尖度

確率論 と統計学において、尖度（ギリシャ語のκυρτός、kyrtosまたはkurtosに由来し、「湾曲した、アーチ状の」を意味する）は、実数値のランダム変数の確率分布の「裾野の広さ」の度合いを指します。歪度と同様に、尖度は分布の特定の特性についての洞察を提供します。理論分布の尖度を定量化するさまざまな方法があり、対応する技術により、母集団のサンプル データに基づく推定が可能になります。尖度の異なる尺度によって、さまざまな解釈が生じる可能性があることに注意することが重要です。

分布の尖度の標準的な尺度は、カール・ピアソン^[1]に由来し、分布の4次モーメントの尺度版である。この数値は分布のピークではなく裾に関連している。[ 2 ^{]したがって、尖度を「}尖り具合」と表現することは誤りである。この尺度では、尖度が高いほど偏差（または外れ値）が極端に大きいことに対応し、データが平均に近いことには対応しない。

過剰尖度は、通常 0 と比較され、分布の「裾の深さ」を特徴付けます。一変量正規分布の過剰尖度は 0 です。負の過剰尖度は、必ずしも上部が平らではないが、正規分布よりも外れ値が少ない、または極端でない分布である、扁平尖度分布を示します。たとえば、一様分布は扁平尖度です。一方、正の過剰尖度は、急尖度分布を示します。たとえば、ラプラス分布の裾はガウス分布よりもゆっくりと減少するため、外れ値が多くなります。正規分布との比較を簡素化するため、過剰尖度はピアソンの尖度から 3 を引いて計算されます。一部の著者やソフトウェア パッケージでは、「尖度」を特に過剰尖度を指すために使用しますが、この記事ではわかりやすくするためにこの 2 つを区別しています。

尖度の代替尺度としては、 4番目のLモーメントの尺度版であるL尖度、4つの母集団または標本四分位数に基づく尺度などがある。^[3]これらは、通常のモーメントに基づかない歪度の代替尺度に類似している。 ^[3]

尖度は 4 番目の標準化モーメントで、次のように定義されます。 ここで、μ ₄は 4 番目の中心モーメント、σ は標準偏差です。文献では尖度を表すためにいくつかの文字が使用されています。非常に一般的な選択はκですが、これがキュムラントを指していないことが明確であれば問題ありません。他の選択肢には、歪度の表記法に似たγ ₂がありますが、これは過剰尖度のために予約されている場合もあります。 $${\displaystyle \operatorname {Kurt} [X]=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\right)^{4}\right]={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{4}\right]}{\left(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]\right)^{2}}}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}},}$$

尖度は、歪度の二乗に1を加えた値で下限が定められます: ^{[4] : 432} ここで、μ _{3 は}第3中心モーメントです。下限はベルヌーイ分布で実現されます。一般確率分布の尖度には上限がなく、無限大になることもあります。 $${\displaystyle {\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}\geq \left({\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}\right)^{2}+1,}$$

一部の著者が過剰尖度を支持する理由は、キュムラントが拡がりがあるからです。拡がり特性に関連する式は、過剰尖度で表現するとより自然に表現されます。たとえば、X ₁、...、X _{n を}4次モーメントが存在する独立したランダム変数とし、Y をX _iの合計によって定義されるランダム変数とします。Yの過剰尖度は で 、 はの標準偏差です。特に、すべてのX _iが同じ分散を持つ場合、これは次のように簡略化されます。 $${\displaystyle \operatorname {Kurt} [Y]-3={\frac {1}{\left(\sum _{j=1}^{n}\sigma _{j}^{\,2}\right)^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{\,4}\cdot \left(\operatorname {Kurt} \left[X_{i}\right]-3\right),}$$${\displaystyle \sigma_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$$${\displaystyle \operatorname {Kurt} [Y]-3={1 \over n^{2}}\sum _{i=1}^{n}\left(\operatorname {Kurt} \left[X_{i}\right]-3\right).}$$

