正味現在価値

正味現在価値（NPV）、または正味現在価値（NPW）^{[ 1 ]}は、将来の金額が今日行った投資のコストよりも価値があるか低いかを評価する方法です。これは、計画された活動が価値を生み出すと予想されるかどうかを判断するために、金融、経済、プロジェクト評価で広く使用されています。NPVは、将来のキャッシュフローを「現在価値」に変換することで機能します。これは、現在利用できるお金は、後で受け取る同じ金額よりも価値があることを認識しています。この調整は、金利、インフレ、お金を他の目的に使用する機会などの要因を反映しています。

投資の正味現在価値（NPV）は、将来期待される便益の現在価値が初期費用を上回る場合に一般的にプラスとなり、その投資が経済的に有益である可能性が高いことを示します。NPVがマイナスの場合はその逆です。NPVは期待される利益と損失を単一の数値で表すため、複数のプロジェクトを比較し、情報に基づいた財務的・経済的意思決定を行うための重要なツールとなります。

正味現在価値（NPV）は、キャッシュフローを生み出す資産の価値を、その資産が将来生み出すすべてのキャッシュフローの現在価値を合計することで測定します。キャッシュフローの現在価値は、貨幣の時間価値（年間実効割引率を含む）のため、現在からキャッシュフローが発生するまでの期間に依存します。NPVは、ローン、投資、保険契約からの支払金など、時間的にキャッシュフローが分散している資本プロジェクトや金融商品を評価・比較するための方法を提供し、その他多くの用途にも適用できます。

貨幣の時間価値は、時間がキャッシュフローの価値に影響を与えることを示しています。たとえば、貸し手は、1か月後に1ドルを受け取る約束に対して99セントを提示するかもしれませんが、同じ1ドルを20年後に受け取る約束は、たとえどちらの場合も返済が同じように確実であっても、同じ人（貸し手）にとって今日でははるかに価値が低くなります。将来のキャッシュフローの現在の価値のこの減少は、選択された収益率（または割引率）に基づいています。たとえば、同一のキャッシュフローの時系列が存在する場合、現在のキャッシュフローが最も価値が高く、将来のキャッシュフローはそれぞれ前のキャッシュフローよりも価値が低くなります。今日のキャッシュフローは、将来の同一のキャッシュフローよりも価値が高いです^{[ 2 ]} 。なぜなら、現在のフローはすぐに投資して収益を得始めることができますが、将来のフローはそうではないからです。

正味現在価値（NPV）は、投資の各期間における費用（マイナスのキャッシュフロー）と便益（プラスのキャッシュフロー）を計算することによって求められます。各期間のキャッシュフローが計算された後、それぞれの将来価値を一定の期間収益率（市場によって決定される収益率）で割り引くことにより、現在価値（PV）が算出されます（式を参照）。NPVは、割引後の将来キャッシュフローの合計です。

NPV は単純であるため、プロジェクトや投資が純利益になるか損失になるかを判断するのに役立つツールです。NPV がプラスであれば利益になり、マイナスであれば損失になります。NPV は、資金コストを上回るキャッシュフローの現在価値での超過または不足を測定します。^{[ 3 ]}理論上、資本予算が無制限であれば、企業は NPV がプラスのすべての投資を追求すべきです。しかし、実際には、企業の資本制約により、投資は、コスト キャッシュフロー、つまり初期現金投資が企業の資本を超えない、NPV が最も高いプロジェクトに限定されます。NPV は割引キャッシュフロー(DCF) 分析の中心的なツールであり、貨幣の時間価値を使用して長期プロジェクトを評価する標準的な方法です。経済学、財務分析、財務会計全体で広く使用されています。

将来のキャッシュフローがすべてプラス、つまり流入（債券の元本とクーポン支払いなど）である場合、唯一の流出は購入価格であり、NPVは将来のキャッシュフローの現在価値から購入価格（それ自体の現在価値）を差し引いたものになります。NPVは、割引後のキャッシュ流入とキャッシュ流出の合計の「差額」と表現できます。インフレと収益率を考慮に入れ、今日の貨幣の現在価値と将来の貨幣の現在価値を比較します。

