シュリニヴァーサ・ラマヌジャン

シュリニヴァーサ・ラマヌジャン・アイエンガー^{[ a ]}（1887年12月22日- 1920年4月26日）は、20世紀初頭に活躍したインドの数学者。数学解析、数論、無限級数、連分数に多大な貢献をし、当時解決不可能と考えられていた数学的問題の解法も行った。 

ラマヌジャンは当初、孤立した状態で独自の数学研究を進めていた。ハンス・アイゼンクによれば、「彼は一流の数学者たちに自分の研究に興味を持ってもらおうとしたが、ほとんど失敗に終わった。彼が示そうとしたものはあまりにも斬新で、馴染みがなく、さらに変わった方法で提示されていたため、彼らは気にも留めなかった」^{[ 1 ]。}自分の研究をよりよく理解できる数学者を求めて、1913年にケンブリッジ大学のイギリスの数学者GHハーディと文通を始めた^{[ 2 ]}。ラマヌジャンの研究が並外れたものだと認識したハーディは、彼がケンブリッジに旅行できるよう手配した。ハーディはメモの中で、ラマヌジャンが画期的な新しい定理を生み出したと述べており、その中には「私を完全に打ち負かした。私はこれまでそのようなものを少しも見たことがなかった」^{[ 3 ]}ものや、最近証明されたばかりの非常に高度な結果も含まれている。

ラマヌジャンは生涯を通じて、独自に約 3,900 もの結果 (主に恒等式と方程式) をまとめました。^{[ 4 ]}その多くは完全に斬新なものでした。ラマヌジャン素数、ラマヌジャン シータ関数、分割公式、モック シータ関数など、彼の独創的で非常に型破りな結果は、まったく新しい研究分野を開拓し、さらなる研究を促しました。^{[ 5 ]}彼の 1000 万もの結果のうち、ほとんどが正しいことが証明されています。^{[ 6 ]} ラマヌジャンに影響を受けた数学のあらゆる分野の研究を発表するために、科学雑誌であるラマヌジャン ジャーナルが設立されました。^{[ 7 ]}また、彼のノート (発表済みおよび未発表の結果の要約を含む) は、彼の死後数十年にわたり、新しい数学的アイデアの源として分析および研究されてきました。 2012年になっても、研究者たちは、彼の著作にある「単純な性質」や「類似の結果」といった特定の発見に関する単なるコメントが、彼の死後ほぼ1世紀もの間疑われることのなかった、深遠で微妙な数論の結果であることを発見し続けている。^{[ 8 ] [ 9 ]}彼は王立協会の最年少フェローの1人となり、インド人としては2人目の会員、そしてケンブリッジ大学トリニティ・カレッジのフェローに選出された最初のインド人となった。

1919年、ラマヌジャンは体調不良（現在では、何年も前に罹患した赤痢の合併症である肝アメーバ症と考えられている）のためインドへ帰国せざるを得なくなり、1920年に32歳で亡くなった。1920年1月にハーディに宛てた最後の手紙からは、彼が依然として新しい数学的アイデアや定理を生み出し続けていたことがわかる。彼の「失われたノート」には、晩年の発見が記されており、1976年に再発見された際には数学者たちの間で大きな興奮を巻き起こした。

ラマヌジャン（文字通り「ヒンドゥー教の神ラーマの弟」）^{[ 10 ] は}、1887 年 12 月 22 日、イギリス統治下のインドで、現在のタミル ナードゥ州エロードのタミル バラモンアイエンガル家に生まれました。^{[ 11 ]}彼の父、クップスワミ スリニヴァサ アイエンガルは、もともとタンジャヴール地区出身で、サリーショップの事務員として働いていました。^{[ 12 ] [ 13 ]}彼の母、コマラタンマルは主婦で、地元の寺院で歌を歌っていました。^{[ 14 ]}彼らはクンバコナムの町のサランガパニ サンニディ ストリートにある小さな伝統的な家に住んでいました。^{[ 15 ]}この家族の家は後に博物館になりました。ラマヌジャンが 1 歳半のとき、彼の母は息子サダゴパンを出産しましたが、3 か月も経たないうちに亡くなりました。 1889年12月、ラマヌジャンは天然痘にかかったが回復した。彼は母親とともに、マドラス（現在のチェンナイ）近郊のカンチプラムにある母方の実家へ移り住んだ。母親は1891年と1894年にさらに2人の子供を出産したが、どちらも1歳の誕生日を迎える前に亡くなった。^{[ 10 ]}

1892 年 10 月 1 日、ラマヌジャンは地元の学校に入学しました。^{[ 16 ]}母方の祖父がカンチプラムの裁判所職員の職を失った後、^{[ 17 ]}ラマヌジャンと母親はクンバコナムに戻り、彼はカンガヤン小学校に入学しました。^{[ 18 ]}父方の祖父が亡くなると、彼は当時マドラスに住んでいた母方の祖父母のもとに送り返されました。彼はマドラスの学校が好きではなく、出席を避けようとしました。彼の家族は彼が学校に出席するように地元の巡査を雇いました。6 か月以内に、ラマヌジャンはクンバコナムに戻りました。^{[ 18 ]}

