随伴関数

数学、特に圏論において、随伴とは 2 つの関手が示す関係であり、直感的には 2 つの関連する圏の間の弱い同値性に対応します。この関係にある 2 つの関手は随伴関手と呼ばれ、一方は左随伴、もう一方は右随伴です。随伴関手のペアは数学のいたるところに見られ、代数における集合上の自由群の構築や、位相幾何学における位相空間のストーン-チェフコンパクト化の構築など、特定の問題に対する「最適解」の構築 (つまり、特定の普遍的性質を持つオブジェクトの構築) から生じることがよくあります。

定義により、カテゴリと間の随伴は、 （共変であると仮定される） 関手のペアである。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle F:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$   そして   ${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$

そして、およびのすべてのオブジェクトに対して、それぞれの射集合間の 全単射が成り立つ。${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle \mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)\cong \mathrm {hom} _{\mathcal {D}}(Y,GX)}$

となり、この一対一の族はおよびにおいて自然になります。ここでの自然性とは、内の固定された に対する関数のペアとの間に自然な同型性が存在すること、および内の固定された に対する関数のペアとの間に自然な同型性が存在することを意味します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {C}}(F-,X):{\mathcal {D}}\to \mathrm {Set^{\text{op}}} }$${\displaystyle {\mathcal {D}}(-,GX):{\mathcal {D}}\to \mathrm {Set^{\text{op}}} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}(FY,-):{\mathcal {C}}\to \mathrm {Set} }$${\displaystyle {\mathcal {D}}(Y,G-):{\mathcal {C}}\to \mathrm {Set} }$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

関数はの左随伴関数または左随伴と呼ばれ、 は の右随伴関数または右随伴と呼ばれます。 と書きます。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F\dashvG}$

カテゴリと の間の随伴は、と の間の同値の「弱い形式」に多少似ており、実際、すべての同値は随伴です。多くの場合、随伴は、関連するカテゴリと関数を適切に自然に修正することで、同値に「アップグレード」できます。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

随伴語と随伴語はどちらも使われており、同源語である。一方はラテン語から直接取られ、もう一方はフランス語を経由してラテン語から取られたものである。古典的なテキスト「Categories for the Working Mathematician」で、マクレーンは両者を区別している。あるファミリーを想定すると、

${\displaystyle \varphi _{XY}:\mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)\cong \mathrm {hom} _{\mathcal {D}}(Y,GX)}$

ホム集合の全単射のうち、と の間の を随伴または随伴と呼びます。が の矢印である場合、は の右随伴です(p. 81)。 関数はの左随伴であり、の右随伴です。 (は とはまったく異なる右随伴を持つ場合があることに注意してください。例については以下を参照してください。) ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)}$${\displaystyle \varphi f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$

一般に、「は左随伴関数である」と「は右随伴関数を持つ」という語句は同義です。はの左引数に適用されるため左随伴関数と呼ばれ、は の右引数に適用されるため右随伴関数と呼ばれます。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathrm {hom} _{\mathcal {C}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {hom} _{\mathcal {D}}}$

FがGの左随伴である場合、次のようにも書きます。

${\displaystyle F\dashv G.}$

この用語は、を伴うヒルベルト空間の随伴作用素 の考え方に由来しており、これは形式的には上記のホム集合間の関係に類似している。ヒルベルト空間の随伴写像との類似性は、特定の文脈では明確にすることができる。^[1]${\displaystyle T}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \langle Ty,x\rangle =\langle y,Ux\rangle }$

スローガンは「随伴関数はどこにでも現れる」です。

— サンダース・マクレーン『働く数学者のためのカテゴリー』

一般的な数学的構成は、随伴関数であることが非常に多い。その結果、左/右随伴関数に関する一般定理は、多くの有用で、そうでなければ自明ではない結果の詳細をコード化する。このような一般定理には、随伴関数のさまざまな定義の同値性、与えられた左随伴関数に対する右随伴関数の一意性、左/右随伴関数がそれぞれ余極限/極限を保存するという事実（これは数学のあらゆる分野にも見られる）、および与えられた関数が左/右随伴関数となる条件を与える一般随伴関数定理が含まれる。

ある意味では、随伴関数は、定式化された方法を介して、ある問題に対する最も効率的な解決策を与える方法です。たとえば、環理論における基本的な問題は、 rng（乗法単位元を持たない可能性のある環のようなもの）を環に変換する方法です。最も効率的な方法は、要素「1」をrngに随伴させ、環の公理を満たすために必要なすべての（そしてそれだけを）要素（たとえば、環内の各rに対してr +1 ）を随伴させ、新しく形成された環には公理によって強制されない関係を課さないことです。さらに、この構成は、どのrngに対しても基本的に同じように機能するという意味で 定式化されています。

これは示唆に富んではいるものの、かなり漠然としており、圏論の言語で明確にすることができます。つまり、普遍的性質を満たす場合、構成は最も効率的であり、関数 を定義する場合、定式化されます。普遍的性質には、初期性質と終端性質の 2 種類があります。これらは二重の概念であるため、そのうちの 1 つについてのみ説明する必要があります。

初期特性を使用するという考え方は、問題を何らかの補助カテゴリEの観点から設定し、手元の問題がEの初期オブジェクトを見つけることに対応するようにすることです。これには、最適化(プロセスが最も効率的なソリューションを見つけるという意味) が、上限の達成のように、厳密で認識可能なものになるという利点があります。カテゴリEは、常に、随伴関数を構築する関数の要素のカテゴリであるため、この構成でも定式化されています。

例に戻りましょう。与えられた rng Rを取り、rng 準同型 R → S をオブジェクトとするカテゴリEを作成します。ここでS は乗法的単位元を持つ環です。 EにおけるR → S ₁とR → S ₂の間の射は、形式 ( R → S ₁、R → S ₂、S ₁ → S _{2 ) の}可換三角形です。ここで S ₁ → S ₂は環写像です (単位元が保存されます)。 (これはまさに、ユニタリ環を rng に含めることに関するRのコンマカテゴリの定義であることに注意してください。) R → S ₁とR → S ₂の間に射が存在するということは、 S ₁が少なくともS ₂と同じくらい効率的な問題解決方法であることを意味します。つまり、 S _{2 は、} S ₁よりも多くの隣接要素や、公理によって課されない関係を持つことができます。したがって、オブジェクトR → R*がEにおいて初期値であるという主張、つまり、そこからEの他の任意の要素への射が存在するという主張は、環R * が問題に対する最も効率的な解であることを意味します。

rng をリングに変換するこの方法が最も効率的で定式化されているという 2 つの事実は、それが随伴関数を定義すると言うことで同時に表現できます。より明確には、F が上記の恒等関数を rng に随伴させるプロセスを表すとします。したがって、F ( R )= R* です。 G がリング S が恒等関数を持つかどうかを「忘れて」、それを単に rng と見なすプロセスを表すとします。したがって、基本的にG ( S )= S です。このとき、FはGの左随伴関数です。

