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数学において、閉じた形式の式または公式とは、定数、変数、および基本関数とみなされる関数の集合で構成され、算術演算（+、−、×、/、および整数乗）と関数合成によって結び付けられているものです。一般的に、閉じた形式で許容される基本関数は、n乗根、指数関数、対数、および三角関数です。[ a ]ただし、基本関数の集合は文脈によって異なります。たとえば、基本関数に多項式の根を追加すると、閉じた形式を持つ関数は初等関数と呼ばれます。
閉形式問題は、極限、級数、積分などの数学的対象を指定する新しい方法が導入されたときに発生します。このようなツールで指定された対象が与えられた場合、可能であれば、その対象の閉形式表現、つまり、以前の指定方法を用いてその対象を表す表現を見つけることが自然な問題となります。
二次方程式の解の公式
これは、一般二次方程式の解の閉じた形式である。
より一般的に、多項式方程式の文脈では、解の閉形式とは根号による解のことです。つまり、許容される関数がn乗根と体演算のみである閉形式の式のことです。実際、場の理論によれば、多項式方程式の解が指数関数、対数関数、または三角関数を含む閉じた形式を持つ場合、これらの関数を含まない閉じた形式も存在することを示すことができる。
3次方程式（次数3）と4次方程式（次数4）のすべての解は、根号を用いた式で表されます。これらの式は次数が上がるにつれてサイズが著しく大きくなるため、その有用性は限られます。
高次の場合、アーベル・ルフィニの定理は、解が根号で表せない方程式が存在し、したがって閉じた形式を持たないことを述べている。簡単な例として、次の方程式がある。ガロア理論は、特定の多項式方程式が根号を用いて解けるかどうかを判定するためのアルゴリズム的手法を提供する。
記号積分は、基本的に、閉形式の式で指定された関数の原始関数の閉形式を求めることから成ります。この文脈において、閉形式を定義するために用いられる基本関数は、一般的に対数、指数関数、多項式の根です。これらの基本関数に対して閉形式を持つ関数は初等関数と呼ばれ、三角関数、逆三角関数、双曲線関数、逆双曲線関数などが含まれます。
したがって、記号積分の根本的な問題は、閉形式の式で指定された基本関数が与えられたとき、その原始関数が基本関数であるかどうかを判定し、基本関数である場合は、その原始関数の閉形式の式を見つけることである。
有理関数、すなわち2つの多項式関数の分数の場合、原始関数は必ずしも有理分数ではなく、対数や多項式の根を含む可能性のある初等関数です。これは通常、部分分数分解によって証明されます。対数と多項式の根が必要であることは、次の式で示されます。
基本関数に他の関数を追加すると、閉形式解を持つ方程式のセットが変わる可能性があります。多くの累積分布関数は、誤差関数やガンマ関数などの特殊関数を基本関数とみなさない限り、閉形式で表現できません。一般的な超幾何関数を含めれば5次方程式を解くことは可能ですが、その解は代数的に非常に複雑で実用的ではありません。多くの実用的なコンピュータアプリケーションでは、数値計算による実装が広く利用可能であるため、ガンマ関数やその他の特殊関数を基本関数とみなすことは全く妥当です。
これは、閉形式の同義語として理解されることもある用語です（「Wolfram Mathworld」を参照） 。）しかし、この用法は議論の的となっている（「Math Stackexchange」を参照） 。この用語が実際に使用されているのか、それともこのページの以前のバージョン（出典不明）に由来するものなのかは不明です。
閉形式の式には無限級数や連分数は含まれません。また、積分や極限も含まれません。実際、ストーン・ワイエルシュトラスの定理によれば、単位区間上の任意の連続関数は多項式の極限として表すことができるため、多項式を含み極限に関して閉じている関数のクラスには、必然的にすべての連続関数が含まれます。
同様に、方程式または方程式系は、少なくとも 1 つの解が閉形式の式で表せる場合に限り、閉形式の解を持つと言われ、少なくとも 1 つの解が解析的な式で表せる場合に限り、解析的な解を持つと言われます。 (Chow 1999)および以下で説明する「閉形式の解」の議論では、 「閉形式の関数」と「閉形式の数」の間に微妙な違いがあります。閉形式または解析的な解は、(陰方程式とは対照的に)明示的な解と呼ばれることもあります。
表現: 総和には無限個の基本演算が含まれるため、閉じた形式ではありません。しかし、等比級数を総和することで、この式は閉じた形式で表すことができます。[ 1 ]
閉形式の式の積分は、それ自体が閉形式の式として表現できる場合もあれば、できない場合もある。この研究は、代数的ガロア理論との類推から、微分ガロア理論と呼ばれている。
微分ガロア理論の基本定理は、1830年代から1840年代にかけてジョセフ・リウヴィルによって発見されたものであり、そのためリウヴィルの定理と呼ばれている。
原始関数の原始関数が閉じた形式で表現できない典型的な例は次のとおりです。その唯一の原始関数は（乗法定数を除いて）誤差関数である。
閉形式解や解析解を得るには複雑すぎる方程式やシステムは、多くの場合、数学的モデリングとコンピュータシミュレーションによって解析できます（物理学の例については、[ 2 ]を参照）。
複素数Cの 3 つの部分体が「閉じた形式の数」の概念を符号化するものとして提案されています。一般性の順に、これらはリウヴィル数 (有理数近似の意味でのリウヴィル数と混同しないように注意)、EL 数、および基本数です。Lと表記されるリウヴィル数は、指数と対数に関して閉じているCの最小の代数的に閉じた部分体(正式には、そのようなすべての部分体の共通部分) を形成します。つまり、明示的な指数と対数を含むが、明示的および暗黙的な多項式 (多項式の根) を許容する数です。これは( Ritt 1948 、 p. 60)で定義されています。Lは元々基本数と呼ばれていましたが、この用語は現在、代数演算、指数、および対数に関して明示的または暗黙的に定義された数を指すために、より広く使用されています。( Chow 1999 、pp. 441–442)で提案された、Eと表記されEL数と呼ばれるより狭義の定義は、指数演算と対数演算に関して閉じているCの最小部分体である。これは代数的に閉じている必要はなく、明示的な代数演算、指数演算、対数演算に対応する。「EL」は「指数対数」と「初等」の両方の略語である。
数が閉形式数であるかどうかは、数が超越数であるかどうかと関連しています。形式的には、リウヴィル数と初等数は代数的数を含み、超越数の一部を含みますが、すべてを含みません。対照的に、EL数はすべての代数的数を含みませんが、一部の超越数を含みます。閉形式数は超越数論を通して研究することができ、その主要な成果はゲルフォンド・シュナイダーの定理であり、主要な未解決問題はシャヌエルの予想です。
数値計算においては、多くの極限や積分は効率的に計算できるため、一般的に閉形式である必要はありません。ただし、三体問題やホジキン・ハクスリーモデルなど、閉形式解を持たない方程式も存在します。そのため、これらのシステムの将来の状態は数値的に計算する必要があります。
数値の閉形式表現を求めるソフトウェアには、RIES [ 3 ] 、 Maple [ 4 ]およびSymPy [ 5 ]のidentify、Plouffe の Inverter [ 6 ] 、およびInverse Symbolic Calculator [ 7 ]などがあります。