3 を減算しない理由は、特に独立性が仮定されていない場合、裸のモーメントが多変量分布に一般化しやすいためです。変数のペア間のコクルトーシスは、次数 4 のテンソルです。2 変量正規分布の場合、コクルトーシス テンソルには一般に 0 でも 3 でもない非対角項があるため、超過分を「修正」しようとすると混乱が生じます。ただし、多変量正規分布の次数が 2 を超える結合キュムラントはゼロであることは事実です。

必ずしも独立ではない2 つのランダム変数XとYについて、合計X  +  Yの尖度は、 上記の式に 4 乗二項係数(1、4、6、4、1) が現れることに注意してください。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Kurt} [X+Y]={1 \over \sigma _{X+Y}^{4}}{\big (}&\sigma _{X}^{4}\operatorname {Kurt} [X]+4\sigma _{X}^{3}\sigma _{Y}\operatorname {Cokurt} [X,X,X,Y]\\&{}+6\sigma _{X}^{2}\sigma _{Y}^{2}\operatorname {Cokurt} [X,X,Y,Y]\\[6pt]&{}+4\sigma _{X}\sigma _{Y}^{3}\operatorname {Cokurt} [X,Y,Y,Y]+\sigma _{Y}^{4}\operatorname {カート} [Y]{\big )}.\end{aligned}}}$$

ピアソンの尖度（または過剰尖度）の解釈はかつて議論されましたが、現在では十分に確立されています。 2014 年に Westfall が指摘したように^[2]、「...その明確な解釈は裾の端に関係しています。具体的には、既存の外れ値の存在 (サンプル尖度の場合) または外れ値を生成する傾向 (確率分布の尖度の場合) のいずれかを反映しています。基本的なロジックは単純明快です。尖度は、標準化されたデータの平均 (または期待値) の 4 乗を表します。1 未満の標準化された値 (平均の 1 標準偏差以内のデータに対応 (「ピーク」が発生する場所)) は、尖度にほとんど寄与しません。これは、1 未満の数値を 4 乗するとゼロに近づくためです。尖度に意味のある寄与因子は、ピーク領域外のデータ値、つまり外れ値です。したがって、尖度は主に外れ値を測定し、中心の「ピーク」に関する情報は提供しません。

尖度に関する誤解の多くは、尖り具合の概念に関連しています。そのような誤解の 1 つは、尖度が分布の「尖り具合」と 分布の裾の重さの両方を測定するというものです。^[5]その他の誤った解釈には、「肩がない」（「肩」は漠然とピークと裾の間の領域、より具体的には平均から約 1標準偏差の領域を指します）や「二峰性」などの概念が含まれます。 ^[6] Balanda とMacGillivray は、尖度の標準的な定義は「分布の尖度、尖り具合、裾の重さをうまく捉えていない」と主張しています。代わりに、彼らは、分布の肩から中心と裾への確率質量の位置とスケールフリーな移動という漠然とした尖度の定義を提案しています。 ^[5]

1986年にムーアズは尖度の解釈を示した。^[7]ここ で、Xはランダム変数、μは平均、σは標準偏差である。 $${\displaystyle Z={\frac {X-\mu }{\sigma }},}$$

さて、尖度の定義と、よく知られている等式によって${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle E\left[V^{2}\right]=\オペレータ名 {var} [V]+[E[V]]^{2},}$ $${\displaystyle \kappa =E\left[Z^{4}\right]=\operatorname {var} \left[Z^{2}\right]+\left[E\left[Z^{2}\right]\right]^{2}=\operatorname {var} \left[Z^{2}\right]+[\operatorname {var} [Z]]^{2}=\operatorname {var} \left[Z^{2}\right]+1.}$$

尖度は、 Z ²の期待値の周りの分散の尺度として見ることができます。あるいは、 Zの+1 と -1 の周りの分散の尺度として見ることができます。κ は、対称的な 2 点分布で最小値に達します。元の変数Xに関して、尖度は、 Xの 2 つの値μ  ±  σ の周りの分散の尺度です。

κの値が大きくなるのは、次の 2 つの状況の場合です。

• 確率質量が平均値の周囲に集中し、データ生成プロセスによって平均値から離れた値が時々生成される場合、
• ここで、確率質量は分布の末端に集中します。

分布のエントロピーは です。 ${\displaystyle \int p(x)\ln p(x)\,dx}$

正定値の任意のに対して、平均と共分散を持つ 上のすべての確率分布の中で、正規分布のエントロピーが最大になります。 ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} ^{n},\Sigma \in \mathbb {R} ^{n\times n}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\Sigma )}$

