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ヨハン・カール・フリードリヒ・ガウス( / ɡ aʊ s /ⓘ ; [ 2 ]ドイツ語:Gauß; [ a ] [ b ] 1777 年 4 月 30 日-1855 年 2 月 23 日）は、ドイツの数学者、天文学者、測地学者数論、代数学、解析学、幾何学、統計学、確率論の分野に及びました、1807 年から 1855 年に亡くなるまで、ドイツのゲッティンゲン天文台の所長および天文学の教授を務めました
ガウスは幼い頃から数学の神童として知られていました。ゲッティンゲン大学で学んでいた頃、彼はいくつかの数学定理を提唱しました。独立した学者として、彼は傑作『算術研究』と『天体の運動理論』を著しました。ガウスは代数学の基本定理の2番目と3番目の完全な証明を作成しました。また、彼は合同を表す三重線記号（≡）を導入しました。数論では、合成法則、二次相互法則など数多くの貢献をし、フェルマー多角数定理の三角形の場合[ 6 ]を証明しました。彼はまた、二元および三元二次形式の理論と超幾何級数の理論にも貢献しました。ガウスはわずか19歳で、正多角形の作図における2000年以上ぶりの進歩となる十七角形の作図を証明しました。彼はまた、ガウス曲率の概念を導入し、特に「驚異の定理」においてその主要な性質を証明した。ガウスはガウスの不等式を初めて証明した人物でもある。さらに、彼は算術平均と幾何平均の発展に大きく貢献した。ガウスの科学と数学への広範かつ根本的な貢献により、100を超える数学的および科学的概念が彼の名にちなんで名付けられている。
ガウスは、ケレスを準惑星として特定する上で重要な役割を果たしました。大きな惑星によって擾乱される小惑星の運動に関する彼の研究は、ガウスの重力定数と最小二乗法の導入につながり、彼はアドリアン＝マリー・ルジャンドルが発表する前にそれを発見していました。ガウスはまた、再帰的最小二乗法として知られるアルゴリズムも導入しました。ガウスは、1820年から1844年にかけて、弧測定プロジェクトとともにハノーファー王国の測地測量を主導しました。ガウスは地球物理学の創始者の一人であり、磁気の基本原理を定式化しました。彼は1832年に地球の磁場の最初の絶対測定を行い、後に自身の発明の1つである球面調和解析を応用して、地球の磁場の大部分が内部にあることを示しました。彼は非ユークリッド幾何学を最初に発見し研究し、その名前も付けました。ガウスは、ジョン・テューキーやジェームズ・クーリーよりも約160年も前に、高速フーリエ変換を開発した最初の人物である。彼の実用的な研究は、1821年のヘリオトロープ、1833年の磁力計、そして1833年のヴィルヘルム・エドゥアルト・ウェーバーとの共同による世界初の電磁式電信機の発明につながった。
ガウスは、惑星理論と軌道決定に関する研究で1809年にラランド賞を、磁気に関する数学的研究で1838年にコプリ・メダルを受賞した。彼は未完成の著作を出版しないことで知られ、いくつかの著作は死後に編集されることになった。そのため、彼の発見の多くが世に広まるのを遅らせた。彼は、知識を所有することではなく、学ぶ行為そのものが最大の喜びをもたらすと信じていた。ガウスは熱心で熱心な教師ではなく、概して自身の研究に専念することを好んだが、彼の教え子の中には、リヒャルト・デデキントやベルンハルト・リーマンのように、それぞれ著名な影響力のある数学者になった者もいる。彼は2度結婚し、6人の子供をもうけたが、そのうち数人は後にアメリカ合衆国に移住した。
ガウスは1777年4月30日、ブラウンシュヴァイク＝ヴォルフェンビュッテル公国（現在のドイツのニーダーザクセン州）のブラウンシュヴァイクで生まれた。彼の家族は比較的低い社会的地位にあった。[ 7 ]彼の父ゲプハルト・ディートリヒ・ガウス（1744年 - 1808年）は、肉屋、レンガ職人、庭師、死亡給付基金の会計係など、さまざまな仕事をしていた。ガウスは父を、立派で尊敬されているが、家庭では粗暴で支配的だったと評している。父は文章を書いたり計算したりすることに長けていたが、2番目の妻でカール・フリードリヒの母であるドロテアはほとんど読み書きができなかった。[ 8 ]父の最初の結婚で生まれた兄が1人いた。[ 9 ]
ガウスは数学の神童でした。小学校の教師が彼の知的能力に気付くと、ブラウンシュヴァイク公爵に紹介し、公爵は彼を地元のコレギウム・カロリヌムに送りました。[ c ]彼は1792年から1795年までそこに通い、教師の一人としてエーベルハルト・アウグスト・ヴィルヘルム・フォン・ツィンマーマンがいました。 [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]その後、公爵は1798年までゲッティンゲン大学で数学、科学、古典語を学ぶための資金を彼に与えました。 [ 14 ]数学の教授はアブラハム・ゴットヘルフ・ケストナーで、ガウスは彼の警句から彼を「詩人の中では一流の数学者であり、数学者の中では一流の詩人」と呼んでいました。[ 15 ] [ d ]天文学はカール・フェリックス・ザイファーが教え、ガウスは卒業後も彼と文通を続けました。[ 16 ]オルバースとガウスは、書簡の中で彼を嘲笑した。[ 17 ]一方、彼は物理学の教師であるゲオルク・クリストフ・リヒテンベルクと、古典の講義に喜んで出席したクリスティアン・ゴットロープ・ハイネを高く評価していた。[ 16 ]この時期の同級生には、ヨハン・フリードリヒ・ベンツェンベルク、ファルカス・ボヤイ、ハインリヒ・ヴィルヘルム・ブランデスがいた。[ 16 ]
彼は独学で数学を学んだ学生だった可能性が高く、いくつかの定理を独自に再発見している。[ 13 ]彼は1796年にコンパスと定規で作図できる正多角形を特定し、古代ギリシャ以来数学者を悩ませてきた幾何学上の問題を解決した。この発見が最終的にガウスが文献学ではなく数学を職業として選ぶきっかけとなった。[ 18 ]ガウスの数学日記は、1796年から1814年までの彼の研究成果に関する短いメモを集めたもので、彼の数学の大著である『算術研究』 （1801年）の多くのアイデアがこの時期に遡ることを示している。[ 19 ]
伝えられるところによると、ガウスは小学生の頃、教師のJG・ビュットナーから1から100までの数字を足し合わせる課題を与えられた。ビュットナーは驚いたことに、ガウスが予想よりもはるかに速い時間で正解の5050を答えた。[ 20 ]ガウスはおそらく、この合計が101の50組（1 + 100 = 101、2 + 99 = 101など）として並べ替えられることに気づいたのだろう。そのため、彼は単純に50に101を掛けただけだった。[ 21 ]
注目すべきは、この合計方法は、12世紀のバビロニア・タルムードのトサフォット注釈（メナホット篇106a）で数世紀前に明確に記述されており、同じ規則が示されています。「総数の半分を取り、それを総数に1を加えた数で掛けます。[ 22 ]
ガウスは1799年に哲学博士号を取得したが、時折言われるようにゲッティンゲン大学ではなく、公国唯一の国立大学であるヘルムシュテット大学であった。ヨハン・フリードリヒ・プファフが博士論文を審査し、ガウスは口頭試験を受けることなく欠席のまま学位を取得した。[ 13 ]その後、公爵はブラウンシュヴァイクで私的学者として生活するための費用を彼に支給した。ガウスはその後、サンクトペテルブルクのロシア科学アカデミーとランツフートのルートヴィヒ・マクシミリアン大学からの招聘を断った。[ 24 ] [ 25 ]その後、公爵は1804年にブラウンシュヴァイクに天文台を設立することを彼に約束した。建築家ペーター・ヨーゼフ・クラーエが予備設計を行ったが、ナポレオンの戦争の一つがその計画を中止させた。[ 26 ]公爵は1806年のイエナの戦いで戦死した。公国は翌年に廃止され、ガウスの財政支援は途絶えた。
ガウスが19世紀初頭に小惑星の軌道を計算していたとき、彼はブレーメンとリリエンタールの天文学者コミュニティ、特にヴィルヘルム・オルバース、カール・ルートヴィヒ・ハーディング、フリードリヒ・ヴィルヘルム・ベッセルと連絡を取り、天体警察として知られる非公式の天文学者グループの一員となった。[ 27 ]彼らの目的の1つは、さらなる惑星の発見であった。彼らは小惑星と彗星に関するデータを収集し、ガウスがそれらの軌道に関する研究の基礎とした。ガウスは後に、その研究成果を天文学の大著『円錐曲線で太陽の周りを公転する天体の運動理論』（1809年）として発表した。[ 28 ]
