ラティスモデル（金融）

定量的ファイナンスにおいて、格子モデル^[1]は、離散時間モデルを必要とする状況でのデリバティブの評価に対する数学的アプローチである。配当を支払う株式オプションの場合、典型的な応用例は、満期日までいつでも権利行使の決定が認められるアメリカンスタイルのオプションの価格設定に対応する。一方、標準的なブラック・ショールズモデルなどの連続モデルでは、権利行使がオプションの満期日に限定されるヨーロピアンオプションの評価のみが可能となる。金利デリバティブの場合、格子は、連続モデルで遭遇するプル・トゥ・パー^[2]などの多くの問題に対処できるという点でも有用である。この方法は、ペイオフのパス依存性のため、特定のエキゾチックオプションの評価にも使用される。オプションの価格設定に対する従来のモンテカルロ法では、早期権利行使によってデリバティブを終了する最適な決定を考慮に入れることができなかったが^{[3] 、}この問題を解決するためのいくつかの方法が存在する。

一般的に、このアプローチでは、現在からオプションの有効期限までの時間をN個の離散期間に分割します。特定の時間nでは、モデルは時間n + 1 で有限数の結果を持ち、 nとn + 1 の 間の世界の状態のあらゆる可能な変化 がブランチに取り込まれます。このプロセスは、n = 0 とn = Nの間のすべての可能なパスがマップされるまで繰り返されます。次に、nからn + 1への パスごとに確率が推定されます。結果と確率は、今日のオプションの公正価値が計算されるまで、 ツリーを逆方向に流れます。

株式とコモディティの場合、その適用は次のようになります。最初のステップは、今日のスポット価格から始めて、オプションの主要な原変数の推移を、そのボラティリティと一致するように追跡することです。通常、一定のボラティリティを伴う対数正規ブラウン運動が想定されます。 ^[4]次のステップは、オプションを再帰的に評価することです。つまり、各ノードに権利行使価値がある最終タイムステップから逆方向に進み、それより前の各ノードでリスク中立評価を適用します。ここで、オプションの価値は、後のタイムステップでのアップノードとダウンノードの確率加重現在価値です。詳細については、二項オプション価格設定モデル § 方法 を参照してください。また、ロジックと式の導出については、合理的価格設定 § リスク中立評価 を参照してください。

上で述べたように、格子アプローチは、オプションを早期に行使するか、オプションを保持するかの選択を、各離散的な時間/価格の組み合わせでモデル化できるアメリカンオプションを評価する際に特に有用であり、これはバミューダオプションにも当てはまります。同様の理由から、リアルオプションと従業員ストックオプションは、仮定を修正した上で、格子フレームワークを使用してモデル化されることが多いです。これらの各ケースでは、3番目のステップとして、オプションを行使するか保持するかを決定し、問題のノードでこの値を適用します。バリアオプションなどの一部のエキゾチックオプションもここで簡単にモデル化できますが、他のパス依存オプションについては、シミュレーションが推奨されます。（ただし、ツリーベースの方法が開発されています。 ^{[5] [6]} ）

最も単純な格子モデルは二項オプション価格モデルである。^[7]標準的（「標準的」^[8]）方法は、 1979年にCox、Ross、Rubinstein（CRR）によって提案されたものである。公式については図を参照。20を超える他の方法が開発されており、^[9]それぞれが原資産価格の推移に関して「さまざまな仮定の下で導出された」。^[4] 限界では、タイムステップの数が増えるにつれて、これらは対数正規分布に収束し、したがってブラックショールズと「同じ」オプション価格を生成する。これを実現するために、これらは、離散的に測定された各タイムステップで原資産の中心モーメント、生モーメント、および/または対数モーメントに一致しようとします。タイムステップの数が変化してもブラックショールズに対する安定性を達成するために、さらなる機能強化が設計されています。実際、最近のモデルは、ブラックショールズへの直接収束を中心に設計されています。^[9]

二項式の変形として、1986年にフェリム・ボイルが開発した三項式ツリー[10] [11] がある。ここでは、^株価はタイムステップを通じて不変であり、オプションの評価は、後のタイムステップにおけるアップ、ダウン、ミドルノードの株式の価値に基づいて行われる。二項式についても、同様の（ただし範囲は狭い）方法が存在する。三項式モデルは、モデル化するタイムステップが少ない場合に二項式モデルよりも正確な結果を生成すると考えられており^[12]、そのため、計算速度やリソースが問題になる可能性がある場合に使用されている。バニラオプションの場合、ステップ数が増えるにつれて結果が急速に収束するため、実装が簡単な二項式モデルが好まれる。エキゾチックオプションの場合、ステップサイズに関係なく、三項式モデル（または適応モデル）の方が安定して正確な場合がある。