ラマヌジャンの父親はほとんど一日中仕事で家を空けていたため、母親が息子の面倒を見て、二人は親密な関係を築いていた。母親から、伝統やプラーナ、宗教歌の歌い方、寺院でのプージャへの参加、特定の食習慣の維持など、バラモン文化のすべてについて学んだ。^{[ 19 ]}カンガヤン小学校では、ラマヌジャンは優秀な成績を収めた。1897年11月、10歳になる直前に、英語、タミル語、地理、算数の初等試験に地区最高の成績で合格した。^{[ 20 ]}その年、ラマヌジャンはタウン高等中学校に入学し、そこで初めて正式な数学に触れた。^{[ 20 ]}

11歳で神童と呼ばれた彼は、自宅に下宿していた2人の大学生の数学の知識を使い果たした。その後、SL Loneyが書いた高度な三角法の本を借りた。^{[ 21 ] [ 22 ]}彼は13歳までにこれをマスターし、独学で高度な定理を発見した。14歳までに、彼は学校生活を通して功労賞や学業賞を受賞し、1,200人の生徒（それぞれ異なるニーズを持つ）を約35人の教師に割り当てる学校のロジスティクスを支援した。^{[ 23 ]}彼は割り当てられた時間の半分で数学の試験を完了し、幾何学と無限級数に精通していることを示した。ラマヌジャンは1902年に3次方程式の解き方を教わった。彼は後に4次方程式を解く独自の方法を開発した。1903年、彼は5次方程式を解こうとしたが、根号を使って解くことは不可能だとは知らなかった。^{[ 24 ]}

1903年、16歳のラマヌジャンは友人から図書館で『純粋および応用数学における初等的結果の概要』、GS カーの5,000の定理のコレクションを入手した。^{[ 25 ] [ 26 ]}ラマヌジャンはこの本の内容を詳細に研究したと言われている。^{[ 27 ]}翌年、ラマヌジャンは独自にベルヌーイ数を開発・研究し、オイラー・マスケローニ定数を小数点以下15桁まで計算した。^{[ 28 ]}当時の同僚たちは「彼を理解できたことはほとんどなかった」が「畏敬の念を抱いていた」と述べている。^{[ 23 ]}

ラマヌジャンは1904年にタウン高等中等学校を卒業した際、同校の校長クリシュナスワミ・アイヤーから数学のK・ランガナータ・ラオ賞を授与された。アイヤーはラマヌジャンを最高点以上の点数に値する優秀な生徒として紹介した。^{[ 29 ]}彼はクンバコナムの政府芸術大学で学ぶための奨学金を得たが、^{[ 30 ] [ 31 ]}数学に没頭しすぎて他の科目に集中できず、ほとんどの科目を落第し、その過程で奨学金を失った。^{[ 32 ]} 1905年8月、ラマヌジャンは家出をしてヴィシャーカパトナムに向かい、ラージャムンドリーに約1か月滞在した。^{[ 33 ] [ 32 ]}その後、マドラスのパチャイヤッパ大学に入学した。そこで彼は数学の試験に合格したが、興味のある問題だけを解いて残りは未解答のままにしたため、英語、生理学、サンスクリット語などの他の科目では成績が悪かった。^{[ 34 ]}ラマヌジャンは1906年12月に芸術家資格試験に不合格となり、翌年も再び不合格となった。芸術家資格を取得できなかった彼は大学を中退し、極度の貧困の中で、しばしば飢餓の瀬戸際で暮らしながら、数学の独立研究を続けた。^{[ 35 ]}

1910年、23歳のラマヌジャンとインド数学会の創設者であるV・ラマスワミ・アイヤーとの会合の後、ラマヌジャンはマドラスの数学界で認められるようになり、マドラス大学の研究者として迎え入れられることになった。^{[ 36 ]}

1909年7月14日、ラマヌジャンはジャナキ（ジャナキアンマル、1899年3月21日 - 1994年4月13日）^{[ 37 ]}と結婚した。彼女は1年前に母親がラマヌジャンのために選んだ少女で、結婚当時10歳だった。^{[ 38 ] [ 39 ] [ 40 ]}当時は、少女が幼い年齢で結婚することが取り決められるのは珍しいことではなかった。ジャナキは、マルドゥル（カルール地区）鉄道駅近くのラジェンドラム村の出身だった。ラマヌジャンの父親は結婚式には参加しなかった。^{[ 41 ]}当時一般的だったように、ジャナキは結婚後3年間、思春期を迎えるまで実家に留まった。1912年、彼女とラマヌジャンの母親はマドラスにいるラマヌジャンに合流した。^{[ 42 ]}

結婚後、ラマヌジャンは陰嚢水腫を発症した。^{[ 43 ]}この症状は、陰嚢内の詰まった液体を排出する通常の外科手術で治療できたが、彼の家族には手術費用を払う余裕がなかった。1910年1月、ある医師が無償で手術を行うことを申し出た。^{[ 44 ]}

手術が成功した後、ラマヌジャンは仕事を探した。彼は友人の家に滞在しながら、マドラス中を戸別訪問して事務職を探した。お金を稼ぐために、彼はプレジデンシー・カレッジで芸術家資格試験の準備をしている学生に家庭教師をした。^{[ 45 ]}

1910年後半、ラマヌジャンは再び病気になった。彼は自分の健康を心配し、友人のR・ラダクリシュナ・アイヤーに「（ノートを）シンガラヴェル・ムダリアール教授（パチャイヤッパ大学の数学教授）か、マドラス・クリスチャン・カレッジのイギリス人教授エドワード・B・ロスに渡してほしい」と頼んだ。^{[ 46 ]}ラマヌジャンは回復し、アイヤーからノートを受け取った後、クンバコナムからフランス領の都市ヴィルプラムへ列車で向かった。 ^{[ 47 ] [ 48 ]} 1912年、ラマヌジャンは妻と母とともにマドラスのジョージ・タウンのサイヴァ・ムタイア・ムダリ通りにある家に移り住み、そこで数ヶ月暮らした。^{[ 49 ]} 1913年5月、マドラス大学で研究職を得たラマヌジャンは、家族とともにトリプリケーンに移った。^{[ 50 ]}