一連のキャッシュフローの正味現在価値（NPV）は、キャッシュフローと割引率または割引曲線を入力として受け取り、現在の公正価格である現在価値を出力します。割引キャッシュフロー（DCF）分析における逆のプロセスでは、一連のキャッシュフローと価格を入力として受け取り、NPVとして与えられた価格を生み出す割引率、または内部収益率（IRR）を出力します。この利回りと呼ばれる率は、債券取引で広く使用されています。

各キャッシュインフロー／アウトフローは現在価値（PV）に割り引かれます。そして、それらをすべて合計して、NPVがすべての項の合計となります。 $${\displaystyle \mathrm {PV} ={\frac {R_{t}}{(1+i)^{t}}}}$$ どこ：

• tはキャッシュフローの時点である
• iは割引率、つまり同様のリスクを持つ投資で単位時間あたりに得られる収益率である。
• ${\displaystyle R_{t}}$は、時点tにおける正味のキャッシュフロー、つまりキャッシュインフロー − キャッシュアウトフローです。教育目的のため、${\displaystyle R_{0}}$投資額のマイナスとしての役割を強調するために、通常は合計額の左側に配置されます。
• $1/(1+i)^t$割引係数は、現在価値係数とも呼ばれます。

この式の計算結果は、年間純現金流入額を乗じ、初期現金支出額を差し引いて現在価値を算出しますが、現金流入額が等しくない場合は、前の式を使用して各現金流入の現在価値を個別に決定します。12か月以内の現金流入はNPVの目的で割引されませんが、最初の年の通常の初期投資R ₀はマイナスの現金流入として合計されます。^{[ 4 ]}

正味現在価値（NPV）は、時間の経過に伴う割引後の便益と費用との差と考えることもできます。したがって、NPVは次のように表すこともできます。

${\displaystyle \mathrm {NPV} =\mathrm {PV} (B)-\mathrm {PV} (C)}$

どこ：

• Bは利益または現金流入です
• Cは費用または現金支出です

( t、)で示される(期間、現金流入、現金流出)を考慮すると、${\displaystyle B_{t}}$、${\displaystyle C_{t}}$ここで、Nは期間の総数、正味現在価値${\displaystyle \mathrm {NPV} }$次のように与えられます。

$${\displaystyle \mathrm {NPV} (i,N)=\sum _{t=0}^{N}{\frac {B_{t}}{(1+i)^{t}}}-\sum _{t=0}^{N}{\frac {C_{t}}{(1+i)^{t}}}}$$

どこ：

• ${\displaystyle B_{t}}$は、時点tにおける利益または現金流入です。
• ${\displaystyle C_{t}}$は、時点tにおける費用または現金支出です。

NPVは正味キャッシュフローを用いて書き換えることができる。${\displaystyle (R_{t})}$各期間において、以下のように定義される。$${\displaystyle \mathrm {NPV} (i,N)=\sum _{t=0}^{N}{\frac {R_{t}}{(1+i)^{t}}}}$$慣例として、初期期間は時刻に発生する。${\displaystyle t=0}$連続する期間のキャッシュフローは、${\displaystyle t=1,2,3...}$など。さらに、期間中の将来のキャッシュフローはすべて各期間の終わりに発生すると仮定します。^{[ 5 ]}一定のキャッシュフローRの場合、正味現在価値${\displaystyle \mathrm {NPV} }$これは有限等比級数であり、次のように表されます。

$${\displaystyle \mathrm {NPV} (i,N,R)=R\left({\frac {1-\left({\frac {1}{1+i}}\right)^{N+1}}{1-\left({\frac {1}{1+i}}\right)}}\right),\quad i\neq 0}$$

含める${\displaystyle R_{0}}$上記の式では、この項が重要です。典型的な資本プロジェクトには大きなマイナスの${\displaystyle R_{0}}$キャッシュフロー（初期投資額）と将来のキャッシュフロー（投資収益）がプラスになるかどうか。重要な評価基準は、所定の割引率において、NPVがプラス（利益が出る）かマイナス（損失が出る）かである。IRRは、NPVがちょうどゼロになる割引率である。