ただし、実際にはまだR* を構築していないことに注意してください。このような左随伴関数R → R*が実際に存在するということは、重要かつまったく自明ではない代数的事実です。

関数Fから始めて、次のような（漠然とした）質問をすることもできます。 Fが最も効率的な解決策となる問題は存在するでしょうか？

FがGによって提起された問題に対する最も効率的な解決策であるという考えは、ある厳密な意味では、 G がF が解決する最も困難な問題を提起するという考えと同等です。

これにより、随伴関数がペアで発生するという事実の背後にある直感が与えられます。つまり、FがGの左随伴である場合、G はFの右随伴です。

随伴関数には同等の定義がいくつか存在します。

• 普遍射による定義は簡単に述べることができ、随伴関数を構築するときや 2 つの関数が随伴であることを証明するときに最小限の検証しか必要としません。また、最適化に関する私たちの直感に最も類似しています。
• hom-set による定義は対称性を最も明確にし、 adjoint という単語を使用する理由です。
• 共役-共役随伴による定義は、直接操作できる式を提供するため、随伴であることがわかっている関手についての証明に便利です。

これらの定義の同等性は非常に有用です。随伴関数は数学のあらゆる分野でどこでも発生します。これらの定義のいずれかの構造は他の定義の構造を生み出すため、定義を切り替えると、すべての分野で個別に繰り返さなければならない多くの詳細が暗黙的に使用されます。

随伴理論は左と右という用語を基礎としており、検討中の 2 つのカテゴリCとDのいずれかに属するコンポーネントが多数あります。したがって、文字が「左側」カテゴリCに属するか「右側」カテゴリDに属するかに応じてアルファベット順に選択し、可能な限りこの順序で書き留めておくと便利です。

例えば、この記事では、文字X、F、f、 ε は一貫してカテゴリCに存在するものを表し、文字Y、G、g、 η は一貫してカテゴリDに存在するものを表し、可能な限り、そのようなものは左から右の順序で参照されます (関数F  : D → C は、その出力があるC内の「場所」で「存在する」と考えることができます)。左随伴関数 F の矢印が描かれる場合、矢印は左を指します。右随伴関数 G の矢印が描かれる場合、矢印は右を指します。

定義により、内の各オブジェクトに対してから への普遍射が存在する場合、関手は 左随伴関手と呼ばれます。 詳しく説明すると、これは、内の各オブジェクトに対して内のオブジェクトと射が存在し 、内のあらゆるオブジェクト とあらゆる射に対して を持つ一意の射が存在する ことを意味します。 ${\displaystyle F:D\to C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle G(X)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \epsilon _{X}:F(G(X))\to X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle D}$${\displaystyle f:F(Y)\to X}$${\displaystyle g:Y\to G(X)}$${\displaystyle \epsilon _{X}\circ F(g)=f}$

後者の方程式は次の交換法則によって表されます。

この状況では、内の すべての射に対してとなる一意の方法で を関手に変換できることを示すことができます。このとき は の左随伴と呼ばれます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G:C\to D}$${\displaystyle \epsilon _{X}\circ F(G(f))=f\circ \epsilon _{X'}}$${\displaystyle f:X'\to X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

同様に、右随伴関手を定義することもできます。の各オブジェクトに対して、から への普遍射が存在する場合、関手は右随伴関手と呼ばれます。 詳しく述べると、 の各オブジェクトに対して、 のオブジェクトと射が存在し、のすべてのオブジェクト とすべての射に対して、を持つ一意の射が存在することを意味します。 ${\displaystyle G:C\to D}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle D}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle G}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle D}$${\displaystyle F(Y)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \eta _{Y}:Y\to G(F(Y))}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle g:Y\to G(X)}$${\displaystyle f:F(Y)\to X}$${\displaystyle G(f)\circ \eta _{Y}=g}$

繰り返しますが、これは内の射に対してとなる関数に一意に変換できます。このとき はへの右随伴と呼ばれます。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle F:D\to C}$${\displaystyle G(F(g))\circ \eta _{Y}=\eta _{Y'}\circ g}$${\displaystyle g:Y\to Y'}$${\displaystyle D}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$

用語が示すように、 が の左随伴である場合、かつ がの右随伴である場合に限り、それは真です。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$

普遍射によるこれらの定義は、要件が最小限であるため、特定の関数が左随伴であるか右随伴であるかを確立するのによく役立ちます。また、普遍射を見つけることは最適化問題を解くことに似ているため、直感的にも意味があります。

2つのカテゴリCとDの間のホムセットの随伴は、2つの関手F  : D → CとG  : C → Dと自然同型から構成される。

${\displaystyle \Phi :\mathrm {hom} _{C}(F-,-)\to \mathrm {hom} _{D}(-,G-)}$。

これは一対一の集合を指定する。

${\displaystyle \Phi _{Y,X}:\mathrm {hom} _{C}(FY,X)\to \mathrm {hom} _{D}(Y,GX)}$

C内のすべてのオブジェクトXとD内のすべてのオブジェクトYについて。

この状況では、F はGの左随伴であり、G はFの右随伴です。

この定義は、普遍射の定義よりも満たすのが難しく、余単位-単位の定義よりも直接的な影響が少ないという点で、論理的な妥協です。明らかな対称性があるため、他の定義間の踏み石として役立ちます。

Φ を自然同型として解釈するためには、hom _C ( F –, –)とhom _D (–, G –)を関手として認識する必要があります。実際、これらは両方ともD ^op × CからSet (集合のカテゴリ)への双関手です。詳細については、 hom 関手に関する記事を参照してください。明示的には、Φ の自然性とは、Cのすべての射f  : X → X′とDのすべての射g  : Y ′ → Yに対して、次の図が可換であることを意味します。

この図の垂直矢印は合成によって誘導されるものです。正式には、Hom( Fg , f ) : Hom _C ( FY , X ) → Hom _C ( FY′ , X′ ) は、Hom _C ( FY , X )の各hに対してh → f o h o Fgで与えられます。Hom( g , Gf ) も同様です。

2つのカテゴリCとDの間の共単位-単位併合は、2つの関手F  : D → CとG  : C → Dと2つの自然変換から構成される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon &:FG\to 1_{\mathcal {C}}\\\eta &:1_{\mathcal {D}}\to GF\end{aligned}}}$

それぞれ共単位と付加単位（普遍代数の用語）と呼ばれ、合成

${\displaystyle F{\xrightarrow {\;F\eta \;}}FGF{\xrightarrow {\;\varepsilon F\,}}F}$