数学の分野でのキャリアを追求する

1910年、ラマヌジャンはインド数学会の創設者である副徴税官V・ラマスワミ・アイヤーと出会った。 ^{[ 51 ]}アイヤーが勤務していた税務署で職を得たいと願っていたラマヌジャンは、彼に自分の数学ノートを見せた。アイヤーは後に次のように回想している。

私は[ノート]に収められた並外れた数学的成果に感銘を受けました。私は彼の才能を税務局の最下層の役職に就かせることで潰すつもりはありませんでした。^{[ 52 ]}

アイヤーはラマヌジャンをマドラスの数学者の友人たちに紹介状とともに送った。^{[ 51 ]}そのうち何人かはラマヌジャンの研究を見て、ネロールの地区長でインド数学会の秘書であるR・ラマチャンドラ・ラオに紹介状を送った。 ^{[ 53 ] [ 54 ] [ 55 ]}ラオはラマヌジャンの研究に感銘を受けたが、それが彼自身の研究であるかどうか疑った。ラマヌジャンは、ボンベイの著名な数学者であるサルダナ教授との書簡について言及しており、その中でサルダナはラマヌジャンの研究を理解できないと表明したが、彼が詐欺師ではないと結論付けた。^{[ 56 ]}ラマヌジャンの友人であるC・V・ラジャゴパラチャリは、ラマヌジャンの学術的誠実さに関するラオの疑念を払拭しようとした。ラオはラマヌジャンにもう一度チャンスを与えることに同意し、ラマヌジャンが楕円積分、超幾何級数、発散級数の理論について議論するのを聞き、最終的にラマヌジャンの才能に確信を持ったと述べた。^{[ 56 ]}ラオがラマヌジャンに何が欲しいかと尋ねると、ラマヌジャンは仕事と経済的支援が必要だと答えた。ラオは同意し、彼をマドラスに送った。ラマヌジャンはラオの経済的援助を受けて研究を続けた。アイヤーの助けもあり、ラマヌジャンはインド数学会誌に論文を発表した。^{[ 57 ]}

^{彼がその論文[ 29 ]}で最初に提起した問題の一つは、次の値を求めることだった。

${\displaystyle {\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}$

彼は6か月以上にわたって3つの号で解決策が提示されるのを待ったが、何も得られなかった。最終的にラマヌジャンは、この問題に対する不完全な解決策を自ら提供した^{[ 58 ]} 。彼の最初のノートの105ページで、無限にネストされた根号の問題を解決するために使用できる方程式を定式化した。

${\displaystyle x+n+a={\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\sqrt {\cdots }}}}}}}$

この方程式を用いると、ジャーナルに掲載された質問への答えは、 x = 2、n = 1、a = 0と設定することで得られる単純な 3 であった。^{[ 59 ]}ラマヌジャンは、ベルヌーイ数の性質に関する最初の正式な論文をジャーナルに寄稿した。彼が発見した性質の 1 つは、ベルヌーイ数( OEISのシーケンスA027642 )の分数の分母は常に 6 で割り切れるということである。彼はまた、以前のベルヌーイ数に基づいてB _nを計算する方法を考案した。これらの方法の 1 つは次のとおりである。

nが偶数でゼロでない場合、

1. B _nは分数であり、B n / n の既約分_数の分子は素数である。
2. B _nの分母には、因数 2 と 3 がそれぞれ 1 回ずつ含まれており、
3. 2 ⁿ (2 ⁿ − 1) ⁠ B _n / n ⁠は整数であり、したがって2(2 ⁿ − 1) B _nは奇数です。

ラマヌジャンは、17ページの論文「ベルヌーイ数のいくつかの性質」（1911年）の中で、3つの証明、2つの系、3つの予想を示した。^{[ 60 ]}彼の文章は当初、多くの欠陥があった。ジャーナル編集者のMTナラヤナ・アイエンガーが指摘したように、

ラマヌジャン氏の手法は簡潔かつ斬新で、その説明は明瞭さと正確さに欠けていたため、そのような知的技巧に慣れていない一般の[数学の読者]は、ほとんど理解できなかった。^{[ 61 ]}

ラマヌジャンは後に別の論文を書き、ジャーナルに問題を提供し続けた。^{[ 62 ]} 1912年初頭、彼はマドラス会計総監事務所で月給20ルピーの臨時職を得た。彼は数週間しか続かなかった。^{[ 63 ]}その任務の終わりに近づいた頃、彼はマドラス港湾局の主任会計士の下で職に応募した。

1912年2月9日付の手紙の中で、ラマヌジャンは次のように書いている。

拝啓、  貴事務所に事務員の空席があると伺い、応募させていただきたく存じます。私は高校卒業資格試験に合格し、FAまで勉強しましたが、いくつかの不運な事情によりそれ以上の勉強を続けることができませんでした。しかしながら、私は数学に全力を注ぎ、その分野の発展に努めてまいりました。もしこの職に任命されれば、自分の仕事に責任を持って取り組めると確信しております。つきましては、どうか私に任命を与えてくださいますようお願い申し上げます。^{[ 64 ]}

