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これは、数学分野の出版物を分野別に整理したリストです。
ある特定の出版物が重要視される理由としては、以下のようなものが考えられます。
数学における重要な出版物をまとめた出版物としては、アイヴァー・グラッタン＝ギネス著『西洋数学のランドマーク的著作 1640-1940』[ 2 ]や、デイヴィッド・ユージン・スミス著『数学のソースブック』[ 3 ]などがある。
言語学的証拠から、この文書は紀元前8世紀から5世紀の間に書かれたと考えられており、これは最も古い数学文書の1つです。インド数学の基礎を築き、南アジアに影響を与えました。主に幾何学の文書でしたが、ピタゴラス数のリスト、線形方程式と二次方程式の幾何学的解法、2の平方根など、いくつかの重要な発展も含まれていました。 [ 4 ]
本書には、連立一次方程式を解くためのガウス消去法に関する最も初期の記述が含まれており、平方根と立方根を求める方法も記載されている。
確定方程式（一意解を持つ方程式）と不確定方程式の数値解を与える130の代数問題を収録している。[ 5 ]
遠方の物体の深さや高さを測量するための直角三角形の応用について解説する。
中国剰余定理の最も初期の記述が含まれている。
このテキストには、測量（kṣetra vyāvahāra）、等差数列と等比数列、日時計／影（shanku-chhAyA）、単方程式、二次方程式、連立方程式、不定方程式を扱った33の詩句が含まれています。また、1階ディオファントス方程式を解くための現代の標準的なアルゴリズムも示しています。
ジグ・スアンジン（西暦626年）
唐代の数学者、王孝通によるこの本には、世界最古の三次方程式が記されている。
負の数と正の数の両方を操作するための規則、ゼロを扱うための規則、平方根を計算する方法、線形方程式といくつかの二次方程式を解くための一般的な方法、ペル方程式の解法が含まれていました。 [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]
ペルシャの学者ムハンマド・イブン・ムーサー・アル＝フワーリズミーによる、線形方程式と二次方程式の体系的な代数的解法に関する最初の書物。この書物は、現代代数学とイスラム数学の基礎であると考えられている。[ 10 ]「代数学」という言葉自体は、書名のアル＝ジャブルに由来する。 [ 11 ]
バースカラ2世による数学に関する主要な論文の一つには、1階および2階の不定方程式の解法が示されている。
4次多項式方程式の最も初期の発明が含まれている。
この13世紀の書物には、19世紀のホーナー法による高次多項式方程式（10次まで）の解法が、最古の形で完全に記述されている。また、オイラーやガウスよりも数世紀も前に確立された中国剰余定理の完全な解法も含まれている。
複雑な幾何学問題を解く際に、高次多項式方程式を応用する方法を解説しています。
最大4つの未知数を持つ高次多項式方程式系を構築する方法を含む。
別名「偉大な芸術」として知られるこの書物は、三次方程式と四次方程式を解くための最初の公表された方法（シピオーネ・デル・フェッロ、ニッコロ・フォンタナ・タルタリア、ロドヴィコ・フェッラーリによる）を提供し、非実数複素数を含む最初の公表された計算を示した。[ 12 ] [ 13 ]
『代数学の原論』としても知られるオイラーの初等代数学の教科書は、今日私たちが認識する現代的な形式で代数学を初めて体系化したものの1つです。第1巻は確定方程式を扱い、第2部はディオファントス方程式を扱います。最後のセクションには、 n = 3の場合のフェルマーの最終定理の証明が含まれており、いくつかの妥当な仮定が置かれています。 オイラーはそれを証明しなかった。[ 14 ]
ガウスの博士論文[ 15 ]には、当時広く受け入れられていたが不完全な代数学の基本定理の証明[ 16 ]が含まれていた。
タイトルは「方程式の代数的解に関する考察」を意味する。多項式方程式のラグランジュレゾルベントの根は元の方程式の根の順列と結びついているという先見の明のある観察を行い、それまで場当たり的な解析であったものに、より一般的な基礎を築き、後の順列群論、群論、ガロア理論の発展を促すのに貢献した。ラグランジュレゾルベントはまた、 3次の離散フーリエ変換を導入した。
ジョセフ・リウヴィルによるエヴァリスト・ガロアの数学写本の死後出版。ガロアの論文Mémoire sur les criteria de résolubilité des équations par radicauxとDes équations primitives qui Sont solubles par radicaux が含まれています。
オンライン版：オンライン版
『置換と代数方程式に関する論文』（Traité des substitutions et des équations algébriques）。群論に関する最初の書籍であり、当時としては包括的な置換群とガロア理論の研究を提供した。この書籍の中で、ジョルダンは単純群と全射準同型（彼が同型準同型と呼んだもの）の概念を導入し、[ 17 ]ジョルダン・ヘルダーの定理の一部を証明し、有限体上の行列群とジョルダン標準形について議論した。[ 18 ]
出版物データ: 3 巻、BG Teubner、Verlagsgesellschaft、mbH、ライプツィヒ、1888 ～ 1893 年。第 1 巻、第 2 巻、第 3 巻。
概要：奇数位数の有限群の可解性を完全に証明し、すべての有限非可換単純群は偶数位数であるという長年のバーンサイド予想を確立した。この論文で用いられた多くの独創的な手法は、最終的に有限単純群の分類に用いられた。
抽象ホモロジー代数に関する初の包括的な研究を提供し、結合代数、リー代数、群に対するホモロジーとコホモロジーのこれまでばらばらだった表現を単一の理論に統合した。
「東北論文」と呼ばれることも多いこの論文は、アーベル圏を導入し、カルタンとアイレンベルクの導来関手の概念に対する一般的な枠組みを提供することで、ホモロジー代数学に革命をもたらした。