1807年11月、ガウスは、当時ジェローム・ボナパルトが統治する新しく建国されたヴェストファーレン王国の機関であったゲッティンゲン大学に、正教授兼天文台長として採用され[ 29 ]、 1855年に亡くなるまでその職を務めた。彼はすぐに、ヴェストファーレン政府から戦争貢献として2000フランの支払いを要求されたが、支払う余裕がなかった。オルバースとラプラスは支払いを手伝おうとしたが、ガウスは彼らの援助を拒否した。最終的に、フランクフルトの匿名の人物（後にダルベルク首座公であることが判明） [ 30 ]がその金額を支払った。[ 29 ]
ガウスは、1748年に選帝侯ゲオルク2世によって設立され、改築された要塞の塔の上に建てられた築60年の天文台の所長に就任したが、その観測機器は使用可能ではあったものの、一部時代遅れになっていた。[ 31 ] [ 32 ]新しい天文台の建設は、1802年以来、選帝侯ゲオルク3世によって原則的に承認されており、ヴェストファーレン政府は計画を継続していたが、[ 33 ]ガウスは1816年9月まで新しい職場に移ることができなかった。[ 25 ]彼は、レプソルド[ 34 ]とライヘンバッハ[ 35 ]からの2つの子午環、フラウンホーファーからのヘリオメーター[ 36 ]を含む、新しい最新の観測機器を入手した。
ガウスの科学活動は、純粋数学を除けば、大きく3つの時期に分けられる。19世紀最初の20年間は天文学が主な研究対象であり、次の10年間は測地学、そして次の10年間は物理学、特に磁気学が主な研究対象であった。[ 37 ]
ガウスは学術講義を行うことへの嫌悪感を隠さなかった。[ 24 ] [ 25 ]しかし、ゲッティンゲンでの学術キャリアの開始から1854年まで継続的に講義を行った。[ 38 ]彼は教えることの負担についてしばしば不満を述べ、それは時間の無駄だと感じていた。一方で、彼は時折、一部の学生を才能があると評した。[ 24 ]彼の講義のほとんどは天文学、測地学、応用数学に関するもので、[ 39 ]純粋数学の主題に関する講義はわずか3回だった。[ 24 ] [ f ]ガウスの生徒の中には、有名な数学者、物理学者、天文学者になった人もいます:モーリッツ・カントール、デデキント、ディルクセン、エンケ、グールド、[ g ]ハイネ、クリンカーフューズ、クッパー、リスティング、メビウス、ニコライ、リーマン、リッター、シェリング、シェルク、シューマッハ、フォン・シュタウト、シュテルン、ウルシン;地球科学者のサルトリウス・フォン・ヴァルタースハウゼンやワッパウスなど。[ 24 ]
ガウスは教科書を一切書かず、科学的な事柄を普及させることを嫌った。普及させようとした唯一の試みは、復活祭の日付（1800/1802年）の著作と、1836年の論文「地球磁気と磁力計」である。 [ 41 ]ガウスは論文や書籍をラテン語またはドイツ語のみで出版した。[ h ] [ i ]彼はラテン語を古典的なスタイルで書いたが、同時代の数学者によって定められた慣習的な修正もいくつか使用した。[ 44 ]
ガウスは1808年にゲッティンゲン大学で就任講演を行った。彼は天文学へのアプローチを、信念や空虚な仮説ではなく、信頼できる観測と正確な計算に基づいていると説明した。[ 39 ]大学では、ガウスは自身の専門分野の他の講師陣に付き添われ、教育プログラムを完成させた。その中には、講義を担当した数学者のティボー[ 46 ]、教科書で知られる物理学者のマイヤー[ 47 ] 、1831年以降は後継者のウェーバー、そして天文台では実用天文学の講義の大部分を担当したハーディングがいた。天文台が完成すると、ガウスは新しい天文台の西棟を占有し、ハーディングは東棟を占有した。[ 25 ]かつては友好的な関係だったが、時が経つにつれて疎遠になった。伝記作家の中には、ガウスが同等の地位にあるハーディングを単なる助手か観察者にとどめておきたいと思っていたためだと推測する者もいる。[ 25 ] [ j ]ガウスは新しい子午環をほぼ独占的に使用し、ごくまれな共同観測を除いてハーディングには見せなかった。[ 49 ]
ブレンデルはガウスの天文学活動を年代順に7つの期間に細分化し、そのうち1820年以降は「天文学活動が低調だった時期」としている。[ 50 ]新しく設備の整った天文台は他の天文台ほど効果的に機能しなかった。ガウスの天文学研究は長期観測計画のない一人事業の性格を帯びており、大学が助手のためのポストを設けたのは1834年にハーディングが亡くなった後だった。[ 48 ] [ 49 ] [ k ]
それにもかかわらず、ガウスは問題を解決する機会を2度拒否し、1810年と1825年にベルリンから講義の義務を負わずにプロイセン科学アカデミーの正会員になるという申し出を断ったほか、1810年にはライプツィヒ大学から、1842年にはウィーン大学からも同様の申し出を断った。これはおそらく家族の困難な状況が原因だったと思われる。[ 48 ]ガウスの給与は1810年の1000ライヒスターラーから1824年には2500ライヒスターラーに引き上げられ、 [ 25 ]晩年には大学で最も高給取りの教授の一人となった。[ 51 ]
1810年、同僚で友人のフリードリヒ・ヴィルヘルム・ベッセルが、学位がないためにケーニヒスベルク大学で困っていたため、ガウスに助けを求めたところ、ガウスは1811年3月にゲッティンゲン大学哲学部からベッセルに名誉博士号を授与した。 [ l ]ガウスはゾフィー・ジェルマンにも名誉学位を推薦したが、それは彼女が亡くなる直前のことだったので、彼女はそれを受け取ることはなかった。[ 54 ]また、ベルリンの数学者ゴットホルト・アイゼンシュタインにも支援を与え、成功を収めた。 [ 55 ]
ガウスはハノーファー家に忠誠を誓っていた。 1837年にヴィルヘルム4世が崩御すると、新ハノーファー国王エルンスト・アウグストは1833年憲法を無効にした。後に「ゲッティンゲン七人組」として知られることになる7人の教授がこれに抗議し、その中にはガウスの友人であり協力者であったヴィルヘルム・ウェーバーとガウスの義理の息子ハインリヒ・エヴァルトも含まれていた。彼らは全員解雇され、うち3人は追放されたが、エヴァルトとウェーバーはゲッティンゲンに留まることができた。ガウスはこの争いに深く心を痛めたが、彼らを助けることは不可能だと考えた。[ 56 ]
ガウスは大学運営にも携わり、哲学部の学部長に3度選出された。 [ 57 ]大学の未亡人年金基金を任され、数理科学に取り組み、給付金の安定化戦略に関する報告書を作成した。ゲッティンゲン王立科学アカデミーの理事長に9年間任命された。[ 57 ]
ガウスは痛風や全般的な不幸に苦しみながらも、晩年まで精神的に活発であり続けた。1855年2月23日、彼はゲッティンゲンで心臓発作により死去し[ 15 ] 、同地のアルバニ墓地に埋葬された。ガウスの義理の息子であるハインリヒ・エヴァルトと、ガウスの親友であり伝記作家でもあるヴォルフガング・ザルトリウス・フォン・ヴァルタースハウゼンが葬儀で弔辞を述べた[ 58 ] 。
ガウスは成功した投資家であり、株式や証券で15万ターラー以上の相当な富を築きました。彼の死後、約1万8000ターラーが彼の部屋に隠されているのが発見されました。[ 59 ]
ガウスの死の翌日、彼の脳は摘出され、保存され、ルドルフ・ワグナーによって研究された。ワグナーは、その質量が平均よりわずかに高い1,492グラム（3.29ポンド）であることを発見した。[ 60 ] [ 61 ]ワグナーの息子で地理学者のヘルマンは、博士論文で脳の面積を219,588平方ミリメートル（340.362平方インチ）と推定した。 [ 62 ] 2013年、ゲッティンゲンのマックス・プランク生物物理化学研究所の神経生物学者は、最初の調査後まもなく、ラベルの誤りにより、ガウスの脳が、ガウスの数ヶ月後にゲッティンゲンで亡くなった医師コンラート・ハインリヒ・フックスの脳と混同されていたことを発見した。 [ 63 ]さらなる調査により、どちらの人物の脳にも特筆すべき異常は見られなかった。したがって、ルドルフとヘルマン・ワグナーによる最初の研究を除いて、1998年までのガウスの脳に関するすべての研究は、実際にはフックスの脳を参照している。[ 64 ]
ガウスは1805年10月9日にブラウンシュヴァイクの聖カタリナ教会でヨハンナ・オストホフと結婚した。[ 65 ]彼らには2人の息子と1人の娘がいた。ジョセフ（1806年～1873年）、ヴィルヘルミナ（1808年～1840年）、ルイ（1809年～1810年）である。ヨハンナはルイの誕生から1か月後の1809年10月11日に亡くなり、ルイ自身も数か月後に亡くなった。[ 66 ]ガウスは子供たちの名前を、最初の小惑星の発見者であるジュゼッペ・ピアッツィ、ヴィルヘルム・オルバース、カール・ルートヴィヒ・ハーディングにちなんで選んだ。[ 67 ]