ラマヌジャンの応募書類には、プレジデンシー・カレッジの数学教授であるEWミドルマストの推薦状が添付されており、ミドルマストはラマヌジャンを「数学において非常に並外れた才能を持つ若者」と評した。^{[ 65 ]}応募から3週間後の3月1日、ラマヌジャンは月給30ルピーのクラスIII、グレードIVの会計事務員として採用されたことを知った。^{[ 66 ]}ラマヌジャンは職場で与えられた仕事を簡単かつ迅速にこなし、余暇には数学の研究に没頭した。ラマヌジャンの上司であるフランシス・スプリング卿と、同僚でありインド数学会の会計係でもあったS・ナラヤナ・アイヤーは、ラマヌジャンの数学への探求を奨励した。^{[ 67 ]}

ラマヌジャンは1914年3月17日に SSネヴァサ号に乗ってマドラスを出港した。 ^{[ 90 ] [ 91 ]} 4月14日にロンドンで下船すると、ネヴィルが車で彼を待っていた。4日後、ネヴィルは彼をケンブリッジのチェスタートン・ロードにある自宅に連れて行った。ラマヌジャンはすぐにリトルウッドとハーディとの研究を始めた。6週間後、ラマヌジャンはネヴィルの家を出て、ハーディの部屋から徒歩5分のウェウェルズ・コートに居を構えた。^{[ 92 ]}

ハーディとリトルウッドはラマヌジャンのノートを調べ始めた。ハーディは最初の2通の手紙でラマヌジャンから120の定理を受け取っていたが、ノートにはさらに多くの結果と定理があった。ハーディは、いくつかは間違っており、いくつかは既に発見されており、残りは新しいブレークスルーであることに気づいた。^{[ 93 ]}ラマヌジャンはハーディとリトルウッドに深い印象を与えた。リトルウッドは「少なくともヤコビ並みの実力はあると思う」とコメントし、^{[ 94 ]}ハーディは「オイラーかヤコビとしか比較できない」と述べた。^{[ 95 ]}

ラマヌジャンはケンブリッジでハーディとリトルウッドと共同研究に約5年間を費やし、そこで研究成果の一部を発表した。ハーディとラマヌジャンは性格が正反対だった。彼らの共同研究は、異なる文化、信念、そして仕事のスタイルがぶつかり合うものだった。過去数十年の間に、数学の基礎が疑問視され、数学的に厳密な証明の必要性が認識されるようになった。ハーディは無神論者であり、証明と数学的厳密さの提唱者であったのに対し、ラマヌジャンは敬虔な宗教家であり、直観と洞察に強く頼っていた。ハーディはラマヌジャンの教育の不足を補い、彼のインスピレーションを妨げることなく、結果を裏付ける形式的な証明の必要性を彼に教えようと最善を尽くしたが、これはどちらにとっても容易なことではなかった。

ラマヌジャンは、高度に合成された数に関する研究で、1916年3月に研究による文学士の学位（博士号の前身）を授与された^{[ 96 ] [ 97 ]}。その研究の最初の部分は、前年にロンドン数学会紀要に掲載されていた。論文は50ページ以上に及び、そのような数のさまざまな性質を証明していた。ハーディはこの分野を好まなかったが、それが彼が「数学の辺境」と呼ぶ領域に関わっているにもかかわらず、ラマヌジャンは「不等式の代数に対する並外れた熟練」を示したと述べている^{[ 98 ] 。}

1917年12月6日、ラマヌジャンはロンドン数学会に選出された。1918年5月2日、彼は王立協会のフェローに選出された^{[ 99 ]。}これは1841年のアルダシール・クルセトジーに次いで2人目のインド人フェローであった。31歳で選出されたラマヌジャンは、王立協会の歴史上最年少のフェローの一人であった。彼は「楕円関数と数論の研究」により選出された。1918年10月13日、彼はケンブリッジ大学トリニティ・カレッジのフェローに選出された最初のインド人となった^{[ 100 ]}。

ラマヌジャンは生涯を通じて数多くの健康問題を抱えていた。イギリスでは健康状態が悪化したが、これはおそらく、イギリスでの宗教上の厳格な食事規定を守ることの難しさや、1914年から1918年にかけての戦時中の配給制の影響で、彼の回復力が弱まっていたためだろう。彼は結核と重度のビタミン欠乏症と診断され、療養所に収容された。1917年末か1918年初めに、ロンドン地下鉄の線路に飛び込んで自殺を図った。スコットランドヤードは自殺未遂（犯罪）の容疑で彼を逮捕したが、ハーディの介入により釈放された。^{[ 101 ] [ 102 ]} 1919年、ラマヌジャンはマドラス管区のクンバコナムに戻り、1920年に32歳で亡くなった。彼の死後、弟のティルナラヤナンがラマヌジャンの残された手書きのメモをまとめた。メモには特異モジュライ、超幾何級数、連分数に関する公式が含まれていた。^{[ 42 ]}ラマヌジャンの未亡人ジャナキ・アンマルは、最晩年、激しい痛みに苦しみながらも「彼は数学を続け、何枚もの紙に数字を書き込んでいた」と語っている。^{[ 103 ]}

