ジャンプ拡散

ジャンプ拡散は、ジャンプと拡散を伴う確率過程であり、磁気再結合、コロナ質量放出、凝縮物質物理学、パターン理論、計算視覚において重要な応用があります。

結晶における原子拡散は、通常、空いている格子サイト間のジャンプで構成されます。多くの単一ジャンプを平均した時間と長さのスケールでは、ジャンプする原子の正味の動きは、通常の拡散として説明できます。

ジャンプ拡散は、非弾性中性子散乱とメスバウアー分光法によって微視的スケールで研究することができます。自己相関関数の閉じた表現は、いくつかのジャンプ（拡散）モデルに対して導出されています。

• シングウィ、ショーランダー 1960: ^[1]振動運動と方向性運動の交互作用
• チャドリー、エリオット 1961: ^[2]格子上のジャンプ
• シアーズ 1966、^[3] 1967: ^[4]回転自由度のジャンプ拡散
• ホール、ロス 1981: ^[5] 制限された体積内でのジャンプ拡散

ジャンプ拡散モデルは、ジャンプ過程と拡散過程を混合した混合モデルの一種である。金融の分野では、ジャンプ拡散モデルはロバート・C・マートンによって初めて導入された。^{[6]このようなモデルは、}オプション価格設定から信用リスク、時系列予測まで、金融分野で幅広い用途に使用されている。^[7]

パターン理論と医用画像処理における計算視覚において、ジャンプ拡散過程は、ジャンプ過程を介して「フォーカス」のような動きである拡散過程とサッカードのような動きを混合するランダムサンプリングアルゴリズムの形式として、グレナンダーと ミラー^[8]によって初めて導入されました。このアプローチは、電子顕微鏡写真の科学を、それぞれが何らかの固定された次元表現を持つ複数の形状を含むものとしてモデル化し、顕微鏡写真のコレクションが複数の有限次元空間の和集合に対応するサンプル空間を埋めるものでした。パターン理論の手法を使用して、事後確率モデルがサンプル空間の可算和集合上に構築されました。したがって、これは、物体数の離散的概念と形状の連続的概念を含むハイブリッドシステムモデルです。ジャンプ拡散過程は、エルゴード特性を持つように構築されたため、最初は初期状態から離れて流れた後、事後確率モデルからサンプルが生成されます。

• ジャンプ拡散の一例であるジャンプ過程
• 区分的決定論的マルコフ過程（PDMP）、ジャンプ拡散の例とジャンプ過程の一般化
• ハイブリッドシステム（動的システムの文脈において）、ジャンプ拡散の一般化