出版データ: Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
リーマンの 1851 年の論文を超えて、リーマン面の概念とその位相的性質を発展させ、種数に関する指数定理 (リーマン-フルヴィッツの公式の原型) を証明し、所定の極を持つ有理型関数の空間の次元に関するリーマン不等式 (リーマン-ロッホの定理の原型) を証明し、与えられた曲線の双有理変換と、与えられた種数の同値でない曲線の対応するモジュライ空間の次元について議論し、アーベルとヤコビが調査した問題よりも一般的な反転問題を解決した。アンドレ・ヴェイユはかつてこの論文について「これまで書かれた数学の中で最も偉大なものの 1 つであり、重要でない言葉は 1 つもない」と書いた。 [ 19 ]
掲載情報：Annals of Mathematics、1955年
FACと呼ばれるものは、複素多様体の場合を超えて代数幾何学における層の使用の基礎となった。Serre はこの論文で層のČech コホモロジーを導入し、いくつかの技術的な欠点にもかかわらず、代数幾何学の定式化に革命をもたらした。例えば、層コホモロジーの長完全列により、層のいくつかの全射写像が切断上の全射写像を誘導することを示すことができる。具体的には、これらは核 (層として) が消滅する第一コホモロジー群を持つ写像である。射影幾何学では、コヒーレント層の切断のベクトル空間の次元は有限であり、そのような次元には、例えばホッジ数などの多くの離散的な多様体の不変量が含まれる。技術的な理由からグロタンディークの導来関手コホモロジーがチェフコホモロジーに取って代わったものの、射影空間のコホモロジーなどの実際の計算は通常チェフの手法で行われるため、セールの論文は依然として重要である。
数学において、代数幾何学と解析幾何学は密接に関連した分野であり、解析幾何学は複素多様体と、複数の複素変数の解析関数が局所的に消滅することによって定義されるより一般的な解析空間の理論である。両者の関係に関する（数学的な）理論は、例えばホッジ理論の手法を取り入れるなど、代数幾何学の基礎を築く作業の一環として、1950年代初頭に確立された。（注：デカルト座標の使用としての解析幾何学も、ある意味では代数幾何学の範囲に含まれるが、それはこの記事で議論されているトピックではない。）この理論を統合した主要な論文は、SerreによるGéometrie Algébrique et Géométrie Analytiqueであり、現在ではGAGAと呼ばれることが多い。 GAGAスタイルの結果は、代数幾何学の対象とその射の圏と、解析幾何学の対象と正則写像の明確に定義された部分圏との間の移行を可能にする、あらゆる比較定理を意味することになる。
グロタンディークが自身の結果を論文にまとめることに興味がないと明言した後、ボレルとセールがグロタンディーク版リーマン・ロッホ定理を解説した。グロタンディークは、1953年にヒルツェブルフが証明した式の両辺を多様体間の射の枠組みで再解釈し、大幅な一般化を行った。[ 20 ]証明の中で、グロタンディークはグロタンディーク群の概念で新たな地平を切り開き、それがK理論の発展につながった。[ 21 ]
ジャン・デュードネの協力を得て執筆された本書は、グロタンディークによる代数幾何学の基礎体系の再構築に関する解説書である。これは現代代数幾何学における最も重要な基礎的著作となった。これらの書籍は「EGA」として知られ、本書で展開されたアプローチは代数幾何学の分野を変革し、飛躍的な進歩をもたらした。
グロタンディークによる代数幾何学の基礎の再構築に関するこれらのセミナーノートは、 1960年代から始まったIHÉSでの研究について報告している。SGA 1は1960年から1961年のセミナーの記録であり、シリーズ最後のSGA 7は1967年から1969年の記録である。基礎を確立することを目的としたEGAとは対照的に、SGAはグロタンディークのセミナーで展開された進行中の研究を記述している。そのため、より初歩的で基礎的な結果の多くがEGAに追いやられているため、SGAはかなり読みにくい。SGAの結果に基づいて構築された主要な結果の1つは、1970年代初頭にピエール・ドリーニュが最後の未解決のワイル予想を証明したことである。 SGAの1巻または複数巻に携わった他の著者には、ミシェル・レイノー、ミシェル・アルタン、ジャン＝ピエール・セール、ジャン＝ルイ・ヴェルディエ、ピエール・ドリーニュ、ニコラス・カッツなどがいる。
ブラフマグプタの『ブラフマスプタシッダーンタ』は、ゼロを数として言及した最初の書物であり、そのためブラフマグプタはゼロの概念を最初に定式化した人物とみなされている。ヒンドゥー・アラビア数字体系に基づく現在の四則演算（加算、減算、乗算、除算）の体系も、『ブラフマスプタシッダーンタ』に初めて登場した。また、正の数と負の数に関する具体的な概念を示した最初の文献の一つでもある。
1737年に初めて発表されたこの論文[ 22 ]は、当時としては初めて、連分数の性質を包括的に説明したものである。また、数eが無理数であることの最初の証明も含まれている[ 23 ]。
整数がどのような形式で表現できるかという一般的な問題を扱うために、二進二次形式の一般理論を開発した。これには、二項二次形式の還元理論が含まれており、彼はすべての形式が特定の標準的に選択された還元形式と等価であることを証明した。[ 24 ] [ 25 ]
『算術研究』は、ドイツの数学者カール・フリードリヒ・ガウスによって書かれた、数論に関する深遠かつ傑出した著作であり、ガウスが24歳だった1801年に初版が出版されました。この著作の中で、ガウスはフェルマー、オイラー、ラグランジュ、ルジャンドルといった数学者たちが得た数論の成果をまとめ、自身の重要な新しい成果を数多く加えています。彼の貢献の中には、算術の基本定理の最初の完全な証明、二次相互法則の最初の2つの出版された証明、ラグランジュの『算術研究』における研究を超える二元二次形式の深い研究、ガウス和、円分割、そして正17角形の構成可能性への特別な応用を伴う構成可能多角形の理論の最初の登場などがあります。注目すべきことに、ガウスは『Disquisitiones』第V部第303条で、虚二次数体の類数に関する計算をまとめ、実際に類数1、2、3のすべての虚二次数体を発見した（1986年に確認）。これは彼が予想していた通りである。 [ 26 ]ガウスは第VII部第358条で、有限体上の曲線に対するリーマン予想の最初の非自明なケースと解釈できるもの（ハッセ・ヴェイユの定理）を証明した。[ 27 ]