1810年8月4日、ガウスは最初の妻の友人であったヴィルヘルミーネ（ミンナ）ヴァルデックと結婚し、彼女との間にさらに3人の子供をもうけた。オイゲン（後にユージン）（1811年 - 1896年）、ヴィルヘルム（後にヴィルヘルム）（1813年 - 1879年）、そしてテレーゼ（1816年 - 1864年）である。ミンナ・ガウスは10年以上重病を患った後、1831年9月12日に亡くなった。[ 68 ]その後、テレーゼが家事を引き継ぎ、ガウスの残りの生涯の世話をした。父親の死後、彼女は俳優のコンスタンティン・シュタウフェナウと結婚した。[ 69 ]彼女の妹ヴィルヘルミーナは東洋学者のハインリヒ・エヴァルトと結婚した。[ 70 ]ガウスの母ドロテアは1817年から1839年に亡くなるまで彼の家に住んでいた。[ 14 ]
長男のジョセフは、まだ学生だった1821年の夏、測量活動中に父の助手として手伝った。大学に短期間通った後、1824年にハノーファー軍に入隊し、1829年に再び測量に協力した。1830年代には、王国の西部への測量網の拡大を担当した。測地学の資格を得た彼は軍を離れ、ハノーファー王立鉄道の局長として鉄道網の建設に従事した。1836年には、数ヶ月間米国で鉄道システムを研究した。[ 51 ] [ m ]
オイゲンは1830年9月にゲッティンゲンを離れ、アメリカ合衆国に移住し、そこで5年間軍隊に所属した。その後、中西部のアメリカ毛皮会社で働いた。後にミズーリ州に移り、実業家として成功した。[ 51 ]ヴィルヘルムは天文学者ベッセルの姪と結婚した。[ 73 ]その後、ミズーリ州に移り、農夫として始め、後にセントルイスで靴の商売で富を築いた。 [ 74 ]オイゲンとウィリアムにはアメリカに多くの子孫がいるが、ドイツに残ったガウスの子孫は、娘たちに子供がいなかったため、すべてジョセフの子孫である。[ 51 ]
19世紀最初の20年間、ガウスはフランスの主要な数学者たちに匹敵するドイツで唯一の重要な数学者であった。[ 75 ] 彼の『算術研究』は、ドイツからフランス語に翻訳された最初の数学書であった。[ 76 ]
ガウスは、1799年以来の記録された研究、豊富な新しいアイデア、そして厳密な証明によって「新しい発展の最前線」にいた。[ 77 ]読者に正しい道筋からの誤った逸脱も含め、推論に参加させたレオンハルト・オイラーのような以前の数学者とは対照的に、 [ 78 ]ガウスは、著者の思考の流れを読者に示そうとしない、直接的で完全な説明の新しいスタイルを導入した。[ 79 ]
ガウスは、古代の人々が称賛した、証明の厳密さを初めて復活させた人物であり、それはそれまでの時代が新しい発展にのみ関心を向けたために、不当に後景に追いやられていたものであった。
—クライン 1894年、 101ページ
しかし、彼自身は全く異なる理想を提唱しており、ファルカス・ボヤイへの手紙の中で次のように述べている。[ 80 ]
最大の喜びをもたらすのは、知識そのものではなく、学ぶという行為であり、所有することではなく、そこに至る過程である。ある主題を明確にし、徹底的に探求し尽くしたとき、私は再び暗闇へと向かうために、その主題から離れるのだ。
— Dunnington 2004、p. 416 harvnb エラー: 複数のターゲット (2×): CITEREFDunnington2004 (ヘルプ)
彼の死後に出版された論文、科学日記[ 81 ]、そして彼自身の教科書の短い注釈から、彼が経験的に研究していたことが分かります[ 82 ] [ 83 ]。彼は生涯を通じて精力的に計算に取り組み、非常に速く計算し、概算によって結果を確認していました。しかし、彼の計算は常に間違いがないわけではありませんでした[ 84 ] 。彼は巧みな道具を使うことで、膨大な作業量をこなしていました[ 85 ] 。ガウスは数多くの数表を使用し、その正確さを検証し、個人的な使用のためにさまざまな事柄に関する新しい表を作成しました[ 86 ] 。彼は、例えばガウス消去法など、効率的な計算のための新しい道具を開発しました[ 87 ]。ガウスの計算と彼が作成した表は、実際に必要とされる以上に正確であることがよくありました[ 88 ]。この方法は、彼の理論研究のための追加資料を提供した可能性が非常に高いです[ 85 ] [ 89 ] 。
ガウスは、完成して批判の余地がないと確信した場合にのみ、研究成果を発表した。この完璧主義は、彼の個人印章 のモットーである「少ないが熟している」（ Pauca sed Matura）と一致していた。多くの同僚は、新しいアイデアを公表するよう彼を励まし、彼らが思うに、彼が躊躇しすぎると叱責することもあった。ガウスは、アイデアの最初の発見は容易だが、発表可能な詳細な説明を準備することは、時間不足か「心の平静」のどちらかの理由で、彼にとって困難な問題であると主張して、自らを弁護した。[ 41 ]それにもかかわらず、彼はさまざまな雑誌に緊急の内容の短い通信を多数発表したが、かなりの文学的遺産も残した。[ 90 ] [ 91 ]ガウスは数学を「科学の女王」、算術を「数学の女王」と呼び、[ 92 ]一流の数学者になるためには、オイラーのアイデンティティを基準としてすぐに理解する必要があると信じていたと言われている。 [ 93 ]
ガウスは、ある時、他の学者のアイデアを以前から自分が持っていたと主張した。そのため、彼の優先権の概念は「最初に発見した者であって、最初に発表した者ではない」というもので、同時代の科学者とは異なっていた。[ 94 ]数学のアイデアを提示する際の完璧主義とは対照的に、彼の引用は怠慢だと批判された。彼は正しい引用の慣習について独特な見解を示して正当化した。重要な先行著者については誰も無視すべきではないが、完全な参考文献のみを記載するべきだが、このように引用するには科学史の知識と、彼が費やしたい時間よりも多くの時間が必要になる、というのである。[ 41 ]
ガウスの死後まもなく、友人のサルトリウスが最初の伝記（1856年）を出版したが、それはかなり熱狂的な文体で書かれていた。サルトリウスはガウスを、子供のような謙虚さを持ちながらも穏やかで前向きな人物と見ていたが、[ 95 ]同時に「鉄の性格」を持ち、揺るぎない精神力を持っていたとも見ていた。[ 96 ] [ 97 ]親しい仲間以外では、ガウスは「科学の頂点に君臨するオリンポスの神々のように」控えめで近寄りがたい人物と見なされていた。 [ 98 ]親しい同時代人たちは、ガウスは気難しい性格の人物であるという点で意見が一致していた。彼はしばしば褒め言葉を受け入れようとしなかった。彼の不機嫌な態度に訪問者が苛立つこともあったが、しばらくすると気分が変わり、魅力的で寛容なホストになることもあった。[ 41 ]ガウスは論争好きな性格の人を嫌っていた。彼は同僚のハウスマンと共に、ゲッティンゲン大学の教授職にユストゥス・リービッヒを招聘することに反対した。「なぜなら彼はいつも何らかの論争に巻き込まれていたからだ」[ 99 ]。
ガウスの人生は、家族の深刻な問題によって影を落とされた。最初の妻ヨハンナが3人目の子供の出産後まもなく急死したとき、彼は亡き妻への最後の手紙で、古代の挽歌のようなスタイルで悲しみを明かした。これは、現存する彼の文書の中で最も個人的なものである。[ 100 ] [ 101 ] 2番目の妻と2人の娘は結核を患った。[ 102 ] 1831年12月付のベッセル宛の手紙で、ガウスは苦悩をほのめかし、自身を「最悪の家庭的苦難の犠牲者」と表現した。[ 41 ]
妻の病気のため、二人の次男はゲッティンゲンから遠く離れたツェレで数年間教育を受けた。長男のヨーゼフは測地学の知識をかなり身につけていたものの、軍歴は20年以上で少尉という低賃金の階級で終わった。結婚後も父親からの経済的支援が必要だった。[ 51 ]次男のオイゲンは計算と語学において父親の才能をかなり受け継いでいたが、活発で時に反抗的な性格だった。彼は文献学を学びたかったが、ガウスは彼に弁護士になってほしかった。借金を重ね、世間を騒がせたオイゲンは、 1830年9月に劇的な状況で突然ゲッティンゲンを離れ、ブレーメン経由でアメリカ合衆国に移住した。彼は出発時に持っていったわずかなお金を浪費し、その後父親はそれ以上の経済的支援を拒否した。[103] [ 51 ]末息子のヴィルヘルムは農業行政の資格を取得しようとしたが、適切な教育を受けるのに苦労し、結局彼も国外へ移住した。ガウスの晩年に付き添ったのは末娘のテレーズだけだった。[ 69 ]
晩年のガウスは、自宅からゲッティンゲンの特定の場所までの経路の数や人々の年齢を日数で表したものなど、有用または無用な様々な種類の数値データを習慣的に収集していた。 1851年12月には、フンボルトがアイザック・ニュートンの死後と同じ年齢に達したことを祝った（日数で計算）。 [ 104 ]