${\displaystyle G{\xrightarrow {\;\eta G\;}}GFG{\xrightarrow {\;G\varepsilon \,}}G}$

はそれぞれFとG上の恒等変換 1 _Fと 1 _Gです。

このような状況では、 FはGの左随伴であり、G はFの右随伴であると言い、この関係を と書くこともあれば   、単に と書くこと  もあります 。 ${\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G}$${\displaystyle F\dashv G}$

方程式の形で、上記の（ε、η）の条件は、コユニット-ユニット方程式である。

${\displaystyle {\begin{aligned}1_{F}&=\varepsilon F\circ F\eta \\1_{G}&=G\varepsilon \circ \eta G\end{aligned}}}$

これは、 Cの各XとDの各Yについて、

${\displaystyle {\begin{aligned}1_{FY}&=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})\\1_{GX}&=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}\end{aligned}}}$。

はカテゴリ 上の恒等関数を表し、は関数Fからそれ自身への恒等自然変換を表し、 はオブジェクトFYの恒等射を表すことに注意してください。 ${\displaystyle 1_{\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle 1_{F}}$${\displaystyle 1_{FY}}$

これらの方程式は、随伴関数に関する証明を代数操作に簡約するのに役立ちます。これらは、対応する弦図の外観から、三角恒等式と呼ばれることもあります。これらを覚える方法は、まず無意味な方程式を書き、次に合成を定義する 2 つの簡単な方法のいずれかでFまたはGを入力することです。 ${\displaystyle 1=\varepsilon \circ \eta }$

注: ここでの余単位における接頭辞「co」の使用は、極限と余極限の用語と一致しません。余極限は初期特性を満たすのに対し、余単位射は終端特性を、そして双対的に満たすからです。ここでの単位という用語は、モノイドへの恒等式 1 の挿入のように見えるモナドの理論から借用したものです。

随伴関手というアイデアは、1958年にダニエル・カンによって導入された。^[2] 圏論の多くの概念と同様に、それは当時計算に専念していたホモロジー代数の必要性から提案された。この主題について整然とした体系的なプレゼンテーションをしなければならない立場にあった人は、次のような関係に気付いただろう。

hom( F ( X ), Y ) = hom( X , G ( Y ))

アーベル群のカテゴリーにおいて、Fは関数（つまり、Aとのテンソル積をとる）、G は関数 hom( A ,–) でした（これは現在、テンソル-hom 随伴作用として知られています）。等号の使用は表記法の乱用です。これらの 2 つの群は実際には同一ではありませんが、自然に識別する方法があります。まず、これらがX × AからYへの双線型写像の 2 つの代替記述であるということから、自然であると見なすことができます。ただし、これはテンソル積の場合に特有のものです。カテゴリー理論では、一対一の「自然さ」は、自然同型の概念に含まれています。 ${\displaystyle -\otimes A}$

自由群の構築は、一般的かつ啓発的な例です。

F  : Set → Grp を各集合YにYの元によって生成される自由群を割り当てる関手とし、G  : Grp → Set を各群Xにその基礎集合を割り当てる忘却関手とします。このとき、FはGの左随伴関数となります。

初期射。 各集合Yに対して、集合GFY はYによって生成された自由群FYの基底集合に過ぎません。 を「生成子の包含」によって与えられた集合写像とします  。これはYからGへの  初期射です。なぜなら、Yから何らかの群Wの基底集合GWへの任意の集合写像は、 FYからWへの  一意の群準同型を介して因数分解される  からです。これはまさにY上の自由群の普遍的性質です。 ${\displaystyle \eta _{Y}:Y\to GFY}$${\displaystyle \eta _{Y}:Y\to GFY}$

終端射。 各群Xに対して、群FGX は、 Xの元であるGXによって自由に生成される自由群です。  は、 FGXの生成元を、それらが対応するXの元に  送る群準同型であり、自由群の普遍的性質によって存在するものとします。すると、それぞれは  FからXへの  終端射になります。これは、自由群FZからXへの任意の群準同型が、 ZからGXへ  の一意の集合写像を介して因数分解される  ためです。これは、 ( F、G ) が随伴対である ことを意味します。${\displaystyle \varepsilon _{X}:FGX\to X}$${\displaystyle (GX,\varepsilon _{X})}$${\displaystyle \varepsilon _{X}:FGX\to X}$

ホム集合の随伴。自由 群FYから群Xへの群準同型は、集合Yから集合GXへの写像に正確に対応します。FY からXへの各準同型は、生成子への作用によって完全に決定され、自由群の普遍的性質の別の言い換えです。この対応が自然な変換であること、つまり、ペア ( F、G )のホム集合の随伴であることは直接検証できます。

共単位-単位付加。εと η が自然であることは直接検証することもできます。次に、これらが共単位-単位付加を形成することを直接検証する方法    は次のとおりです。 ${\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G}$

最初の共単位-単位方程式  は、各集合 Y  について、${\displaystyle 1_{F}=\varepsilon F\circ F\eta }$

${\displaystyle FY{\xrightarrow {\;F(\eta _{Y})\;}}FGFY{\xrightarrow {\;\varepsilon _{FY}\,}}FY}$

は恒等写像であるはずです。中間群FGFYは自由群FYの語によって自由に生成される自由群です。(これらの語は独立した生成子であることを示すために括弧で囲まれていると考えてください。)矢印  はFYからFGFYへ  の群準同型であり、 FYの各生成子y を対応する長さ 1 の語 ( y ) にFGFYの生成子として送ります。矢印  はFGFYからFYへ  の群準同型であり、各生成子を対応するFYの語に送ります(したがって、この写像は「括弧を削除」しています)。これらの写像の合成は確かにFY上の恒等写像です。 ${\displaystyle F(\eta _{Y})}$${\displaystyle \varepsilon _{FY}}$

2番目の共単位-単位方程式    は、各グループXの構成が ${\displaystyle 1_{G}=G\varepsilon \circ \eta G}$

 ${\displaystyle GX{\xrightarrow {\;\eta _{GX}\;}}GFGX{\xrightarrow {\;G(\varepsilon _{X})\,}}GX}$ 

は恒等写像であるはずです。中間集合GFGXは、 FGXの基礎集合に過ぎません。矢印は    、集合GXから集合GFGXへの「生成子の包含」集合写像です。矢印  はGFGXからGXへの  集合写像であり、 FGXの各生成子を対応するXの要素に送る（「括弧を削除」）群準同型写像の基礎となります。これらの写像の合成は、まさにGX上の恒等写像です。 ${\displaystyle \eta _{GX}}$${\displaystyle G(\varepsilon _{X})}$