解析的整数論の先駆的な論文であり、ディリクレ指標とそのL関数を導入して、等差数列に関するディリクレの定理を確立した。[ 28 ]その後の出版物で、ディリクレはこれらのツールを使用して、とりわけ二次形式のクラス数などを特定した。
「与えられた大きさより小さい素数の数について」は、ベルンハルト・リーマンによる8ページの重要な論文で、1859年11月号のベルリン科学アカデミー月報に掲載されました。これは彼が数論について発表した唯一の論文ですが、19世紀後半から現在に至るまで数十人の研究者に影響を与えたアイデアが含まれています。この論文は主に定義、発見的議論、証明の概略、強力な解析的手法の適用から構成されており、これらはすべて現代の解析的数論の不可欠な概念とツールとなっています。また、数学における最も重要な未解決問題の一つである有名なリーマン予想も含まれています。[ 29 ]
『数論講義』 （ Vorlesungen über Zahlentheorie）は、ドイツの数学者P.G.ルジューヌ・ディリクレとR.デデキントによって書かれ、1863年に出版された数論の教科書である。この講義は、フェルマー、ヤコビ、ガウスによる古典的な数論と、デデキント、リーマン、ヒルベルトによる近代的な数論との間の分水嶺と見なすことができる。ディリクレは、現代代数学の中心となる群の概念を明示的に認めてはいないが、彼の証明の多くは群論に対する暗黙の理解を示している。
19世紀に行われた代数的整数論の多くの発展を統一し、分かりやすく解説した。アンドレ・ヴェイユ（「彼の有名な『数論報告』の半分以上は、クンマーの数論的研究の記述に過ぎず、本質的ではない改良を加えただけだ」と述べている）[ 30 ]やエミー・ネーター[ 31 ]からは批判されたものの、出版後長年にわたって大きな影響力を持った。
一般に単にテイトの論文と呼ばれる、エミール・アルティンの指導の下でテイトがプリンストン大学で執筆した博士論文は、エーリッヒ・ヘッケのゼータ関数とL関数の理論をアデール上のフーリエ解析の観点から再構築したものである。これらの手法を数論に導入することで、ヘッケの結果を保型形式から生じるようなより一般的なL関数に拡張することが可能になった。
この出版物は、表現論を導入することによって、モジュラー形式とそのL関数に関する古典的な理論を再構築および拡張することにより、ラングランズの予想に対する証拠を提供する。
有限体上の多様体に対するリーマン予想を証明し、未解決だった最後のワイル予想を解決した。
ファルティングスはこの論文で一連の重要な結果を証明しており、その中でも最も有名なのはモルデル予想（1922年に提唱された予想）の最初の証明である。この論文で証明された他の定理には、テイト予想（数体上の2つのアーベル多様体間の準同型写像と、それらのテイト加群間の準同型写像を関連付ける予想）の一例や、特定の性質を持つ数体上のアーベル多様体に関するいくつかの有限性結果などがある。
本稿では、ガロア表現の変形理論の研究を通して、志村・谷山予想の特殊な場合を証明する。これはひいては、有名なフェルマーの最終定理を導く。変形環をヘッケ環と同一視する証明方法（現在ではR=T定理と呼ばれている）は、モジュラリティ持ち上げ定理を証明する上で、代数的整数論において影響力のある発展となった。
ハリスとテイラーは、 GL( n )に対する局所ラングランズ予想の最初の証明を提供した。この証明の一環として、本書では、不良還元素数における特定の志村多様体の幾何学とコホモロジーについても詳細に研究している。
Ngô Bảo Châuは、幾何学的ラングランズ・プログラムの手法を用いて、古典的なラングランズ・プログラムにおける長年の未解決問題を証明した。
ピーター・ショルツェはパーフェクトイド空間を紹介した。
著名な数学史家カール・ボイヤーはかつて、オイラーの『無限解析入門』を現代数学における最も優れた教科書と呼んだ。[ 32 ] 2巻で出版されたこの本は、[ 33 ] [ 34 ]他のどの著作よりも、幾何学や代数学で用いられるものとは異なる焦点とアプローチで、解析を数学の主要な分野として確立することに成功した。[ 35 ]特に、オイラーは、この本の中心に曲線ではなく関数を置いた。[ 36 ]対数関数、指数関数、三角関数、超越関数が扱われ、部分分数展開、 1から13までの正の整数kに対するζ(2k)の評価、無限級数と無限積の公式、[ 32 ]連分数、整数の分割も扱われた。[ 37 ]この研究において、オイラーは、すべての有理数は有限の連分数で表すことができ、無理数の連分数は無限であることを証明し、eと[ 33 ]この著作には、オイラーの公式と五角数定理の記述も含まれており、彼は以前に五角数定理を発見し、1751年にその証明を発表した。
1530年にインドで書かれた[ 38 ] [ 39 ]この書は、無限級数、三角法、数学解析におけるケーララ学派の業績を まとめたもので、そのほとんどは14世紀の数学者マダヴァによって以前に発見されたものである。その重要な発展には、いくつかの三角関数の無限級数とテイラー級数展開、およびπ近似が含まれる。
ライプニッツによる微分積分に関する最初の著作であり、現在ではよく知られている微分記号に加え、べき乗、積、商の導関数を計算するための規則が含まれている。
『自然哲学の数学的原理』（ラテン語: 『自然哲学の数学的原理』、略して『プリンキピア』または『プリンキピア・マテマティカ』 ）は、アイザック・ニュートンによる3巻からなる著作で、1687年7月5日に出版された。おそらくこれまで出版された科学書の中で最も影響力のある本であり、古典力学の基礎となるニュートンの運動法則や万有引力の法則が記され、惑星の運動に関するケプラーの法則（これは最初に経験的に得られたもの）が導き出されている。現在では科学と同義語となっている、数学的公理を仮定し、その結論が観察可能な現象であることを示すことによって自然を説明するという手法が、ここで生まれた。ニュートンは物理理論を定式化する際に、未発表の微積分学の研究を自由に利用した。しかし、『プリンキピア』を出版するために提出した際、ニュートンは証明の大部分を幾何学的議論として書き直すことを選択した。[ 40 ]
