確率的ボラティリティ

統計学において、確率的ボラティリティモデルとは、確率過程の分散自体がランダムに分布するモデルである。 ^{[1]これらは}数理ファイナンスの分野で、オプションなどのデリバティブ証券を評価するために使用されている。この名前は、原資産のボラティリティを、原資産の価格水準、ボラティリティが長期平均値に戻る傾向、ボラティリティ過程自体の分散などの状態変数によって決まるランダム過程として扱うモデルに由来している。

確率的ボラティリティ モデルは、ブラック ショールズモデルの欠点を解決する 1 つの方法です。特に、ブラック ショールズに基づくモデルでは、原資産のボラティリティはデリバティブの存続期間中一定であり、原資産の価格水準の変化の影響を受けないと想定しています。ただし、これらのモデルでは、ボラティリティスマイルやスキューなど、インプライド ボラティリティ サーフェスの長年観察されている特徴を説明できません。これらの特徴は、インプライド ボラティリティが行使価格や満期日に応じて変化する傾向があることを示しています。原資産価格のボラティリティが一定ではなく確率過程であると想定することで、デリバティブをより正確にモデル化できるようになります。

ローカルボラティリティ モデルは、単純なブラック ショールズ モデルと確率的ボラティリティ モデルの中間に位置します。これらのモデルでは、基礎となるボラティリティに新たなランダム性はありませんが、定数でもありません。ローカル ボラティリティ モデルでは、ボラティリティは基礎となる資産の重要な関数であり、追加のランダム性はありません。この定義によれば、一定の分散弾性などのモデルはローカル ボラティリティ モデルになりますが、確率的ボラティリティ モデルとして分類されることもあります。この分類は、場合によっては少し曖昧になることがあります。

確率的ボラティリティの初期の歴史には複数のルーツ（確率過程、オプション価格設定、計量経済学など）があり、Neil Shephard（2005）の「Stochastic Volatility」（オックスフォード大学出版）の第 1 章でレビューされています。

一定ボラティリティアプローチから始めて、デリバティブの原資産価格が幾何ブラウン運動の標準モデルに従うと仮定します。

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}\,}$

ここで、は証券価格の一定のドリフト（つまり期待収益）、は一定のボラティリティ、 は平均ゼロ、分散率 1の標準的なウィーナー過程です。この確率微分方程式の明示的な解は、 ${\displaystyle \mu \,}$${\displaystyle S_{t}\,}$${\displaystyle \sigma \,}$${\displaystyle dW_{t}\,}$

${\displaystyle S_{t}=S_{0}e^{(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})t+\sigma W_{t}}.}$

異なる時点における株価の一定変動率を推定する最尤推定量は、 ${\displaystyle \sigma \,}$${\displaystyle S_{t}\,}$${\displaystyle t_{i}\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\sigma }}^{2}&=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {(\ln S_{t_{i}}-\ln S_{t_{i-1}})^{2}}{t_{i}-t_{i-1}}}\right)-{\frac {1}{n}}{\frac {(\ln S_{t_{n}}-\ln S_{t_{0}})^{2}}{t_{n}-t_{0}}}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(t_{i}-t_{i-1})\left({\frac {\ln {\frac {S_{t_{i}}}{S_{t_{i-1}}}}}{t_{i}-t_{i-1}}}-{\frac {\ln {\frac {S_{t_{n}}}{S_{t_{0}}}}}{t_{n}-t_{0}}}\right)^{2};\end{aligned}}}$

その期待値は${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\widehat {\sigma }}^{2}\right]={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}.}$

一定のボラティリティを持つこの基本モデルは、ブラック・ショールズ・モデルやコックス・ロス・ルビンスタイン・モデルなどの非確率的ボラティリティ・モデルの出発点となります。 ${\displaystyle \sigma \,}$

確率的ボラティリティ モデルの場合、定数ボラティリティを の分散をモデル化する関数に置き換えます。この分散関数もブラウン運動としてモデル化され、 の形式は調査対象の特定の SV モデルによって異なります。 ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \nu _{t}}$${\displaystyle S_{t}}$${\displaystyle \nu _{t}}$

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+{\sqrt {\nu _{t}}}S_{t}\,dW_{t}\,}$

