ボラティリティスマイル

ボラティリティ スマイルは、金融オプションの価格設定で生じるインプライド ボラティリティパターンです。これは、ブラック ショールズ式を市場価格に合わせるために修正する必要があるパラメーター(インプライド ボラティリティ) です。特に、特定の満期日において、権利行使価格が原資産価格と大幅に異なるオプションは、標準的なオプション価格設定モデルで示される価格 (したがって、インプライド ボラティリティ) よりも高くなります。これらのオプションは、ディープイン ザ マネーまたはアウト オブ ザ マネーのいずれかであると言われています。

特定の満期日について、インプライド・ボラティリティを行使価格に対してグラフ化すると、予想される平坦な面ではなく、歪んだ「スマイル」が生成される。このパターンは市場によって異なる。米国市場で取引される株式オプションは、1987 年の大暴落前にはボラティリティ・スマイルを示さなかったが、その後は示し始めた。^{[1]投資家が}ファット・テールの確率を再評価したことで、アウト・オブ・ザ・マネー・オプションの価格が上昇したと考えられている。この異常は、ボラティリティが一定で、原資産の収益が対数正規分布することを前提とする標準的なブラック・ショールズ・オプション価格設定モデルの欠陥を意味している。しかし、経験的な資産収益分布は、ファット・テール (尖度) と歪を示す傾向がある。ボラティリティ・スマイルのモデル化は、定量的金融の研究が活発に行われている分野であり、確率的ボラティリティ・モデルなどのより優れた価格設定モデルは、この問題に部分的に対処している。

関連する概念として、ボラティリティの期間構造があります。これは、異なる満期を持つ関連オプションの（暗示的）ボラティリティがどのように異なるかを説明します。暗示的ボラティリティ サーフェスは、特定の原資産のすべてのオプションのボラティリティ スマイルとボラティリティの期間構造を統合された 3 次元サーフェスにプロットする 3 次元プロットです。

ブラック・ショールズ・モデルでは、バニラ・オプションの理論価値は、原資産のボラティリティの単調増加関数です。つまり、通常、オプションの特定の市場価格から一意のインプライド・ボラティリティを計算できます。このインプライド・ボラティリティは、異なる権利行使価格、満期日、原資産の比較をより容易かつ直感的にするオプション価格の再スケーリングとして考えるのが最善です。

インプライド ボラティリティを行使価格に対してプロットすると、結果として得られるグラフは、株式市場では通常、下向きに傾斜し、通貨市場では谷型になります。株式オプションなどのグラフが下向きに傾斜している市場では、「ボラティリティ スキュー」という用語がよく使用されます。FX オプションや株式指数オプションなど、典型的なグラフがどちらかの端で上向きになるその他の市場では、より一般的な用語である「ボラティリティ スマイル」が使用されます。たとえば、アップサイド (つまり、高い行使価格) 株式オプションのインプライド ボラティリティは、アット ザ マネー株式オプションよりも通常低くなります。ただし、外国為替契約のオプションのインプライド ボラティリティは、下向きと上向きの両方の方向に上昇する傾向があります。株式市場では、マネーの近くで、全体的に下向きのインプライド ボラティリティ グラフの折れ目として、わずかに傾いたスマイルがよく見られます。歪んだスマイルを表すために「スマイル」という用語が使用されることもあります。

市場関係者は、ATM (アット・ザ・マネー) オプションのボラティリティ パラメータを示すためにインプライド ボラティリティという用語を使用します。この値の調整は、リスク リバーサルとフライ (スキュー) の値を組み込むことによって行われ、デルタが 50 ではないオプションに使用できる実際のボラティリティ測定を決定します。

${\displaystyle \operatorname {Call} x=\mathrm {ATM} +0.5\operatorname {RR} x+\operatorname {Fly} x}$

${\displaystyle \operatorname {Put} x=\mathrm {ATM} -0.5\operatorname {RR} x+\operatorname {Fly} x}$