2冊の本で出版された[ 41 ]オイラーの微分積分学の教科書は、彼が1748年の『Introductio in analysin infinitorum』で導入した関数概念の観点から主題を提示した。この著作は有限差分の計算の研究から始まり、置換の下での微分がどのように振る舞うかを徹底的に調査している。[ 42 ]また、ベルヌーイ多項式とベルヌーイ数（そのように命名）の体系的な研究、ベルヌーイ数がオイラー・マクローリンの公式の係数とζ(2n)の値にどのように関係しているかの証明、[ 43 ]オイラー定数のさらなる研究（ガンマ関数との関連を含む）、および微分への部分分数の応用も含まれている。[ 44 ]
1853 年に書かれたリーマンの三角級数に関する研究は、死後に出版された。その中で、彼はコーシーの積分の定義をリーマン積分の定義に拡張し、区間上に不連続点の密な部分集合を持ついくつかの関数を積分できるようにした（彼は例を用いてこれを示した）。[ 45 ]また、彼はリーマン級数定理を述べ、[ 45 ]有界リーマン積分可能関数の場合のリーマン・ルベーグの補題を証明し、 [ 46 ]リーマン局所化原理を開発した。[ 47 ]
リーマンの博士論文は、リーマン面、等角写像、単純連結性、リーマン球面、極と分岐点を持つ関数のローラン級数展開、およびリーマン写像定理の概念を導入した。
線形距離空間に関する最初の数学モノグラフであり、関数解析の抽象的な研究をより広い数学界にもたらした。本書は、ノルム空間の概念と、いわゆるB空間、すなわち完備ノルム空間の概念を導入した。B空間は現在バナッハ空間と呼ばれ、現代数学解析のあらゆる分野における基本的な研究対象の一つとなっている。バナッハはまた、開写像定理、閉グラフ定理、ハーン・バナッハ定理の様々なバージョンの証明も与えた。
グロタンディークの論文は、核空間の概念、局所凸位相ベクトル空間のテンソル積、およびバナッハ空間のテンソル積に関するグロタンディークの研究の始まりを導入した。[ 48 ]
アレクサンダー・グロタンディークは、位相ベクトル空間に関する教科書も執筆した。
フーリエ解析、特にフーリエ級数を導入した。重要な貢献は、単に三角級数を用いるのではなく、すべての関数を三角級数でモデル化したことである。
両辺にそして、から積分するに収量：
フーリエが1807年に論文を提出したとき、委員会（ラグランジュ、ラプラス、マリュス、ルジャンドルなどを含む）は次のように結論付けた。「著者がこれらの方程式にたどり着く方法は困難を伴わず、また、それらを積分するための彼の解析は、一般性や厳密性の点でまだ改善の余地がある」。フーリエ級数を厳密にすることは、詳細には1世紀以上を要したが、解析学における多くの発展に直接つながり、特にディリクレ積分、そして後にルベーグ積分による積分の厳密な記述につながった。
リーマンはフーリエ級数に関する教授資格論文の中で、ディリクレのこの研究を「この主題に関する最初の深遠な論文」と評した。[ 50 ]この論文は、ディリクレが現在ディリクレ核と呼ばれるものを含む特定のディリクレ積分に変換した部分和を考慮することにより、かなり一般的な条件（区分的連続性と単調性）の下でのフーリエ級数の収束の最初の厳密な証明を与えた。この論文は、至るところで連続でないディリクレ関数とリーマン・ルベーグの補題の初期バージョンを導入した。[ 51 ]
紀元前8世紀頃に書かれたと考えられているこの書物は、最も古い数学書のひとつです。インド数学の基礎を築き、南アジアに大きな影響を与えました。主に幾何学に関する書物でしたが、代数的に発見されたピタゴラス数のリスト、線形方程式の幾何学的解法、二次方程式や平方根2の使用など、重要な代数的発展も含まれています。
出版時期：紀元前300年頃
オンライン版：インタラクティブなJava版
これは、幾何学における最も重要な著作であるだけでなく、数学における最も重要な著作の1つとみなされることが多い。平面幾何学と立体幾何学、代数学（第2巻と第5巻）、数論（第7巻、第8巻、第9巻）における多くの重要な結果が含まれている。[ 52 ]この出版物の特定の結果以上に、この出版物の最大の功績は、結果を証明する手段として公理的アプローチを推進したことであると思われる。ユークリッドの『原論』は、これまで書かれた中で最も成功し、最も影響力のある教科書と呼ばれている。[ 53 ]
これは、漢王朝時代、おそらく紀元前200年頃に編纂された、主に幾何学に関する中国の数学書です。ユークリッドの『原論』がヨーロッパで占めていた地位と同様に、中国と東アジアで1000年以上にわたり最も重要な教科書であり続けました。その内容には、後に西洋で偽位置法として知られる原理を用いて解かれた線形問題、ガウス消去法に似た原理を用いて解かれた複数の未知数を含む問題、西洋でピタゴラスの定理として知られる原理を用いた問題、現代の方法と同等の方法を用いた行列の最古の解法などが含まれています。
『円錐曲線論』は、ギリシャの数学者ペルガのアポロニウスによって書かれた。彼の革新的な方法論と用語、特に円錐曲線の分野におけるものは、プトレマイオス、フランチェスコ・マウロリコ、アイザック・ニュートン、ルネ・デカルトなど、後世の多くの学者に影響を与えた。楕円、放物線、双曲線に現在知られている名前を与えたのは、アポロニウスであった。
これは古代ヒンドゥー教徒の考古天文学の理論、原理、方法を記述したものです。このシッダーンタは、太陽神がマヤというアスラに授けた知識であるとされています。この書物では、正弦（jya）、余弦（kojya、または「垂直正弦」）、逆正弦（otkram jya）が初めて用いられています。後のインドの数学者、例えばアーリヤバタなどがこの書物を参照しており、後にアラビア語とラテン語に翻訳されたものはヨーロッパと中東で大きな影響力を持つようになりました。