平均と共分散は最初の2つのモーメントなので、高次のモーメントへの拡張を考えるのは自然なことです。実際、ラグランジュ乗数法によれば、任意の最初のnモーメントに対して、指定されたモーメントを持つ形式の確率分布が存在する場合（それが実行可能であれば）、それは与えられた制約の下で最大エントロピー分布です。^{[8] [9]}${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle p(x)\propto e^{\sum _{i}a_{i}x_{i}+\sum _{ij}b_{ij}x_{i}x_{j}+\cdots +\sum _{i_{1}\cdots i_{n}}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{n}}}}$

直列展開により、ランダム変数が確率分布（ただし は正規化定数）を持つ場合、その尖度は となる。^[10]$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{4}}gx^{4}}x^{2n}\,dx\\[6pt]={}&{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{4}}gx^{4}}x^{2n}\,dx\\[6pt]={}&\sum _{k}{\frac {1}{k!}}(-g/4)^{k}(2n+4k-1)!!\\[6pt]={}&(2n-1)!!-{\frac {1}{4}}g(2n+3)!!+O(g^{2})\end{aligned}}}$$${\displaystyle p(x)=e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{4}}gx^{4}}/Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle 3-6g+O(g^{2})}$

過剰尖度は、尖度から 3 を引いた値として定義されます。以下に示すように、3 つの異なる状態が存在します。

過剰尖度がゼロの分布は、中急峻分布または中急峻な分布と呼ばれます。中急峻分布の最も顕著な例は、パラメータの値に関係なく、正規分布族です。パラメータ値によっては、他のいくつかのよく知られた分布も中急峻になる可能性があります。たとえば、二項分布はに対して中急峻です。 ${\textstyle p=1/2\pm {\sqrt {1/12}}}$

過剰尖度が正の分布は、急尖分布またはレプトクルトティック分布と呼ばれます。「レプト」は「細い」という意味です。^[11]形状に関して言えば、急尖分布は裾が太くなります。急尖分布の例には、スチューデントのt分布、レイリー分布、 ラプラス分布、指数分布、ポアソン分布、ロジスティック分布などがあります。このような分布は、スーパーガウス分布と呼ばれることもあります。^[12]

過剰尖度が負の分布は、平板状分布またはplatykurtoticと呼ばれます。"Platy-" は "広い" という意味です。^[13]形状に関して言えば、平板状分布は裾が細くなります。平板状分布の例には、連続一様分布と離散一様分布、レイズドコサイン分布などがあります。最も平板状の分布は、 p = 1/2 (たとえば、コインを1回投げて「表」が出る回数、コイントス) のベルヌーイ分布で、過剰尖度は -2 です。

尖度の影響は、低次のモーメントとキュムラントを一定に保ちながら尖度を調整できる分布のパラメトリック族を使用して説明されます。対称密度に制限されたピアソン IV 族の特殊なケースであるピアソン VII 族を考えてみましょう。確率密度関数は、a がスケールパラメータ、m が形状パラメータで与えられます 。 $${\displaystyle f(x;a,m)={\frac {\Gamma (m)}{a\,{\sqrt {\pi }}\,\Gamma (m-1/2)}}\left[1+\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}\right]^{-m},}$$

この族のすべての密度は対称である。k番目のモーメントは、 m  > ( k  + 1)/2の条件で存在する。尖度が存在するためには、 m ^>  5/2 が必要である。この場合、平均と歪度が存在し、両方とも 0 になる。a 2 = 2 m − 3 と設定すると、分散 は1 になる。この場合、唯一の自由パラメータはmであり、これは 4 番目のモーメント (およびキュムラント) を制御し、したがって尖度を制御する。 で再パラメータ化することができ、ここで は上で定義した過剰尖度である。これにより、平均 0、分散 1、歪度 0、および任意の非負過剰尖度を持つ 1 パラメータのレプトクルティック族が得られる。再パラメータ化された密度は、 ${\displaystyle m=5/2+3/\gamma _{2}}$${\displaystyle \gamma _{2}}$$${\displaystyle g(x;\gamma _{2})=f\left(x;\;a={\sqrt {2+{\frac {6}{\gamma _{2}}}}},\;m={\frac {5}{2}}+{\frac {3}{\gamma _{2}}}\right).}$$