自由オブジェクトはすべて、忘却関数の左随伴関数の例であり、忘却関数は代数オブジェクトにその基礎集合を割り当てます。これらの代数自由関数は、上記の自由群の状況の詳細な説明と一般的に同じ説明を持ちます。

積、ファイバー積、イコライザー、カーネルはすべて、極限のカテゴリ概念の例です。任意の極限関手は、対応する対角関手に右随伴であり (カテゴリが問題の極限のタイプを持っている場合)、随伴の余単位は、極限オブジェクトからの定義マップ (つまり、関手カテゴリ内の極限上の対角関手からの定義マップ) を提供します。以下に、いくつかの具体的な例を示します。

• 積Π : Grp ² → Grp を各ペア ( X ₁、X ₂ ) に積群X ₁ × X ₂を割り当てる関手とし、 Δ : Grp → Grp ²を積カテゴリGrp ²のペア ( X、X ) をすべての群Xに割り当てる対角関手 とします。積群の普遍的性質は、 Π が Δ の右随伴であることを示しています。この随伴の余単位は、極限を定義するX ₁ × X _2からX ₁およびX ₂への射影マップの定義ペアであり、単位は群 X のX × Xへの対角包含(x から (x,x) への写像) です。

集合の直積、環の積、位相空間の積なども同じパターンに従います。また、2 つ以上の因子に簡単に拡張することもできます。より一般的には、任意のタイプの極限は対角関数に右随伴します。

• 核。アーベル群の準同型のカテゴリDについて考えます。 f ₁  : A ₁ → B ₁とf ₂  : A ₂ → B _2がDの 2 つのオブジェクトである場合、f _1からf ₂への射は、 g _B f ₁ = f ₂ g _Aとなる射のペア ( g _A、g _B ) です。G  : D → Ab を各準同型に核を割り当てる関数とし、F  : Ab → D を群Aを準同型A → 0 に写像する関数とします。すると、G はFの右随伴となり、核の普遍的性質が表現されます。この随伴の余単位は、準同型の核を準同型のドメインに定義的に埋め込むことであり、単位は群Aを準同型A → 0の核と同一視する射です。

この例の適切なバリエーションは、ベクトル空間とモジュールのカーネル関数が右随伴であることも示しています。同様に、アーベル群、ベクトル空間、モジュールのコカーネル関数が左随伴であることを示すことができます。

余積、ファイバー余積、余等化子、余核はすべて、余極限のカテゴリ概念の例です。任意の余極限関手は、対応する対角関手の左随伴であり (カテゴリが問題の余極限のタイプを持っている場合)、随伴の単位は、余極限オブジェクトへの定義マップを提供します。以下に、いくつかの具体的な例を示します。

• 余積。F  : Ab ² → Ab がアーベル群のすべてのペア ( X ₁、X ₂ ) にそれらの直和を割り当て、G  : Ab → Ab ²がすべてのアーベル群Yにペア ( Y、Y ) を割り当てる関数である場合、F はGの左随伴であり、これも直和の普遍的性質の結果です。この随伴ペアの単位は、X ₁およびX ₂から直和への包含写像の定義ペアであり、余単位は ( X、X ) の直和からXに戻す加法写像です(直和の要素 ( a、b ) をXの要素a + bに渡します)。

類似の例としては、ベクトル空間と加群の直和、群の自由積、集合の非結合和などが挙げられます。

• 恒等元をrngに付加します。この例は、上記の動機 のセクションで説明しました。rng Rが与えられた場合、 R x Z を取り、(r,0)(0,1) = (0,1)(r,0) = (r,0)、(r,0)(s,0) = (rs,0)、(0,1)(0,1) = (0,1) となる Z 双線形積を定義することで、乗法恒等元を追加できます。これにより、基になる rng への環を取る関数の左随伴が構築されます。
• 半群に恒等元を付加します。同様に、半群Sが与えられた場合、互いに素な和S {1} を 取り、その上で二項演算を定義してS上の演算を拡張し、1 が恒等元になるようにすることで、恒等元を追加してモノイドを得ることができます。この構成により、基礎となる半群にモノイドを取る関数の左随伴となる関数が得られます。${\displaystyle \sqcup }$
• 環の拡張。RとSが環であり、ρ : R → Sが環準同型であるとします。このとき、S は(左) R加群とみなすことができ、Sとのテンソル積は関数F  : R - Mod → S - Modを生成します。このとき、F は忘却関数G  : S - Mod → R - Modの左随伴関数です。
• テンソル積。Rが環でM が右R加群である場合、 Mとのテンソル積は関数F  : R - Mod → Abを生成します。任意のアーベル群Aに対してG ( A ) = hom _Z ( M , A )で定義される関数G  : Ab → R - Modは、 Fの右随伴関数です。
• モノイドと群から環へ。積分モノイド環の構成は、モノイドから環への関手を与える。この関手は、与えられた環にその基になる乗法モノイドを関連付ける関手の左随伴である。同様に、積分群環の構成は、与えられた環に単位群を割り当てる関手の左随伴である、群から環への関手を与える。また、体 Kから始めて、環のカテゴリの代わりにK代数のカテゴリを考え、K上のモノイド環と群環を得ることもできる。
• 分数の体。入射射を持つ整域のカテゴリDom _{m を考えます。体からの忘却関手}Field → Dom _mには左随伴関数があり、すべての整域に分数の体を割り当てます。
• 多項式環。Ring _{* を}単位元を持つ尖った可換環のカテゴリとします (ペア (A,a) ただし A は環、a ∈ A であり、射は区別された元を保存します)。忘却関手 G: Ring _* → Ring には左随伴関数があります。これはすべての環 R にペア (R[x],x) を割り当てます。ここで R[x] はR からの係数を持つ多項式環です。
• アーベル化。アーベル群の圏から群の圏への包含関数G  : Ab → Grpを考えます。これにはアーベル化と呼ばれる左随伴関数があり、これはすべての群Gに商群G ^ab = G /[ G , G ] を割り当てます。
• グロタンディーク群。K理論では、出発点は位相空間上のベクトル束の圏が直和の下で可換モノイド構造を持つことを観察することです。各束（または同値類）の加法逆を形式的に追加することにより、このモノイドからアーベル群、グロタンディーク群を作成できます。あるいは、各群について基礎となるモノイド（逆を無視）を取る関数が左随伴を持つことを観察できます。これは、上記の第3セクションの議論に沿った、一度限りの構成です。つまり、負の数の構成を模倣できますが、存在定理という別のオプションがあります。有限代数構造の場合、存在自体は普遍代数、またはモデル理論を参照できます。当然、圏論に適合した証明もあります。
• 群の表現論におけるフロベニウスの相互性:誘導表現を参照。この例は、一般理論を約半世紀前に予見していました。