これは、インド数学の黄金時代において非常に影響力のある文献でした。本文は非常に簡潔であったため、後世の数学者たちによって注釈が加えられました。正弦・余弦の導入、円周率の近似値の決定、地球の円周の正確な計算など、幾何学と天文学に多大な貢献をしました。
『幾何学』は1637年に出版され、ルネ・デカルトによって書かれた。この本はデカルト座標系の発展に大きな影響を与え、特に平面上の点を実数で表す方法と、曲線を方程式で表す方法について論じている。
オンライン版：英語
出版物データ:ヒルベルト、デイヴィッド (1899)。グルンドラーゲン デア ジオメトリ。トイブナー・フェルラーク・ライプツィヒ。
ヒルベルトによる幾何学の公理化は、公理の独立性を証明するためのモデルの使用や、公理系の一貫性と完全性を確立することの重要性など、メタ数学的な問題に対する先駆的なアプローチにおいて、最も大きな影響を与えた。
『正多面体』は、正多面体の幾何学、すなわち正多角形と正多面体の高次元への一般化について包括的に概説した書籍である。1923年に書かれた「次元類推」というエッセイを起源とし、初版の完成にはコクセターが24年の歳月を要した。1947年に初版が刊行され、1963年と1973年に改訂・再版された。
出版物データ: Mémoires de l'académie des Sciences de Berlin 16 (1760) pp. 119–143; 1767 年に出版されました。 (全文と英語の翻訳はダートマス オイラー アーカイブから入手できます。)
出版物データ: 「Disquisitiones Generales circa superficies curvas」、Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores Vol. VI (1827)、99 ～ 146 ページ 。 「General Investigations of Curved Surfaces」（1965 年出版）Raven Press、ニューヨーク、AMHiltebeitel と JCMorehead により翻訳。
出版物データ: 「Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde Liegen」、Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen、Vol. 1867 年 13 日。英語翻訳
リーマンの有名な教授資格講演では、多様体、リーマン計量、曲率テンソルの概念が導入されました。リヒャルト・デデキントは、当時77歳だったガウスがリーマンの講演に反応したことを報告し、講演は「彼の予想をはるかに超えていた」とし、「リーマンが提示したアイデアの深さについて、彼にしては珍しいほどの興奮と最高の感謝の念をもって語った」と述べています。[ 54 ]
出版データ:ダルブー、ガストン (1890)。表面の一般的な理論。 Vol. VI.ゴーティエ・ヴィラール。 リーブル I (1887)、リーブル IV (1915)、リーブル VI (1894)、第 IV 巻
Leçons sur la théorie génerale des surfaces et les application géométriques du calcul infinitésimal (曲面の一般理論と無限微積分の幾何学的応用について)。 19 世紀の曲面の微分幾何学のほぼすべての側面をカバーする論文。
概要：ポアンカレの『Analysis Situs』と『Compléments à l'Analysis Situs』は、代数トポロジーの一般的な基礎を築きました。これらの論文で、ポアンカレはホモロジーと基本群の概念を導入し、ポアンカレ双対性の初期の定式化を提供し、鎖複体のオイラー・ポアンカレ特性を与え、2003年にグリゴリー・ペレルマンによって証明されたポアンカレ予想を含むいくつかの重要な予想について言及しました。
1946年のルレイのコンプテ・ランデュス誌に掲載されたこの2つのノートは、彼が捕虜として拘束されていた期間に開発した層、層コホモロジー、スペクトル系列という新しい概念を紹介した。ルレイの発表と応用（1946年の他のコンプテ・ランデュス誌に掲載）は、他の数学者たちの注目をすぐに集めた。その後、アンリ・カルタン、ジャン＝ルイ・コズル、アルマン・ボレル、ジャン＝ピエール・セール、そしてルレイ自身による明確化、発展、一般化によって、これらの概念は理解され、数学の他の多くの分野に応用されるようになった。[ 55 ]ディウドネは後に、ルレイによって生み出されたこれらの概念は「間違いなく、ポアンカレとブロウワーによって発明された方法と同じレベルに数学史に位置づけられる」と書いている。[ 56 ]
この論文で、Thom はThom 横断性定理を証明し、向き付けられたコボルディズムと向き付けられていないコボルディズムの概念を導入し、コボルディズム群が特定のThom 空間のホモトピー群として計算できることを示した。Thom は向き付けられていないコボルディズム環を完全に特徴付け、サイクルの実現に関するSteenrod の問題を含むいくつかの問題に対して強力な結果を達成した。 [ 57 ] [ 58 ]
圏論に関する最初の論文。マック・レーンは後に著書『働く数学者のための圏論』の中で、彼とアイレンベルクは関手を導入するために圏論を導入し、自然な同値関係を導入するために関手を導入したと述べている。この論文以前は、「自然な」という言葉は、選択を一切行わずに構成できるものを指すために、非公式かつ曖昧な意味で用いられていた。その後、「自然な」という言葉は、さまざまな文脈で用いられる明確な意味を持つようになり、強力かつ重要な結果をもたらすようになった。
圏論の創始者の一人であるサンダース・マックレーンは、圏論を一般の人々に分かりやすく伝えるためにこの解説書を著した。マックレーンは、随伴関手や普遍性など、圏論を実用的なものにする重要な概念を前面に押し出している。
本書の目的は二つあります。一つは、高次圏論（「準圏」または「弱カン複体」の形式体系を使用）への一般的な入門を提供すること、もう一つは、この理論をグロタンディーク・トポスの高次版の研究に応用することです。古典位相幾何学へのいくつかの応用例も含まれています。（arXivを参照。）