ラテン語に非常に堪能だっただけでなく、現代語にも精通していた。ガウスは古典文学と現代文学の両方を読み、英語とフランス語の作品を原語で読んだ。[ 105 ] [ o ]彼のお気に入りのイギリス人作家はウォルター・スコット、お気に入りのドイツ人作家はジャン・パウルだった。62歳でロシア語の独学を始めたが、これはおそらくロバチェフスキーの非ユークリッド幾何学に関する著作など、ロシアの科学論文を理解するためだったと思われる。[ 107 ] [ 108 ]ガウスは歌うことが好きで、コンサートにもよく行った。[ 109 ]彼は新聞をよく読み、晩年には毎日正午に大学の学術プレスサロンを訪れていた。[ 110 ]ガウスは哲学にはあまり関心がなく、「いわゆる形而上学者の揚げ足取り」を嘲笑した。ここで言う「形而上学者」とは、当時の自然哲学派の支持者のことだった。[ 111 ]
ガウスは「貴族的で徹底した保守的な性格」で、人々の知性や道徳をほとんど尊重せず、「世界は理解を求める」というモットーに従っていた。[ 110 ]彼はナポレオンとその体制を嫌い、あらゆる種類の暴力と革命に恐怖を感じていた。そのため、統一ドイツなど、1848年の革命の目的の一部には賛同していたものの、その手法を非難した。 [ 96 ] [ p ]彼は立憲制度を低く評価し、当時の議会議員たちの無知と論理的誤りを批判した。[ 110 ]
ガウスの伝記作家の中には、彼の宗教的信念について推測している者もいる。彼は時折「神は算術を行う」[ 112 ]や「私は努力によってではなく、主の恵みによって成功した」[ 113 ]と述べている。ガウスは北ドイツの住民の大多数と同様にルター派教会の信者であったが、ルター派の教義すべてを信じていたわけではなく、聖書を完全に文字通りに理解していたわけでもなかったようだ。 [ 114 ]サルトリウスによれば、ガウスの宗教的寛容さ、「真理への飽くなき渇望」、そして正義感は、彼の宗教的信念に由来するものであったという。[ 115 ]
ガウスは1799年の博士論文で、複素係数を持つ定数でない一変数多項式はすべて少なくとも1つの複素根を持つという代数学の基本定理を証明した。ジャン・ル・ロン・ダランベールを含む数学者たちは彼以前に誤った証明を発表しており、ガウスの博士論文にはダランベールの研究に対する批判が含まれている。彼はその後さらに3つの証明を発表し、1849年の最後の証明は概して厳密であった。彼の試みは複素数の概念の大幅な明確化につながった。[ 116 ]
ガウスは『 Disquisitiones』の序文で、数論の研究を始めた時期を1795年としている。フェルマー、オイラー、ラグランジュ、ルジャンドルといった以前の数学者の研究を研究することで、これらの学者がすでに自分が独自に発見したことの多くを発見していたことに気づいた。[ 117 ] 1798年に執筆され、1801年に出版された『Disquisitiones Arithmeticae』は、数論を学問分野として確立し、初等数論と代数的数論の両方を網羅している。その中で、ガウスは合同を表す三重線記号（≡）を導入し[ 118 ] 、モジュラー算術を簡潔に表現するためにそれを使用している。[ 119 ]この著作では、一意因数分解定理とnを法とする原始根について扱っている。主要な部分では、ガウスは二次相互法則の最初の 2 つの証明[ 120 ]を示し、二項二次形式[ 121 ]と三項二次形式の理論を展開しています。[ 122 ]
『Disquisitiones』には、2 進法のガウスの合成法則や、整数を 3 つの平方数の和として表す数の列挙が含まれています。3つの平方数に関する定理のほぼ直接的な系として、彼はn = 3の場合のフェルマー多角数定理の三角形の場合を証明しています。[ 123 ]ガウスが第 5 節の終わりに証明なしで与えているクラス数に関するいくつかの解析結果から、 [ 124 ]ガウスは1801 年にすでにクラス数の公式を知っていたようです。[ 125 ]
最後の節で、ガウスは定規とコンパスを使って正七角形（17辺の多角形）を作図できることを証明し、この幾何学的問題を代数的な問題に還元した。[ 126 ]これは2000年以上ぶりの正多角形作図における最初の進歩であった。[ 127 ]彼は、正多角形の辺の数が2のべき乗であるか、2のべき乗と任意の数の異なるフェルマー素数の積である場合に、その多角形を作図できることを示した。同じ節で、彼は有限体上の係数を持つ特定の3次多項式の解の数に関する結果を示しており、これは楕円曲線上の整数点の数え上げに相当する。[ 128 ] 1797年から1799年にかけて行われた作業からなる未完成の章が、彼の死後、彼の論文の中から発見された。[ 129 ] [ 130 ]
ガウスの最初の成果の 1 つは、1792 年に経験的に発見された予想 (後に素数定理と呼ばれる) であり、積分対数を使用して素数の数を推定するものでした。[ 131 ] [ q ]
1816年、オルバースはガウスにフェルマーの最終定理の証明でフランス学士院の賞に応募するよう勧めたが、ガウスは興味がないとして断った。しかし、彼の死後、日付不明の短い論文が発見され、 n = 3 とn = 5の場合の定理の証明が記されていた。[ 133 ] n = 3の特定のケースはレオンハルト・オイラーによってずっと以前に証明されていたが、ガウスはアイゼンシュタイン整数を利用したより簡潔な証明を開発した。より一般的ではあったが、証明は実数の場合よりも単純だった。[ 134 ]
ガウスは、1831 年に、球の中心が立方体面心配置を形成するときに三次元空間における球の最大充填密度が得られることを証明し、ケプラー予想の解決に貢献した。 [ 135 ]彼は、ルートヴィヒ・アウグスト・ゼーバーの正の三元二次形式の縮約理論に関する本をレビューした。 [ 136 ]ゼーバーの証明にいくつかの欠陥があることに気づいたガウスは、彼の議論の多くを簡略化し、中心的な予想を証明し、この定理が正則配置のケプラー予想と同等であることを指摘した。[ 137 ]
ガウスは、2つの論文（1828年、1832年）の中で、ガウス整数環を導入した。は、それが一意の因数分解領域であることを示し、[ 138 ]フェルマーの小定理やガウスの補題などのいくつかの重要な算術概念を一般化した。この環を導入する主な目的は、双二次相互法則を定式化することであった[ 138 ]。ガウスが発見したように、複素整数環は、このような高次の相互法則の自然な設定である[ 139 ] 。
2番目の論文では、彼は2次相互法則の一般法則を述べ、そのいくつかの特殊な場合を証明した。1818年の以前の出版物には、2次相互法則の5番目と6番目の証明が含まれており、彼はこれらの証明の手法（ガウス和）が、より高次の相互法則を証明するために適用できると主張した。[ 140 ]
ガウスの最初の発見の 1 つは、2 つの正の実数の算術幾何平均(AGM)の概念でした。 [ 141 ]彼は 1798 年から 1799 年にかけてランデンの変換を通して楕円積分との関係を発見し、日記にはガウス定数とレムニスカティック楕円関数との関連性の発見が記録されており、ガウスはこの結果について「間違いなく全く新しい解析の分野が開かれるだろう」と述べています。[ 142 ]彼はまた、複素解析の基礎のより形式的な問題にも早くから取り組み、1811 年にベッセルに宛てた手紙から、彼が「複素解析の基本定理」であるコーシーの積分定理を知っており、極の周りで積分するときの複素留数の概念を理解していたことが明らかです。[ 128 ] [ 143 ]
オイラーの五角数定理は、AGM 関数やレムニスカティック関数に関する他の研究とともに、ヤコビのシータ関数に関する多くの結果につながり、[ 128 ] 1808 年に、オイラーの定理を特殊な場合として含む、ヤコビの三重積恒等式と呼ばれるものの発見に至った。[ 144 ]彼の研究は、彼が 1808 年以来、楕円関数の 3 次、5 次、7 次のモジュラー変換を知っていたことを示している。[ 145 ] [ r ] [ s ]
彼の遺稿にあるいくつかの数学的断片は、彼がモジュラー形式の現代理論の一部を知っていたことを示している。[ 128 ] 2つの複素数の多値AGMに関する研究において、彼はAGMの無限に多くの値と、その2つの「最も単純な値」との間に深い関連性があることを発見した。 [ 142 ]未発表の著作の中で、彼はモジュラー群の基本領域という重要な概念を認識し、概略を描いた。[ 147 ] [ 148 ]ガウスのこの種の概略の1つは、すべての角度が等しい「正三角形」双曲三角形による単位円盤のテセレーションの図であった。[ 149 ]