極限では、 右側の画像の赤い曲線で示される 密度が得られます 。${\displaystyle \gamma _{2}\to \infty }$$${\displaystyle g(x)=3\left(2+x^{2}\right)^{-{\frac {5}{2}}},}$$

反対方向では、標準正規密度が限界分布として 得られ、黒い曲線で示されます。${\displaystyle \gamma _{2}\to 0}$

右側の画像では、青い曲線は過剰尖度が 2 の密度を表しています。上の画像では、このファミリーの急尖密度は中尖正規密度よりも高いピークを持つことを示していますが、この結論はこの選択された分布ファミリーにのみ当てはまります。急尖密度の比較的太い裾は、ピアソン VII 型密度の自然対数をプロットした 2 番目の画像に示されています。黒い曲線は標準正規密度の対数で、放物線です。過剰尖度が 2 の急尖ピアソン VII 型密度の青い曲線と比較すると、正規密度は平均から遠い領域にほとんど確率質量を割り当てていない (「細い尾部を持つ」) ことがわかります。青い曲線と黒の間には、γ ₂  = 1、1/2、1/4、1/8、および 1/16 のその他のピアソン VII 型密度があります。赤い曲線は、ピアソン VII 型ファミリーの上限を示しており、(厳密に言えば、4 番目のモーメントが存在しないことを意味します)。赤い曲線は、原点から外側に移動するにつれて、最もゆっくりと減少します (「太い尾部を持つ」)。 ${\displaystyle x\mapsto g(x;2)}$${\displaystyle \gamma _{2}=\infty }$

ここでは、さまざまなパラメトリック ファミリーのよく知られた単峰性および対称性の分布をいくつか比較します。それぞれの平均と歪度は 0 です。パラメータは、いずれの場合も分散が 1 になるように選択されています。右側の画像は、次の 7 つの密度の曲線を線形スケールと対数スケールで示しています。

• D:ラプラス分布、二重指数分布とも呼ばれる、赤い曲線（対数スケールプロットの2本の直線）、過剰尖度 = 3
• S:双曲正割分布、オレンジ色の曲線、過剰尖度 = 2
• L:ロジスティック分布、緑の曲線、過剰尖度 = 1.2
• N:正規分布、黒い曲線（対数スケールプロットでは逆放物線）、過剰尖度 = 0
• C:レイズドコサイン分布、シアン曲線、過剰尖度 = −0.593762...
• W:ウィグナー半円分布、青い曲線、過剰尖度 = −1
• U:一様分布、マゼンタの曲線（両方の画像でわかりやすくするために長方形で表示）、過剰尖度 = −1.2。

これらの場合、扁平尖度密度は有界サポートを持ちますが、正またはゼロの過剰尖度を持つ密度は実数線全体でサポートされていることに注意してください。

高尖度分布や低尖度分布がこれらの例で示された特徴を持つとは推論できない。無限の支持を持つ扁平尖度密度が存在する。

• 例えば、十分に大きな形状パラメータbを持つ指数分布

そして有限の支持を持つ急尖密度が存在する。

• 例えば、-3 から -0.3 の間、-0.3 から 0.3 の間、0.3 から 3 の間で均一な分布で、(-3, -0.3) と (0.3, 3) の区間では密度は同じですが、(-0.3, 0.3) の区間では密度が 20 倍になります。

