将来価値

将来価値とは、想定される収益率または金利に基づき、将来の特定の日付における現在の金額またはキャッシュフローの価値のことです。これは、お金は投資すれば収益を得られるため、時点によって価値が異なるという貨幣の時間価値を反映しています。

金融や経済学において、将来価値は、現在の金額が単利または複利によってどれだけ増加するかを表すため、また、さまざまな投資や借入の選択肢を比較するために用いられる。

概要

将来価値の概念は、貨幣の時間価値と密接に関連しています。これは、現在手元にある金額は、将来受け取る同額の金額よりも通常は価値が高いという事実を反映しています。なぜなら、現在保有しているお金は、利息やその他の収益を得るために投資することができるからです。^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

例えば、年利5%の銀行口座に100ポンドを預け、利息が年に1回入金される場合、1年後の残高は105ポンドになります。5%のリターンを期待し、インフレを無視する投資家にとって、1年後の100ポンドの将来価値は105ポンドとなります。^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

この概念は、個人や企業が今すぐお金を使うか、貯蓄や投資によって支出を延期するかを決定するのに役立ちます。貯蓄の将来価値と現在の消費の効用を比較することで、資金をすぐに使うことの機会費用が明らかになります。企業金融や投資金融では、将来価値は現在価値とともに、債券や年金などの長期プロジェクトや証券の分析に使用されます。^{[ 2 ]}^{[ 6 ]}

インフレは将来のキャッシュフローの購買力に影響を与えます。名目金利を用いた計算では、インフレ調整されていない名目将来価値が得られます。たとえば、100ポンドが1年間で5%の名目金利を得る場合、名目将来価値は105ポンドですが、同じ期間に物価が約2%上昇すると、その将来金額の実質価値は現在の物価で103ポンドに近くなります。アナリストは名目金利と実質金利を区別することが多く、フィッシャー方程式で示されるような実質割引率やインフレ調整を使用する場合があります。^{[ 7 ]}^{[ 5 ]}

単利

単利（つまり複利計算なし）を用いて将来価値（FV）を求める場合、単一金額の将来価値は次のように表されます。

{\text{FV}}={\text{PV}}(1+rt)

どこ ${\text{PV}}$ 現在価値は、 $r$ は、期間あたりの単純利率を小数で表したもので、 $t$ は時間期間の数です。^{[ 8 ]}

この期間に得られた単純利息は ${\text{PV}}rt$ したがって、将来価値は元本と利息の合計になります。^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}^{[ 4 ]}例えば、100ポンドが3年間年率5%の単利で運用された場合、将来価値は ${\text{FV}}=100(1+0.05\times 3)=115$ 総利息は $100\times 0.05\times 3=15$ 。

利息は元金にのみ適用されるため、単純利息による将来価値は $t$ 、したがって、時間の線形関数です。一定の名目利率と期間の場合、複利は元本と以前に発生した利息の両方に利息が付くため、より高い将来価値を生み出します。^{[ 10 ]}

複利

複利を使用して将来価値を決定するには、将来価値 ${\text{FV}}$ 一定額を定期的な利率で投資した場合の利回りは次のようになります。

{\text{FV}}={\text{PV}}(1+i)^{n}

どこ ${\text{PV}}$ 現在価値は、 $i$ は複利計算期間あたりの利率であり、 $n$ は複利計算期間の数です。^{[ 11 ]}^{[ 5 ]}所与の現在価値と金利の場合、複利計算期間の数が増えるにつれて将来価値は増加し、時間の経過に伴う投資の成長は指数関数的です。^{[ 12 ]}

この式を解くと $n$ 特定の将来値に達するのに必要な複利計算期間数を示します。たとえば、年利5%の場合、一括払いの金額は、次の条件を満たすと価値が2倍になります。 $(1+0.05)^{n}=2$ これは、倍加時間が14年強に相当する。倍加時間の概算的な暗記法則、例えば72の法則などは、成長率と周期数の間の同じ関係を利用している。^{[ 5 ]}^{[ 1 ]}