ガウスの解析における洞察力の一例として、コンパスと定規による円の分割の原理はレムニスケート曲線の分割にも適用できるという謎めいた発言があり、これがレムニスケート分割に関するアーベルの定理の着想源となった。[ t ]もう一つの例は、ガウスの二次和の符号の決定に関する彼の著作「Summatio quarundam serierum singularium」（1811年）である。この著作では、二項係数のq類似を導入し、楕円関数理論に関する彼の研究に由来すると思われるいくつかの独自の恒等式を用いてそれらを操作することで、主要な問題を解決している。しかし、ガウスは楕円関数理論に由来することを明らかにしない形式的な方法で議論を展開しており、ヤコビやエルミートなどの数学者による後世の研究によってのみ、彼の議論の核心が明らかにされた。[ 150 ]
「無限級数に関する一般考察」（1813年）において、彼は一般超幾何関数の最初の体系的な扱いを提供した。、そして、当時知られていた多くの関数が超幾何関数の特殊な場合であることを示している。[ 151 ]この研究は、数学の歴史上、無限級数の収束に関する最初の厳密な調査である。 [ 152 ]さらに、超幾何関数の比として生じる無限連分数（現在ではガウス連分数と呼ばれている）を扱っている。[ 153 ]
1823年、ガウスは複素解析の分野に関連するいくつかの発展を含む等角写像に関する論文でデンマーク協会の賞を受賞しました。 [ 154 ]ガウスは、複素平面における角度保存写像は複素解析関数でなければならないと述べ、後にベルトラミ方程式と呼ばれるものを用いて解析曲面上の等温座標の存在を証明しました。この論文は、球面と回転楕円体への等角写像の例で締めくくられています。[ 155 ]
ガウスは、経験的に収集した数値データから帰納的に定理を導き出すことが多かった。 [ 83 ]そのため、計算を容易にする効率的なアルゴリズムの使用は彼の研究にとって不可欠であり、彼は1816年に発表されたガウス求積法など、数値解析に多くの貢献をした。 [ 156 ]
1823年にガーリングに宛てた私信の中で、[ 157 ]彼はガウス・ザイデル法（線形方程式系の解法のための「間接的」反復法）を用いた4×4連立一次方程式系の解法について説明し、2つ以上の方程式からなる連立方程式に対しては、通常の「直接消去法」よりもこの方法を推奨した。[ 158 ]
ガウスは、1805年にパラスとジュノーの軌道を計算する際に、現在離散フーリエ変換と呼ばれるものを計算するアルゴリズムを発明した。これは、クーリーとテューキーが同様のクーリー・テューキーアルゴリズムを発見する160年前のことである。[ 159 ]彼はそれを三角関数補間法として開発したが、論文「Theoria Interpolationis Methodo Nova Tractata」は、ジョセフ・フーリエが1807年にこの主題を紹介してからかなり後の1876年に、死後出版された。[ 160 ] [ 161 ]
ハノーバーの測地測量が、ガウスの微分幾何学と位相幾何学、つまり曲線と曲面を扱う数学分野への関心を掻き立てた。これがきっかけとなり、1828年にガウスは、曲面を2変数関数のデカルトグラフとして扱う従来の方法から脱却し、曲面上を移動することを制約された2次元存在の「内側」の視点から曲面を探求し始めた、現代曲面微分幾何学の誕生を告げる著作を発表した。その結果、驚異の定理（Theorema Egregium ）がガウス曲率の概念の性質を確立した。非公式には、この定理は、曲面の曲率は、曲面が3次元空間に埋め込まれているか2次元空間に埋め込まれているかに関わらず、曲面上の角度と距離を測定することによって完全に決定できると述べている。 [ 162 ]
驚異の定理は、曲面を二重に拡張された多様体として抽象化することにつながります。この定理は、多様体の固有の性質（計量）と周囲空間でのその物理的実現との区別を明確にします。その結果、異なるガウス曲率の曲面間の等長変換は不可能になります。これは実際には、球や楕円体を歪みなく平面に変換することはできないことを意味し、地理的地図の投影を設計する際に根本的な問題を引き起こします。 [ 162 ]この論文の一部は、測地線の詳細な研究に充てられています。特に、ガウスは測地三角形に関する局所ガウス・ボンネの定理を証明し、球面三角形に関するルジャンドルの定理を連続曲率を持つ任意の曲面上の測地三角形に一般化します。彼は、「十分に小さい」測地線三角形の角度は、三角形の内部の表面の挙動に関係なく、三角形の頂点における表面曲率の値のみに依存する形で、同じ辺を持つ平面三角形の角度からずれることを発見した。[ 163 ]
1828年のガウスの論文には測地曲率の概念が欠けている。しかし、おそらく1822年から1825年に書かれた未発表の原稿の中で、彼は「側面曲率」（ドイツ語: "Seitenkrümmung"）という用語を導入し、等長変換の下でのその不変性を証明した。この結果は後にフェルディナント・ミンディングによって得られ、1830年に彼によって発表された。このガウスの論文には、全曲率に関する彼の補題の中核だけでなく、 1848年にピエール・オシアン・ボネによって発見され証明された、ガウス・ボネの定理として知られるその一般化も含まれている。[ 164 ]
ガウスの生涯中、ユークリッド幾何学の平行線公準は盛んに議論された。[ 165 ]ユークリッド公理の枠組みでそれを証明しようと多くの試みがなされたが、一部の数学者は平行線公準のない幾何学体系の可能性について議論した。[ 166 ]ガウスは1790年代から幾何学の基礎について考えていたが、平行線公準のない非ユークリッド幾何学でこの問題を解決できることに気づいたのは1810年代になってからだった。[ 167 ] [ 165 ] 1824年のフランツ・タウリヌスへの手紙で、彼は「非ユークリッド幾何学」と名付けたものの簡潔で分かりやすい概要を示したが、 [ 168 ]タウリヌスがそれを使用することを強く禁じた。[ 167 ]ガウスは非ユークリッド幾何学を最初に発見し研究した人物として認められており、その用語も彼が作ったとされている。[ 169 ] [ 168 ] [ 170 ]
数学史における非ユークリッド幾何学に関する最初の出版物は、1829年にニコライ・ロバチェフスキー、 1832年にヤーノシュ・ボヤイによって書かれた。 [ 166 ]その後、ガウスはこのテーマに関する考えを書いたが、それを発表しなかったため、当時の科学的な議論に影響を与えることはなかった。[ 167 ] [ 171 ]ガウスは、父であり大学の友人でもあるファルカス・ボヤイへの手紙の中で、ヤーノシュ・ボヤイの考えを称賛し、それが数十年前の自分の考えと一致していると主張した。[ 172 ] [ 167 ] [ 173 ]しかし、ガウスの書いた記述は曖昧で不明瞭であるため、彼がロバチェフスキーやボヤイにどの程度先行していたかははっきりしない。[ 166 ]
ザルトリウスは1856年にガウスの非ユークリッド幾何学に関する研究について初めて言及したが、ガウスの遺稿が『全集』第8巻（1900年）に収録されて初めて、非ユークリッド幾何学がまだ議論の的となっていた時代に、ガウスのこの問題に関する考えが明らかになった。[ 167 ]
ガウスは、位相幾何学、あるいは生前は「Geometria Situs」と呼ばれていた分野の初期の先駆者でもあった。1799年の代数学の基本定理の最初の証明には、本質的に位相幾何学的な議論が含まれていた。50年後、彼はこの定理の4番目の証明で位相幾何学的な議論をさらに発展させた。[ 174 ]
1804年、天文学の研究中に、彼は彗星や小惑星が現れる可能性のある天球上の領域の境界を決定し、それを「黄道帯」と名付けた際に、位相幾何学的な概念に再び遭遇した。地球と彗星の軌道が関連している場合、位相幾何学的な理由から黄道帯は球全体になることを発見した。1848年、小惑星7イリスの発見に関連して、彼は黄道帯に関するさらなる定性的な議論を発表した。[ 175 ]
1820年から1830年にかけてのガウスの手紙では、彼は『幾何学的位置』と密接な関係にあるテーマについて深く考え、この分野における意味論的な難しさを次第に自覚するようになった。この時期の断片からは、彼が「トラクト図形」を分類しようとしていたことがわかる。トラクト図形とは、有限個の横断的な自己交差を持つ閉じた平面曲線であり、結び目の平面投影である場合もある。[ 176 ]そのため、彼はある意味でトラクト図形の特徴を捉えた記号体系、ガウス符号を考案した。 [ 177 ] [ 178 ]
1833年の断片の中で、ガウスは2つの空間曲線の連結数をある二重積分によって定義し、そうすることで位相現象の解析的定式化を初めて提供した。同じ趣旨で、彼は『幾何学的位置』の進展が乏しいことを嘆き、その中心的な問題の一つは「2つの閉じた曲線または無限曲線の絡み合いを数えること」になるだろうと述べている。その時期の彼のノートからは、彼が組紐や絡み合いなどの他の位相的対象についても考えていたことがわかる。[ 175 ]
