シフトが正に制限されている場合は正のレートを維持でき、シフトが負になる場合は負のレートが許容されます。このモデルは、このオリジナル バージョンまたはジャンプを使用して、クレジット デフォルト スワップやスワップションなどのクレジット リスクにも頻繁に適用されています。^[22]${\displaystyle dx_{t}=a(b-x_{t})\,dt+{\sqrt {x_{t}}}\,\sigma \,dW_{t},\ \ r_{t}=x_{t}+\phi (t)}$${\displaystyle \phi }$

決定論的シフトの考え方は、内生的な形で望ましい特性を持つ他のモデルにも適用できます。たとえば、シフトをVasicekモデルに適用できますが、Ornstein-Uhlenbeck過程の線形性により、これは時間依存関数を作成することと同等であり、したがってHull-Whiteモデルと一致することになります。^[5]${\displaystyle \phi }$${\displaystyle b}$

上記の 1 ファクター モデルのほかに、短期金利のマルチ ファクター モデルもあります。その中で最もよく知られているのは、ロングスタッフとシュワルツの2 ファクター モデルとチェンの 3 ファクター モデル (「確率的平均および確率的ボラティリティ モデル」とも呼ばれる) です。リスク管理の目的、「現実的な金利シミュレーションを作成する」ために、これらのマルチ ファクター短期金利モデルは、一般的に「実際の利回り曲線の動きとより一致する」シナリオを生成するため、1 ファクター モデルよりも好まれることがあります。^[23]

• ロングスタッフ・シュワルツモデル（1992）は、短期金利のダイナミクスは次のように表されると仮定している。

${\displaystyle {\begin{aligned}dX_{t}&=(a_{t}-bX_{t})\,dt+{\sqrt {X_{t}}}\,c_{t}\,dW_{1t},\\[3pt]dY_{t}&=(d_{t}-eY_{t})\,dt+{\sqrt {Y_{t}}}\,f_{t}\,dW_{2t},\end{aligned}}}$

ここで短期金利は次のように定義される。

${\displaystyle dr_{t}=(\mu X+\theta Y)\,dt+\sigma _{t}{\sqrt {Y}}\,dW_{3t}.}$^[24]

• 短期金利の確率的平均と変動性を持つチェンモデル（ 1996）は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}dr_{t}&=(\theta _{t}-\alpha _{t})\,dt+{\sqrt {r_{t}}}\,\sigma _{t}\,dW_{t},\\[3pt]d\alpha _{t}&=(\zeta _{t}-\alpha _{t})\,dt+{\sqrt {\alpha _{t}}}\,\sigma _{t}\,dW_{t},\\[3pt]d\sigma _{t}&=(\beta _{t}-\sigma _{t})\,dt+{\sqrt {\sigma _{t}}}\,\eta _{t}\,dW_{t}.\end{aligned}}}$^[25]

• 2 因子ハル-ホワイト モデルまたは G2++ モデルは、扱いやすさから使用されているモデルです。これらのモデルは、Brigo と Mercurio (2006) で要約され、同等であることが示されています。このモデルは、相関関係にある可能性のある 2 つのオルンシュタイン-ウーレンベック (ヴァシチェク) プロセスとシフトを追加して短期金利を取得することに基づいています。このモデルでは、期間構造の正確な調整、オプションの半閉形式のソリューション、相関パラメーターによる瞬間フォワード レートのボラティリティ期間構造の制御、特に金融市場で金利がマイナスになったときに重要になったマイナス金利の制御が可能です。^[26]

金利モデリングのもう 1 つの主要なフレームワークは、Heath–Jarrow–Morton フレームワーク(HJM) です。上記の短期金利モデルとは異なり、このクラスのモデルは一般に非マルコフ的です。このため、一般的な HJM モデルはほとんどの目的において計算上扱いにくいものとなっています。HJM モデルの大きな利点は、短期金利だけでなく、利回り曲線全体の分析的記述が得られることです。目的によっては (たとえば、住宅ローン担保証券の評価)、これは大きな簡略化となります。1 次元以上の Cox–Ingersoll–Ross モデルと Hull–White モデルは、どちらも HJM フレームワークで直接表現できます。その他の短期金利モデルには、単純なデュアル HJM 表現はありません。

Brace–Gatarek–Musiela モデルや市場モデルなど、複数のランダム性ソースを備えた HJM フレームワークは、高次元のモデルによく使用されます。

フィッシャー・ブラックの影の金利に基づくモデルは、金利がゼロ下限に近づくときに使用されます。

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