また、無限の尖度を持つ扁平密度が存在する。

• 例えば、パラメータが0.5と1で、その反射が0.0付近にあるベータ分布の均等混合

平らな頂点を持つように見える尖鋭密度が存在する。

• たとえば、T(4.0000001)スチューデントのt分布を持つ-1と1の間で均一な分布の混合で、混合確率は0.999と0.001です。

n個の値の標本について、母集団過剰尖度のモーメント法推定量は次のように定義できます。 ここ で、 m _4は平均 に関する4 番目の標本モーメント、m ₂は平均 に関する 2 番目の標本モーメント (つまり、標本分散)、x _iはi^番目の値、は標本平均です。 $${\displaystyle g_{2}={\frac {m_{4}}{m_{2}^{2}}}-3={\frac {{\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{4}}{\left[{\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\right]^{2}}}-3}$$${\displaystyle {\overline {x}}}$

この式の表現はより単純で、 値は 分母に n − 1ではなくn を使用して定義された標準偏差を使用して標準化されたデータ値になります。$${\displaystyle g_{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}z_{i}^{4}-3}$$${\displaystyle z_{i}}$

たとえば、データ値が 0、3、4、1、2、3、0、2、1、3、2、0、2、2、3、2、5、2、3、999 であるとします。

すると、 値は −0.239、−0.225、−0.221、−0.234、−0.230、−0.225、−0.239、−0.230、−0.234、−0.225、−0.230、−0.239、−0.230、−0.230、−0.225、−0.230、−0.216、−0.230、−0.225、4.359 になります。 ${\displaystyle z_{i}}$

値は0.003、0.003、0.002、0.003、0.003、0.003、0.003、0.003、0.003、0.003、0.003、0.003、0.003、0.003、0.003、0.003、0.002、0.003、0.003、360.976 です。 ${\displaystyle z_{i}^{4}}$

これらの値の平均は 18.05 で、過剰尖度は 18.05 − 3 = 15.05 です。この例では、分布の「中間」または「ピーク」付近のデータは尖度統計に寄与しないため、尖度は「ピーク度」を測るものではないことが明確に示されています。尖度は、この例では外れ値 999 の測定値にすぎません。

母集団からの標本のサブセットが与えられた場合、上記の標本過剰尖度は、母集団過剰尖度の偏りのある推定値です。正規分布のランダム標本で偏りのない母集団過剰尖度の別の推定値は、次のように定義されます。 ^[3] ここで、k ₄は第 4キュムラントの唯一の対称不偏推定値、k ₂は第 2 キュムラントの不偏推定値 (標本分散の不偏推定値と同じ)、m ₄は平均に関する第 4 標本モーメント、m ₂は平均に関する第 2 標本モーメント、x _iはi^番目の値、は標本平均です。この調整されたフィッシャー–ピアソン標準化モーメント係数は、Excel や、 Minitab、SAS、SPSSなどのいくつかの統計パッケージに見られるバージョンです。^[14]${\displaystyle g_{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}G_{2}&={\frac {k_{4}}{k_{2}^{2}}}\\[6pt]&={\frac {n^{2}\,[(n+1)\,m_{4}-3\,(n-1)\,m_{2}^{2}]}{(n-1)\,(n-2)\,(n-3)}}\;{\frac {(n-1)^{2}}{n^{2}\,m_{2}^{2}}}\\[6pt]&={\frac {n-1}{(n-2)\,(n-3)}}\left[(n+1)\,{\frac {m_{4}}{m_{2}^{2}}}-3\,(n-1)\right]\\[6pt]&={\frac {n-1}{(n-2)\,(n-3)}}\left[(n+1)\,g_{2}+6\right]\\[6pt]&={\frac {(n+1)\,n\,(n-1)}{(n-2)\,(n-3)}}\;{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{4}}{\left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\right)^{2}}}-3\,{\frac {(n-1)^{2}}{(n-2)\,(n-3)}}\\[6pt]&={\frac {(n+1)\,n}{(n-1)\,(n-2)\,(n-3)}}\;{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{4}}{k_{2}^{2}}}-3\,{\frac {(n-1)^{2}}{(n-2)(n-3)}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\bar {x}}}$${\displaystyle G_{2}}$

残念ながら、非正規サンプルでは、​​それ自体が一般的に偏っています。 ${\displaystyle G_{2}}$

n（n >2）個の実数の標本尖度の上限は^[15] であり 、ここでは対応する標本歪度である。 $${\displaystyle g_{2}\leq {\frac {1}{2}}{\frac {n-3}{n-2}}g_{1}^{2}+{\frac {n}{2}}-3.}$$${\displaystyle g_{1}=m_{3}/m_{2}^{3/2}}$