オンライン版：オンライン版
本書には、すべての実数の集合が非可算集合であるという最初の公表された証明と、代数的数の集合が可算集合であるという証明が含まれている。これらの公表された証明はどちらもリヒャルト・デデキントがカントールとの書簡の中で提供したものだが、カントールは出典を明記しなかった。（ゲオルク・カントールの最初の集合論論文を参照。）
1914年に初版が刊行された本書は、集合論に関する初の包括的な入門書であった。集合論における既知の結果を体系的に扱っているだけでなく、当時まだ集合論の一部と考えられていた測度論と位相幾何学に関する章も含まれている。本書においてハウスドルフは、後にこれらの分野の基礎となる非常に独創的な内容を提示し、発展させている。
ゲーデルは表題の結果を証明した。また、その過程で、公理的集合論の発展に大きな影響を与えた構成可能集合のクラスLを導入した。
コーエンの画期的な研究は、ツェルメロ＝フレンケル集合論に関して、連続体仮説と選択公理が独立していることを証明した。この証明において、コーエンは強制法の概念を導入し、それが公理的集合論における他の多くの重要な成果につながった。
1854年に出版された『思考の法則』は、論理学に数学的な基礎を与えた最初の書籍であった。その目的は、アリストテレスの論理学を数学の言葉で完全に再表現し、拡張することであった。ブールの研究は代数論理学という学問分野を確立し、後にクロード・シャノンによるデジタル論理学の発展において中心的な役割を果たすことになる。
1879年に出版された『Begriffsschrift』というタイトルは、通常「概念記述」または「概念記法」と訳されますが、本書の正式タイトルは「純粋思考の算術をモデルとした数式言語」とされています。フレーゲが形式論理体系を開発した動機は、ライプニッツが計算推論器を求めた動機と似ています。フレーゲは、数学の基礎に関する研究を支えるために論理計算を定義しました。『Begriffsschrift』は、本書のタイトルであると同時に、本書で定義された計算体系でもあります。これは、アリストテレス以来、論理学において最も重要な出版物と言えるでしょう。
1895年に初版が刊行された『数学定理』は、形式化された言語で完全に記述された最初の数学書でした。本書には数理論理学の記述や、他の数学分野における多くの重要な定理が収められています。本書で導入された記号の多くは、現在でも広く用いられています。
『プリンキピア・マテマティカ』は、バートランド・ラッセルとアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドによって執筆され、1910年から1913年にかけて出版された、数学の基礎に関する3巻からなる著作である。これは、記号論理学における明確に定義された公理と推論規則から、すべての数学的真理を導き出そうとする試みである。プリンキピアの公理から矛盾を導き出せるかどうか、また、この体系において証明も反証もできない数学的命題が存在するかどうかという疑問が残された。これらの疑問は、 1931年にゲーデルの不完全性定理によって、やや意外な形で解決された。
（プリンキピア・マテマティカおよび関連体系における形式的に決定不可能な命題について）
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数理論理学において、ゲーデルの不完全性定理は、1931年にクルト・ゲーデルによって証明された2つの有名な定理である。最初の不完全性定理は次のように述べている。
（１）を満たす任意の形式システムに対して(1)一貫性があり (オメガ一貫性)、(2)再帰的に定義可能な公理と導出規則の集合を持ち、(3) 自然数のすべての再帰関係が定義可能である場合、システムの意図された解釈に従って自然数に関する真理を表すが、システムの定理ではないようなシステムの式が存在する。
ポール・エルデシュとパール・トゥランの予想（現在はセメレディの定理として知られている）を解決した。その予想とは、自然数列が正の上限密度を持つならば、任意の長さの等差数列が含まれるというものである。セメレディの解は「組み合わせ論の傑作」[ 59 ]と評され、セメレディの正則性補題の弱い形式を含む新しいアイデアとツールをこの分野に導入した。[ 60 ]
オイラーが『位置の幾何学に関する問題の解法』 （Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis ）で解決したケーニヒスベルク橋の問題は、グラフ理論の第一定理と考えられている。
疎なランダムグラフについて、コンポーネントの分布、小さなサブグラフの発生、相転移などを含めて詳細に議論します。 [ 61 ]
最大フロー問題を解くためのフォード・ファルカーソンアルゴリズムと、フローベースモデルに関する多くのアイデアを紹介する。
統計学における重要な出版物の一覧を参照してください。
エミール・ボレルによる戦略的な二人ゲーム理論に関する初期の研究をはるかに超え、二人零和ゲームにおけるミニマックス定理を証明した。
本書は、現代ゲーム理論が数学の重要な分野として研究されるきっかけとなった。本書には、二人零和ゲームの最適解を見つける方法が記されていた。
本書は2部構成（0部と1部）です。第0部は数について、第1部はゲームについて解説しています。ゲームの値だけでなく、ニム、ハッケンブッシュ、コル、スノートなど、実際に遊べるゲームも数多く紹介しています。
数学ゲームに関する情報をまとめた資料集。1982年に2巻で初版が刊行され、1巻は組合せゲーム理論と超現実数に焦点を当て、もう1巻はいくつかの具体的なゲームを取り上げている。
後に書籍化された論文では、情報エントロピーと冗長性の概念が展開され、情報単位としてのビットという用語（シャノンはジョン・テューキーに帰属させている）が導入された。
1から2の間の分数次元を持つ自己相似曲線についての考察。これらの曲線はフラクタルの例であるが、マンデルブロはこの論文ではこの用語を使用していない。なぜなら、彼がこの用語を造語したのは1975年だからである。これはマンデルブロのフラクタルに関する初期の考え方を示しており、数学的対象と自然形態を結びつけるという、彼の後期の研究の多くに共通するテーマの一例である。