ラマヌジャンの死後、ジャナキ・アンマルはボンベイに移り住んだ。1931年、彼女はマドラスに戻り、トリプリケーンに居を構え、マドラス大学からの年金と仕立て屋の収入で生計を立てた。1950年、彼女はW・ナラヤナンという息子を養子に迎え、ナラヤナンは後にインド国立銀行の役員となり、家庭を築いた。晩年、彼女はラマヌジャンのかつての雇用主であるマドラス港湾公社から終身年金を、またインド国立科学アカデミーやタミル・ナードゥ州、アーンドラ・プラデーシュ州、西ベンガル州の各州政府などから年金を受け取った。彼女はラマヌジャンの思い出を大切にし続け、彼の名声を高めるための活動に積極的に参加した。ジョージ・アンドリュース、ブルース・C・ベルント、ベーラ・ボロバスといった著名な数学者たちは、インド滞在中に必ず彼女を訪ねた。彼女は1994年にトリプリケーンの自宅で亡くなった。^{[ 41 ] [ 42 ]}

1994 年に DAB Young ^{[ 102 ]}がラマヌジャンの医療記録と症状を分析し、過去の再発、発熱、肝臓の状態などの彼の医学的症状は、結核よりも、当時マドラスで蔓延していた肝アメーバ症の症状にずっと近いと結論付けた。彼はインドを離れる前に 2 回赤痢にかかった。アメーバ赤痢は適切に治療されないと何年も潜伏し、当時診断が確立されていなかった肝アメーバ症につながる可能性がある。^{[ 104 ]}当時、適切に診断されれば、アメーバ症は治療可能で、多くの場合治癒可能な病気であった。^{[ 104 ] [ 105 ]}第一次世界大戦中にアメーバ症に感染したイギリス兵は、ラマヌジャンがイギリスを離れた頃にはアメーバ症が治癒していた。^{[ 106 ]}

ラマヌジャンは、やや内気で物静かな性格で、礼儀正しく品のある人物と評されている。^{[ 108 ]}彼はケンブリッジで質素な生活を送った。^{[ 109 ]}ラマヌジャンの最初のインド人伝記作家は、彼を厳格な正統派ヒンドゥー教徒と評している。彼は自分の才能を、ナマッカルの家族の守護女神であるナマギリ・タヤール（マハラクシュミ女神）のおかげだと考えていた。彼は自分の仕事において彼女にインスピレーションを求め^{[ 110 ]} 、彼女の配偶者であるナラシンハを象徴する血の滴の夢を見たと語っている。後に彼は、複雑な数学的内容の巻物が目の前で展開する幻覚を見た。^{[ 111 ]}彼はよく「私にとって方程式は、神の考えを表現しない限り意味がない」と語っていた。^{[ 112 ]}

ハーディは、ラマヌジャンがすべての宗教は等しく真実であるように思えると述べたと引用している。^{[ 113 ]}ハーディはさらに、ラマヌジャンの宗教的信念は西洋人によってロマンチックに美化され、インドの伝記作家によって（実践ではなく信念に関して）誇張されていると主張した。同時に、彼はラマヌジャンの厳格な菜食主義について言及した。^{[ 114 ]}

同様に、ベルントはFrontlineとのインタビューで、「多くの人がラマヌジャンの数学的思考に神秘的な力があると誤って広めているが、それは真実ではない。彼はすべての結果を3冊のノートに綿密に記録しており、ラマヌジャンは中間結果をより永続的に記録するための紙を買う余裕がなかったため、石板に計算したのではないかと推測している」と述べた。^{[ 6 ]}

ベルントは、ジャナキが1984年にラマヌジャンは数学に多くの時間を費やしていたため寺院に行かず、彼女と彼女の母親が彼に食事を与えることが多かったのは彼が食事をする時間がなかったためであり、彼に帰せられる宗教的な話のほとんどは他の人から生まれたものであると述べたと報告した。しかし、彼の正統的な実践については疑いの余地はなかった。^{[ 115 ]}

数学においては、洞察と証明の定式化や実行は区別される。ラマヌジャンは、証明を伴わずに後々深く研究できる数多くの公式を提案した。GHハーディは、ラマヌジャンの発見は並外れて豊かで、しばしば一見しただけでは分からない多くの意味を含んでいると述べている。彼の研究の副産物として、新たな研究の方向性が開かれた。これらの公式の中で最も興味深い例としては、πの無限級数があり、そのうちの1つを以下に示す。

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}。}$

この結果は、負の基本判別式に基づいています。${\displaystyle d=-4\times 58=-232}$クラス番号付き${\displaystyle h(d)=2}$。 さらに遠く、${\displaystyle 26390=5\times 7\times 13\times 58}$そして$16 × 9801 = 396²$これは、

${\textstyle e^{\pi {\sqrt {58}}}=396^{4}-104.000000177\dots .}$

これは、クラス番号1を持ち、同様の式が得られるヒーグナー数と比較できるかもしれない。

ラマヌジャンのπの級数は非常に速く収束し、 πを計算するために使用される最速のアルゴリズムのいくつかの基礎を形成します。和を最初の項で打ち切ると、次の近似値も得られます。${\displaystyle {\frac {9801{\sqrt {2}}}{4412}}}$πの場合、小数点以下 6 桁まで正確です。最初の 2 項に切り捨てると、小数点以下 14 桁まで正確な値が得られます。