どこ：

• ${\displaystyle \operatorname {呼び出し} x}$x %デルタコールが市場で取引されているインプライドボラティリティです。
• ${\displaystyle \operatorname {Put} x}$x %デルタプットのインプライドボラティリティです
• ATMは、ATMコールとプットが市場で取引されるアット・ザ・マネー・フォワードのボラティリティです。
• ${\displaystyle \operatorname {RR} x=\operatorname {コール} x-\operatorname {プット} x}$
• ${\displaystyle \operatorname {Fly} x=0.5(\operatorname {Call} x+\operatorname {Put} x)-\mathrm {ATM} }$

リスク リバーサルは、通常、x % デルタ リスク リバーサルとして引用され、本質的には、x % デルタ コールのロングと、x % デルタ プットのショートです。

一方、バタフライは、以下の戦略で構成される戦略です。 − y % デルタ フライ、つまりy % デルタ コールのロング、y % デルタ プットのロング、1 ATM コールのショート、1 ATM プットのショート (小さな帽子の形)。

インプライド ボラティリティはヒストリカル ボラティリティと関連していますが、この 2 つは異なるものであることに留意してください。ヒストリカル ボラティリティは、最近の履歴 (たとえば、過去 21 日間) における原資産価格の変動 (実現ボラティリティ) を直接測定したものです。一方、インプライド ボラティリティは、原資産ではなくデリバティブ契約自体の市場価格によって決まります。したがって、同じ原資産の異なるデリバティブ契約には、それぞれの需給動向に応じて異なるインプライド ボラティリティがあります。たとえば、IBM のコールオプション(権利行使価格 100 ドル、6 か月後に満期) のインプライド ボラティリティは 18% ですが、プット オプション (権利行使価格 105 ドル、1 か月後に満期) のインプライド ボラティリティは 21% です。同時に、過去 21 日間の IBM の履歴ボラティリティは 17% になる可能性があります (すべてのボラティリティは年率パーセンテージで表されます)。

異なる満期のオプションでは、インプライド ボラティリティにも特徴的な違いが見られます。ただし、この場合、主な影響は、今後のイベントに対する市場のインプライド インパクトに関連しています。たとえば、企業が収益を発表する日に株価の実現ボラティリティが大幅に上昇することはよく知られています。それに応じて、オプションのインプライド ボラティリティは収益発表前の期間に上昇し、株価が新しい情報を吸収するとすぐに再び低下します。満期が早いオプションは、満期が長いオプションよりもインプライド ボラティリティ (「ボラティリティのボラティリティ」と呼ばれることもあります) の変動が大きくなります。

他のオプション市場では、異なる動きが見られます。たとえば、商品先物オプションは、通常、収穫予測の発表直前にインプライド ボラティリティが上昇します。米国財務省証券先物オプションは、連邦準備制度理事会の会議 (短期金利の変更が発表されるとき) の直前にインプライド ボラティリティが上昇します。

市場では、ボラティリティの期間構造に他の多くの種類のイベントが組み込まれています。たとえば、薬物試験の今後の結果の影響により、医薬品株のインプライドボラティリティが変動する可能性があります。特許訴訟の予想される解決日がテクノロジー株に影響を及ぼす可能性があります。

ボラティリティ期間構造は、インプライドボラティリティと満期までの時間の関係をリストします。期間構造は、トレーダーがオプションの安値または高値を判断するための別の方法を提供します。

インプライド・ボラティリティを行使価格と満期までの時間の両方の関数としてプロットすると便利な場合が多い。^[2]その結果は、3次元でプロットされた2次元の曲面であり、原資産のすべてのオプションの現在の市場インプライド・ボラティリティ（z軸）が価格（y軸）と満期までの時間（x軸「DTM」）に対してプロットされる。これは絶対インプライド・ボラティリティ面を定義し、価格をデルタに置き換えるように座標を変更すると、相対インプライド・ボラティリティ面が得られる。