• 左随伴関数と右随伴関数を持つ関手。Gを、あらゆる位相空間にその基礎となる集合を関連付ける (つまり位相を忘れる)位相空間から集合への関手とします。Gには、集合Y上に離散空間を作成する左随伴関数Fと、Y上に自明な位相を作成する右随伴関数Hがあります。
• サスペンションとループ空間。位相空間 XとY が与えられたとき、XのサスペンションSXからYへの写像のホモトピー類の空間 [ SX , Y ]は、 XからYのループ空間Ω Yへの写像のホモトピー類の空間 [ X , Ω Y ]と自然に同型である。したがって、サスペンション関手はホモトピーカテゴリにおいてループ空間関手の左随伴であり、これはホモトピー理論における重要な事実である。
• ストーン–チェフコンパクト化。KHausをコンパクトハウス ドルフ空間のカテゴリとし、G  : KHaus → Topを位相空間のカテゴリへの包含関手とします。すると、G には左随伴F  : Top → KHaus、ストーン–チェフコンパクト化が存在します。この随伴対の単位元は、あらゆる位相空間Xからそのストーン–チェフコンパクト化への連続写像を生成します。
• 層の正像と逆像。位相空間間の連続写像 f  : X → Yはすべて、 X上の（集合、アーベル群、環などの）層の圏からY上の対応する層の圏への関数f _∗ （正像関数）を誘導します。また、 Y上のアーベル群の層の圏からX上のアーベル群の層の圏への関数f ⁻¹ （逆像関数）も誘導します。f ^−1はf _∗の左随伴です。ここでより微妙な点は、連接層の左随伴は（集合の）層の左随伴とは異なるということです。
• ソバー化。ストーン双対性に関する記事では、位相空間のカテゴリとソバー空間のカテゴリの間の随伴性、つまりソバー化について説明しています。特に、この記事には、無意味な位相幾何学で利用される、有名なソバー空間と空間場所の双対性につながる別の随伴性の詳細な説明も含まれています。

すべての半順序集合は、カテゴリとして見ることができます (ここで、半順序集合の要素はカテゴリのオブジェクトになり、x ≤ yの場合にのみ、xからyへの単一の射があります)。 2 つの半順序集合間の随伴関数のペアは、ガロア接続(または、反変の場合は、反トーンガロア接続) と呼ばれます。 多くの例については、その記事を参照してください。ガロア理論の場合はもちろん主要な例です。 ガロア接続はすべて、対応する閉じた要素間の閉包演算子と逆順序保存一対一写像 を生み出します。

ガロア群の場合と同様に、真の関心は、双対性（すなわち、反音順序同型性）への対応を洗練させることにあります。カプランスキーによるこの方向でのガロア理論の扱いは、ここでの一般的な構造の認識に影響を与えました。

半順序のケースでは、付加定義がかなり顕著に崩れますが、いくつかのテーマを提供できます。

• 付加は双対性や同型性ではないかもしれないが、その状態にアップグレードする候補である。
• 閉包演算子は、対応するモナドとして、付加物の存在を示すことができる（クラトフスキー閉包公理を参照）。
• ウィリアム・ローヴェア^[3]の非常に一般的なコメントは、統語論と意味論は随伴するというものである。Cをすべての論理理論（公理化）の集合とし、Dをすべての数学的構造の集合のべき集合とする。Cの理論Tについて、G（T ）を公理Tを満たすすべての構造の集合とする。数学的構造の集合Sについて、F（S ）をSの最小公理化とする。すると、 F（S ）が論理的にTを意味する場合、かつその場合に限り、SはG（T ）のサブセットであると言える。つまり、「意味論関手」Gは「統語論関手」 Fに右随伴である。
• 除算は（一般的には）乗算を逆にする試みですが、これが不可能な状況では、代わりに随伴を構築しようとすることがよくあります。イデアル商は環イデアルによる乗算に随伴し、命題論理における含意は論理的連言に随伴します。

• 同値。F  : D → Cがカテゴリの同値である場合、逆同値G  : C → Dがあり、2 つの関数FとG は随伴ペアを形成します。この場合、単位元と余単位元は自然な同型です。
• 一連の随伴。カテゴリに連結成分の集合を割り当てる関手π ₀は、集合にその集合上の離散カテゴリを割り当てる関手Dの左随伴である。さらに、 Dは各カテゴリにオブジェクトの集合を割り当てるオブジェクト関手Uの左随伴であり、最後にUは各集合にその集合上の離散カテゴリ^{[4]を割り当てる}Aの左随伴である。
• 指数オブジェクト。直積閉カテゴリでは、 –× Aで与えられる自己関数C → Cには右随伴関数 – ^Aがあります。このペアは、カリー化と非カリー化と呼ばれることが多く、多くの特殊なケースでは連続で同相写像を形成します。

• 量化。が何らかの特性を表す単項述語である場合、十分に強力な集合論により、その特性を満たす項の集合の存在が証明される可能性があります。 適切な部分集合とそれに関連する の注入は、厳密により制限的な特性を表す述語によって特徴付けられます。${\displaystyle \phi _{Y}}$${\displaystyle Y=\{y\mid \phi _{Y}(y)\}}$${\displaystyle T\subset Y}$${\displaystyle T}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \phi _{T}(y)=\phi _{Y}(y)\land \varphi (y)}$

述語論理における量指定子の役割は、命題を形成することと、おそらくより多くの変数で閉じた式によって洗練された述語を表現することである。例えば、ソートとという2つの開いた変数を持つ述語を考えてみよう。量指定子を使用して を閉じると、集合を形成することができる 。${\displaystyle \psi _{f}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \{y\in Y\mid \exists x.\,\psi _{f}(x,y)\land \phi _{S}(x)\}}$

のすべての要素のうち、 と関連している が存在し、それ自体が特性 によって特徴付けられる要素の総和。2つの集合の積のような集合論的演算は、述語の連言に直接対応します。トポス理論のサブフィールドである範疇論理では、量指定子は引き戻し関手への随伴子と同一視されます。このような認識は、集合論を用いた命題論理の議論と類似していますが、一般的な定義によって、より豊富な論理の範囲が実現されます。${\displaystyle y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \psi _{f}}$${\displaystyle \phi _{S}}$${\displaystyle \cap }$${\displaystyle \land }$

そこで、プルバックを持つカテゴリ内のオブジェクトを考えてみましょう。任意の射は関手を誘導します ${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle f^{*}:{\text{Sub}}(Y)\longrightarrow {\text{Sub}}(X)}$