ラマヌジャンの特筆すべき能力の一つは、問題を迅速に解決する能力であり、 PCマハラノビスが提起したある事件に関する以下の逸話がそれをよく示している。

1からnまでの番号が振られた家が並ぶ通りにいると想像してください。( x )の間に家があり、その左側の家番号の合計が右側の家番号の合計と等しくなります。nが50から500の間である場合、nとxは何ですか? これは複数の解を持つ2変数問題です。ラマヌジャンはこれについて考え、ひねりを加えた答えを出しました。彼は連分数で答えを出しました。珍しいのは、それがこの種の問題全体の解だったことです。マハラノビスは驚いて、どうやってやったのかと尋ねました。「簡単です。問題を聞いた瞬間に、答えは連分数だとわかりました。どの連分数か、と自問しました。すると答えが頭に浮かびました」とラマヌジャンは答えました。^{[ 116 ] [ 117 ]}

彼の直感は、次のようなこれまで知られていなかったいくつかのアイデンティティを導き出すことにもつながった。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos(n\theta )}{\cosh(n\pi )}}\right)^{-2}+\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cosh(n\theta )}{\cosh(n\pi )}}\right)^{-2}\\[6pt]={}&{\frac {2\Gamma ^{4}{\bigl (}{\frac {3}{4}}{\bigr )}}{\pi }}={\frac {8\pi ^{3}}{\Gamma ^{4}{\bigl (}{\frac {1}{4}}{\bigr )}}}\end{aligned}}}$

すべての人々のために${\displaystyle \theta }$そのため${\displaystyle |\Re (\theta )|<\pi }$そして${\displaystyle |\Im (\theta )|<\pi }$ここで、Γ( z )はガンマ関数であり、デデキントイータ関数の特別な値に関連している。べき級数に展開し、係数を等しくすると、$\displaystyle \theta ^{0}}$、$\displaystyle \theta ^{4}}$、 そして$\displaystyle \theta ^{8}}$双曲線正割に関するいくつかの深い恒等式を与える。

1918年、ハーディとラマヌジャンは分割関数P ( n )を詳細に研究した。彼らは、整数の分割数を正確に計算できる非収束漸近級数を与えた。1937年、ハンス・ラデマッハーは、この問題に対する正確な収束級数解を見つけるために、彼らの公式を改良した。ラマヌジャンとハーディのこの分野の研究は、円法と呼ばれる漸近公式を見つけるための強力な新しい方法を生み出した。^{[ 118 ]}

ラマヌジャンは晩年にモックシータ関数を発見した。^{[ 119 ]}長年にわたり、これらの関数は謎に包まれていたが、調和弱マース形式の正則部分として知られるようになった。

1729という数字は、ハーディがラマヌジャンを病院に訪ねた有名な出来事にちなんで、ハーディ・ラマヌジャン数として知られています。ハーディの言葉によれば：^{[ 124 ]}

かつて彼がパトニーで病気療養していた時に見舞いに行った時のことを覚えている。私は1729番のタクシーに乗ったのだが、その番号が何だか味気ない番号に思えたので、不吉な前兆ではないことを願うと告げた。すると彼は「いや、それはとても興味深い数字だ。2つの立方数の和として2通りの方法で表せる最小の数なのだ」と答えた。

この逸話の直前に、ハーディはリトルウッドの言葉を引用して、「すべての正の整数はラマヌジャンの個人的な友人の一人だった」と述べている。^{[ 125 ]}

2つの異なる方法は次のとおりです。

${\displaystyle 1729=1^{3}+12^{3}=9^{3}+10^{3}.}$

この考え方を一般化することで、「タクシー番号」という概念が生まれた。

1920年に『ネイチャー』誌に寄稿したラマヌジャンの追悼記事の中で、ハーディはラマヌジャンの研究は主に他の純粋数学者の間でもあまり知られていない分野に関わるものであったと指摘し、次のように結論づけている。

彼の数式に対する洞察力は実に驚くべきもので、私がこれまで出会ったヨーロッパの数学者の中で、これに匹敵するものは他にありませんでした。彼が26歳ではなく16歳で現代の考え方や方法に触れていたらどうなっていたかを推測するのはおそらく無益でしょう。彼が同時代で最も偉大な数学者になっていたかもしれないと考えるのは、決して突飛なことではありません。彼が実際に成し遂げたことは十分に素晴らしいものです…彼の研究が示唆した研究が完了すれば、おそらく今日よりもはるかに素晴らしいものに見えるでしょう。^{[ 75 ]}

ハーディはさらにこう述べた。^{[ 127 ]}

彼は、一般化能力、形式感覚、そして仮説を迅速に修正する能力を兼ね備えており、その能力はしばしば驚くべきもので、彼自身の専門分野において、当時比類なき存在となった。しかし、彼の知識の深さと同じくらい、その限界もまた驚くべきものだった。彼は、前例のないほど高度なモジュラー方程式や定理を解き明かすことができ、連分数の扱いは世界中のどの数学者をも凌駕し、ゼータ関数の関数方程式や、解析的数論における数々の有名な問題の主要項を自ら発見した人物であった。それにもかかわらず、彼は二重周期関数やコーシーの定理を聞いたこともなく、複素変数関数とは何かについても、漠然とした考えしか持っていなかったのだ。

例えば、ハーディは最初の書簡で15の定理について論評している。そのうち最初の13は正しく洞察に富んでいるが、14番目は間違っているものの洞察に富んでおり、15番目は正しいものの誤解を招くものである。

（１４）：係数${\displaystyle x^{n}}$で${\displaystyle \left(1-2x+2x^{4}-2x^{9}+\cdots \right)^{-1}}$に最も近い整数は$${\displaystyle {\frac {1}{4n}}\left(\cosh(\pi {\sqrt {n}})-{\frac {\sinh(\pi {\sqrt {n}})}{\pi {\sqrt {n}}}}\right).}$$これは「彼がこれまでにした中で最も実り多いもののひとつであり、最終的に我々が共同で行った分割作業すべてにつながった」^{[ 128 ] 。}

