異時点間のポートフォリオ選択

異時点間のポートフォリオ選択とは、投資可能な富をさまざまな資産、特に金融資産に、ある基準を最適化するように時間の経過とともに繰り返し配分するプロセスです。任意の時点での資産比率の集合によってポートフォリオが定義されます。ほとんどすべての資産の収益は完全に予測可能ではないため、基準では金融リスクを考慮する必要があります。通常、基準は、一定数の期間後のポートフォリオの価値の凹関数の期待値、つまり最終的な富の期待効用です。あるいは、各期間後にポートフォリオから資金を引き出すことによって達成されるさまざまなレベルの商品およびサービスの消費の関数である場合もあります。

一般的に、最初の期間以降の任意の期間における最適なポートフォリオ配分は、前の期間のポートフォリオから生じる富の量に依存します。この富は、前の期間に発生した資産収益と、その期間のポートフォリオのサイズと配分に依存します。後者は、さらにその前の期間のポートフォリオから生じる富の量に依存します。ただし、特定の状況下では、最適なポートフォリオの決定は時間的に分離した方法で到達できるため、特定の資産に配分される富のシェアは、その特定の期間の確率的資産収益分布のみに依存します。

投資家の効用関数が最終資産のリスク回避対数効用関数である場合${\displaystyle W_{T},}$

${\displaystyle {\text{効用}}=\ln W_{T},}$

すると、決定は時間的に分離されます。^[1]初期資産（初期期間に投資可能な金額）を とし、任意の期間における確率的ポートフォリオの収益率（特定の期間tにポートフォリオ内の平均ドルが増加または減少する不完全な予測可能な金額）をとすると、ポートフォリオの配分、つまり 期間tの開始時に資産i ( i =1, ..., n ) に割り当てられる、前期間から継承された現在の資産の割合によって決まります。したがって、 ${\displaystyle W_{0}}$${\displaystyle R_{t}.}$ ${\displaystyle R_{t}}$${\displaystyle w_{it}}$${\displaystyle W_{t-1}}$

${\displaystyle W_{T}=W_{0}R_{1}R_{2}\cdots R_{T}}$

どこ

${\displaystyle R_{t}=w_{1t}r_{1t}+w_{2t}r_{2t}+\cdots +w_{nt}r_{nt},}$

ここで、 は期間tにおける資産iの確率的収益率 (平均ドルが成長する不完全な予測可能な金額) を指し、株式( i =1, ..., n ) の合計は 1 に制限されます。上記の の対数をとって結果依存効用を表し、各tについて を に代入し、 の対数の期待値をとると、最大化される期待効用式が得られます。 ${\displaystyle r_{it}}$${\displaystyle w_{it}}$${\displaystyle W_{T}}$${\displaystyle R_{t}}$${\displaystyle W_{T}}$

${\displaystyle \ln[W_{0}]+\sum _{t=1}^{T}{\text{E}}\ln[w_{1t}r_{1t}+w_{2t}r_{2t}+\cdots +w_{nt}r_{nt}].}$

異なるtの選択シェアを含む項は加法的に分離されており、最適な決定の異時点間の独立性という結果をもたらします。つまり、特定の決定期間t を最適化するには、さまざまなシェアに関して 1 つの加法的に分離した式の導関数を取る必要があり、特定の期間の最適なシェアに関する第 1 次条件には、他の期間の確率的リターン情報や決定情報は含まれません。 ${\displaystyle w_{it}}$

異時点ポートフォリオ選択のケリー基準は、資産収益分布がすべての期間で同一である場合、各期間に複製された特定のポートフォリオは長期的には他のすべてのポートフォリオ シーケンスよりも優れたパフォーマンスを発揮すると述べています。ここで、長期とは、すべての資産の観測結果の分布が事前の確率分布と一致するような任意の多数の期間です。ケリー基準は、上記のように対数効用関数の期待値を最大化するのと同じポートフォリオ決定を生み出します。

対数効用関数と同様に、べき乗効用関数は、べき乗パラメータの任意の値に対して一定の相対的リスク回避を示し、これは、初期の富が増加するにつれて、意思決定が変化せずに比例して拡大する傾向がある特性である。べき乗効用関数は、

${\displaystyle {\text{効用}}=aW_{T}^{a}}$

正または負でゼロではないパラメータa < 1 です。対数関数の代わりにこの効用関数を使用すると、上記の分析により、最大化される期待効用式は次のようになります。

${\displaystyle a\cdot W_{0}^{a}\cdot {\text{E}}[R_{1}^{a}\cdot R_{2}^{a}\cdots R_{T}^{a}],}$