標本サイズnの標本尖度の正規分布からの分散は^[16]である。 $${\displaystyle \operatorname {var} (g_{2})={\frac {24n(n-1)^{2}}{(n-3)(n-2)(n+3)(n+5)}}}$$

言い換えれば、基礎となる確率変数が正規分布するという仮定の下で、次のことが示される。^{[17] : ページ番号が必要}${\displaystyle X}$${\displaystyle {\sqrt {n}}g_{2}\,\xrightarrow {d} \,{\mathcal {N}}(0,24)}$

サンプル尖度は、データ セット内の外れ値に問題​​があるかどうかを判断するのに役立つ指標です。尖度が大きいほど、外れ値の問題が深刻であることを示し、研究者が別の統計手法を選択するよう促す場合があります。

D'Agostino の K 二乗検定は、正規性のJarque–Bera 検定と同様に、サンプルの歪度とサンプルの尖度の組み合わせに基づく適合度 正規性検定です。

非正規標本の場合、標本分散の分散は尖度に依存します。詳細については、分散を参照してください。

ピアソンの尖度の定義は乱流の断続性の指標として用いられる。^[18]また、磁気共鳴画像法では非ガウス拡散を定量化するためにも用いられる。^[19]

具体例として、He、Zhang、Zhangによる次の補題がある。^[20] 確率変数が期待値、分散、尖度を持つとする。多数の独立したコピー をサンプリングすると仮定する。すると${\displaystyle X}$${\displaystyle E[X]=\mu }$${\displaystyle E\left[(X-\mu )^{2}\right]=\sigma ^{2}}$${\displaystyle \kappa ={\tfrac {1}{\sigma ^{4}}}E\left[(X-\mu )^{4}\right].}$${\displaystyle n={\tfrac {2{\sqrt {3}}+3}{3}}\kappa \log {\tfrac {1}{\delta }}}$$${\displaystyle \Pr \left[\max _{i=1}^{n}X_{i}\leq \mu \right]\leq \delta \quad {\text{and}}\quad \Pr \left[\min _{i=1}^{n}X_{i}\geq \mu \right]\leq \delta .}$$

これは、多くのサンプルがある場合、少なくとも の確率で期待値を上回るサンプルが 1 つあることを示しています。言い換えると、尖度が大きい場合、平均値を下回るか上回る値が多数見られる可能性があります。 ${\displaystyle \Theta (\kappa \log {\tfrac {1}{\delta }})}$${\displaystyle 1-\delta }$

デジタル画像にバンドパスフィルタを適用すると、フィルタの範囲に関係なく尖度値が均一になる傾向があります。この動作は尖度収束と呼ばれ、法医学分析で画像のスプライシングを検出するために使用できます。^[21]

通常のモーメントの代わりにLモーメントを使用することで、「尖度」の異なる尺度が提供されます。 ^{[22] [23]}

ウィキメディア・コモンズには、尖度に関連するメディアがあります。

• 尖度リスク
• 最大エントロピー確率分布

• キム・テファン、ホワイト・ハルバート (2003)。「歪度と尖度のより堅牢な推定について: S&P500 指数へのシミュレーションと応用」。ファイナンス リサーチ レター。1 : 56–70。doi : 10.1016 / S1544-6123(03)00003-5。S2CID  16913409。代替ソース（尖度推定値の比較）
• Seier, E.; Bonett, DG (2003). 「尖度測定の2つのファミリー」Metrika . 58 : 59–70. doi :10.1007/s001840200223. S2CID  115990880.

Wikiversityには尖度に関する学習リソースがあります

• 「過剰係数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 尖度計算機
• 無料のオンライン ソフトウェア (計算機) は、任意のデータセット (小規模および大規模サンプル テストを含む) のさまざまな種類の歪度と尖度統計を計算します。
• 数学用語の最も古い使用例に関する尖度
• 尖度の 100 周年を記念して、尖度のさまざまな測定法とともに、このトピックの歴史を紹介します。