ラマヌジャンが解を導き出すために用いた方法について尋ねられたとき、ハーディは「議論、直観、帰納法が混ざり合った過程を経て導き出されたものであり、ラマヌジャン自身もその過程について首尾一貫した説明を全くできなかった」と述べた。^{[ 129 ]}また、彼は「ラマヌジャンに匹敵する人物には出会ったことがなく、オイラーやヤコビとしか比較できない」とも述べた。^{[ 129 ]}ハーディは、ラマヌジャンは19世紀的なスタイルで研究しており、体系的な形式理論よりも正しい公式にたどり着くことの方が重要だと考えていた。ハーディは、ラマヌジャンの業績は代数学、特に超幾何級数と連分数において最も偉大だと考えていた。^{[ 128 ]}

公式の黄金時代は終わったのかもしれないし、ラマヌジャンは100年前に生まれるべきだったのかもしれない。しかし、彼は間違いなく同時代で最も偉大な形式主義者だった。過去50年の間に、ラマヌジャンよりも重要な、そしておそらくは偉大な数学者は数多く現れたが、彼の土俵で彼に匹敵する者はいなかった。彼がルールを知っていたゲームでプレイすれば、彼は世界のどの数学者にも15勝することができた。^{[ 128 ]}

解析学では、正式な教育を受けておらず、それを学ぶための本も見つからなかったためか、新しい発見は少なかったが、素数定理を含む多くの成果を再発見した。解析学では、楕円関数と解析的数論に取り組んだ。解析的数論では、いつものように想像力豊かであったが、想像したことの多くは間違っていた。ハーディはこれを、想像力が多くの偉大な数学者を誤った方向へ導いてきた解析的数論の本質的な難しさのせいだと考えた。解析的数論では、想像力よりも厳密な証明の方が重要であり、ラマヌジャンのスタイルとは正反対である。彼の「唯一の大きな失敗」は、「解析関数の理論について全く何も知らなかった」ことである。^{[ 128 ]}

リトルウッドは、ラマヌジャンがインドで入手可能な数学を超えてヨーロッパの数学に追いつくのを助けるのは非常に困難だったと語ったと伝えられている。なぜなら、ラマヌジャンに新しい点を指摘するたびに、彼は独自のアイデアを生み出し、リトルウッドはレッスンを続けることができなかったからである。^{[ 130 ]}

K. スリニヴァサ・ラオは次のように述べている。^{[ 131 ]}「数学界における彼の地位については、ブルース・C・ベルントの言葉を引用します。『ポール・エルデシュは、ハーディによる数学者への個人的な評価を私たちに伝えています。数学者を純粋な才能に基づいて0から100までの尺度で評価するとしましょう。ハーディは自分に25点、JEリトルウッドに30点、デイヴィッド・ヒルベルトに80点、ラマヌジャンに100点を与えました。』」 2011年5月にIITマドラスで行われた講演で、ベルントは、過去40年間でラマヌジャンの予想のほぼすべてが証明されたため、ラマヌジャンの業績と才能に対する評価が高まり、ラマヌジャンの業績が現代数学と物理学の多くの分野に浸透していると述べた。^{[ 119 ] [ 132 ]}

ラマヌジャンの死後、ネイチャー誌は、卓越した業績を上げた他の著名な科学者や数学者とともにラマヌジャンを「科学の先駆者カレンダー」に掲載した。^{[ 133 ]}ラマヌジャンの故郷であるタミル・ナードゥ州は、12月22日（ラマヌジャンの誕生日）を「州ITデー」として祝っている。インド政府は、1962年、2011年、2012年、2016年にラマヌジャンを描いた切手を発行した。^{[ 134 ]}

ラマヌジャン生誕100周年以来、彼の誕生日である12月22日は、彼が学んだクンバコナム政府芸術大学とチェンナイのIITマドラスで毎年ラマヌジャンの日として祝われている。国際理論物理学センター（ICTP）は、賞選考委員会のメンバーを指名する国際数学連合と協力して、発展途上国の若い数学者を対象としたラマヌジャンの名を冠した賞を創設した。タミル・ナードゥ州に拠点を置く私立大学であるSASTRA大学は、ラマヌジャンの影響を受けた数学分野で優れた貢献をした32歳以下の数学者に毎年1万米ドルのSASTRAラマヌジャン賞を授与している。 ^{[ 135 ]}

インド政府大学助成委員会（UGC）が任命した委員会の勧告に基づき、SASTRAが設立したスリニヴァサ・ラマヌジャン・センターは、SASTRA大学の管轄下にある学外センターとして宣言されました。ラマヌジャンの生涯と業績を展示する博物館であるラマヌジャン数学の家もこのキャンパス内にあります。SASTRAは、クマバコナムにあるラマヌジャンが住んでいた家を購入し、改修しました。^{[ 135 ]}

2011年、彼の生誕125周年を記念して、インド政府は12月22日を毎年「国家数学の日」として祝うことを宣言した。^{[ 136 ]}当時のインド首相マンモハン・シンも、2012年を「国家数学の年」とし、12月22日をインドの「国家数学の日」として祝うことを宣言した。^{[ 137 ]}

