横断性定理

微分位相幾何学において、横断性定理は、フランスの数学者ルネ・トムにちなんでトム横断性定理とも呼ばれ、滑らかな写像の滑らかな族の横断交差特性を記述する重要な結果である。横断性は一般的な特性であり、任意の滑らかな写像は、任意の小さな量で変形して、特定の部分多様体に横断する写像にすることができるとしている。ポンチャギン–トム構成とともに、これはコボルディズム理論の技術的な中核であり、手術理論の出発点である。横断性定理の有限次元バージョンは、有限個の実パラメータに依存し、非線形方程式系を使用して表現可能な特性の一般性を確立するための非常に便利なツールでもある。これは、横断性定理の無限次元バージョンを使用して無限次元パラメータ化に拡張できる。 ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$${\displaystyle Z\subseteq Y}$

を滑らかな多様体間の滑らかな写像とし、を の部分多様体とする。が に直交し、 と表記される場合、任意の に対して が成り立つときのみ、 がに直交するという。 ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle f\pitchfork Z}$${\displaystyle x\in f^{-1}\left(Z\right)}$

${\displaystyle \operatorname {im} \left(df_{x}\right)+T_{f\left(x\right)}Z=T_{f\left(x\right)}Y}$。

横断性に関する重要な結果は、滑らかな写像が を横断する場合、 はの正則部分多様体であるということです。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle f^{-1}\left(Z\right)}$${\displaystyle X}$

が境界 を持つ多様体である場合、写像の境界への制限を と定義できます。写像は滑らかであり、前の結果を拡張して述べることができます。と の両方が である場合、 は境界 を持つの正則部分多様体であり、 ${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \partial f\colon \partial X\rightarrow Y}$${\displaystyle \partial f}$${\displaystyle f\pitchfork Z}$${\displaystyle \partial f\ピッチフォーク Z}$${\displaystyle f^{-1}\left(Z\right)}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \partial f^{-1}\left(Z\right)=f^{-1}\left(Z\right)\cap \partial X}$。

写像 を考えてを定義します。これにより、写像 の族が生成されます。 が(滑らかな) 多様体であり が滑らかであると仮定して、族が滑らかに変化することを要求します。 ${\displaystyle F\colon X\times S\rightarrow Y}$${\displaystyle f_{s}\left(x\right)=F\left(x,s\right)}$${\displaystyle f_{s}\colon X\rightarrow Y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle F}$

パラメトリック横断性定理の記述は次のとおりです。

が多様体の滑らかな写像であり、 のみが境界を持ち、 が境界を持たない の任意の部分多様体であるとします。と の両方が を横断する場合、ほぼすべての に対して、と の両方がを横断します。 ${\displaystyle F\colon X\times S\rightarrow Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \partial F}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle f_{s}}$${\displaystyle \partial f_{s}}$${\displaystyle Z}$

上記のパラメトリック横断定理は、多くの基本的な応用には十分です (Guillemin と Pollack の著書を参照)。

パラメトリック横断性定理を意味し、より高度なアプリケーションに必要とされる、 より強力なステートメント (総称して横断性定理と呼ばれる) があります。

非公式には、「横断性定理」は、与えられた部分多様体に横断的な写像の集合は写像の集合の稠密な開集合（または、場合によっては稠密な のみの）であると述べています。このような記述を正確にするには、検討中の写像の空間と、その中の位相を定義する必要があります。いくつかの可能性があります。Hirsch の書籍を参照してください。 ${\displaystyle G_{\delta}}$

トムの横断定理によって通常理解されるのは、ジェット横断性に関するより強力なステートメントです。Hirsch および Golubitsky と Guillemin の著書を参照してください。元の参考文献は、Thom, Bol. Soc. Mat. Mexicana (2) 1 (1956)、pp. 59–71 です。

ジョン・マザーは1970 年代に、マルチジェット横断定理と呼ばれるさらに一般的な結果を証明しました。ゴルビツキーとギルマンの著書を参照してください。

横断性定理の無限次元バージョンでは、多様体がバナッハ空間でモデル化される可能性があることを考慮に入れています。^{[引用が必要]}

は -バナッハ多様体の写像であると仮定します。以下を仮定します。 ${\displaystyle F:X\times S\to Y}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle C^{\infty}}$

(i)およびは、体上のチャート空間を持つ、空でない距離化可能なバナッハ多様体である。${\displaystyle X,S}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle C^{\infty}}$${\displaystyle \mathbb {K} .}$

(ii)を持つ-mapには、正規の値としてがあります。${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle F:X\times S\to Y}$${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle y}$

(iii) 各パラメータ に対して、写像はフレドホルム写像であり、任意の${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle f_{s}(x)=F(x,s)}$${\displaystyle \operatorname {ind} Df_{s}(x)<k}$${\displaystyle x\in f_{s}^{-1}(\{y\}).}$

(iv)およびに対する収束は、に対する収束部分列の存在を意味する。${\displaystyle s_{n}\to s}$${\displaystyle S}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle F(x_{n},s_{n})=y}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{n}\to x}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle x\in X.}$

(i)-(iv)が成り立つ場合、各パラメータに対しての正規の値となるような開集合が存在する。${\displaystyle S_{0}\subset S}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f_{s}}$${\displaystyle s\in S_{0}.}$

ここで、要素を固定します。のすべての解に対してとなる数が存在する場合、解の集合は- 次元-バナッハ多様体で構成されるか、解の集合は空になります。 ${\displaystyle s\in S_{0}.}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle \operatorname {ind} Df_{s}(x)=n}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f_{s}(x)=y}$${\displaystyle f_{s}^{-1}(\{y\})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle C^{k}}$

のすべての解に対して の開いた稠密な部分集合が存在し、各固定パラメータに対して最大で有限個の解が存在することに注意してください。さらに、これらの解はすべて正規です。 ${\displaystyle \operatorname {ind} Df_{s}(x)=0}$${\displaystyle f_{s}(x)=y,}$${\displaystyle S_{0}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle s\in S_{0}.}$

• アーノルド、ウラジミール I. (1988)。常微分方程式の理論における幾何学的手法。シュプリンガー。ISBN 0-387-96649-8。
• ゴルビツキー、マーティン、ギユマン、ビクター (1974)。安定マッピングとその特異点。シュプリンガー出版。ISBN 0-387-90073-X。
• ギユマン、ビクター、ポラック、アラン (1974)。微分位相幾何学。プレンティス・ホール。ISBN 0-13-212605-2。
• ハーシュ、モリス W. (1976)。微分位相幾何学。シュプリンガー。ISBN 0-387-90148-5。
• トム、ルネ（1954年）。 「微分可能性の世界的な多様性」。数学ヘルヴェティチの解説。28 (1): 17-86。土井：10.1007/BF02566923。
• トム、ルネ（1956年）。 「アプリケーションの差別化を可能にする」。ボル。社会マット。メキシカーナ。2 (1): 59-71。
• Zeidler, Eberhard (1997).非線形関数解析とその応用: パート 4: 数理物理学への応用. Springer. ISBN 0-387-96499-1。