複数の複利計算期間と実効年利率

記載されている名目年利率が $j$ そして利息は複利で計算される $m$ 年1回、複利期間あたりの利率は $j/m$ 成熟までの時間が $t$ 年数があるので、 $n=mt$ 複利計算期間を考慮すると、現在の金額の将来価値は次のように表すことができます。

{\text{FV}}={\text{PV}}\left(1+{j \over m}\right)^{mt}

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例えば、口座が年率6%の名目利率で年2回複利計算される場合、期間利率は3%で、1年間に2回の複利計算期間があります。 $r$ つまり、次のようになります。

(1+0.03)^{2}-1\approx 0.061

^{[ 13 ]}

つまり、投資額は年間で約6.1%増加するということだ。

より一般的に言えば、名目年利 $j$ 複合する $m$ 年間回数、実効年率 $r$ は：

r=\left(1+{j \over m}\right)^{m}-1.

^{[ 13 ]}

連続複利

名目年利率で継続的に複利計算される場合 $j$ 実効年率は次のとおりです。

r=e^{j}-1

これは、1年あたりの複利計算期間数が無限大に近づくときの、前述の式の極限です。^{[ 13 ]}投資を保有する場合 $t$ 年数経過後、連続複利計算における現在の金額の将来価値は次のようになります。

{\text{FV}}={\text{PV}}e^{jt}.

^{[ 1 ]}

年金の将来価値

複利計算式は、一定額の支払いまたは預金の連続に適用されます。将来価値 ${\text{FV}}_{\text{annuity}}$ の終わりに $n$ 通常の年金の期間、支払いあり ${\text{PMT}}$ 各期間の終わりに計算され、金利も $r$ 期間当たりの値は：

{\text{FV}}_{\text{annuity}}={\text{PMT}}{\frac {(1+r)^{n}-1}{r}}.

^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}

ここ $r$ は期間当たりの金利です。 $n$ は支払いの回数であり、 ${\text{PMT}}$ は固定支払額です。この式は、貯蓄口座または退職口座への均等拠出金の将来価値を計算したり、ローン返済スケジュールを分析したりするために使用されます。^{[ 15 ]}

アプリケーション

将来価値の計算は、貯蓄目標や退職後の計画を立てるために、個人金融で広く使用されています。家計では、1回の預金または一連の定期的な預金の将来価値を使用して、貯蓄口座や退職プランで目標日にどれだけのお金が利用可能になるかを推定します。^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}たとえば、住宅の頭金や将来の教育費のために貯蓄している家族は、定期的な毎月の支払いの将来価値を計算することによって、さまざまな拠出額と期間を比較することができます。

銀行や消費者信用では、貸し手と借り手はローン残高やその他の債務の将来価値を考慮します。たとえば、契約では将来の特定の日付での一括返済額や、ローンを早期返済した場合の未払い額が規定されている場合があります。これらの将来の現金金額は、契約に記載されている金利と複利計算方法によって決まります。^{[ 1 ]}^{[ 3 ]}

企業金融や投資金融では、将来価値は割引キャッシュフロー分析や正味現在価値分析において現在価値と併用されます。投資や資本プロジェクトからの予測キャッシュフローは、代替案を比較するために、現在価値に割り引いたり、共通の将来の日付に複利計算したりすることができます。^[²^]^[⁶^]

基本的な将来価値の計算では、通常、時間の経過とともに一定の金利または割引率を仮定し、インフレ、税金、または不確実性を直接考慮しません。実際には、アナリストはインフレ調整された実質的な期間依存金利を使用し、異なる割引率を使用したり、異なるシナリオの下でのキャッシュフローをモデル化したりすることによってリスクを組み込むことがあります。^{[ 7 ]}^{[ 5 ]}

参考文献

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単利

複利

複数の複利計算期間と実効年利率

連続複利

年金の将来価値

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