『流率法』はアイザック・ニュートンによって書かれた本である。この本は1671年に完成し、1736年に出版された。この本の中で、ニュートンは関数の実数解を求める方法（ニュートン・ラフソン法）について述べている。
変分法に関する初期の重要な研究であり、ラグランジュやオイラーの先行研究に基づいている。極小曲面の決定に関する研究や、ラグランジュ乗数の最初の出現も含まれている。
カントロヴィッチは、線形計画法をモデルとした生産計画に関する最初の論文を執筆した。彼はこの業績により、1975年にノーベル賞を受賞した。
ダンツィヒは西洋における線形計画法の父とみなされている。彼は独自にシンプレックス法を発明した。ダンツィヒとウルフは、工場や生産計画における大規模線形計画問題の分解アルゴリズムの研究に取り組んだ。
クリーとミンティは、シンプレックス法が線形計画問題を解くのに指数関数的に多くのステップを要することを示す例を挙げた。
ハチヤンによる楕円体法に関する研究。これは線形計画法における最初の多項式時間アルゴリズムであった。
これらは現代の数学者にとって必ずしも関連性のある出版物ではないが、数学史においては重要な出版物である。
これは、今日まで残っている最も古い数学論文の1つです。パピルスには、算術、幾何学、代数に関する25の問題があり、それぞれに解答が示されています。紀元前1850年頃の古代エジプトで書かれました。[ 62 ]
古代エジプトの第二中間期に遡る、最も古い数学文献の一つ。書記官アハメス（正しくはアハモセ）が、より古い中王国時代のパピルスから書き写したものである。エジプト数学の基礎を築き、後にギリシャやヘレニズムの数学にも影響を与えた。アハメスは、πの近似値を1パーセント未満の誤差で求める方法を記述するだけでなく、コタンジェントの一種の類似物も利用している。
著者が利用できた数学的ツールは、現代の私たちが中等教育レベルの幾何学と考えるものだけであったが、彼はそれらの方法を並外れた才能で活用し、現在では積分法で扱われるような問題を、明示的に微小量を用いて解いた。そうした問題の中には、半球の重心、円錐台の重心、放物線とその割線の一つで囲まれた領域の面積などがあった。使用された方法の詳細については、「アルキメデスの微小量の使用」を参照のこと。
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日常生活のニーズを超えて拡張可能な、既知の（ヨーロッパにおける）最初の数詞体系。
ダミットとフットの著書は、ジェイコブソンの『基礎代数学』に続いて、現代における抽象代数学の主流の教科書となっている。
『Arithmetika Horvatzka』 （1758年）は、クロアチア語のカイカヴィア方言で書かれた、クロアチア語初の算術教科書でした。この教科書は、クロアチア語の算術用語の完全な体系を確立し、クロアチアの日常生活からの例を生き生きと用いて数学演算を示しました。[ 63 ]シロボドが辞書にある単語を使用したことは明らかでしたが、これは明らかに彼の目的には不十分でした。そこで彼は、ラテン語の用語をカイカヴィア方言に合わせて適用することで、いくつかの名前を作り出しました。[ 64 ]『Arithmetika Horvatszka』の全文はarchive.orgで入手できます。
ジョージ・シューブリッジ・カーがケンブリッジ大学数学トライポス試験の受験生を訓練するために編纂した、6000を超える数学の定理を収録。ラマヌジャンが精力的に研究した。（前半はこちら）
フランスの数学文献において最も影響力のある書籍の一つ。現在では一般的に用いられている記号や定義（例えば、記号∅や全単射という用語など）のいくつかを本書で初めて導入した。極めて厳密で形式主義的、かつ一般性に富んでいるため（その点で激しい批判を受けるほど）、1939年に刊行が開始され、現在も未完のままである。
1542年に書かれた本書は、英語で書かれた最初の、真に普及した算術書であった。
1678年にジョン・ホーキンスによって出版された算術の教科書。ホーキンスは、1676年に亡くなったエドワード・コッカーが残した原稿を編集したと主張している。この影響力のある数学の教科書は、150年以上にわたりイギリスの学校で算術を教えるために使われた。
18世紀にアメリカで出版された、初期の人気のある英語の算数教科書。本書は入門的な内容から応用的な内容までを5つの章に分けて解説している。
出版年： 1892年
ロシアの数学において最も広く使用され、最も影響力のある教科書。（キセリョフのページを参照。）
G・H・ハーディ著の、入門数学解析の古典的な教科書。1908年に初版が刊行され、その後何度も改訂版が出版された。本書は、英国、特にケンブリッジ大学、そしてケンブリッジ大学で数学を学ぶ生徒を育成する学校における数学教育の改革を目的としていた。そのため、本書は「奨学生レベル」の生徒、つまり能力上位10～20%の生徒を直接対象としていた。本書には多数の難問が掲載されている。内容は、入門微積分と無限級数の理論を網羅している。
エミール・アルティンとエミー・ネーターによって開発された代数学への抽象的アプローチを解説した、初の入門教科書（大学院レベル）。1931年にシュプリンガー社よりドイツ語版が初版として出版され、その後1949年にフレデリック・ウンガー出版より英語版が出版された。
圏論的手法を用いた抽象代数学の決定版入門書。基本原理からの厳密な入門であると同時に、この分野を網羅的に概観している。
スキームとコホモロジーの言語を用いた、代数幾何学に関する最初の包括的な入門書（大学院レベル）。1977年に出版された本書には、点の関手など、今日では中心的な概念とされているスキーム言語の側面が欠けている。