さまざまなギリシャ語は格子上で直接推定することができ、その感度は有限差分を使用して計算されます。^[13] デルタとガンマは、価格に対するオプション価値の感度であり、同じ時間ステップでのオプション価格（および関連するスポット）間の差に基づいて近似されます。シータ、時間に対する感度も同様に、ツリーの最初のノードでのオプション価格と、後の時間ステップでの同じスポットのオプション価格に基づいて推定されます。（三項式の場合は2番目の時間ステップ、二項式の場合は3番目。方法によっては、「ダウンファクター」が「アップファクター」の逆でない場合、この方法は正確ではありません。）ロー、金利に対する感度、およびベガ、入力ボラティリティに対する感度については、これらの入力をわずかに変更して構築された新しい格子上で値を2度計算する必要があるため、測定は間接的です。ここでの感度も同様に有限差分によって返されます。また、非ヨーロピアン オプションの権利行使にかかる推定時間 (通常は格子を使用して計算されます) については、 Fugitも参照してください。

複数の原資産（レインボーオプションやバスケットオプションなど）の場合、「多項式格子」^{[14]を構築できます。各原資産には独自のツリーがあり、ノードごとのオプション値はすべての原資産ツリーの対応するノードの関数になります。資産が2つの場合、ツリーは「二項}ピラミッド」と呼ばれます。 ^[14] ここではさらに2つの複雑な問題があります。^[15] まず、ノードの数は原資産の数に応じて指数関数的に増加します。次に、これらの製品では、資産間の相関が重要な役割を果たし、これらもモデリングに組み込む必要があります。

1987 年の金融危機以降、特に2007 ～ 2008 年の金融危機以降、価格設定モデルにボラティリティ スマイル/ サーフェスを組み込むことが重要になってきました。これは、基礎となる価格変動分布が期間構造を示し、ブラック ショールズが想定したものとは異なり、非正規であるという事実を認識したものです。金融経済学 § デリバティブの価格設定とオプションの評価 § 危機後を参照してください。これを行うために、銀行は通常、確率的またはローカルなボラティリティモデルを適用します。Lattice フレームワークでは、インプライド ツリーを構築できます。これらは基本的に後者を離散化します。ここでは、ツリーは、さまざまなストライクと満期にわたって、選択された (すべての) 市場価格を正常に再現するように解決されます。したがって、これらのツリーは、「すべてのヨーロッパ標準オプション (ツリー ノードと一致するストライクと満期を持つ) の理論値が市場価格と一致することを保証します」。^[16]較正された格子を使用することで、市場で取引されていない行使価格と満期日の組み合わせのオプションの価格を、観測されたボラティリティパターンと一致するように設定することができます。リスク管理のために、返されるギリシャ指標は、より適切に感応度を反映するでしょう。

暗黙の二項木（多くの場合Rubinstein IBT（R-IBT）^[17]）と暗黙の三項木（多くの場合Derman -Kani- Chriss ^[16]（DKC; DK-IBT ^[18]に取って代わった））の両方が存在する。前者は構築が簡単だが、1 つの満期にしか対応していない。後者は、すべてのタイムステップとノードで既知の（または補間された）価格に対応しているが、同時にそれらを必要とする。構築に関しては、R-IBT の場合、最初のステップはスポット価格の「暗黙の終了リスク中立確率」を回復することです。次に、同じ終了ノードにつながるすべてのパスが同じリスク中立確率を持つという仮定により、「パス確率」が各終了ノードに付加されます。その後は「1、2、3 のように簡単」で、3 ステップの逆方向再帰により、各タイムステップのノード確率を回復できます。オプション評価は、これらの確率を上記のものと置き換えて、標準どおりに進められます。DKC の場合、最初のステップは、ツリーの各ノードに対応する状態価格を回復することです。これは、観測されたオプション価格 (つまり、ボラティリティ サーフェス) と一致するように行われます。その後、各ノードについて、上向き、下向き、中間の確率が次のように求められます。これらの合計は 1 になります。スポット価格は、配当利回りを組み込んで、時間ステップごとにリスク中立的に変化します。状態価格は、同様にリスクフリー レートで「成長」します。^[19] (ここでのソリューションは、同時ではなく、時間ステップごとに反復的です。) R-IBT の場合と同様に、オプション評価は標準の後方再帰によって行われます。 ${\displaystyle p}$