サブオブジェクトの事前順序であるカテゴリ上の。これはのサブオブジェクト(技術的には、 の単射クラス) をプルバック にマップします。この関数が左または右の随伴関数を持つ場合、それらはそれぞれ およびと呼ばれます。^[5]どちらも から にマップします。非常に大まかに言えば、 を介して表現される関係を量化するドメインが与えられると、関数/量指定子はに閉じ、それによって指定された のサブセットを返します。${\displaystyle T}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T\to Y}$${\displaystyle X\times _{Y}T}$${\displaystyle \exists _{f}}$${\displaystyle \forall _{f}}$${\displaystyle {\text{Sub}}(X)}$${\displaystyle {\text{Sub}}(Y)}$${\displaystyle S\subset X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\times _{Y}T}$${\displaystyle Y}$

例:集合と関数のカテゴリである では、標準的な部分対象は部分集合 (または、その標準的な注入) です。に沿った部分集合の への注入の引き戻しは、 についてすべてを知っている最大の集合とへのの注入として特徴付けられます。したがって、 は ( と一対一で) 逆像であることがわかります。${\displaystyle \operatorname {Set} }$${\displaystyle f^{*}T=X\times _{Y}T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle T}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f^{-1}[T]\subseteq X}$

について、左随伴関数を計算してみましょう。これは次のように定義されます。 ${\displaystyle S\subseteq X}$

${\displaystyle {\operatorname {Hom} }(\exists _{f}S,T)\cong {\operatorname {Hom} }(S,f^{*}T),}$

ここでの意味は

${\displaystyle \exists _{f}S\subseteq T\leftrightarrow S\subseteq f^{-1}[T]}$。

を考えてみましょう。わかります。逆に、 に対しても成り立つ場合、明らかに となります。したがって が意味します。逆像関数の左随伴は直接像によって与えられると結論づけられます。この結果の特徴付けは、より論理的解釈に一致します。 の像は、が空でないの完全な集合です。これは、の補集合にあるものを正確に無視するため機能します。したがって ${\displaystyle f[S]\subseteq T}$${\displaystyle S\subseteq f^{-1}[f[S]]\subseteq f^{-1}[T]}$${\displaystyle x\in S}$${\displaystyle x\in f^{-1}[T]}$${\displaystyle f(x)\in T}$${\displaystyle S\subseteq f^{-1}[T]}$${\displaystyle f[S]\subseteq T}$${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \exists _{f}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f^{-1}[\{y\}]\cap S}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle f[S]}$

${\displaystyle \exists _{f}S=\{y\in Y\mid \exists (x\in f^{-1}[\{y\}]).\,x\in S\;\}=f[S].}$

これを私たちの動機に例えてみましょう。${\displaystyle \{y\in Y\mid \exists x.\,\psi _{f}(x,y)\land \phi _{S}(x)\}}$

逆像関数の右随伴関数は（ここでは計算せずに）次のように与えられる。

${\displaystyle \forall _{f}S=\{y\in Y\mid \forall (x\in f^{-1}[\{y\}]).\,x\in S\;\}.}$

の部分集合は、に関するの逆像がに完全に含まれるという性質を持つ の完全な集合として特徴付けられます。集合を決定する述語は、が に置き換えられていることを除いて、上記と同じであることに注意してください。${\displaystyle \forall _{f}S}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \{y\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \exists }$${\displaystyle \forall }$

powersetも参照してください。

確率における 2 つの事実は、付加物として理解することができます。つまり、期待値はアフィン変換と交換可能であり、期待値は、ある意味では、実数上の分布の実数値近似値を見つける問題に対する 最善の解であるということです。

オブジェクトが実数で、射が「点で評価されるアフィン関数」である、 に基づくカテゴリを定義します。つまり、任意のアフィン関数と任意の実数に対して、射 を定義します。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x)=ax+b}$${\displaystyle r}$${\displaystyle (r,f):r\to f(r)}$

有限の期待値を持つ上の確率分布の集合に基づいてカテゴリを定義します。 上の射を「分布で評価されたアフィン関数」として定義します。つまり、任意のアフィン関数と任意の に対して、射 を定義します。 ${\displaystyle M(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle M(\mathbb {R} )}$${\displaystyle f(x)=ax+b}$${\displaystyle \mu \in M(\mathbb {R} )}$${\displaystyle (\mu ,f):\mu \to \mu \circ f^{-1}}$

すると、ディラックのデルタ測度は関数 を定義し、期待値は別の関数 を定義し、それらは随伴 となります。(やや当惑させられることに、は「忘却性」があり「自由」であるにもかかわらず、 は左随伴です。) ${\displaystyle \delta :x\mapsto \delta _{x}}$${\displaystyle \mathbb {E} :\mu \mapsto \mathbb {E} [\mu ]}$${\displaystyle \mathbb {E} \dashv \delta }$${\displaystyle \mathbb {E} }$${\displaystyle \mathbb {E} }$${\displaystyle \delta }$

したがって、すべての随伴には多数の関手と自然変換が関連付けられており、残りを決定するにはそれらのごく一部だけで十分です。

カテゴリーCとDの間の 付加は、

• 左随伴関数と 呼ばれる関手F  : D → C
• 右随伴関数と呼ばれる関数G  : C → D
• 自然同型Φ : hom _C ( F –,–) → hom _D (–, G –)
• 自然変換ε : FG →1C_はコユニットと呼ばれる。
• 自然な変換η:1D _→ GFは単位と呼ばれる

X がCの任意のオブジェクトを表し、Y がDの任意のオブジェクトを表す同等の定式化は次のとおりです。

あらゆるC射f  : FY → Xに対して、以下の図が可換となる唯一のD射 Φ _{Y , X} ( f ) = g  : Y → GXが存在し、またあらゆるD射g  : Y → GXに対して、以下の図が可換となる唯一のC射 Φ ⁻¹ _{Y , X} ( g ) = f  : FY → XがCに存在します。

この主張から、次のことがわかります。

• 変換ε、η、Φは次の式で関係付けられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}f=\Phi _{Y,X}^{-1}(g)&=\varepsilon _{X}\circ F(g)&\in &\,\,\mathrm {hom} _{C}(F(Y),X)\\g=\Phi _{Y,X}(f)&=G(f)\circ \eta _{Y}&\in &\,\,\mathrm {hom} _{D}(Y,G(X))\\\Phi _{GX,X}^{-1}(1_{GX})&=\varepsilon _{X}&\in &\,\,\mathrm {hom} _{C}(FG(X),X)\\\Phi _{Y,FY}(1_{FY})&=\eta _{Y}&\in &\,\,\mathrm {hom} _{D}(Y,GF(Y))\\\end{aligned}}}$

• 変換ε、ηはコユニット-ユニット方程式を満たす。

${\displaystyle {\begin{aligned}1_{FY}&=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})\\1_{GX}&=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}\end{aligned}}}$