NPV法を少し調整することで、投資額1ドルあたりプロジェクトへの投資額がどれだけ貢献しているかを計算できます。これは資本効率比として知られています。投資額1ドルあたりの正味現在価値（NPVI）の計算式は以下のとおりです。

${\displaystyle \mathrm {NPVI} (i,N)={\frac {\sum _{t=1}^{N}{\frac {R_{t}}{(1+i)^{t}}}}{\sum _{t=1}^{N}{\frac {C_{t}}{(1+i)^{t}}}}}}$

どこ：

• ${\displaystyle R_{t}}$は、時点tにおける正味のキャッシュフロー、つまりキャッシュインフロー − キャッシュアウトフローです。
• ${\displaystyle C_{t}}$は、時点tにおける純現金流出額です。

正味現在価値（NPV）の計算式は、便益と費用が各期間の終わりに発生することを前提としているため、より保守的なNPV値が得られます。しかし、実際には、資金の流入と流出は期間の初めや途中に発生する可能性もあります。

中間期間割引における正味現在価値（NPV）の計算式は以下のとおりです。

${\displaystyle \mathrm {NPV} (i,N)=\sum _{t=0}^{N}{\frac {R_{t}}{(1+i)^{t-0.5}}}}$

プロジェクトのライフサイクル全体を通して、キャッシュフローは通常、各期間（例えば各年）に分散されるため、年の真ん中はこれらのキャッシュフローが発生する平均的な時点を表します。したがって、期間の中間割引は通常、より正確ではあるものの、保守的ではないNPVを提供します。^{[ 7 ] [ 8 ]}

期首割引を用いたNPVの計算式は以下のとおりです。

${\displaystyle \mathrm {NPV} (i,N)=-{\text{初期投資}}+\sum _{t=1}^{N}{\frac {R_{t}}{(1+i)^{t-1}}}}$

これは、最も保守的でない正味現在価値（NPV）をもたらす。

将来のキャッシュフローを現在価値に割り引く際に使用する割引率は、このプロセスにおける重要な変数である。

企業の加重平均資本コスト（税引き後）がよく用いられるが、リスク、機会費用、その他の要因を調整するために、より高い割引率を用いるのが適切だと考える人も多い。長期債務の利回りプレミアムを反映させるために、期間の後半に発生するキャッシュフローに高い割引率を適用する変動割引率が用いられることもある。

割引率係数を選択するもう1つの方法は、プロジェクトに必要な資本を別の事業に投資した場合に得られるであろう収益率を決定することです。たとえば、プロジェクトAに必要な資本を他の場所で5%の収益が得られる場合、NPV計算でこの割引率を使用することで、プロジェクトAと代替案を直接比較できます。この概念に関連して、企業の再投資率を使用する方法があります。再投資率は、企業の投資に対する平均的な収益率として定義できます。資本制約のある環境でプロジェクトを分析する場合、割引率係数として企業の加重平均資本コストではなく、再投資率を使用するのが適切かもしれません。これは、資本コストが低い場合よりも、投資の機会費用を反映しているからです。

投資期間全体にわたって割引率が既知である場合、変動割引率を使用して計算されたNPVは、投資期間全体にわたって一定の割引率を使用して計算されたものよりも状況をより適切に反映する可能性があります。NPVと割引率のより詳細な関係については、 Samuel Bakerによるチュートリアル記事^{[ 9 ]を参照してください。}

プロの投資家の中には、投資資金を特定の目標収益率に連動させて運用している場合があります。そのような場合、その目標収益率をNPV（正味現在価値）計算における割引率として用いるべきです。こうすることで、プロジェクトの収益性と目標収益率を直接比較することが可能になります。

割引率の選択は、その用途によってある程度左右される。プロジェクトが企業に付加価値をもたらすかどうかを判断することが目的であれば、企業の加重平均資本コストを用いるのが適切かもしれない。一方、企業価値を最大化するために複数の投資案の中から最適なものを選ぶ場合は、企業再投資率を用いる方がおそらく良いだろう。