ガウスが晩年に、高く評価していたトポロジーという新興分野に与えた影響は、メビウスやリスティングへの時折の発言や口頭でのやり取りを通してのものでした。[ 179 ]
ガウスは複素数の概念を応用して、よく知られた問題を新しい簡潔な方法で解決しました。例えば、1836年の三元形式の幾何学的側面と結晶学への応用に関する短いメモ[ 180 ]の中で、彼は複素数を用いて3次元立方体を2次元平面上に完全に正確に表現する方法を示す軸測の基本定理を述べました[ 181 ] 。彼はこの球の回転を拡張複素平面上の特定の線形分数変換の作用として記述し[ 182 ] 、三角形の高さは常に1つの垂心で交わるという幾何学的定理の証明を与えました[ 183 ] 。
ガウスは数十年にわたり、ジョン・ネイピアの「ペンタグラマ・ミリフィクム」（ある種の球面五芒星）に関心を寄せていました。 [ 184 ]彼は様々な観点からそれに取り組み、徐々にその幾何学的、代数的、解析的な側面を完全に理解するようになりました。[ 185 ]特に、1843年には、平面上の楕円関数、ネイピア球面五角形、ポンセレット五角形を結びつけるいくつかの定理を述べ、証明しました。[ 186 ]
さらに、彼は与えられた四角形の内側に最大の面積の楕円を構築する問題に対する解決策を提供し、[ 187 ] [ 188 ]五角形の面積の計算に関する驚くべき結果を発見した。[ 189 ] [ 190 ]
1801 年 1 月 1 日、イタリアの天文学者ジュゼッペ・ピアッツィは、いわゆるティティウス・ボーデの法則に従って火星と木星の間にある長らく探し求められていた惑星であると推定した新しい天体を発見し、それをケレスと名付けた。[ 191 ]彼は太陽の眩しさの後ろに隠れるまでの短い時間しか追跡できなかった。当時の数学的手法では、入手可能なわずかなデータからその再出現の位置を予測するには不十分だった。ガウスはこの問題に取り組み、1801 年 12 月に再発見される可能性のある位置を予測した。12月 7 日と 31 日にゴータでフランツ・クサヴァー・フォン・ザッハが、また独立して1 月 1 日と 2 日にブレーメンでハインリヒ・オルバースが予測された位置の近くでその天体を特定したとき、この予測は 0.5 度以内の精度であることが判明した。[ 192 ] [ v ]
ガウスの方法では8次の方程式が得られ、そのうちの1つの解である地球の軌道が既知である。次に、物理条件に基づいて、求められている解が残りの6つから分離される。この研究において、ガウスは、その目的のために考案した包括的な近似法を使用した。[ 193 ]
ケレスの発見は、ガウスを巨大惑星によって擾乱される小惑星の運動の理論へと導き、最終的に1809年に『Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum』として出版された。[ 194 ]この理論はガウスの重力定数を導入した。[ 39 ]
新しい小惑星が発見されて以来、ガウスはそれらの軌道要素の摂動の研究に専念した。まず、ラプラスと同様の解析的手法でケレスを調べたが、彼のお気に入りの対象はパラスであった。パラスの軌道離心率と軌道傾斜角が非常に大きいため、ラプラスの手法は適用できなかったからである。ガウスは独自のツール、すなわち算術幾何平均、超幾何関数、そして補間法を用いた。[ 195 ] 1812年に木星との軌道共鳴が18:7の比率であることを発見した。ガウスはこの結果を暗号として発表し、オルバースとベッセルへの手紙でのみその意味を明確にした。[ 196 ] [ 197 ] [ w ]長年の研究の後、1816年にガウスは満足のいく結果が得られないまま研究を終えた。これが彼の理論天文学における活動の終焉となった。[ 199 ]
ガウスのパラス摂動に関する研究の成果の一つは、後に「楕円環法」として知られるようになった理論天文学の方法論に関する『 Determinatio Attractionis...』 （1818年）であった。これは、軌道上の惑星を、惑星が対応する軌道弧をたどるのにかかる時間に比例する質量密度を持つ仮想の環に置き換えるという平均化の概念を導入した。 [ 200 ]ガウスは、このような楕円環の重力引力を評価する方法を提示しており、これにはいくつかのステップが含まれる。そのうちの1つは、楕円積分を計算するために算術幾何平均（AGM）アルゴリズムを直接適用することである。[ 201 ]
ガウスの理論天文学への貢献が終わった後も、観測天文学におけるより実践的な活動は続き、彼の生涯を通じて彼をその活動に没頭させた。1799年には早くも、ガウスは月視差を用いた経度の決定に取り組み、当時一般的に用いられていたものよりも便利な公式を開発した。[ 202 ]天文台の所長に任命された後、彼はベッセルと連絡を取り合い、基本的な天文学定数を重視した。ガウス自身は章動と光行差、太陽座標、屈折の表を提供した。[ 203 ]彼は球面幾何学に多くの貢献をし、この文脈で星による航法に関するいくつかの実際的な問題を解決した。[ 204 ]彼は主に小惑星と彗星に関する多数の観測を発表し、最後の観測は1851年7月28日の日食であった。[ 205 ]
ガウスが博士論文に続いて最初に発表した論文は、初歩的な数学のテーマである復活祭の日付の決定（1800年）に関するものでした。ガウスは、教会や天文学の年代学の知識がない人にも分かりやすいアルゴリズムを提示することを目指し、黄金数、エパクト、太陽周期、ドメニカルレターなどの一般的な用語や宗教的な意味合いを避けました。[ 206 ]このテーマの選択には、おそらく歴史的な背景があったと思われます。ユリウス暦からグレゴリオ暦への移行は、 16世紀以来神聖ローマ帝国で混乱を引き起こしており、ドイツでは1700年に11日の差が解消されるまで完了していませんでした。その後も、プロテスタントとカトリックの地域ではイースターの日付が異なっていたが、1776年に合意によってこの違いは解消された。ブラウンシュヴァイク公国などのプロテスタント諸国では、ガウスの誕生の5週間前の1777年のイースターが、新しい方法で計算された最初のイースターとなった。[ 207 ]
ガウスは、ケレスの軌道を計算する際に測定誤差の影響を最小限に抑えるために最小二乗法を使用した可能性が高い。 [ 94 ]この方法は1805年にアドリアン＝マリー・ルジャンドルによって最初に発表されたが、ガウスは『運動理論』（1809年）で、1794年か1795年から使用していたと主張した。 [ 208 ] [ 209 ] [ 210 ]統計学の歴史において、この意見の相違は「最小二乗法の発見に関する優先権論争」と呼ばれている。[ 94 ]ガウスは、2部構成の論文『組み合わせ観測誤差最小化法』（1823年）で、この方法が正規分布誤差の仮定の下で線形不偏推定量のクラス内で最小の標本分散を持つことを証明した（ガウス＝マルコフの定理） 。[ 211 ]
最初の論文で、彼は単峰分布に対するガウスの不等式（チェビシェフ型の不等式）を証明し、4次モーメントに対する別の不等式（ガウス・ウィンクラーの不等式の特殊な場合）を証明なしで述べた。[ 212 ]彼は標本分散の分散の下限と上限を導出した。2番目の論文で、ガウスは自身が発見した再帰的最小二乗法について説明した。[ 213 ]ガウスの誤差理論に関する研究は、測地学者フリードリヒ・ロベルト・ヘルメルトによってガウス・ヘルメルトモデルへといくつかの方向に拡張された。[ 214 ]
ガウスは、誤差理論に直接関係しない確率論の問題にも貢献した。その一例として、 (0,1)で一様分布する乱数の連分数展開におけるエントリの漸近分布を記述しようとした日記のメモがある。彼は、連分数のガウス写像のエルゴード性の発見の副産物として、現在ガウス・クズミン分布として知られるこの分布を導出した。ガウスの解は、連分数の計量理論における史上初の成果である。[ 215 ]
ガウスは1799年にカール・ルートヴィヒ・フォン・ルコックがヴェストファーレンで行った測量で計算を手伝って以来、測地学の問題に取り組んでいた。[ 216 ] 1804年からは、ブラウンシュヴァイク[ 217 ]とゲッティンゲン[ 218 ]で独学で実用的な測地学を学んだ。
1816年以来、ガウスの元教え子で、当時コペンハーゲンの教授であったハインリヒ・クリスティアン・シューマッハーは、ハンブルク近郊のアルトナ（ホルシュタイン）にある天文台の責任者として、ユトランド半島の北のスカーゲンから南のラウエンブルクまでの三角測量を行っていた。 [ x ]このプロジェクトは地図作成の基礎となっただけでなく、終点間の測地弧を決定することも目的としていた。測地弧のデータは地球のジオイドの寸法を決定するために使用され、弧の距離が長いほどより正確な結果が得られた。シューマッハーはガウスにこの作業をさらに南のハノーファー王国まで続けるよう依頼し、ガウスはしばらくためらった後、同意した。最終的に、1820年5月、国王ジョージ4世はガウスに命令を下した。[ 219 ]