代替案として、エッジワース二項木 ^[20] が採用されることもある。これは、スポット価格のリターンにおいてアナリストが指定した歪度と尖度を許容するからである (エッジワース シリーズを参照)。この場合、異なる行使価格のオプションは異なるインプライド ボラティリティを返すため、パラメータ値の「賢明な選択」^[21]によって、木をボラティリティ スマイルに調整することができる。アメリカン オプションの価格設定では、調整された満期分布と組み合わせた R-IBT に基づいて評価が行われる。エッジワース アプローチは、有効な分布が利用できる歪度と尖度のペアのセットに制限がある。より最近のジョンソン二項木^[22]では、 ジョンソンの「ファミリー」の分布を 使用する。これは、すべての可能なペアに対応できるためである。エッジワース (またはジョンソン) 木は、原資産の挙動が (著しく) 正規分布から逸脱する他の用途にも役立つ。一例として、これらのツリーは多項式オプションに適用することができます。例えば、バスケットオプションは、ツリーを構築するベースとなるエンドノード、歪度、尖度を提供する「近似分布」 ^[23]を使用して価格設定することが できます。

格子による CVA / XVAのモデリングについては、以下を参照してください。

ラティスは、債券オプション、スワップション、その他の金利デリバティブの評価によく使用されます^{[24] [25]}これらの場合の評価は、おおむね上記と同じですが、金利ツリーを構築するという追加のゼロ番目のステップが必要であり、この金利ツリーに基づいて原資産の価格が決定されます。次のステップも異なります。ここでの原資産価格は、「後方誘導」によって構築されます。つまり、上記のように評価日から前方に流れるのではなく、満期日から後方に流れ、各ノードで予定されているキャッシュフローの現在価値を蓄積します。最終ステップであるオプション評価は、標準どおりに進行します。図については上部を、説明については脇を参照してください。

初期格子は、ハル・ホワイトやブラック・ダーマン・トイなどの短期金利モデル、またはLIBOR市場モデルやHJMなどのフォワード金利ベースのモデルのいずれかを離散化することによって構築されます。株式に関しては、これらのモデルに三項式ツリーを使用することもできます。^[26]これは通常、ハル・ホワイトツリーの場合に当てはまります。

HJM では、^[27]裁定取引がないという条件は、マルチンゲール確率測度と、フォワード レートの「ドリフト係数」に対する対応する制約が存在することを意味します。これらは、今度は、フォワード レートのボラティリティの関数です。 ^[28]ドリフトの「単純な」離散表現^[29]により、フォワード レートを二項格子で表現できます。これらのフォワード レート ベースのモデルでは、ボラティリティの仮定に依存して、格子が再結合しない場合があります。^{[30] [27]} (つまり、「上昇」の後に「下降」が続く場合と、「下降」の後に「上昇」が続く場合では、同じ結果が得られません。) この場合、格子は「ブッシュ」と呼ばれることもあり、ノードの数は時間ステップの数の関数として指数関数的に増加します。 Libor市場モデルでは、再結合二項ツリー手法も利用可能である。^[31]

短期金利モデルに関しては、さらに次の分類に分けられる。これらは、均衡ベース（VasicekおよびCIR）または裁定なし（Ho–Leeおよびそれ以降）のいずれかである。この区別は、均衡ベースモデルの場合、利回り曲線はモデルからの出力であるのに対し、裁定なしモデルの場合、利回り曲線はモデルへの入力である。 ^[32]前者の場合、モデルパラメータを「較正」し、モデルによって生成された債券価格が連続形式で、観測された市場価格に最もよく適合するようにする。 ^[33]次に、ツリーはこれらのパラメータの関数として構築される。後者の場合、較正は格子上で直接行われる。適合は、現在の金利の期間構造（つまり、利回り曲線）と、対応するボラティリティ構造の両方に対して行われる。ここで、較正とは、金利ツリーが、利回り曲線の構築に使用されるゼロクーポン債（およびその他の金利感応性証券）の価格を再現することを意味する。上記の株式の暗黙のツリーとの類似性に注意し、ブートストラッピング（金融）と比較してください。正規分布を仮定するモデル（Ho-Leeなど）の場合、較正は解析的に実行できますが、対数正規モデルの場合、較正はルート検索アルゴリズムを介して行われます。たとえば、Black-Derman-Toyモデルのボックスで囲まれた説明を参照してください。