NPVは、投資やプロジェクトが企業にどれだけの価値をもたらすかを示す指標です。特定のプロジェクトの場合、${\displaystyle R_{t}}$が正の値であれば、プロジェクトは時点tにおいて正のキャッシュインフローの状態にある。 ${\displaystyle R_{t}}$が負の値である場合、プロジェクトはt時点で割引キャッシュアウトフローの状態にある。正の NPV を持つ適切なリスクのプロジェクトは受け入れられる可能性がある。これは必ずしもそれらを実行する必要があることを意味するわけではない。なぜなら、資本コストでの NPV は機会コスト、つまり他の利用可能な投資との比較を考慮していない可能性があるからである。金融理論では、相互に排他的な 2 つの選択肢がある場合、より高い NPV をもたらす方を選択すべきである。正の正味現在価値は、プロジェクトまたは投資によって生み出される予測収益 (現在のドル) が、予想されるコスト (これも現在のドル) を上回ることを示している。この概念は、正の NPV を持つものだけを行うべきであると規定する正味現在価値ルールの基礎となっている。 

正の正味現在価値（NPV）を持つ投資は利益を生むが、負のNPVを持つ投資が必ずしも純損失につながるわけではない。単に、プロジェクトの内部収益率が要求収益率を下回っているだけである。

NPVはプロジェクト投資の指標であり、意思決定においていくつかの利点と欠点がある。

正味現在価値の時間離散式

${\displaystyle \mathrm {NPV} (i,N)=\sum _{t=0}^{N}{\frac {R_{t}}{(1+i)^{t}}}}$

連続変化で記述することもできます

${\displaystyle \mathrm {NPV} (i)=\int _{t=0}^{\infty }(1+i)^{-t}\cdot r(t)\,dt}$

どこ

${\displaystyle {R_{t}}}$は時間当たりの現金流出率であり、${\displaystyle {R_{t}}}$  投資が終了すると、= 0 になります。

正味現在価値は、実数空間の金利iに似た複素数sを含む積分演算子を用いたラプラス変換キャッシュフロー^{[ 20 ] [ 21 ]}またはZ 変換キャッシュフローとみなすことができ、より正確にはs = ln(1 + i ) となります。    

${\displaystyle F(s)=\left\{{\mathcal {L}}f\right\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt}$

ここから、サイバネティクス、制御理論、システムダイナミクスで知られている簡略化が導き出される。複素数sの虚数部は振動挙動を表し（豚肉サイクル、クモの巣定理、商品価格と供給オファー間の位相シフトと比較）、実数部は複利の効果を表す（減衰と比較）。

企業は新製品ラインを導入するかどうかを決定しなければなりません。同社はt = 0で 100,000 の即時費用を負担します。費用は支出キャッシュフローのマイナスであるため、このキャッシュフローは −100,000 と表されます。同社は、製品がt = 1から始まる 12 年間、毎年 10,000 の均等な利益をもたらすと想定しています。簡略化のため、最初の 100,000 の費用の後、同社は支出キャッシュフローがないと想定します。また、これは、受け取った、または支払った正味の現金が、各年の最終日に発生する単一の取引にまとめられるという簡略化された仮定に基づいています。12 年が経過すると、製品はもはやキャッシュフローを生み出さなくなり、追加費用なしで廃止されます。実効年間割引率は 10% と想定します。  

各年における現在価値（t = 0時点の価値）は、以下のように計算できます。 

流入するキャッシュフローの現在価値の合計は68,136.91です。流出するキャッシュフローの現在価値の合計は、時点t = 0における100,000です。したがって、次のようになります。 

${\displaystyle \mathrm {NPV} =PV({\text{benefits}})-PV({\text{costs}})}$

この例では：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {NPV} &=68,136.91-100,000\\&=-31,863.09\end{aligned}}}$

tが増加するにつれて、tにおける各キャッシュフローの現在価値が減少することに注目してください。たとえば、最終的な流入キャッシュフローは、t = 12で将来価値が 10,000 ですが、現在価値 ( t = 0時点) は 3,186.31 です。割引の反対は複利です。例を逆にすると、t = 0 (現在価値) の 3,186.31 を 10% の利率で 12 年間複利運用し、 t = 12 (将来価値)で 10,000 のキャッシュフローを得ることに相当します。 