弧の測定には、ネットワーク内の少なくとも 2 点の正確な天文学的決定が必要です。ガウスとシューマッハーは、ゲッティンゲンとアルトナ（シューマッハーの家の庭）の 2 つの天文台がほぼ同じ経度にあるという偶然を利用しました。緯度は、両方の機器と、両方の天文台に運ばれたラムスデンの天頂セクターを使用して測定されました。[ 220 ] [ y ]
ガウスとシューマッハーは、1818 年 10 月の測地接続のために、すでにリューネブルク、ハンブルク、ラウエンブルク間のいくつかの角度を決定していた。 [ 221 ] 1821 年から 1825 年の夏の間、ガウスは南のテューリンゲンから北のエルベ川まで、三角測量作業を自ら指揮した。ホーアー・ハーゲン、テューリンゲンの森のグローサー・インゼルスベルク、ハルツ山地のブロッケンを結ぶ三角形は、ガウスがこれまでに測定した中で最大のもので、最大サイズは107 km (66.5 マイル)であった。人口の少ないリューネブルク荒野には、目立った自然の山頂や人工の建造物はなく、適切な三角測量点を見つけるのに苦労した。時には植生を切り開いて道を作る必要があった。[ 207 ] [ 222 ]
ガウスは、指示信号のために、可動鏡と太陽光線を三角測量点に反射する小型望遠鏡を備えた新しい装置を発明し、それをヘリオトロープと名付けた。[ 223 ]同じ目的に適した別の構造は、追加の鏡を備えた六分儀であり、彼はそれを副ヘリオトロープと名付けた。[ 224 ]ガウスは、長男のヨーゼフを含むハノーファー軍の兵士たちの助けを受けた。ガウスは、1820年にハンブルク近郊のブラーク村でシューマッハーが行った基線測定（ブラーク基線）に参加し、その結果をハノーファー三角測量の評価に使用した。[ 225 ]
もう一つの結果として、地球の近似楕円体の扁平率のより良い値が得られました。[ 226 ] [ z ]ガウスは、平面図に測地データを表現するために、楕円体形状の地球の普遍的な横メルカトル図法（彼が適合投影と名付けたもの）を開発しました[ 228 ]。
弧の測定が完了すると、ガウスは1828年3月25日の勅令によりハノーファー王国全土の測量を行うため、三角測量の西への拡張を開始した。[ 229 ]実際の作業は、ジョセフ・ガウス中尉を含む3人の陸軍将校によって指揮された。完全なデータ評価はガウスの手に委ねられ、彼は最小二乗法や消去法などの数学的発明を適用した。プロジェクトは1844年に完了し、ガウスはプロジェクトの最終報告書を政府に送った。彼の投影法は1866年まで編集されなかった。[ 230 ] [ 231 ]
1828年、ガウスは緯度の違いを研究していた際に、地球の形状を重力の方向に垂直な表面として物理的に近似することを初めて定義しました。 [ 232 ]後に彼の博士課程の学生であったヨハン・ベネディクト・リスティングはこれをジオイドと呼びました。[ 233 ]
ガウスは1803年から磁気に興味を持っていた。[ 234 ] 1826年にアレクサンダー・フォン・フンボルトがゲッティンゲンを訪れた後、両科学者は地磁気に関する集中的な研究を開始し、一部は独立して、一部は実りある協力関係を築いた。[ 235 ] 1828年、ガウスはベルリンで開催されたドイツ自然科学者・医師協会の会議でフンボルトの招待を受け、そこで物理学者のヴィルヘルム・ウェーバーと知り合った。[ 236 ]
1831年、ガウスの推薦によりウェーバーがヨハン・トビアス・マイヤーの後任としてゲッティンゲン大学の物理学教授に就任すると、両者は実りある共同研究を開始し、質量、電荷、時間で磁気の単位を表す新しい磁気の知識をもたらした。 [ 237 ]彼らは、複数の観測所からなる国際的な作業グループである磁気協会（ドイツ語：Magnetischer Verein ）を設立し、 1836年から1841年にかけて、定められた日に、同等の方法を用いて世界の多くの地域で地球の磁場の測定を行った。[ 238 ]
1836年、フンボルトは当時王立協会の会長であったサセックス公爵に宛てた手紙で、イギリス領内に地磁気観測所の世界的ネットワークを設立することを提案し、自身の方法を用いて標準化された条件下で磁気測定を行うべきだと提唱した。 [ 239 ] [ 240 ]他の提唱者たちと共に、これはエドワード・サビーヌの指揮の下、「磁気十字軍」として知られる世界的なプログラムにつながった。観測の日付、時刻、間隔は事前に決定され、ゲッティンゲン平均時が標準として使用された。[ 241 ] 5大陸すべてに61の観測所がこの世界的なプログラムに参加した。ガウスとウェーバーは結果を出版するためのシリーズを設立し、1837年から1843年の間に6巻が編集された。1843年にゲッティンゲン七人事件の余波でウェーバーがライプツィヒに去ったことで、磁気協会の活動は終焉を迎えた。[ 238 ]
フンボルトの例に倣い、ガウスは天文台の庭に磁気観測所を建設するよう命じたが、科学者たちは計測機器について意見が分かれた。ガウスはより正確な結果が得られると考え、固定式の機器を好んだが、フンボルトは可動式の機器に慣れていた。ガウスは磁気偏角、傾斜角、強度の時間的・空間的変化に興味を持ち、フンボルトとは異なり、「水平」強度と「垂直」強度を区別した。ウェーバーと共に、彼は磁場強度の成分を測定する方法を開発し、装置に依存する相対値ではなく、地球の磁場強度の絶対値を測定できる適切な磁力計を構築した。 [ 238 ] [ 242 ]この磁力計の精度は、それまでの機器の約10倍であった。この研究により、ガウスは基本的な力学的量から非力学的量を導出した最初の人物となった。[ 241 ]彼はポテンシャル場を記述する手法として球面調和解析を考案し、地球の磁場の大部分が内部源に由来することを示した。[ 243 ] [ 244 ]
ガウスは、磁力の性質を説明すると考えた『地球磁気の一般理論』 （1839年）を発表しました。フェリックス・クラインによれば、この研究は物理理論というよりは、球面調和関数を用いた観測結果の提示です。 [ 245 ]この理論は地球上に正確に2つの磁極が存在することを予測したため、ハンステーンの4つの磁極という考えは時代遅れとなり、[ 246 ]データによって磁極の位置をかなり高い精度で決定することが可能になりました。[ 247 ]
ガウスはロシアの地球物理学の黎明期に影響を与え、彼の元教え子の一人であるアドルフ・テオドール・クプファーはゲッティンゲンの観測所に倣ってサンクトペテルブルクに磁気観測所を設立し、同様にイワン・シモノフもカザンに磁気観測所を設立した。[ 246 ]
ハンス・クリスチャン・エルステッドの電磁気学の発見とマイケル・ファラデーの電磁誘導の発見は、ガウスの注意をこれらの問題に向けさせた。[ 248 ]ガウスとウェーバーは分岐電気回路の法則を発見し、それは後にグスタフ・キルヒホフによって独立に発見され、最初に発表され、キルヒホフの回路法則として彼の名にちなんで名付けられた。 [ 249 ]また、電磁気学の研究も行った。彼らは1833年に最初の電気機械式電信機を製作し、ウェーバー自身はゲッティンゲン市街中心部の物理学研究所と天文台を接続したが、この発明をそれ以上商業的に利用することはなかった。[ 250 ] [ 251 ]
ガウスの電磁気学における主な理論的関心は、電磁誘導を支配する定量的法則を定式化しようとする試みに反映されている。この時期のノートには、いくつかの革新的な定式化が記録されている。彼はベクトルポテンシャル関数を発見し、これは1845年にフランツ・エルンスト・ノイマンによって独立に再発見された。また、1835年1月には、ファラデーの法則に相当する「誘導法則」を書き留めた。この法則は、空間内の特定の点における起電力は、この関数の瞬間的な変化率（時間に関して）に等しいと述べている。[ 252 ] [ 253 ]
ガウスは、ニュートンの万有引力の法則に匹敵する、静電気、電気力学、電磁気学、誘導の長距離効果を統一する法則を見つけようと試みたが、 [ 254 ]その試みは「悲劇的な失敗」に終わった。[ 241 ]
アイザック・ニュートンが地球や回転する恒星が非球形であることを理論的に示したことから、楕円体の引力の問題は数理天文学において重要性を増した。ガウスはポテンシャル理論に関する最初の著作「Theoria attractionis...」（1813年）で、均質な三軸楕円体の空間のあらゆる点における重力引力の閉形式表現を与えた。 [ 255 ]マクローリン、ラプラス、ラグランジュのこれまでの研究とは対照的に、ガウスの新しい解法は楕円積分の形で引力をより直接的に扱った。その過程で、彼はベクトル解析におけるいわゆるガウスの定理のいくつかの特殊な場合も証明し、応用した。[ 256 ]