ここでのボラティリティ構造、つまり垂直のノード間隔は、格子タイムステップに対応する四半期またはその他の期間中のレートのボラティリティを反映しています。(アナリストの中には、タイムステップに過去に適用可能なレートの「実現ボラティリティ」を使用する人もいます。市場整合を図るため、アナリストは通常​​、現在の金利キャップ価格と、各コンポーネントキャップのBlack-76価格の暗黙のボラティリティを使用することを好みます。金利キャップ § 暗黙のボラティリティを参照してください。) ボラティリティへのこの機能的なリンクを考えると、株式の暗黙のツリーと比較した構築の結果の違いに注目してください。金利の場合、ボラティリティは各タイムステップでわかっており、ノード値 (つまり金利) は指定されたリスク中立確率について解く必要があります。一方、株式の場合、時間ステップごとに単一のボラティリティを指定することはできません。つまり、「スマイル」があり、各ノードで指定された原資産の値に対応する確率を解くことによってツリーが構築されます。

一度較正されると、金利格子はさまざまな固定利付商品やデリバティブの評価に使用されます。^[27] 債券オプションのアプローチについては別途説明します。このアプローチは、クローズドフォームのアプローチで経験される額面への引き戻しの問題に対処することに注意してください。ブラック・ショールズ・モデル § 債券オプションの評価を参照してください。スワップションの場合もロジックはほぼ同じで、ステップ 1 で債券をスワップに置き換え、ステップ 2 で債券オプションをスワップションに置き換えます。キャップ (およびフロア) の場合、ステップ 1 と 2 が組み合わされます。各ノードでの値は、後のステップの関連ノードに基づき、さらに、タイムステップで満期を迎えるキャップレット (フロアレット) については、その参照レートとノードでの短期レートの差 (および対応する日数カウント分数と​​交換された想定元本を反映) に基づきます。コール可能債券およびプット可能債券の場合、3 番目のステップが必要になります。タイム ステップ内の各ノードで、組み込まれたオプションが債券価格および/またはオプション価格に与える影響を、1 タイム ステップ分後戻りする前に組み込みます。(これらのオプションは相互に排他的ではないため、債券には複数のオプションが組み込まれている可能性があります。^[34]ハイブリッド証券については以下で説明します。) その他のよりエキゾチックな金利デリバティブの場合、ステップ 1 以降で同様の調整が行われます。「ギリシャ語」については、主に株式の場合と同様に、次のセクションを参照してください。

（アメリカの）債券オプション、特に最終利回り（YTM）で締結されるオプションをモデル化する別のアプローチでは、修正株式格子法が採用されています。^[35]ここでアナリストは、一定ボラティリティの仮定を適用して、YTMのCRRツリーを構築し、各ノードでこの利回りの関数として債券価格を計算します。したがって、ここでの価格は額面通りです。2番目のステップは、対応するDKCツリーを構築してボラティリティの期間構造を組み込み（CRRツリーの2番目のタイムステップごとに基づきます。DKCは3項式ですが、CRRは2項式です）、これをオプション評価に使用します。

2007～2008年の金融危機以降、スワップの価格設定は（一般的に）「マルチカーブフレームワーク」に基づいているが、それ以前は単一の「自己割引」カーブに基づいていた。金利スワップの§ 評価と価格設定を参照。ここでは、ペイオフは、問題の期間に固有の参照レートまたは予測レート（LIBOR）の関数として設定され、割引はOISレートで行われる。ラティスフレームワークでこれに対応するために、OISレートと関連する参照レートは、入力されたOISスワップ価格とLiborスワップ価格を返すように構築された3次元ツリーで共同モデル化され、2つのレートセット間の相関も継承される。^[36] このようにゼロ番目のステップが完了すると、評価はステップ1以降を使用してこれまでとほぼ同じように進められるが、ここでは上記の「ピラミッド」と同様に、LIBORツリーに基づくキャッシュフローと、OISツリーの対応するノードを使用した割引が行われる。

関連する展開として、銀行は締結したデリバティブ契約の価値を評価する際に、信用評価調整（CVA）やその他のさまざまなXVAを行うことになる。これらの目的は2つあり、第一に、デリバティブ契約で相手方が支払わなかった場合に起こり得る損失をヘッジすることであるが、銀行の自己資本比率規制で要求される資本の額を決定（およびヘッジ）することも目的としている。通常はシミュレーションの枠組みで計算されるが、ツリーベースの手法もここで適用できる。 ^{[37] [38] [39]} たとえばスワップの場合、^{[37]各日付における銀行の潜在}的な将来的エクスポージャー（ PFE）は、その日付における格子ノード上の正の決済支払額とスワップ価値の確率加重平均であり、各ノードの確率は、ツリーの累積的な上昇確率と下降確率の関数である。この PFE は、相手方の (ツリー外生)デフォルト確率および回収率と組み合わされて、その日の予想損失を導き出します。最終的に、これらを合計した現在価値が、そのポジションの相手方の CVA となります。

