局所的な変動性

資産の価格を考慮すると${\displaystyle S_{t}}$リスク中立的なSDEによって管理される

$\displaystyle dS_{t}=(rd)S_{t}dt+\sigma (t,S_{t})S_{t}dW_{t}}$

遷移確率${\displaystyle p(t,S_{t})}$条件付き${\displaystyle S_{0}}$前方コルモゴロフ方程式（フォッカー・プランク方程式とも呼ばれる）を満たす

${\displaystyle p_{t}=-[(rd)s\,p]_{s}+{\frac {1}{2}}[(\sigma s)^{2}p]_{ss}}$

ここで、簡潔にするために、表記法は${\displaystyle f_{x}}$は関数 f の x に関する偏微分を表し、表記は${\displaystyle f_{xx}}$は、関数 f の x に関する 2 階偏導関数を表します。したがって、${\displaystyle p_{t}}$は密度の偏微分である${\displaystyle p(t,S)}$tに関して、例えば ${\displaystyle [(\sigma s)^{2}p]_{ss}}$は、 ${\displaystyle (\sigma (t,S)S)^{2}p(t,S)}$S. p に関して、${\displaystyle p(t,S)}$、そして積分の中で${\displaystyle p(t,s)}$。

マルチンゲール価格定理により、満期のコールオプションの価格は${\displaystyle T}$そしてストライキ${\displaystyle K}$は

${\displaystyle {\begin{aligned}C&=e^{-rT}\mathbb {E} ^{Q}[(S_{T}-K)^{+}]\\&=e^{-rT}\int _{K}^{\infty }(sK)\,p\,ds\\&=e^{-rT}\int _{K}^{\infty }s\,p\,ds-K\,e^{-rT}\int _{K}^{\infty }p\,ds\end{aligned}}}$

コールオプションの価格を、${\displaystyle K}$

${\displaystyle C_{K}=-e^{-rT}\int _{K}^{\infty }p\;ds}$

コールオプションの価格の式に代入し、項を並べ替える

${\displaystyle e^{-rT}\int _{K}^{\infty }s\,p\,ds=CK\,C_{K}}$

コールオプションの価格を、${\displaystyle K}$2回

${\displaystyle C_{KK}=e^{-rT}p}$

コールオプションの価格を、${\displaystyle T}$収量

${\displaystyle C_{T}=-r\,C+e^{-rT}\int _{K}^{\infty }(sK)p_{T}ds}$

前方コルモゴロフ方程式を使用する

${\displaystyle C_{T}=-r\,Ce^{-rT}\int _{K}^{\infty }(sK)[(rd)s\,p]_{s}\,ds+{\frac {1}{2}}e^{-rT}\int _{K}^{\infty }(sK)[(\sigma s)^{2}\,p]_{ss}\,ds}$

最初の積分を1回、2番目の積分を2回部分積分する

${\displaystyle C_{T}=-r\,C+(rd)e^{-rT}\int _{K}^{\infty }s\,p\,ds+{\frac {1}{2}}e^{-rT}(\sigma K)^{2}\,p}$

コールオプションの価格を微分して導出した式を使用して、${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{T}&=-r\,C+(rd)(CK\,C_{K})+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}K^{2}C_{KK}\\&=-(rd)K\,C_{K}-d\,C+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}K^{2}C_{KK}\end{aligned}}}$

バシュリエモデルは、1900年のルイ・バシュリエの研究に触発されたものである。このモデルは、少なくともドリフトがゼロの資産、例えば先物価格や先物金利の先物指標においては、局所的ボラティリティモデルと見なすことができる。

$\displaystyle dF_{t}=v\,dW_{t}}$。

バシェリエモデルでは、拡散係数は定数である。${\displaystyle v}$ということで、${\displaystyle \sigma (F_{t},t)F_{t}=v}$意味するところは$\displaystyle \sigma (F_{t},t)=v/F_{t}}$多くの経済で金利がマイナスになったため、^{[ 4 ]}バシェリエモデルが注目されるようになりました。このモデルはガウス分布を通してマイナスのフォワードレートFをモデル化できるからです。

このモデルはマーク・ルービンスタインによって導入されました。^{[ 5 ]} 株価については、以下のダイナミクスに従います。

${\displaystyle dS_{t}=rS_{t}\,dt+\sigma (S_{t}-\beta e^{rt})\,dW_{t}}$

簡略化のため、配当利回りはゼロと仮定する。このモデルは、標準的なブラック・ショールズ・モデルから変数変換を行うことで、以下のように得られる。${\displaystyle Y_{t}=S_{t}-\beta e^{rt}}$Yが標準的なブラック・ショールズモデルに従うことはすぐにわかる。