• 各ペア（GX、εX _）はCにおけるFからXへの終端射である。
• 各ペア（FY、 η _Y）は、DにおけるYからGへの初期射である。

特に、上記の式により、3 つのうちのいずれか 1 つを使って Φ、ε、η を定義することができます。ただし、一般に、随伴関数FとGだけでは随伴を決定するのに十分ではありません。これらの状況の同等性は、以下で示されます。

初期射の意味で右随伴関数G  : C → Dが与えられた場合、次の手順を実行することで誘導ホム集合随伴を構築できます。

• 関数F  : D → Cと自然変換ηを構築します。
  • D内の各オブジェクトYに対して、 YからGへの初期射 ( F ( Y ), η _Y )を選択して、 η _Y  : Y → G ( F ( Y ))が成立するようにします。 Fのオブジェクトへの写像と射の族 η が得られます。
  • 各f  : Y ₀ → Y ₁に対して、 ( F ( Y ₀ ), η _{Y 0} ) は初期射なので、fのη _{Y 1} をη _{Y 0}で因数分解し、F ( f ) : F ( Y ₀ ) → F ( Y _{1 ) を取得します。これが}Fの射への写像です。
  • その因数分解の可換図は自然変換の可換図を意味するので、η: 1D _→ GoFは 自然変換です。
  • その因数分解の一意性とGが関数であることは、射上のFの写像が合成と恒等式を保存することを意味します。
• 自然同型 Φ : hom _C ( F -,-) → hom _D (-, G -) を構築します。
  • Cの各オブジェクトX 、 Dの各オブジェクトYについて、 ( F ( Y )、 η _Y ) が初期射である場合、 Φ _{Y、X は}全単射であり、ここで Φ _Y、X ( f  : F ( Y ) → X ) = G ( f ) o η _Yです。
  • η が自然変換で、Gが関手である場合、C内の任意のオブジェクトX ₀、X _{1 、} D内の任意のオブジェクトY ₀、Y ₁ 、任意のx  : X ₀ → X ₁、任意のy  : Y ₁ → Y ₀に対して、 Φ _{Y 1、X 1} ( x o f o F ( y )) = G(x) o G ( f ) o G ( F ( y )) o η _{Y 1} = G ( x ) o G ( f ) o η _{Y 0} o y = G ( x ) o Φ _{Y 0、X 0} ( f ) o y が成り立ち、どちらの議論でも Φ は自然です。

同様の議論により、終端射から左随伴関数への hom 集合随伴を構築できます。(多くの随伴ペアの右随伴は自明に定義された包含関数または忘却関数であるため、右随伴から始まる構築はやや一般的です。)

関数F  : D → C、G  : C → D、および余単位-単位の随伴 (ε, η) : F G が与えられている場合、次の手順で自然変換 Φ : hom _C ( F -,-) → hom _D (-, G -)を見つけることで、hom 集合の随伴を構築できます。 ${\displaystyle \dashv }$

• 各f  : FY → Xと各g  : Y → GXについて、定義する。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{Y,X}(f)=G(f)\circ \eta _{Y}\\\Psi _{Y,X}(g)=\varepsilon _{X}\circ F(g)\end{aligned}}}$

η と ε が自然であるため、変換 Φ と Ψ は自然です。

• 順に、Fが関手であること、εが自然であること、余単位元方程式1 _FY = ε _FY o F (η _Y )を用いて、次式を得る。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi \Phi f&=\varepsilon _{X}\circ FG(f)\circ F(\eta _{Y})\\&=f\circ \varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})\\&=f\circ 1_{FY}=f\end{aligned}}}$

したがってΨΦは恒等変換です。

• 双対的に、Gが関手であること、ηが自然であること、および余単位元方程式1 _GX = G (ε _X ) o η _GXを使用することで、次式が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi \Psi g&=G(\varepsilon _{X})\circ GF(g)\circ \eta _{Y}\\&=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}\circ g\\&=1_{GX}\circ g=g\end{aligned}}}$

したがって、ΦΨは恒等変換です。したがって、Φは逆変換Φ ⁻¹ = Ψを持つ自然同型です。

関手F  : D → C、G  : C → D、およびhom集合の随伴Φ:homC ₍ F - ,-)→homD ₍ -, G- )が与えられると、コユニット-ユニット随伴を構成することができる。

${\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G}$ 、

これは、以下の手順で、始端射と終端射の族を定義します。

• C内の  各Xに対して、 が    恒等写像であるとします  。${\displaystyle \varepsilon _{X}=\Phi _{GX,X}^{-1}(1_{GX})\in \mathrm {hom} _{C}(FGX,X)}$${\displaystyle 1_{GX}\in \mathrm {hom} _{D}(GX,GX)}$
• D内の各Y  に対して、    が恒等写像であるとします  。${\displaystyle \eta _{Y}=\Phi _{Y,FY}(1_{FY})\in \mathrm {hom} _{D}(Y,GFY)}$${\displaystyle 1_{FY}\in \mathrm {hom} _{C}(FY,FY)}$
• Φ の全単射性と自然性は、各 ( GX、 ε _X ) がCにおけるFからXへの終端射であり、各 ( FY、 η _Y ) がDにおけるYからGへの初期射であることを意味します。
• Φの自然性はεとηの自然性を意味し、2つの式

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{Y,X}(f)=G(f)\circ \eta _{Y}\\\Phi _{Y,X}^{-1}(g)=\varepsilon _{X}\circ F(g)\end{aligned}}}$

各f : FY → Xおよびg : Y → GX (これにより Φ が完全に決定されます)。

• 2番目の式でXにFY、gにηY ₌ ΦY _{、 FY (} 1 _FY )を代入すると、最初の余単位-単位方程式が得られる。

${\displaystyle 1_{FY}=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})}$、

最初の式でYにGX 、 fにε _X = Φ ⁻¹ _{GX, X} (1 _GX )を代入すると、 2番目の余単位-単位方程式が得られる。

${\displaystyle 1_{GX}=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}}$。

すべての関手G  : C → Dが左随伴を持つわけではない。Cが完全なカテゴリである場合、左随伴を持つ関手はピーター・J・フレイドの随伴関手定理によって特徴付けられる。Gが左随伴を持つのは、それが連続であり、特定の小ささの条件が満たされている場合のみである。つまり、 DのすべてのオブジェクトYに対して、射の族が存在する。

f _i  : Y → G ( X _i )

ここで、添え字i は、適切なクラスではなく集合 Iから来ており、すべての射

h  : Y → G ( X )

次のように書くことができる

h = G ( t ) ∘ f _i

あるiがIに含まれ、ある射影

t  : Xi → X∈C。_​​​

同様のステートメントは、右随伴関数を持つ関数を特徴付けます。

重要な特別なケースとして、局所的に提示可能なカテゴリがあります。が局所的に提示可能なカテゴリ間の関手である場合、 ${\displaystyle F:C\to D}$