この例では、NPV の重要性が明らかになります。流入するキャッシュフロー ( 10,000 × 12 = 120,000 ) は流出するキャッシュフロー (100,000) を上回っているように見えますが、将来のキャッシュフローは割引率を使用して調整されていません。そのため、このプロジェクトは誤解を招くほど利益があるように見えます。しかし、キャッシュフローを割引すると、このプロジェクトは 31,863.09 の純損失をもたらすことがわかります。したがって、NPV の計算では、このプロジェクトへの投資は t = 0 で 31,863.09 の損失に相当するため、このプロジェクトは無視すべきであることがわかります。貨幣の時間価値の概念は、異なる期間のキャッシュフローは、同じ期間 (この例では t = 0 ) での価値を反映するように調整されない限り、正確に比較できないことを示しています。 [ 2 ^{]異なる期間}のキャッシュフローを意味のある形で比較するためには、各将来のキャッシュフローの現在価値を決定する必要があります。この種の分析には、いくつかの前提となる仮定がある。  

1. 検討対象となるすべての投資プロジェクトの投資期間は、投資家にとって同等に許容できるものである（例えば、3年間のプロジェクトが20年間のプロジェクトよりも必ずしも好ましいとは限らない）。
2. 10%の割引率は、検討対象となる各プロジェクトから得られる予想キャッシュフローを割り引くのに適切な（かつ安定した）率である。各プロジェクトは、いずれも同程度の投機性を持つものと想定される。
3. 株主が同等のリスクを直接負う場合、投資に対するリターンは10%を超えることはない。（もし投資家が他の投資先でより良い結果を得られるのであれば、企業はプロジェクトに着手すべきではなく、余剰資金は配当や自社株買いを通じて株主に還元すべきである。）

より現実的な問題では、一般的に、より小さな時間単位、税金の計算（キャッシュフローのタイミングを含む）、インフレ、為替変動、ヘッジ済みまたはヘッジされていない商品コスト、技術的陳腐化のリスク、将来の潜在的な競争要因、不均一または予測不可能なキャッシュフロー、より現実的な残存価値の想定など、他の多くの要因も考慮する必要があります。

一定期間にわたるキャッシュフローの正味現在価値のより簡単な例として、5億ドルのパワーボール宝くじに当選した場合を考えてみましょう。「現金」オプションを選択しない場合、当選者は20年間毎年2,500万ドルずつ、合計5億ドルを受け取ります。一方、「現金」オプションを選択した場合は、約2億8,500万ドルの一時金を受け取ります。これは、 5億ドルを分割払いした場合の正味現在価値です。支払額に影響を与える可能性のあるその他の要因については、上記の「その他の要因」を参照してください。どちらのシナリオも税引き前です。

