ディリクレ関数

数学において、ディリクレ関数^{[1] [2]は、}有理数の集合、すなわちxが有理数である場合とxが有理数でない場合（つまり無理数である場合）の指示関数 である。 ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)=1}$${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)=0}$$${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)={\begin{cases}1&x\in \mathbb {Q} \\0&x\notin \mathbb {Q} \end{cases}}}$$

これは数学者ピーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレにちなんで名付けられました。^[3]これは多くの状況に反例を提供する 病的な関数の例です。

任意の実数xと任意の正の有理数Tに対して、 。したがって、ディリクレ関数は、定数ではないが、周期の集合、つまり有理数の集合が の稠密な部分集合である実周期関数の例です。 ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x+T)=\mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

• トーマエ関数は、有理数のみで不連続となる変分である。