無関心の価格

金融において、無差別価格設定は、効用関数に関して金融証券の価格を設定する方法である。無差別価格は留保価格または私的評価とも呼ばれる。特に、無差別価格とは、エージェントが金融取引を行うことによって、そうしない場合（そうでなければ最適取引）と同じ期待効用レベルを得る価格である。通常、無差別価格は特定のエージェントの価格範囲（ビッド・アスク・スプレッド）であり、この価格範囲は、良い取引境界の一例である。^[1]

ある最終時点での効用関数と既知の利得を持つ請求が与えられた場合、関数は次のように定義される。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle C_{T}}$${\displaystyle T,}$${\displaystyle V:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle V(x,k)=\sup _{X_{T}\in {\mathcal {A}}(x)}\mathbb {E} \left[u\left(X_{T}+kC_{T}\right)\right]}$、

ここで、は初期自己資本、は自己資本 から始まる時刻におけるすべての自己資金調達ポートフォリオの集合、 は購入（または売却）される請求権の数です。の単位に対する無差別入札価格は の解であり、無差別売り値は の解です。無差別価格の境界は の範囲です。^[2]${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {A}}(x)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle x}$${\displaystyle k}$${\displaystyle v^{b}(k)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle C_{T}}$${\displaystyle V(xv^{b}(k),k)=V(x,0)}$${\displaystyle v^{a}(k)}$${\displaystyle V(x+v^{a}(k),-k)=V(x,0)}$${\displaystyle \left[v^{b}(k),v^{a}(k)\right]}$

リスクのない資産と、リスクのある資産とがあり、それぞれ確率 である市場を考えます。効用関数は で与えられるものとします。ストライク価格 110 の単一のヨーロピアン コール オプションのビッドまたはアスク無差別価格を求めるには、まず を計算します。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle B_{0}=100}$${\displaystyle B_{T}=110}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S_{0}=100}$${\displaystyle S_{T}\in \{90,110,130\}}$${\displaystyle 1/3}$${\displaystyle u(x)=1-\exp(-x/10)}$${\displaystyle V(x,0)}$

${\displaystyle V(x,0)=\max _{\alpha B_{0}+\beta S_{0}=x}\mathbb {E} [1-\exp(-.1\times (\alpha B_{T}+\beta S_{T}))]}$

${\displaystyle =\max _{\beta }\left[1-{\frac {1}{3}}\left[\exp \left(-{\frac {1.10x-20\beta }{10}}\right)+\exp \left(-{\frac {1.10x}{10}}\right)+\exp \left(-{\frac {1.10x+20\beta }{10}}\right)\right]\right]}$。

これは のときに最大化されるので、 となります。 ${\displaystyle \beta =0}$${\displaystyle V(x,0)=1-\exp \left(-{\frac {1.10x}{10}}\right)}$

無差別入札価格を見つけるには、${\displaystyle V(x-v^{b}(1),1)}$

${\displaystyle V(x-v^{b}(1),1)=\max _{\alpha B_{0}+\beta S_{0}=x-v^{b}(1)}\mathbb {E} [1-\exp(-.1\times (\alpha B_{T}+\beta S_{T}+C_{T}))]}$

${\displaystyle =\max _{\beta }\left[1-{\frac {1}{3}}\left[\exp \left(-{\frac {1.10(x-v^{b}(1))-20\beta }{10}}\right)+\exp \left(-{\frac {1.10(x-v^{b}(1))}{10}}\right)+\exp \left(-{\frac {1.10(x-v^{b}(1))+20\beta +20}{10}}\right)\right]\right]}$

これは のときに最大化されるので、 となります。 ${\displaystyle \beta =-{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle V(x-v^{b}(1),1)=1-{\frac {1}{3}}\exp(-1.10x/10)\exp(1.10v^{b}(1)/10)\left[1+2\exp(-1)\right]}$

したがって、 の場合。 ${\displaystyle V(x,0)=V(x-v^{b}(1),1)}$${\displaystyle v^{b}(1)={\frac {10}{1.1}}\log \left({\frac {3}{1+2\exp(-1)}}\right)\approx 4.97}$

同様に解いて無差別売り値を見つけます。 ${\displaystyle v^{a}(1)}$

• 支払い意欲
• 受け入れる意志

• が請求に対する無差別価格の境界である場合、定義により となる。^[2]${\displaystyle \left[v^{b}(k),v^{a}(k)\right]}$${\displaystyle v^{b}(k)=-v^{a}(-k)}$
• が請求に対する無差別入札価格であり、がそれぞれスーパーヘッジ価格とサブヘッジ価格である場合、 となります。したがって、完全市場では、無差別価格は常に請求をヘッジする価格に等しくなります。${\displaystyle v(k)}$${\displaystyle v^{sup}(k),v^{sub}(k)}$${\displaystyle v^{sub}(k)\leq v(k)\leq v^{sup}(k)}$