以前と同様に

${\displaystyle R_{t}=w_{1t}r_{1t}+w_{2t}r_{2t}+\cdots +w_{nt}r_{nt}}$

各期間tについて。

資産収益に連続的な独立性がある場合、つまり、ある期間における資産収益の実現が他の期間における資産収益の実現と関連していない場合、この期待効用式は次のようになる。

${\displaystyle a\cdot W_{0}^{a}\cdot {\text{E}}R_{1}^{a}\cdot {\text{E}}R_{2}^{a}\cdots {\text{E}}R_{T}^{a};}$

この期待効用式の最大化は、各項を別々に最大化 ( a >0 の場合) または最小化 ( a <0 の場合) することと同等です。したがって、この条件下では、ポートフォリオ決定の異時点間の独立性が再び得られます。対数効用関数は、累乗効用関数とは異なり、ポートフォリオ決定の異時点間の独立性を得るために、収益の異時点間の独立性を仮定する必要がないことに注意してください。 ${\displaystyle {\text{E}}R_{t}^{a}.}$

双曲的絶対リスク回避(HARA) は、上で扱った対数効用関数やべき乗効用関数を含む、リスク下での選択に関するフォン・ノイマン・モルゲンシュテルンの効用関数の広範なクラスの特徴です。モッシン^[2]は、HARA 効用の下では、リスクのない資産があり、資産収益の連続独立性がある場合、最適なポートフォリオ選択は意思決定の部分的な時間独立性を伴うことを示しました。つまり、現在の期間の最適なポートフォリオを見つけるには、将来のリスクのない収益以外の資産収益に関する将来の分布情報を知る必要はありません。

上記のように、べき乗効用関数による最終富の期待効用は

${\displaystyle a\cdot W_{0}^{a}\cdot {\text{E}}[R_{1}^{a}\cdot R_{2}^{a}\cdots R_{T}^{a}].}$

時間の経過に伴うリターンの連続的な独立性がない場合、期待演算子をさまざまな乗法項に個別に適用することはできません。したがって、任意の期間の最適なポートフォリオは、前期間の実現に応じてさまざまな資産のリターンの確率分布に依存するため、事前に決定することはできません。

さらに、特定の期間における最適なアクションは、将来の期間に意思決定がどのように行われるかという知識に基づいて選択する必要があります。これは、現在の期間の資産収益の実現が、現在の期間のポートフォリオの結果だけでなく、将来の資産収益の条件付き確率分布、ひいては将来の意思決定にも影響を与えるためです。

これらの考察は、前述の例外を除き、効用関数全般に当てはまる。一般に、最大化される期待効用式は

${\displaystyle {\text{E}}U(W_{T})={\text{E}}U(W_{0}R_{1}R_{2}\cdots R_{T}),}$

ここで、U は効用関数です。

現在の意思決定において将来の意思決定を考慮する必要性に対処する数学的手法が、動的計画法です。動的計画法では、利用可能な富と以前のすべての期間の資産収益の実現に応じて、最後の期間の意思決定ルールが事前に考案されます。次に、この期間の結果が最終期間の意思決定にどのように影響するかを考慮して、最後から2番目の期間の意思決定ルールが考案されます。これを時間的にさかのぼって繰り返します。期間や資産の数が多い場合は、この手順はすぐに複雑になります。

ドルコスト平均法はリスク資産への段階的な参入であり、投資アドバイザーによって頻繁に推奨されています。前述のように、これは対数効用モデルでは確認されていません。ただし、リターンの負の連続相関を持つ異時点平均分散モデルからは明らかです。^[3]

HARA効用、時間の経過とともに独立かつ同一に分布する資産収益、およびリスクのない資産では、リスク資産の割合は投資家の残りの寿命とは無関係です。[ ^{1] : ch.11}指数効用やARMA (1,1)プロセスに従う収益を持つ単一資産などの特定の仮定の下では、時間の経過とともに保守性が高まる（リスク資産の保有が減少する）ための必要条件（投資アドバイザーによってしばしば主張される）は負の一次シリアル相関ですが、十分条件ではありません。一方、非負の一次シリアル相関は、後の時点でリスクテイクが増加するという逆の結果をもたらします。^[4]

ポートフォリオの選択が異時点間の労働供給の決定と共同で行われる異時点間のポートフォリオ モデルでは、多くの投資アドバイザーが主張するように、保守主義の年齢効果が年齢とともに増大する可能性があります^[要出典]。この結果は、投資家が若いときにリスクの高い投資をして失敗した場合、その後の期間に予想よりも多くの労働を供給することで対応し、失われた富を少なくとも部分的に相殺できるという事実から生じます。その後の期間が少ない高齢者は、このようにして悪い投資収益を相殺する能力が低いため、高齢の投資家が負う投資リスクを減らすことが最適です。

ロバート・C・マートン^{[5]は、双曲的な絶対リスク回避、}ブラウン運動で記述される資産収益の進化が時間を通じて独立かつ同一に分布し、リスクのない資産を持つ連続時間において、唯一の最適ポートフォリオの需要に対する明示的な解を得ることができ、その需要は初期の富に対して線形であることを示した。

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