ファットテール分布

ファットテール分布は、正規分布または指数分布のいずれかに比べて、大きな歪度または尖度を示す確率分布です。^{[定義は? ]}一般的な用法では、ファットテールとヘビーテールという用語は同義語である場合があります。また、ファットテールはヘビーテールのサブセットとして定義されることもあります。さまざまな研究コミュニティが、主に歴史的な理由からどちらか一方を好み、どちらかの正確な定義が異なる可能性があります。

太い裾を持つ分布は、物理学、地球科学、経済学、政治学など、さまざまな分野で経験的に見受けられます。太い裾を持つ分布には、その裾がべき乗法則のように減少する分布が含まれ、これは科学文献での使用における一般的な参照点です。ただし、太い裾を持つ分布には、対数正規分布などの他のゆっくりと減少する分布も含まれます。^[1]

ファットテールの最も極端なケースは、その裾がべき乗法則 のように減少する分布によって与えられます。

つまり、確率変数Xの相補累積分布が次のように表せる場合^[要出典]

${\displaystyle \Pr \left\{\ X>x\ \right\}\sim x^{-\alpha }\quad }$に関しては${\displaystyle \quad x\to \infty \quad }$${\displaystyle \quad \alpha >0\;,}$

のとき、分布は太い裾を持つと言われます。このような値では、裾の分散と歪度は数学的に定義されていません (べき乗分布の特殊な性質)。そのため、どの正規分布や指数分布よりも大きくなります。 の値の場合、太い裾であるという主張はより曖昧です。なぜなら、このパラメータ範囲では、 の正確な値に応じて、分散、歪度、尖度が有限になる可能性があり、高分散の正規分布や指数分布の裾よりも小さくなる可能性があるからです。この曖昧さにより、何が太い裾を持つ分布であるか、そうでないかが正確に何であるかについて意見の相違が生じることがよくあります。 モーメントは無限であるため、すべてのべき乗分布では、いくつかのモーメントが定義されていません。^[2]${\displaystyle \alpha <2}$${\displaystyle \\alpha >2\,}$${\displaystyle \\alpha\,}$${\displaystyle \ k>\alpha -1\ ,}$${\displaystyle \ k^{\mathsf {th}}\ }$

注記

ここで、チルダ表記「」は、分布の裾がべき乗法則のように減少することを意味します。より技術的には、関数の漸近的等価性、つまり関数の比率が漸近的に定数に近づくことを意味します。^[要出典]${\displaystyle \sim}$

正規分布では、ファットテール分布と比較して、平均から5標準偏差以上離れたイベント (「5 シグマ イベント」) の確率が低くなります。つまり、正規分布では、ファットテール分布よりも極端なイベントが発生する可能性が低くなります。コーシー分布などのファットテール分布(および正規分布を除く他のすべての安定した分布) には、「定義されていないシグマ」があります (より技術的には、分散が定義されていません)。

その結果、データが基になるファットテール分布から生じた場合、リスクの「正規分布」モデルを無理やり当てはめ、（必然的に）有限のサンプルサイズに基づいてシグマを推定すると、予測の難しさ（およびリスク）の真の程度が過小評価されることになります。多くの人（特にブノワ・マンデルブロやナシム・タレブ）は、正規分布モデルのこの欠点に注目し、安定分布などのファットテール分布が金融でよく見られる資産収益を左右すると提唱しています。^{[3] [4] [5]}

オプション価格設定のブラック・ショールズモデルは正規分布に基づいています。分布が実際にはファットテール分布である場合、モデルは5シグマまたは7シグマのイベントが正規分布の予測よりもはるかに起こりやすいため、アウトオブザマネーから大きく外れたオプションを過小評価します。^[6]

金融では、ファット テールは頻繁に発生しますが、それが意味する追加のリスクのため、望ましくないと見なされます。たとえば、投資戦略の 1 年後の期待収益が標準偏差の 5 倍になる場合があります。正規分布を想定すると、その失敗 (マイナスの収益) の可能性は 100 万分の 1 未満ですが、実際にはそれよりも高くなる可能性があります。金融で発生する正規分布は通常、資産の価値または価格に影響を与える要因が数学的に「適切に機能」し、中心極限定理がそのような分布を規定しているために発生します。ただし、衝撃的な「現実世界」のイベント (石油ショック、大企業の倒産、政治情勢の急激な変化など) は、通常、数学的に適切に機能しません。

歴史的な例としては、1929年のウォール街大暴落、ブラックマンデー（1987年）、ドットコムバブル、2007～2008年の金融危機、2010年のフラッシュクラッシュ、2020年の株式市場暴落 、一部の通貨のペッグ解除などが挙げられます。^[7]

市場収益分布のファットテールにも何らかの行動起源（投資家の過度の楽観主義や悲観主義が市場の大きな動きにつながる）があり、そのため行動ファイナンスで研究されています。

マーケティングでは、よく見られる80-20ルール（例：「顧客の20％が収益の80％を占める」）は、データの根底にあるファットテール分布の現れです。^[8]

「ファットテール」は、商品市場やレコード業界、特にレコード市場でも見られる。週ごとのレコード売上の変化の対数に対する確率密度関数は、高度に急尖型であり、正規分布の場合よりも最大値が狭く大きく、裾が太いという特徴がある。一方、この分布には、チャート入りした新曲のプロモーションによる売上増加に関連するファットテールが 1 つだけある。^[9]

• テールリスク
• ブラックスワン理論
• ランダム性の7つの状態
• タレブ分布

• 金融時系列におけるファットテールの例
• ファットテール分布 - John A. Robb 2017-03-17 にWayback Machineでアーカイブ