確率的割引係数

確率的割引係数（SDF）の概念は、金融経済学と数理ファイナンスで使用されています。この名前は、将来のキャッシュフローを確率係数で「割り引いて」期待値を求めることで資産価格を計算できることに由来しています。^{[1]この定義は}資産価格設定において根本的に重要です。 ${\displaystyle {\tilde {x}}_{i}}$${\displaystyle {\tilde {m}}}$

ある期間の初めに初期価格を持ち、期間の終わりにペイオフを持つn個の資産がある場合（すべてのxはランダム（確率）変数）、SDFは以下を満たす 任意のランダム変数です。${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$${\displaystyle {\tilde {x}}_{1},\ldots ,{\tilde {x}}_{n}}$${\displaystyle {\tilde {m}}}$

${\displaystyle E({\tilde {m}}{\tilde {x}}_{i})=p_{i},{\text{for }}i=1,\ldots ,n.}$

確率的割引係数は、期待値が積分として記述される場合、積分変換のカーネル関数として解釈できるため、価格設定カーネルと呼ばれることがあります。^[2] SDFの別名としては、「限界代替率」（リスク中立率で割引されているものの、効用が分離可能かつ加算的である場合の状態の効用比率）、「尺度の変更」、「状態価格デフレーター」、または「状態価格密度」などがあります。^[2]${\displaystyle E({\チルダ {m}}\,{\チルダ {x}}_{i})}$${\displaystyle {\tilde {m}}}$

SDFの存在は一物一価の法則と同等である。^[1]同様に、正のSDFの存在は裁定機会の不在と同等である（資産価格設定の基本定理を参照）。この場合、が正であれば、収益を表すためにを使用して定義を書き直すことができる。 ${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle {\チルダ {R}}_{i}={\チルダ {x}}_{i}/p_{i}}$

${\displaystyle E({\tilde {m}}{\tilde {R}}_{i})=1,\quad \forall i,}$

そしてこれは

${\displaystyle E\left[{\tilde {m}}({\tilde {R}}_{i}-{\tilde {R}}_{j})\right]=0,\quad \forall i,j.}$

また、資産で構成された ポートフォリオがある場合、SDFは

${\displaystyle E({\チルダ {m}}{\チルダ {x}})=p,\quad E({\チルダ {m}}{\チルダ {R}})=1.}$

共分散に関する単純な標準恒等式により、

${\displaystyle 1=\operatorname {cov} ({\tilde {m}},{\tilde {R}})+E({\tilde {m}})E({\tilde {R}}).}$

リスクのない資産があると仮定します。すると が成り立ちます。これを最後の式に代入して整理すると、収益 を持つ任意の資産またはポートフォリオのリスク プレミアムの次の式が得られます。 ${\displaystyle {\tilde {R}}=R_{f}}$${\displaystyle E({\tilde {m}})=1/R_{f}}$${\displaystyle {\tilde {R}}}$

${\displaystyle E({\tilde {R}})-R_{f}=-R_{f}\operatorname {cov} ({\tilde {m}},{\tilde {R}}).}$

これは、リスクプレミアムがSDFとの共分散によって決定されることを示しています。^[1]

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