代数幾何学と解析幾何学

1. させて${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$有限型のスキームである${\displaystyle \mathbb {C} }$すると位相空間が存在する${\displaystyle X^{\mathrm {an} }}$閉点から構成される${\displaystyle X}$連続的な包含マップ${\displaystyle \lambda _{X}:X^{\mathrm {an} }\to X}$トポロジーは${\displaystyle X^{\mathrm {an} }}$これは「複素位相」と呼ばれ（部分空間位相とは大きく異なる）、
2. 仮定する${\displaystyle \phi :X\to Y}$は、上の局所有限型のスキームの射である。${\displaystyle \mathbb {C} }$すると、連続写像が存在する。${\displaystyle \phi ^{\mathrm {an} }:X^{\mathrm {an} }\to Y^{\mathrm {an} }}$そのため${\displaystyle \lambda _{Y}\circ \phi ^{\mathrm {an} }=\phi \circ \lambda _{X}}$。
3. 束があります${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }}$の上${\displaystyle X^{\mathrm {an} }}$そのため${\displaystyle (X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })}$は環状空間であり、${\displaystyle \lambda _{X}:X^{\mathrm {an} }\to X}$環状空間の地図になる。${\displaystyle (X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })}$「分析」と呼ばれる${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$そして、それは解析空間である。${\displaystyle \phi :X\to Y}$地図${\displaystyle \phi ^{\mathrm {an} }}$上記で定義したマップは解析空間のマッピングである。さらに、マップは${\displaystyle \phi \mapsto \phi ^{\mathrm {an} }}$オープンイマージョンをオープンイマージョンにマッピングします。${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{n}])}$それから${\displaystyle X^{\mathrm {an} }=\mathbb {C} ^{n}}$そして${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }(U)}$すべてのポリディスク${\displaystyle U}$は、正則関数の空間の適切な商である。${\displaystyle U}$。
4. 束ごとに$\displaystyle {\mathcal {F}}}$の上${\displaystyle X}$（代数層と呼ばれる）層が存在する${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$の上${\displaystyle X^{\mathrm {an} }}$（解析層と呼ばれる）と層の写像${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-モジュール${\displaystyle \lambda _{X}^{*}:{\mathcal {F}}\rightarrow (\lambda _{X})_{*}{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$束${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$は次のように定義される。${\displaystyle \lambda _{X}^{-1}{\mathcal {F}}\otimes _{\lambda _{X}^{-1}{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }}$通信${\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$層の圏からの正確な関手を定義する${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$束のカテゴリーへ${\displaystyle (X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })}$以下の2つの記述は、セールのGAGA定理^{[ 14 ] [ 15 ]}（アレクサンダー・グロタンディーク、アムノン・ニーマンらが拡張したもの）の中核をなすものです。
5. もし${\displaystyle f:X\to Y}$は、上の有限型のスキームの任意の射である。${\displaystyle \mathbb {C} }$そして$\displaystyle {\mathcal {F}}}$一貫性があるならば自然地図${\displaystyle (f_{*}{\mathcal {F}})^{\mathrm {an} }\rightarrow f_{*}^{\mathrm {an} }{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$単射である。${\displaystyle f}$が適切であれば、この写像は同型写像である。また、すべての高次の直像層についても同型写像が存在する。${\displaystyle (R^{i}f_{*}{\mathcal {F}})^{\mathrm {an} }\cong R^{i}f_{*}^{\mathrm {an} }{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$この場合。^{[ 16 ]}
6. ここで、${\displaystyle X^{\mathrm {an} }}$ハウスドルフでコンパクトです。$\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}}$は 上の 2 つの連続代数層である${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$そしてもし${\displaystyle f\colon {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }\rightarrow {\mathcal {G}}^{\mathrm {an} }}$は束のマップです${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }}$-モジュールの場合、層の一意のマップが存在する${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-モジュール${\displaystyle \varphi$ :{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}} }${\displaystyle f=\varphi ^{\mathrm {an} }}$。 もし$\displaystyle {\mathcal {R}}}$は、${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }}$-モジュール${\displaystyle X^{\mathrm {an} }}$すると、首尾一貫した代数層が存在する。$\displaystyle {\mathcal {F}}}$の${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-モジュールと同型写像${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }\cong {\mathcal {R}}}$。

やや一般性が低いが、GAGA定理は複素射影多様体上の連接代数層の圏が${\displaystyle X}$そして、対応する解析空間上の連接解析層の圏${\displaystyle X^{\mathrm {an} }}$同等である。解析空間${\displaystyle X^{\mathrm {an} }}$おおよそ引き戻すことで得られます${\displaystyle X}$複雑な構造から${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$座標図を通して。実際、定理をこのように表現することは、Serreの論文の精神により近い。なぜなら、上記の形式的な記述で多用されている完全なスキーム理論の言語は、GAGAの発表時点ではまだ発明されていなかったからである。