${\displaystyle dY_{t}=rY_{t}\,dt+\sigma Y_{t}\,dW_{t}.}$

SDEとして${\displaystyle Y}$は幾何ブラウン運動であり、対数正規分布を持ち、${\displaystyle S_{t}=Y_{t}+\beta e^{rt}}$Sモデルはシフト対数正規モデルとも呼ばれ、時刻tにおけるシフトは$\displaystyle \beta e^{rt}}$S のストライク K のコール オプションの価格を設定するには、ペイオフを記述するだけです。 ${\displaystyle (S_{T}-K)^{+}=(Y_{T}+\beta e^{rT}-K)^{+}=(Y_{T}-H)^{+}}$ ここでHは新しいストライキ番号である${\displaystyle H=K-\beta e^{rT}}$Yがブラック・ショールズ・モデルに従うため、オプション価格は修正ストライクを持つブラック・ショールズ価格となり、容易に取得できます。このモデルは単調なボラティリティ・スマイルカーブを生成し、そのパターンは負の値に対して減少します。${\displaystyle \beta }$[ ^{6 ]}さらに、負の^場合${\displaystyle \beta }$、 から${\displaystyle S_{t}=Y_{t}+\beta e^{rt}}$したがって、資産Sは正の確率で負の値を取ることが許容される。これは、例えば金利モデリングにおいて、マイナス金利がいくつかの経済に影響を与えている場合に役立つ。^{[ 4 ]}

定常弾力性分散モデル（CEV）は、リスク中立的な尺度の下で配当がないと仮定した場合の株式ダイナミクスの局所的変動性モデルです。

${\displaystyle \mathrm {d} S_{t}=rS_{t}\mathrm {d} t+\sigma S_{t}^{\gamma }\mathrm {d} W_{t},}$

一定の金利 r の場合、正の定数${\displaystyle \sigma >0}$そして指数${\displaystyle \gamma \geq 0,}$そのため、この場合

${\displaystyle \sigma (S_{t},t)=\sigma S_{t}^{\gamma -1}.}$

このモデルは、確率的変動性モデルに分類されることもありますが、ここで定義するところによれば、拡散係数に新たなランダム性は含まれていないため、局所的変動性モデルとなります。このモデルおよび関連文献については、関連ページに詳細が記載されています。

このモデルは、1998年から2021年にかけて、ダミアーノ・ブリゴ、ファビオ・メルクリオ、および共著者によっていくつかのバージョンで開発されました。キャロル・アレクサンダーは、短期および長期のスマイル効果を研究しました。^{[ 7 ]} 出発点は、リスク中立ダイナミクスから得られる基本的なブラック・ショールズ式です。${\displaystyle dS_{t}=rS_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t},}$一定の決定論的変動性${\displaystyle \sigma }$対数正規確率密度関数は、${\displaystyle p_{t,\sigma }^{lognormal}}$ブラック・ショールズ・モデルでは、ヨーロピアン非経路依存オプションの価格は、満期時のこの対数正規分布に対するオプションのペイオフの積分によって得られます。対数正規混合ダイナミクス・モデル^{[ 8 ]}の基本的な考え方は、ブラック・ショールズ・モデルと同様に対数正規分布を考慮することですが、その数は異なります。${\displaystyle N}$可能な一定の決定論的変動性$\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{N}}$私たちが呼ぶところ${\displaystyle p_{i,t}=p_{t,\sigma _{i}}^{lognormal}}$ボラティリティを伴うブラックショールズモデルの対数正規密度$\displaystyle \sigma _{i}}$株価をモデル化する際、BrigoとMercurio ^{[ 9 ]}は局所的な変動性モデルを構築している。

${\displaystyle dS_{t}=rS_{t}dt+\sigma _{mix}(t,S_{t})S_{t}\ dW_{t},}$

どこ${\displaystyle \sigma _{mix}(t,S_{t})}$リスク中立分布となるように定義される${\displaystyle S_{t}}$対数正規分布の必要な混合${\displaystyle p_{i,t}}$結果として得られる株価の密度は ${\displaystyle p_{S_{t}}(y)=:p_{t}(y)=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}p_{i,t}(y)=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}p_{t,\sigma _{i}}^{lognormal}(y)}$ どこ${\displaystyle \lambda _{i}\in (0,1)}$そして${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}=1}$.${\displaystyle \lambda _{i}}$は、異なる密度の重量です。${\displaystyle p_{i,t}}$混合物に含まれる。瞬間揮発度は次のように定義される。

${\displaystyle \sigma _{mix}(t,y)^{2}={\frac {1}{\sum _{j}\lambda _{j}p_{j,t}(y)}}\sum _{i}\lambda _{i}\sigma _{i}^{2}p_{i,t}(y),}$またはより詳細に

${\displaystyle \sigma _{mix}(t,y)^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\sigma _{i}^{2}\ {\frac {1}{\sigma _{i}{\sqrt {t}}}}\exp \left\{-{\frac {1}{2\sigma _{i}^{2}t}}\left[\ln {\frac {y}{S_{0}}}-rt+{\tfrac {1}{2}}\sigma _{i}^{2}t\right]^{2}\right\}}{\sum _{j=1}^{N}\lambda _{j}{\frac {1}{\sigma _{j}{\sqrt {t}}}}\exp \left\{-{\frac {1}{2\sigma _{j}^{2}t}}\left[\ln {\frac {y}{S_{0}}}-rt+{\tfrac {1}{2}}\sigma _{j}^{2}t\right]^{2}\right\}}}}$