数十年にわたり、それほど単純ではない集合論の学部生向け入門書として親しまれてきた。今でも多くの人に、初心者向けの集合論入門書として最高峰とみなされている。タイトルには「単純」とあるが、これは通常、公理がないという意味で解釈される。しかし本書では、ツェルメロ＝フレンケル集合論の公理をすべて紹介し、基本的な対象について正確かつ厳密な定義を与えている。本書が「真の」公理的集合論の教科書と異なる点は、その構成にある。公理の細かい点について長々と議論することはなく、大きな基数といった話題についてもほとんど触れていない。その代わりに、これまで集合論について考えたことのない人にも理解できるようにすることを目指しており、実際にその目的を達成している。
基数と序数に関する基本事項を網羅した、まさに究極の参考書。日常的な数学で集合の濃度について疑問が生じた場合、まず最初に参照すべきは本書です。本書は1950年代初頭に初版が刊行されましたが、著者がそれ以前の40年間にわたってこのテーマについて行った講義に基づいています。
本書は初心者向けとは言えませんが、集合論と形式論理に最低限の経験を持つ大学院生にとっては、特に強制法に関して、貴重な自習ツールとなるでしょう。ジェックの『集合論』のような本格的な参考書よりもはるかに読みやすく、強制法を学ぶための最良の教科書と言えるかもしれません。ただし、強制法の説明がマーティンの公理の導入に多少依存しているという欠点があります。
1935年頃に初版が刊行された本書は、トポロジーにおける先駆的な「参考書」であり、集合論的トポロジー、ホモロジー代数、ホモトピー理論といった現代的な概念を既に数多く取り入れていた。
1955年に初版が刊行された本書は、長年にわたり、米国で唯一の大学院レベルの入門教科書として、代数トポロジーではなく点集合トポロジーの基礎を解説してきた。それ以前は、多くの分野における高度な研究に不可欠なこの内容は、他の分野の教科書や学術論文から断片的にしか入手できなかった。
この短い本は、ミルナーの明快かつ簡潔なスタイルで、微分位相幾何学の主要な概念を紹介している。本書で扱う内容はそれほど多くはないが、各トピックは細部に至るまで分かりやすく説明されている。
20世紀を代表する数論研究者の一人による、数論の歴史的研究書。本書は36世紀にわたる算術研究を網羅しているが、その大部分はフェルマー、オイラー、ラグランジュ、ルジャンドルの業績の詳細な研究と解説に費やされている。著者は読者を彼らの研究室へと誘い、彼らの成功と失敗を共有したいと願っている。数論の偉大な実践者の一人の視点を通して、その歴史的発展を垣間見ることができる貴重な機会である。
『数論入門』は1938年に初版が刊行され、現在も出版され続けており、最新版は第6版（2008年）である。数論を真剣に研究する学生や研究者のほとんどが本書を参照し、おそらく書棚に置いているだろう。本書は教科書として書かれたものではなく、現在ではほぼ間違いなく別々の巻で扱われるであろう、数論の幅広い分野への入門書として位置づけられている。その文体は長年模範的と評価されており、代数、微積分、複素数に関する十分な基礎知識さえあれば、様々な分野への理解を深めることができる。
『ブロンシュテインとセメンジャエフ』は、ロシアの数学者イリヤ・ニコラエヴィチ・ブロンシュテインとエンジニアのコンスタンチン・アドルフヴィチ・セメンジャエフによって編纂された、数学の基礎的な実務知識と公式集を網羅した総合ハンドブックの通称である。本書は1945年にロシアで初版が刊行され、科学者、エンジニア、工科大学の学生にとってすぐに「標準」として広く利用されるようになった。ドイツ語、英語をはじめとする多くの言語に翻訳されている。最新版は2015年にシュプリンガー社から出版された。
CRC標準数学表は、数学の基礎知識と公式集を網羅した、1巻完結型の総合ハンドブックです。初版は1928年に刊行され、最新版は2018年にCRC Pressより出版されました。編集長はダニエル・ズウィリンガーです。
『ゲーデル、エッシャー、バッハ：永遠の黄金の鎖』は、ピューリッツァー賞を受賞した書籍で、1979年にベーシックブックス社から初版が刊行されました。本書は、論理学者クルト・ゲーデル、芸術家M.C.エッシャー、作曲家ヨハン・セバスチャン・バッハの創造的な業績がどのように絡み合っているかを論じたものです。著者は次のように述べています。「私にとって、ゲーデル、エッシャー、バッハは、中心となる確固たる本質によって異なる方向に投影された影に過ぎないことに気づきました。私はその中心となる対象を再構築しようと試み、本書を執筆しました。」
『数学の世界』は、数学に不慣れな人でも理解しやすいように特別に企画されました。本書は、数学という広大な分野のあらゆる側面を、専門用語を使わずに解説したエッセイで構成されています。著名な数学者による記事や、彼らに関する記事に加え、文学者、経済学者、生物学者、その他多くの著名な思想家による記事も収録されています。アルキメデス、ガリレオ、デカルト、ニュートン、グレゴール・メンデル、エドモンド・ハレー、ジョナサン・スウィフト、ジョン・メイナード・ケインズ、アンリ・ポアンカレ、ルイス・キャロル、ジョージ・ブール、バートランド・ラッセル、アルフレッド・ノース・ホワイトヘッド、ジョン・フォン・ノイマンなど、数多くの著名人の業績が紹介されています。さらに、各エッセイまたはエッセイ群の前には、著名な学者ジェームズ・R・ニューマンによる解説が添えられており、数学の歴史と発展におけるそれらの関連性や背景を説明しています。本書は1956年に初版が刊行されたため、20世紀後半の数々の画期的な発見は含まれていないが、重要なテーマや応用例に関する包括的な歴史的概観としては他に類を見ない。
数学ポータル彼の最も重要な著作のうち2つは、西暦628年に書かれたブラフマスプタシッダーンタ（BSS）とカンダカディヤカである。
天文学、算術、代数学からの多くの重要な成果」、「主要な業績」
の歴史において注目すべき地位を占めている」、「最も重要な作品」、「驚くほど現代的な視点」、「素晴らしい純粋数学の作品」、「さらに注目すべき代数的貢献」、「[2階不定]方程式の積分解への重要な一歩」、「幾何学においても、ブラフマグプタの業績は同様に称賛に値する。」
「ブラフマグプタの傑作」、「非常に重要な代数学」、「
ブラフマ・スプタ・シッダーンタは、ブラフマグプタの同時代人によって重要かつ独創的な著作としてすぐに認められました。それは、
多くの世代の数学者による数多くの注釈に影響を与えました。」