インプライド ボラティリティ サーフェスは、ボラティリティ スマイルとボラティリティの期間構造の両方を同時に表示します。オプション トレーダーは、インプライド ボラティリティ プロットを使用して、インプライド ボラティリティ サーフェスの形状をすばやく判断し、プロットの傾斜 (したがって相対的なインプライド ボラティリティ) が直線から外れていると思われる領域を特定します。

このグラフは、特定の原資産株価に対するすべてのプット オプションのインプライド ボラティリティ サーフェスを示しています。z軸はインプライド ボラティリティをパーセントで表し、x軸とy軸はオプション デルタと満期までの日数を表します。プット コール パリティを維持するには、20 デルタのプットは 80 デルタのコールと同じインプライド ボラティリティを持つ必要があることに注意してください。このサーフェスでは、原資産シンボルにボラティリティ スキュー (デルタ軸に沿った傾斜) と、近い将来に予想されるイベントを示すボラティリティ期間構造の両方があることがわかります。

インプライド ボラティリティ サーフェスは静的です。つまり、特定の瞬間のインプライド ボラティリティを表します。スポットが変化するとサーフェスがどのように変化するかを、インプライド ボラティリティ サーフェスの進化と呼びます。

一般的なヒューリスティックには次のものがあります。

• 「スティッキー ストライク」（または「スティッキー バイ ストライク」、または「スティック ツー ストライク」）：スポットが変わっても、特定の絶対ストライクを持つオプションの暗黙のボラティリティは変わりません。
• 「スティッキーマネーネス」（別名「スティッキー デルタ」。これらが同義語である理由についてはマネーネスを参照してください）：スポットが変動しても、特定のマネーネス（デルタ）を持つオプションのインプライド ボラティリティは変化しません。（ここでのデルタは「デルタ ボラティリティ調整」を意味し、ギリシャ語のデルタではありません。言い換えると、ATM ストライク ボラティリティに対する相対的なボラティリティ調整であり、常に現在の原資産価格に最も近い 100% マネーネスに設定され、デルタ ボラティリティ調整の場合は 0 に設定されます。）

したがって、スポットが 100 ドルから 120 ドルに変動した場合、スティッキー ストライクは、120 ドルのストライク オプションの暗示的ボラティリティが変動前と同じになると予測します (ただし、OTM から ATM に移動しています)。一方、スティッキー デルタは、120 ドルのストライク オプションの暗示的ボラティリティが変動前と同じになると予測します (これらは両方ともその時点で ATM であるため)。

ボラティリティ スマイルをモデル化する手法には、確率的ボラティリティモデルとローカル ボラティリティモデルがあります。ここで開発されたさまざまな代替アプローチに関する議論については、「金融経済学 § 課題と批判」および 「ブラック ショールズ モデル § ボラティリティ スマイル」を参照してください。

• ボラティリティ（金融）
• 確率的ボラティリティ
• SABRボラティリティモデル
• ヴァンナ・ヴォルガ方式
• ヘストンモデル
• 暗示二項木
• 暗示的な三項式ツリー
• エッジワース二項木
• 金融経済学 § 正常からの逸脱
• ボラティリティリスク

• エマニュエル・ダーマン、「ボラティリティ・スマイルとその暗示するツリー」（RISK、1994 年 2 月 7 日～2 日、139～145 ページ、32～39 ページ）（PDF）
• Mark Rubinstein、暗黙の二項木 (PDF)
• Damiano Brigo、Fabio Mercurio、Francesco Rapisarda、Giulio Sartorelli、混合確率微分方程式によるボラティリティ スマイル モデリング (PDF)
• ボラティリティスマイルの可視化
• C. Grunspan、「暗黙の対数正規分布ボラティリティの漸近展開：モデルフリーアプローチ」
• Y. Li、「平均限界金融モデルとオプション価格設定」
• 商品ボラティリティのスマイル/スキューの例