ガウスは、距離の二乗に反比例して作用する引力と斥力に関する一般定理（1840年）において、ラグランジュ、ラプラス、ポアソンに基づいて磁気ポテンシャルの基本理論を提示した。 [ 245 ]彼がこの主題に関するジョージ・グリーンの以前の研究を知っていた可能性は低いと思われる。 [ 248 ]しかし、ガウスは磁気の理由を何も提示できず、ニュートンの重力に関する研究に似た磁気理論も提示できず、科学者が将来の地磁気効果を予測できるような理論も提示できなかった。[ 241 ]
ガウスの計算により、ハンブルクの計器製作者ヨハン・ゲオルク・レプゾルトは1810年に新しい無色収差レンズシステムを構築することができた。主な問題は、他の困難の中でも、使用されたガラスの屈折率と分散が正確にはわかっていなかったことである。 [ 257 ] 1817年の短い記事で、ガウスは二重レンズの色収差の除去の問題を取り上げ、それを最小にするために必要な形状と屈折率の調整を計算した。彼の研究は光学技師カール・アウグスト・フォン・シュタインハイルによって注目され、彼は1860年にガウスの計算に部分的に基づく無色収差シュタインハイル二重レンズを導入した。[ 258 ]幾何光学における多くの成果は、ガウスの書簡や手書きのメモに散在している。[ 259 ]
ガウスは『屈折力学の研究』 （1840年）において、近軸近似（ガウス光学）の下での像の形成について初めて体系的な解析を行った。 [ 260 ]彼は光学系を近軸近似の下でその基本点のみで特徴づけ、[ 261 ]レンズの厚さに関して制限なく適用できるガウスレンズの公式を導出した。 [ 262 ] [ 263 ]
ガウスの力学における最初の研究は地球の自転に関するものであった。1802年に彼の大学時代の友人であるベンツェンベルクが、落下する物体の垂直方向からのずれ（今日ではコリオリ力として知られているもの）を測定する実験を行った際、実験値と比較するために、理論に基づいた計算をガウスに依頼した。ガウスは運動に関する一連の基本方程式を考案し、その結果はベンツェンベルクのデータと十分に一致した。ベンツェンベルクはガウスの考察を落下実験に関する著書の付録として加えた。[ 264 ]
フーコーが1851年に振り子実験で地球の自転を公開で実証した後、ゲルリングはガウスにさらなる説明を求めた。これがきっかけとなり、ガウスはフーコーのものよりはるかに短い振り子を使った新しい実証装置を設計した。振動は、垂直スケールと振り子に固定された鏡を備えた読書用望遠鏡で観察された。これはガウスとゲルリングの往復書簡に記載されており、ウェーバーは1853年にこの装置でいくつかの実験を行ったが、データは公表されなかった。[ 265 ] [ 266 ]
1829年のガウスの最小拘束の原理は、ダランベールの原理とラグランジュの仮想仕事の原理を組み合わせ、最小二乗法との類似性を示し、力学を静力学と動力学に分けることを克服するための一般的な概念として確立された。[ 267 ]
1828年、ガウスはハノーファー王国の度量衡局長に任命された。彼は長さと尺度の基準を作成した。ガウス自身が時間のかかる測定を担当し、機械構造の詳細な指示を出した。[ 207 ]この件に取り組んでいたシューマッハーとの書簡の中で、彼は高精度秤の新しいアイデアについて説明した。[ 268 ]彼は1841年にハノーファーのフィートとポンドに関する最終報告書を政府に提出した。この研究は、ハノーファーの尺度をイギリスの尺度と関連付けた1836年の法律により、国際的に重要なものとなった。[ 207 ]
ガウスは、アイザック・ニュートンやアルキメデスと並んで、史上最も偉大な数学者3人のうちの1人としてしばしば挙げられる。[ 269 ] [ 270 ] [ 271 ] [ 272 ]彼は「数学の王子」と呼ばれている。[ 273 ]
数学者のフェリックス・クラインによれば、ドイツで最も偉大な数学者は誰かと尋ねられたとき、フランスの博学者ピエール＝シモン・ラプラスは「プファフ」と答えたという。質問者がガウスの名前を挙げなかったことに驚きを示すと、ラプラスは「ああ、ガウスはヨーロッパで最も偉大な数学者だ」と答えた。[ 274 ]
数学者で天文学者のヘンリー・ジョン・スティーブン・スミスはガウスをニュートンに次ぐ2位にランク付けし、次のように書いています。[ 275 ]
偉大なニュートンという名を除けば（そして、この例外は偉大なガウス自身も喜んで認めたであろう）、あらゆる時代、あらゆる国の数学者の中で、ガウスほど豊かな発想力と、古代ギリシャ人さえも羨むであろう、証明における絶対的な力強さを兼ね備えた人物はいないだろう。
ガウスは1802年に初めて科学協会、ロシア科学アカデミーの会員となった。 [ 276 ]その後、ゲッティンゲン科学アカデミー（1802/1807年） [ 277 ]、フランス科学アカデミー（1804/1820年） [278 ] 、ロンドン王立協会（ 1804年） [ 279 ] 、ベルリン王立プロイセンアカデミー（1810年） [ 280 ] 、ヴェローナ国立科学アカデミー（1810年）[ 281 ] 、エディンバラ王立協会（1820年）[282]、ミュンヘン・バイエルン科学アカデミー（ 1820年）[ 283 ] 、コペンハーゲン王立デンマークアカデミー（ 1821年） [ 284 ] 、ロンドン王立天文学会から、通信会員、外国人会員、正会員の称号を授与された。 (1821)、[ 285 ]スウェーデン王立科学アカデミー( 1821)、[ 284 ]ボストンのアメリカ芸術科学アカデミー (1822)、[ 286 ]プラハのボヘミア王立科学協会 ( 1833)、 [ 287 ]ベルギー王立科学・文学・美術アカデミー(1841/1845)、[ 288 ]ウプサラ王立科学協会(1843)、[ 287 ]ダブリンのアイルランド王立アカデミー( 1843)、 [ 287 ]オランダ王立研究所(1845/1851)、[ 289 ]マドリードのスペイン王立科学アカデミー(1850)、 [ 290 ]ロシア地理学会( 1851)、[ 291 ]ウィーンの帝国科学アカデミー (1848 ) 、[ 291 ]アメリカ哲学協会（1853年）[ 292 ]ケンブリッジ哲学協会[ 291]およびハーレムの王立オランダ科学協会。 [ 293 ] [ 294 ]
カザン大学とプラハ大学哲学部は、1848年に彼を名誉会員に任命した。[ 293 ]
ガウスは、惑星の理論と、わずか3回の観測から惑星の軌道を決定する方法により、1809年にフランス科学アカデミーからラランド賞を受賞し[ 295 ] 、 1823年には等角投影に関する論文でデンマーク科学アカデミー賞を受賞し[ 287 ]、1838年には「磁気に関する発明と数学的研究」で王立協会からコプリ・メダルを受賞した[ 294 ] [ 296 ] [ 39 ] 。
ガウスは1837年にフランスのレジオンドヌール勲章の騎士に叙せられ[ 297 ] 、 1842年に設立されたプロイセンのプール・ル・メリット勲章（民間部門）の最初のメンバーの一人となった[ 298 ]。彼はヴェストファーレン王冠勲章（1810年）[ 294 ] 、デンマークのダンネブロ勲章（1817年）[ 294 ] 、ハノーファー王立ゲルフィ勲章（1815年）[ 294 ] 、スウェーデンの北極星勲章（1844年）[ 299 ] 、ハインリヒ獅子勲章（1849年）[ 299 ]、バイエルンのマクシミリアン科学芸術勲章（1853年） [ 291 ]を受章した。
ハノーファー王は彼に「Hofrath」（1816年）[ 57 ] と「Geheimer Hofrath」（ ab ）（1845年）の名誉称号を授与した。1949年、博士号取得50周年を記念して、ブラウンシュヴァイクとゲッティンゲンの両市の名誉市民権を授与された。[ 291 ]彼の死後まもなく、ハノーファー王ジョージ5世の命により、裏面に「数学者の王子に捧ぐ」と刻まれたメダルが発行された。[ 300 ]
「ゲッティンゲン・ガウス協会」は、カール・フリードリヒ・ガウスとその関連人物の生涯と業績に関する研究のために1964年に設立されました。同協会は「ガウス協会の通信」を発行しています。[ 301 ]
ゲッティンゲン科学アカデミーは、カール・フリードリヒ・ガウスの既知の書簡の完全なコレクションをオンラインで提供しています。[ 40 ]文学遺産はゲッティンゲン州立大学図書館によって保管および提供されています。[ 302 ]カール・フリードリヒ・ガウスとその家族の文書資料は、ブラウンシュヴァイク市の公文書館でも見つけることができます。[ 303 ]
![{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffa94e9e2e6d9e5e5373d5fafb954b902743fde)