株式と債券の両方の特徴を組み込んだハイブリッド証券も、ツリーを使用して評価されます。 ^[40]転換社債（CB）の場合、 TsiveriotisとFernandes（1998） ^[41]のアプローチは、各ノードでの債券の価値を、CBが転換される状況から生じる「株式」コンポーネントと、CBが償還される状況から生じる「負債」コンポーネントに分割することです。これに対応して、割引がそれぞれリスクフリーレートと信用リスク調整済みレートで行われるツインツリーが構築され、その合計がCBの価値になります。^[42]同様に、株式タイプのツリーと短期金利ツリーを組み合わせる方法もあります。^[43]ゴールドマンサックス（1994）によって最初に発表された代替アプローチ^[44]では、コンポーネントを切り離さず、割引は単一のツリー内で転換確率加重リスクフリー金利とリスク金利で行われます。転換社債§評価、条件付き転換社債を参照してください。

より一般的には、株式は企業のコールオプションと見なすことができます。 ^[45]企業価値が未払いの負債の価値よりも低い場合、株主は企業の負債を返済しないことを選択します。そうでない場合は、返済することを選択しますが、清算（つまり、オプションを行使）はしません。ここでの株式分析のために、特に経営難の企業に関連して、格子モデルが開発されました。^{[ 46 ] [ 47] 関連して、企業債務の価格設定に関して、株主の}有限責任と潜在的なチャプター11手続きとの関係も格子を介してモデル化されました。^[49]

金利デリバティブの「ギリシャ」の計算は株式の場合と同様に行われます。ただし、特にハイブリッド証券の場合は、金利の全体的な変化に関連する感応度を推定するという追加の要件があります。オプションが組み込まれた債券の場合、標準的な満期利回りに基づくデュレーションとコンベクシティの計算では、金利の変化がオプションの行使によるキャッシュフローをどのように変えるかは考慮されません。これに対処するために、実効デュレーションとコンベクシティが導入されます。ここでは、上記のローとベガと同様に、利回り曲線の上向きと下向きの平行シフトに合わせて金利ツリーが再構築され、債券価値の対応する変化を考慮してこれらの指標が数値的に計算されます。 ^[50]

• デビッド・F・バベル（1996年）。金利感応型金融商品の評価（第1版）。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。ISBN 978-1883249151。
• ジェラルド・ビュートウ、フランク・ファボッツィ（2000年）。金利スワップとスワップションの評価。ジョン・ワイリー。ISBN 978-1883249892。
• ジェラルド・ビュートウ & ジェームズ・ソチャッキ (2001)。二項木を用いた項構造モデル。AIMR 研究財団 ( CFA 研究所) 。ISBN 978-0-943205-53-3。
• Les Clewlow、Chris Strickland (1998)。『派生モデルの実装』。ニュージャージー州: Wiley。ISBN 978-0-471-96651-7。
• Rama Cont 編 (2010)。金融におけるツリー手法、定量金融百科事典( PDF )。Wiley。ISBN 978-0-470-05756-8。
• フランク・ファボッツィ（1998年）。固定利付証券およびデリバティブの評価（第3版）。ジョン・ワイリー。ISBN 978-1-883249-25-0。
• エスペン・ハウグ（2006年）。オプション価格計算式完全ガイド。ニューヨーク：マグロウヒル。ISBN 978-0-07-138997-6。
• リチャード・レンドルマン (2002)。応用デリバティブ：オプション、先物、スワップ（第 1 版）。Wiley- Blackwell。ISBN 978-0-631-21590-5。
• マーク・ルビンスタイン(2000)。ルビンスタイン著『デリバティブ論』（第 1 版）。リスクブックス。ISBN 978-1899332533。
• スティーブン・シュリーブ（2004年）。『ファイナンスのための確率微積分学I：二項資産価格モデル』 Springer。ISBN 978-0387249681。
• ドナルド・J・スミス（2017年）。CVA 、DVA、FVAの世界における評価：債券と金利デリバティブのチュートリアル。ワールド・サイエンティフィック。ISBN 978-9813222748。
• ジョン・ファン・デル・フックとロバート・J・エリオット(2006)。金融における二項モデル。スプリンガー。ISBN 978-0-387-25898-0。