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確率微分積分学は、確率過程を扱う数学の一分野です。確率過程に関する確率過程の積分について、一貫性のある積分理論を定義することを可能にします。この分野は、第二次世界大戦中に日本の数学者、伊藤清によって創始されました。
確率微分法が適用される最もよく知られた確率過程は、ウィーナー過程（ノーバート・ウィーナーにちなんで命名）であり、これは1900年にルイ・バシュリエ、1905年にアルバート・アインシュタインによって記述されたブラウン運動や、ランダムな力を受ける粒子の空間におけるその他の物理的拡散過程をモデル化するために用いられます。1970年代以降、ウィーナー過程は金融数学や経済学において、株価や債券利回りの時間的変化をモデル化するために広く応用されています。
確率微分法の主な種類は、伊藤積分とその変分法であるマリアバン積分です。技術的な理由から、一般的なクラスのプロセスには伊藤積分が最も有用ですが、関連するストラトノビッチ積分は、問題定式化（特に工学分野）で頻繁に有用です。ストラトノビッチ積分は容易に伊藤積分で表現でき、その逆も可能です。ストラトノビッチ積分の主な利点は、通常の連鎖律に従うため、伊藤の補題[ 1 ]を必要としないことです。これにより、問題を座標系不変の形式で表現することができ、これはR n以外の多様体上で確率微分法を開発する際に非常に貴重です。ストラトノビッチ積分には優収束定理が成り立たないため、積分を伊藤形式で再表現せずに結果を証明することは非常に困難です。
伊藤積分は確率微分積分学の研究において中心的な役割を果たす。は、半マルチンゲールXと局所的に有界な予測可能プロセスHに対して定義される。
半マルチンゲールのストラトノビッチ積分またはフィスク・ストラトノビッチ積分別のセミマルチンゲールYに対しては、伊藤積分を用いて次のように定義できる。
ここで、[ X , Y ] t cは、 X とYの連続部分のオプションの二次共変動を表し、これはオプションの二次共変動からプロセスのジャンプを引いたものです。 そしてつまり
代替表記法
はストラトノビッチ積分を表すためにも用いられる。
確率微分法の重要な応用例の一つは数理ファイナンスであり、そこでは資産価格が確率微分方程式に従うと仮定されることが多い。例えば、ブラック・ショールズ・マートンモデルでは、原資産の価格は幾何ブラウン運動、すなわち特定の伊藤過程としてモデル化される。
古典的な伊藤積分やフィスク・ストラトノビッチ積分の他に、ヒツダ・スコロホッド積分、マーカス積分、小川積分など、確率積分の概念は他にも数多く存在する。
![{\displaystyle \int _{0}^{t}X_{s-}\circ dY_{s}:=\int _{0}^{t}X_{s-}dY_{s}+{\frac {1}{2}}\left[X,Y\right]_{t}^{c},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d114cfa898ce74dfe2012e84aa6f63bab93c7db)
![{\displaystyle \left[X,Y\right]_{t}^{c}:=[X,Y]_{t}-\sum \limits _{s\leq t}\Delta X_{s}\Delta Y_{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/970cea5a9194d4786fdd4991327b6bfc62928ebd)