のために${\displaystyle (t,y)>(0,0)}$; ${\displaystyle \sigma _{mix}(t,y)=\sigma _{0}}$のために ${\displaystyle (t,y)=(0,s_{0}).}$元のモデルでは、初期の短い時間間隔で拡散係数の正則化が行われている。${\displaystyle [0,\epsilon ]}$[ ^{9 ]この} 調整により、SDEは${\displaystyle \sigma _{mix}}$周辺密度が望ましい混合物である独自の強溶液を持つ${\displaystyle p_{S_{t}}=\sum _{i}\lambda _{i}p_{i,t}.}$ さらに次のように書くことができる${\displaystyle \sigma _{mix}^{2}(t,y)=\sum _{i=1}^{N}\Lambda _{i}(t,y)\sigma _{i}^{2},}$ どこ${\displaystyle \Lambda _{i}(t,y)\in (0,1)}$そして${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\Lambda _{i}(t,y)=1}$これは、 ${\displaystyle \sigma _{mix}^{2}(t,y)}$これは、${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$重り付き

${\displaystyle \Lambda _{i}(t,y)={\frac {\lambda _{i}\ p_{i,t}(y)}{\sum _{j}\lambda _{j}\ p_{j,t}(y)}}.}$

このモデルにおけるオプション価格の計算は非常に簡単です。${\displaystyle \mathbb {E} ^{Q}}$はリスク中立期待値を表し、マルチンゲール価格定理により、ストライク K および満期 T の S のコール オプション価格は次のように与えられる。 ${\displaystyle V_{mix}^{Call}(K,T)=e^{-rT}\mathbb {E} ^{Q}\left\{(S_{T}-K)^{+}\right\}}$${\displaystyle =e^{-rT}\int _{0}^{+\infty }(y-K)^{+}p_{S_{T}}(y)dy=e^{-rT}\int _{0}^{+\infty }(y-K)^{+}\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}p_{i,T}(y)dy}$${\displaystyle =\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}e^{-rT}\int (y-K)^{+}p_{i,T}(y)dy=\sum _{{i=1}^{N}}{\lambda _{i}}V_{BS}^{Call}(K,T,{\sigma _{i}})}$ どこ${\displaystyle V_{BS}^{Call}(K,T,{\sigma _{i}})}$は、ボラティリティを考慮したブラック・ショールズ・モデルにおける対応するコール価格です。${\displaystyle \sigma _{i}}$オプションの価格は閉形式の式で与えられ、ボラティリティを持つコールオプションのブラックショールズ価格の線形凸結合です。${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{N}}$ 重み付け${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{N}}$プットオプションやその他の単純な条件付き債権についても同様です。同じ凸結合は、デルタ、ガンマ、ロー、シータなどのいくつかのオプション グリークスにも適用されます。混合ダイナミクスは、構成要素の数を選択できるため、柔軟なモデルです。${\displaystyle N}$笑顔の複雑さに応じて、パラメーターを最適化します。${\displaystyle \sigma _{i}}$そして${\displaystyle \lambda _{i}}$、および可能なシフトパラメータにより、ほとんどのマーケットスマイルを再現できます。このモデルは、株式市場^{[ 10 ]} 、外国為替市場^{[ 11 ]}、および金利市場で成功裏に使用されています。^{[ 6 ] [ 12 ]}

混合ダイナミクスモデルでは、結果として得られるボラティリティスマイルカーブは、Kがアットザマネーフォワード価格に等しいときに最小値を持つことが示される。${\displaystyle S_{0}e^{rT}}$混合ダイナミクスと変位拡散の考え方を組み合わせることで、これを回避し、スマイルをより一般的なものにすることができ、シフト対数正規混合ダイナミクスにつながる。^{[ 8 ]}

このモデルはボラティリティにも適用されています${\displaystyle \sigma _{i}}$スマイルの期間構造を較正するために、混合成分中の時間依存の 's が考慮されています。^{[ 10 ]}異なる混合密度が異なる平均値を持つモデルの拡張が研究されています。^{[ 12 ]}ダイナミクスにおける最終的な無裁定ドリフトは維持されます。さらに、多変量ケースへの適用も行われ、多変量対数正規密度の混合（シフトを含む可能性あり）と整合する多変量モデルが定式化され、個々の資産も混合として分布しています。^{[ 13 ]}個々の資産のスマイルのモデリングとこれらの資産のインデックスのスマイルを調和させます。多変量バージョンの2番目の適用は、FXボラティリティスマイルの三角測量です。^{[ 11 ]} 最後に、このモデルは不確実なボラティリティモデルにリンクされており、大まかに言えば、ボラティリティは値をとる確率変数です。${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{N}}$ 確率とともに ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{N}}$技術的には、局所的なボラティリティ対数正規混合ダイナミクスは、不確実なボラティリティモデルのマルコフ射影であることが示せる。^{[ 14 ]}