ラマヌジャンITシティは、2011年に建設されたチェンナイの情報技術（IT）特別経済区（SEZ）です。タイデルパークの隣に位置し、2つのゾーンからなる25エーカー（10ヘクタール）の敷地で、総面積は570万平方フィート（53万^{平方メートル}）、うちオフィススペースは450万平方フィート（42万^{平方メートル}）です。^{[ 138 ]}     

インド郵便が発行した記念切手（年別）：

1962

2011

2012

2016

• 『数字を愛した男』は、ラマヌジャンについての1988年のPBS NOVAドキュメンタリー（シーズン15、エピソード9）である。^{[ 139 ]}
• 『無限を知った男』は、カニゲルの同名の著書を原作とした2015年の映画である。イギリス人俳優のデヴ・パテルがラマヌジャンを演じている。 ^{[ 140 ] [ 141 ] [ 142 ]}
• ラマヌジャンの生涯を描いたインド・イギリス合作映画『ラマヌジャン』は、2014年に独立系映画会社Camphor Cinemaによって公開された。 ^{[ 143 ]}キャストとスタッフには、監督のグナナ・ラジャセカラン、撮影監督のサニー・ジョセフ、編集のB・レニンなどが含まれる。 ^{[ 144 ] [ 145 ]}インドとイギリスのスター、アビナイ・ヴァディ、スハシニ・マニラトナム、バーマ、ケビン・マクゴーワン、マイケル・リーバーが重要な役で出演している。 ^{[ 146 ]}
• ナンダン・クディヤディは、数学者スリニヴァーサ・ラマヌジャンについてのインドのドキュメンタリー映画『天才スリニヴァーサ・ラマヌジャン』（2013年）と『数学者スリニヴァーサ・ラマヌジャン：その遺産』 （2016年）を監督した。 ^{[ 147 ]}
• 『ラマヌジャン（20世紀の数学を変革した男）』は、アカシュディープ監督によるインドのドキュメンタリードラマ映画で、2018年に公開された。^{[ 148 ]}
• MN クリシュのスリラー小説『ステラディアン・トレイル』は、ラマヌジャンと彼の偶然の発見を物語に織り込み、宗教、数学、金融、経済学を結びつけている。^{[ 149 ] [ 150 ]}
• ハーディとラマヌジャンについてのイラ・ハウプトマン作の戯曲『パーティション』は、2013年に初演された。 ^{[ 151 ] [ 152 ] [ 153 ] [ 154 ]}
• Alter Ego Productionsによる戯曲『First Class Man』^{[ 155 ]}は、David Freemanの『First Class Man』に基づいている。この戯曲は、ラマヌジャンとハーディとの複雑で機能不全な関係を中心に描いている。2011年10月16日、ジェームズ・ボンド映画『トゥモロー・ネバー・ダイ』で最もよく知られるロジャー・スポティスウッドが、シッダールト主演で映画版に取り組んでいることが発表された。^{[ 156 ]}
• 『消えゆく数』は、ハーディとラマヌジャンの関係を探求する、コンプリシテ社によるイギリスの舞台作品である^{。 [ 157 ]}
• デイヴィッド・リーヴィットの小説『インドの事務員』は、ラマヌジャンがハーディに宛てた手紙に続く出来事を描いている。^{[ 158 ] [ 159 ]}
• Googleはラマヌジャンの生誕125周年を記念して、ホームページのロゴをDoodleに置き換えた。 ^{[ 160 ] [ 161 ]}
• ラマヌジャンは1997年の映画『グッド・ウィル・ハンティング』で言及されており、ジェラルド・ランボー教授（ステラン・スカルスガルド）がショーン・マグワイア（ロビン・ウィリアムズ）にウィル・ハンティング（マット・デイモン）の天才性をラマヌジャンになぞらえて説明するシーンがある。^{[ 162 ]}
• テレビドラマ『NUMBERS 天才数学者の事件ファイル』に登場するアミタ・ラマヌジャン（ナビ・ラワット）というキャラクターは、スリニヴァサにちなんで名付けられた。

• ジョージ・E・アンドリュースとブルース・C・ベルント、『ラマヌジャンの失われたノート：パートI』 （シュプリンガー、2005年、ISBN） 0-387-25529-X）^{[ 163 ]}
• ジョージ・E・アンドリュースとブルース・C・ベルント著『ラマヌジャンの失われたノート：パートII』（シュプリンガー、2008年、ISBN） 978-0-387-77765-8）
• ジョージ・E・アンドリュースとブルース・C・ベルント著『ラマヌジャンの失われたノート：パートIII』（シュプリンガー、2012年、ISBN） 978-1-4614-3809-0）
• ジョージ・E・アンドリュースとブルース・C・ベルント著『ラマヌジャンの失われたノート：第4部』（シュプリンガー、2013年、ISBN） 978-1-4614-4080-2）
• ジョージ・E・アンドリュースとブルース・C・ベルント著『ラマヌジャンの失われたノート：第5部』（シュプリンガー、2018年、ISBN） 978-3-319-77832-7）
• MP Chaudhary、「Srinivasa Ramanujan によって与えられたいくつかの積分の簡単な解法」、（Resonance: J. Sci. Education – インド科学アカデミーの出版物、2008）^{[ 164 ]}
• MP Chaudhary、「モックシータ関数によるシータ予想のモック」、 SCIENTIA、シリーズA：数学・科学、（22）（2012）33–46。
• MP Chaudhary、「ロジャー・ラマヌジャン型恒等式のモジュラー関係について」、 Pacific J. Appl. Math.、7(3)(2016) 177–184。