• 例えば、プロジェクトの後半でR _tが一般的にマイナスになる場合（例えば、工業プロジェクトや鉱業プロジェクトでは、浄化や復旧費用が発生する可能性がある）、その段階で企業は負債を抱えているため、高い割引率は慎重ではなく楽観的すぎると言えます。これを NPV の問題と捉える人もいます。この問題を回避する方法の一つは、初期投資後の損失を補填するための明確な規定を設けること、つまり、そのような損失を補填するための費用を明示的に計算することです。
• もう一つよくある落とし穴は、割引率にプレミアムを加算することでリスクを調整することです。銀行はリスクの高いプロジェクトに対してより高い金利を課すかもしれませんが、それが正味現在価値をリスクに合わせて調整する有効な方法であるとは限りません。ただし、特定のケースでは妥当な近似値となる場合もあります。このような方法がうまく機能しない理由の一つは、次の点から分かります。何らかのリスクが発生し、損失が生じた場合、正味現在価値の割引率は、そのような損失の影響を実際の財務コストよりも低く見積もってしまうからです。リスクに対する厳密なアプローチでは、例えばアクチュアリー法やモンテカルロ法などを用いてリスクを明確に特定し評価し、発生した損失の資金調達コストを明確に計算する必要があります。
• さらに、リスクプレミアムの複利効果によって別の問題が生じる可能性があります。Rはリスクフリーレートとリスクプレミアムの複合値です。そのため、将来のキャッシュフローはリスクフリーレートとリスクプレミアムの両方で割り引かれ、この効果は後続のキャッシュフローごとに複利的に増加します。この複利効果により、通常計算されるよりもはるかに低い正味現在価値（NPV）が生じます。確実性等価モデルを使用すれば、リスクプレミアムが現在価値に及ぼす影響を複利的に増加させることなく、リスクプレミアムを考慮に入れることができます。
• 正味現在価値（NPV）に頼る場合のもう一つの問題点は、特定のプロジェクトを実行することによる利益または損失の全体像を把握できないことです。プロジェクトへの投資に対する利益率を把握するには、通常、 NPVを補完するものとして内部収益率（IRR）やその他の効率性指標が用いられます。
• 専門知識のないユーザーは、利息控除後のキャッシュフローに基づいて正味現在価値（NPV）を計算するという誤りを犯しがちです。これは、貨幣の時間価値を二重に計上してしまうため誤りです。NPVの計算には、フリーキャッシュフローを基準として用いるべきです。
• Microsoft Excel の「=NPV(...)」関数は、2 つの仮定に基づいて計算を行うため、誤った結果になることがあります。1 つ目は、入力配列内の各項目間の時間が一定で等間隔である（例えば、項目 1 と項目 2 の間が 30 日）という仮定です。これは、割引対象となるキャッシュフローによっては必ずしも正しいとは限りません。2 つ目は、この関数が配列の最初の位置にある項目を期間 1 と仮定し、期間 0 とみなさないことです。そのため、配列のすべての項目が誤って 1 期間分多く割引されてしまいます。これらのエラーを最も簡単に修正するには、「=XNPV(...)」関数を使用します。

多くのコンピュータ用表計算ソフトには、現在価値（PV）と正味現在価値（NPV）を計算するための数式が組み込まれています。

正味現在価値は、評価方法として少なくとも19世紀に遡ります。カール・マルクスはNPVを架空資本と呼び、その計算を「資本化」と呼んで次のように書いています。^{[ 22 ]}

架空の資本を形成することを資本化という。定期的に発生するすべての収入は、平均利率に基づいて計算することで資本化される。これは、その利率で運用される資本によって実現されるであろう収入として計算される。

主流の新古典派経済学では、NPVはアーヴィング・フィッシャーが1907年の著書『利子率』で形式化して普及させ、1950年代以降、金融の教科書から始まり、教科書に掲載されるようになった。^{[ 23 ] [ 24 ]}

• 調整済み現在価値（APV）：調整済み現在価値とは、プロジェクトが自己資本のみで資金調達された場合の正味現在価値に、資金調達によるすべての便益の現在価値を加えたものです。
• 会計収益率（ARR）：IRRおよびMIRRに類似した比率
• 費用対効果分析：これには、金銭以外の要素、例えば時間の節約なども含まれる。
• 内部収益率（IRR）：得られる絶対的な金額を考慮せずに、プロジェクトの収益率を計算する指標。
• 修正内部収益率（MIRR）：IRRに似ていますが、キャッシュフローの再投資について明示的な仮定を置きます。成長収益率と呼ばれることもあります。
• 回収期間：キャッシュフローが当初の投資額と等しくなるまでの期間を示す指標。リスクを測定するものであり、リターンを測定するものではない。
• リアルオプション：NPVでは考慮されない経営上の柔軟性を評価しようとするもの。
• 等価年間コスト（EAC）：耐用年数の異なる2つ以上のプロジェクトを比較する際に役立つ、資本予算策定手法。

• 収益性指数
• 企業財務 § 投資およびプロジェクト評価
• 期待される商業的価値
• 金融経済学 § 企業金融理論
• ファースト・シカゴ・メソッド
• ペナルティ付き現在価値
• 評価（財務）§ 無形資産の評価