${\displaystyle d\nu _{t}=\alpha _{\nu ,t}\,dt+\beta _{\nu ,t}\,dB_{t}\,}$

ここで、 および はの関数であり、 はと相関し、相関係数は定数である別の標準ガウス分布です。 ${\displaystyle \alpha _{\nu ,t}}$${\displaystyle \beta _{\nu ,t}}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle dB_{t}}$${\displaystyle dW_{t}}$${\displaystyle \rho }$

人気のヘストン モデルは、一般的に使用される SV モデルであり、分散プロセスのランダム性が分散の平方根に応じて変化します。この場合、分散の微分方程式は次の形式になります。

${\displaystyle d\nu _{t}=\theta (\omega -\nu _{t})\,dt+\xi {\sqrt {\nu _{t}}}\,dB_{t}\,}$

ここで、は平均長期分散、は分散が長期平均に回帰する速度、は分散過程のボラティリティ、 はと同様に平均 0、分散 0 のガウス分布です。ただし、と は一定の相関値と相関しています。 ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle dB_{t}}$${\displaystyle dW_{t}}$${\displaystyle dt}$${\displaystyle dW_{t}}$${\displaystyle dB_{t}}$${\displaystyle \rho }$

言い換えれば、ヘストンSVモデルは、分散がランダムなプロセスであると仮定し、

1. 長期平均に向かって一定の割合で回帰する傾向を示し、${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \theta }$
2. レベルの平方根に比例した変動性を示す
3. そして、そのランダム性の源は、原資産の価格プロセスのランダム性と相関関係にあります（相関）。${\displaystyle \rho }$

^{「SVI」 [2]}などのボラティリティ表面のいくつかのパラメータ化はヘストンモデルに基づいています。

CEVモデルは、確率的ボラティリティを導入して、ボラティリティと価格の関係を説明します。

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}^{\,\gamma }\,dW_{t}}$

概念的には、一部の市場では価格が上昇するとボラティリティが上昇するため（例：商品）、 となります。他の市場では、 でモデル化されるように、価格が下落するとボラティリティが上昇する傾向があります。 ${\displaystyle \gamma >1}$${\displaystyle \gamma <1}$

CEV モデルはボラティリティの独自の確率過程を組み込んでいないため、真の意味での確率的ボラティリティ モデルではないと主張する人もいます。代わりに、彼らはそれをローカル ボラティリティ モデルと呼んでいます。

Haganら^{[3]が導入した}SABRモデル（Stochastic Alpha, Beta, Rho）は、確率的ボラティリティの下での単一のフォワード（インデックス、金利、債券、通貨、株式など、あらゆる資産に関連する）を記述します。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle dF_{t}=\sigma _{t}F_{t}^{\beta }\,dW_{t},}$

${\displaystyle d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}\,dZ_{t},}$

初期値および は現在の先物価格とボラティリティですが、 およびは相関係数 を持つ 2 つの相関ウィーナー過程 (つまりブラウン運動) です。定数パラメータは となります。 ${\displaystyle F_{0}}$${\displaystyle \sigma _{0}}$${\displaystyle W_{t}}$${\displaystyle Z_{t}}$${\displaystyle -1<\rho <1}$${\displaystyle \beta ,\;\alpha }$${\displaystyle 0\leq \beta \leq 1,\;\alpha \geq 0}$

SABRモデルの主な特徴は、ボラティリティスマイルのスマイル効果を再現できることです。

一般化自己回帰条件付き不均一分散性（GARCH）モデルは、確率的ボラティリティを推定するためのもう1つの一般的なモデルです。これは、ヘストンモデルのように分散の平方根ではなく、分散プロセスのランダム性が分散とともに変化すると仮定しています。標準的なGARCH（1,1）モデルは、連続分散微分に対して次の形式を持ちます：^[4]

${\displaystyle d\nu _{t}=\theta (\omega -\nu _{t})\,dt+\xi \nu _{t}\,dB_{t}\,}$

GARCHモデルは、NGARCH、TGARCH、IGARCH、LGARCH、EGARCH、GJR-GARCH、Power GARCH、Component GARCHなど、数多くのバリエーションを通じて拡張されてきました。ただし厳密には、GARCHモデルの条件付きボラティリティは確率的ではありません。なぜなら、t時点でのボラティリティは、以前の値によって完全に事前に決定（決定論的）されているからです。^[5]

3/2 モデルはヘストン モデルに似ていますが、分散プロセスのランダム性が に応じて変化すると仮定しています。分散微分の形式は次のとおりです。 ${\displaystyle \nu _{t}^{3/2}}$

