ヴァシチェクモデル

金融において、ヴァシチェクモデルは金利の変動を記述する数学モデルです。これは、金利変動が市場リスクの1つの源泉のみによって引き起こされると記述するため、1要因短期金利モデルの一種です。このモデル^は金利デリバティブの評価に使用でき、クレジット市場にも適用されています。1977年にオールドリヒ・ヴァシチェク[ ^{1 ]}によって導入され、確率的投資モデルと見なすこともできます。

このモデルでは、瞬間金利が以下の確率微分方程式に従うと規定されている。

${\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}}$

ここで、W _tはリスク中立フレームワークの下でランダムな市場リスク要因をモデル化するウィーナー過程であり、システムへのランダム性の継続的な流入をモデル化します。標準偏差パラメータは、${\displaystyle \sigma }$金利の変動性を決定し、ある意味で瞬間的なランダム性流入の振幅を特徴づける。典型的なパラメータ${\displaystyle b,a}$そして${\displaystyle \sigma }$初期条件とともに$\displaystyle r_0$ダイナミクスを完全に特徴づけ、以下のように簡単に特徴づけることができると仮定する。${\displaystyle a}$非負であること:

• ${\displaystyle b}$:「長期平均レベル」。すべての将来の軌跡${\displaystyle r}$長期的には平均レベルbを中心に推移するだろう。
• ${\displaystyle a}$「復帰速度」${\displaystyle a}$このような軌道が再集結する速度を特徴づける${\displaystyle b}$いずれは；
• ${\displaystyle \sigma }$「瞬間変動性」とは、システムに流入するランダム性の振幅を瞬間ごとに測定するものです。${\displaystyle \sigma }$ランダム性が増すことを意味する

以下の派生量も興味深い。

• $\displaystyle {\sigma ^{2}}/(2a)}$: 「長期変動」。すべての将来の軌跡${\displaystyle r}$長い時間が経過すると、そのような分散は長期平均値付近に再び収束するだろう。

${\displaystyle a}$そして${\displaystyle \sigma }$互いに反対する傾向がある：増加${\displaystyle \sigma }$システムに入るランダム性の量を増加させるが、同時に増加させる${\displaystyle a}$これは、システムが長期平均値の周りで統計的に安定する速度を速めることに相当します。${\displaystyle b}$また、変動範囲も決定され、${\displaystyle a}$これは、長期的な変動を見ると明らかです。

$\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{2a}}}$

これは、${\displaystyle \sigma }$しかし減少する${\displaystyle a}$。

このモデルはオルンシュタイン・ウーレンベック確率過程です。

ヴァシチェクのモデルは、金利を他の金融価格と区別する本質的な特性である平均回帰を初めて捉えたモデルでした。例えば株価とは異なり、金利は際限なく上昇することはありません。なぜなら、金利が非常に高い水準になると経済活動が阻害され、金利の低下を招くからです。同様に、金利は通常、0を大きく下回ることはありません。結果として、金利は限られた範囲内で変動し、長期的な値に回帰する傾向があります。

ドリフト係数${\displaystyle a(b-r_{t})}$は、時刻tにおける金利の予想される瞬間的な変化を表します。パラメータbは、金利が回帰する長期均衡値を表します。実際、ショックがない場合 ($dW_t=0$r _t = bの場合、金利は一定のままです。調整速度を制御するパラメータaは、長期値の周りで安定性を確保するために正である必要があります。たとえば、 r _tがbより小さい場合、ドリフト項は${\displaystyle a(b-r_{t})}$aが正の場合、は正になり、金利が上昇する傾向（均衡に向かう傾向）を生み出します。

主な欠点は、Vašíček モデルでは理論的に金利がマイナスになる可能性があり、これは危機前の仮定の下では望ましくない特徴であることです。この欠点は、Cox–Ingersoll–Ross モデル、指数型 Vasicek モデル、Black–Derman–Toy モデル、Black–Karasinski モデルなど、多くのモデルで修正されました。Vasicek モデルは、Hull–White モデルでさらに拡張されました。Vasicek モデルは、Cox–Ingersoll–Ross モデルとともに、アフィン期間構造モデルの典型的な例でもあります。最近の研究では、両方のモデルがデータ分割と予測に使用されています。^{[ 2 ]}

確率微分方程式を解いて、

${\displaystyle r_{t}=r_{0}e^{-at}+b\left(1-e^{-at}\right)+\sigma e^{-at}\int _{0}^{t}e^{as}\,dW_{s}.\,\!}$

オルンシュタイン・ウーレンベック確率過程に適用したのと同様の手法を用いると、状態変数は平均 の正規分布に従うことがわかる。

${\displaystyle \mathrm {E} [r_{t}]=r_{0}e^{-at}+b(1-e^{-at})}$

および分散

${\displaystyle \mathrm {Var} [r_{t}]={\frac {\sigma ^{2}}{2a}}(1-e^{-2at}).}$

したがって、私たちは

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\mathrm {E} [r_{t}]=b}$

そして

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\mathrm {Var} [r_{t}]={\frac {\sigma ^{2}}{2a}}.}$

無裁定取引の仮定の下では、割引債券はヴァシチェクモデルで価格付けされる可能性がある。${\displaystyle t}$満期日付き割引債券の価値${\displaystyle T}$金利に関して指数関数的にアフィンである。

${\displaystyle P(t,T)=A(t,T)e^{-B(t,T)r(t)}}$

どこ

${\displaystyle B(t,T)={\frac {1-e^{-a(Tt)}}{a}}}$

${\displaystyle A(t,T)=\exp \left\{\left(b-{\frac {\sigma ^{2}}{2a^{2}}}\right)\left[B(t,T)-(Tt)\right]-{\frac {\sigma ^{2}}{4a}}B^{2}(t,T)\right\}}$

• オルンシュタイン・ウーレンベック過程。
• ハル・ホワイトモデル
• コックス・インガソール・ロスモデル

• ハル、ジョン・C. (2003).オプション、先物、その他のデリバティブ. アッパー・サドル・リバー、ニュージャージー州:プレンティス・ホール. ISBN 978-0-13-009056-0。
• ダミアーノ・ブリゴ、ファビオ・メルクリオ（2001）。金利モデル ― 理論と実践、スマイル、インフレ、信用（第2版、2006年 ）。シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 978-3-540-22149-4。
• ジェシカ・ジェームズ、ニック・ウェバー（2000）。金利モデリング。ワイリー。ISBN 978-0-471-97523-6。

• Vasicekモデル（2010年2月16日にWayback Machineにアーカイブ済み） 、Bjørn Eraker、ウィスコンシン大学ビジネススクール
• Vasicekモデルを用いたイールドカーブの推定と予測、D. Bayazit、中東工科大学