• F が右随伴関数を持つ場合、かつその場合のみ、F は小さな余極限を保存する。
• F が左随伴関数を持つのは、F が小さな極限を保存し、アクセス可能な関手である場合に限ります。

関数F  : D → C に2 つの右随伴関数GとG ′ がある場合、GとG ′ は自然に同型です。左随伴関数についても同様です。

逆に、F がGの左随伴であり、G が自然にG ′と同型である場合、 FもG ′の左随伴である。より一般的には、 〈 F , G , ε, η〉 が随伴（余単位元 (ε,η) を持つ）で あり、

σ : F → F ′

τ : G → G ′

が自然同型ならば、〈F ′, G ′, ε′, η′〉 は随伴関係となり、

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta '&=(\tau \ast \sigma )\circ \eta \\\varepsilon '&=\varepsilon \circ (\sigma ^{-1}\ast \tau ^{-1}).\end{aligned}}}$

ここで は自然変換の垂直合成を表し、 は水平合成を表します。 ${\displaystyle \circ }$${\displaystyle \ast }$

随伴は自然な形で合成できる。具体的には、〈F , G , ε, η 〉がCとDの間の随伴であり、〈F ′, G ′, ε′, η′ 〉がDとEの間の随伴である場合、関手

${\displaystyle F\circ F':E\rightarrow C}$

左付随

${\displaystyle G'\circ G:C\to E.}$

より正確には、 F F'とG' Gの間には、それぞれ次の合成によって与えられる単位と余単位を持つ 付加関係があります。

${\displaystyle {\begin{aligned}&1_{\mathcal {E}}{\xrightarrow {\eta '}}G'F'{\xrightarrow {G'\eta F'}}G'GFF'\\&FF'G'G{\xrightarrow {F\varepsilon 'G}}FG{\xrightarrow {\varepsilon }}1_{\mathcal {C}}.\end{aligned}}}$

この新しい付加物は、与えられた 2 つの付加物の 合成と呼ばれます。

カテゴリCとそれ自体の間に恒等随伴を定義する自然な方法もあるため、オブジェクトがすべて小さなカテゴリであり、射が随伴である カテゴリを形成できます。

随伴関数の最も重要な特性はその連続性です。左随伴関数を持つすべての関数 (したがって右随伴関数) は連続です (つまり、カテゴリ理論的な意味での極限と交換します)。右随伴関数を持つすべての関数 (したがって左随伴関数) は余連続です(つまり、余極限と交換します)。

数学における一般的な構成の多くは極限または余極限であるため、これは豊富な情報を提供します。たとえば、

• 右随伴関数をオブジェクトの積に適用すると、像の積が生成されます。
• 左随伴関数をオブジェクトの余積に適用すると、画像の余積が生成されます。
• 2 つのアーベル圏間のすべての右随伴関手は左正確である。
• 2 つのアーベル圏間のすべての左随伴関手は右正確です。

CとDが前加法圏であり、F :  D → Cが右随伴関数G  : C → Dを持つ加法関手である場合、Gも加法関手であり、ホム集合一対一

${\displaystyle \Phi _{Y,X}:\mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)\cong \mathrm {hom} _{\mathcal {D}}(Y,GX)}$

は、実際にはアーベル群の同型です。双対的に、G が左随伴Fと加法性を持つ場合、Fも加法性を持ちます。

さらに、CとD の両方が加法カテゴリ(つまり、すべての有限の二重積を持つ前加法カテゴリ)である場合、それらの間の任意の随伴関数のペアは自動的に加法になります。

前述のように、カテゴリCとDの間の随伴は、Cの各オブジェクトに対して 1 つ、Dの各オブジェクトに対して 1 つの普遍射の族を生じます。逆に、 Dのすべてのオブジェクトから関数G  : C → Dへの普遍射が存在する場合、Gには左随伴があります。

ただし、普遍的な構成は随伴関数よりも一般的です。普遍的な構成は最適化問題に似ています。この問題がDのすべてのオブジェクト(つまり、Cのすべてのオブジェクト) に対して解を持つ場合にのみ、随伴ペアが生成されます。

関数F  : D → Cがカテゴリの同値の半分である場合、それはカテゴリの随伴同値における左随伴、つまり単位元と余単位元が同型である随伴です。

すべての随伴〈F , G , ε, η 〉は、特定のサブカテゴリの同値を拡張します。C ₁を、 ε _Xが同型であるCのオブジェクトXで構成されるCの完全なサブカテゴリとして定義し、D 1 を、η Y が同型である D のオブジェクト Y で構成される D の完全なサブカテゴリとして定義します。_すると、 F_とGはD 1とC 1に制限され、これら_のサブカテゴリの_逆同値が生成されます。

ある意味では、随伴関数は「一般化された」逆関数です。ただし、Fの右逆関数 (つまり、 FGが自然に 1 _Dに同型となる関数G ) は、 Fの右 (または左) 随伴関数である必要はありません。随伴関数は、両側逆関数を一般化します。

あらゆる随伴作用 〈F , G , ε, η 〉 は、カテゴリD内の関連するモナド〈T , η, μ 〉を生じます。関手

${\displaystyle T:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}}$

はT = GFで与えられる。モナドの単位

${\displaystyle \eta :1_{\mathcal {D}}\to T}$

は、単に付加と乗算変換の単位ηである。

${\displaystyle \mu :T^{2}\to T\,}$

は μ = G ε Fで与えられる。双対的に、三つ組 〈FG , ε, F η G〉はCのコモナドを定義する。

すべてのモナドは、上記のように、何らかの付加物から生じます。実際、通常は多数の付加物から生じます。アイレンバーグ-ムーア代数のカテゴリとクライスリ カテゴリと呼ばれる 2 つの構成は、特定のモナドを生成する付加物を構築する問題に対する 2 つの極限解です。

• アダメク、イジー。ヘルリッヒ、ホルスト。ストレッカー、ジョージ E. (1990)。抽象的なカテゴリと具体的なカテゴリ。猫の喜び(PDF)。ジョン・ワイリー＆サンズ。ISBN 0-471-60922-6.ZBL0695.18001  。​
• Mac Lane, Saunders (1998)。Category for the Working Mathematician . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 5 (第 2 版)。Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8.ZBL0906.18001  。​

• YouTubeの Adjunctions プレイリスト– The Catsters のEugenia Chengによる Adjunctions に関する 7 つの短い講義
• WildCats は、 Mathematica用のカテゴリ理論パッケージです。オブジェクト、射、カテゴリ、関数、自然変換、普遍特性の操作と視覚化を行います。