${\displaystyle d\nu _{t}=\nu _{t}(\omega -\theta \nu _{t})\,dt+\xi \nu _{t}^{3/2}\,dB_{t}.\,}$

しかし、パラメータの意味はヘストンモデルとは異なります。このモデルでは、平均回帰パラメータと分散の変動性パラメータは、それぞれ と で与えられる確率量 です。 ${\displaystyle \theta \nu _{t}}$${\displaystyle \xi \nu _{t}}$

高頻度データからボラティリティを推定する場合、ボラティリティ過程の滑らかさが疑問視されてきた。^[6] 対数ボラティリティは、任意の合理的な時間スケールで、ハースト指数のオーダーを持つ分数ブラウン運動として振舞うことがわかっている。このことから、分数確率ボラティリティ（FSV）モデルが採用され、^[7]全体的に大まかなFSV（RFSV）が導かれた。ここで「大まか」とは、 であることを強調するためである。RFSVモデルは時系列データと一致しており、実現ボラティリティの予測精度が向上する。^{[6] [8]}${\displaystyle H=0.1}$${\displaystyle H<1/2}$

特定の SV モデルを選択したら、既存の市場データに対して調整する必要があります。調整とは、観測データに基づいて最も可能性の高いモデル パラメータのセットを特定するプロセスです。よく使用される手法の 1 つは、最大尤度推定(MLE) を使用することです。たとえば、ヘストン モデルでは、パウエル有向集合法 [1]などの MLE アルゴリズムを過去の原資産価格の観測に適用して、モデル パラメータのセットを推定できます。 ${\displaystyle \Psi _{0}=\{\omega ,\theta ,\xi ,\rho \}\,}$

この場合、 の推定値から始めて、過去の価格データを結果のモデルに適用したときに残差誤差を計算し、これらの誤差を最小限に抑えるように調整します。調整を実行したら、モデルを定期的に再調整するのが標準的な方法です。 ${\displaystyle \Psi _{0}\,}$${\displaystyle \Psi \,}$

較正の代替手段は、パラメータの不確実性を考慮した統計的推定です。多くの頻度主義的およびベイズ的方法が提案され、実装されていますが、通常は上記のモデルのサブセットを対象としています。次のリストには、不均一分散推定用に特別に設計された、オープンソース統計ソフトウェアRの拡張パッケージが含まれています。最初の 3 つは、決定論的ボラティリティを持つ GARCH 型モデルに対応し、4 番目は確率的ボラティリティ推定を扱います。

• rugarch: ARFIMA、in-mean、外部回帰変数、さまざまなGARCHフレーバー、適合、予測、シミュレーション、推論、プロットの手法。^[9]
• fGarch: 「金融工学と計算金融」を教育するための Rmetrics 環境の一部。
• bayesGARCH: スチューデントのt検定によるGARCH(1,1)モデルのベイズ推定。^[10]
• stochvol:マルコフ連鎖モンテカルロ法(MCMC)による確率的ボラティリティ(SV)モデルの完全ベイズ推定のための効率的なアルゴリズム。^{[11] [12]}

これまで多くの数値手法が開発され、オプションなどの金融資産の価格設定を確率的ボラティリティモデルで解決してきました。最近開発されたアプリケーションは、局所的確率的ボラティリティモデルです。^[13]この局所的確率的ボラティリティモデルは、外国為替オプションなどの新しい金融資産の価格設定においてより良い結果をもたらします。

Python などの他の言語にも、代替の統計推定ライブラリがあります。

• PyFlux には、GARCH および beta-t-EGARCH モデルに対するベイズ推論と古典的推論のサポートが含まれています。

• ブラック・ショールズモデル
• ヘストンモデル
• ローカルボラティリティ
• マルコフスイッチングマルチフラクタル
• リスク中立的な対策
• SABRボラティリティモデル
• 確率的ボラティリティの急上昇
• 従属者
• ボラティリティ
• ボラティリティクラスタリング
• 不安定性、不確実性、複雑性、曖昧性

• 確率的ボラティリティと平均分散分析^{[ permanent dead link ‍ ]}、Hyungsok Ahn、Paul Wilmott、(2006)。
• 確率的ボラティリティを持つオプションの閉形式解、SL Heston、(1993)。
• Inside Volatility Arbitrage、Alireza Javaheri、(2005)。
• 確率的ボラティリティモデルのキャリブレーションの加速、Kilin、Fiodar (2006)。