ポリゴン

幾何学において、多角形( / ˈ p ɒ l ɪ ɡ ɒ n / ) は、閉じた多角形の鎖を形成するために接続された線分で構成される平面 図形です。

閉じた多角形チェーンの線分は、エッジまたは辺と呼ばれます。2 つのエッジが交わる点は、多角形の頂点またはコーナーです。n角形は、 n辺を持つ多角形です。たとえば、三角形は 3 角形です。

単純多角形は、交差しない多角形です。より正確には、多角形を構成する線分間の交差は、多角形チェーン内の連続する線分の共有端点のみが許可されます。単純多角形は、平面のソリッド ポリゴンと呼ばれる領域の境界です。ソリッド ポリゴンの内部は、その本体であり、ポリゴン領域またはポリゴン領域とも呼ばれます。単純多角形とソリッド ポリゴンのみを扱う文脈では、ポリゴンは単純多角形またはソリッド ポリゴンのみを指す場合があります。

多角形連鎖はそれ自体と交差し、星型多角形やその他の自己交差多角形を形成することがあります。また、一部の資料では、ユークリッド空間内の閉じた多角形連鎖は、連鎖が単一の平面上にない場合でも、 多角形の一種 (斜め多角形) であると見なされます。

多角形は、任意の次元における より一般的な多面体の 2 次元の例です。さまざまな目的のために定義された、より多くの多角形の一般化が存在します。

ポリゴンという単語は、ギリシャ語の形容詞πολύς ( polús )「多くの」、「多くの」とγωνία ( gōnía )「角」または「角度」に由来しています。γόνυ ( gónu )「膝」がゴンの語源ではないかと言われています。^[1]

多角形は主に辺の数によって分類されます。

多角形は、凸性または非凸性のタイプによって特徴付けられます。

• 凸: 多角形を通る線（エッジやコーナーに接していない線）は、その境界と正確に2回交わります。その結果、すべての内角は180°未満になります。同様に、境界上に端点がある線分は、端点間の内部点のみを通過します。この条件は、ユークリッドだけでなく、あらゆる幾何学の多角形に当てはまります。^[2]
• 非凸: 境界線と 2 回以上交わる線が見つかる場合があります。同様に、2 つの境界点の間に多角形の外側を通る線分が存在します。
• 単純: 多角形の境界は交差しません。すべての凸多角形は単純です。
• 凹面: 凸面ではなく単純です。少なくとも 1 つの内角が 180° を超えています。
• 星形: 少なくとも 1 つの点から、どのエッジも交差せずに内部全体が見える。多角形は単純でなければならず、凸型または凹型のいずれでもかまいません。すべての凸型多角形は星形です。
• 自己交差: 多角形の境界がそれ自体と交差します。複合という用語は、単純とは対照的に使用されることがありますが、この使用法は、2 つの複素次元からなる複素ヒルベルト平面に存在する多角形という概念と混同される恐れがあります。
• 星型多角形: 規則的に自己交差する多角形。多角形は星型と星形の両方になることはできません。

• 等角: すべての角の角度が等しい。
• 正三角形: すべての辺の長さは同じです。
• 規則的: 等辺と等角の両方。
• 巡回: すべての角が外接円と呼ばれる単一の円上にあります。
• 接線: すべての辺が内接円に接します。
• 等角形または頂点推移的: すべての角が同じ対称軌道内にあります。多角形は循環的かつ等角でもあります。
• 等軸多角形または辺推移多角形: すべての辺が同じ対称軌道内にあります。多角形は正三角形で接線方向でもあります。

正則性の特性は他の方法で定義することもできます。多角形が正則であるためには、多角形が等角かつ等軸である場合、または同義的に、多角形が円弧かつ正三角形である場合に限られます。凸でない正多角形は、正星型多角形と呼ばれます。

• 直線: 多角形の辺は直角に交わります。つまり、すべての内角は 90 度または 270 度です。
• 与えられた線分Lに関して単調である: L に直交するすべての線分は多角形と 2 回以上交差しない。

全体を通してユークリッド幾何学が想定されています。

どの多角形にも、辺の数と同じ数の角があります。各角には複数の角度があります。最も重要な 2 つの角度は次のとおりです。

• 内角– 単純なn角形の内角の合計は( n − 2) × π ラジアンまたは( n − 2) × 180 度です。これは、任意の単純なn角形 ( n辺を持つ ) が( n − 2)個の三角形で構成されていると見なすことができ、各三角形の角度の合計が π ラジアンまたは 180 度であるためです。凸正n角形の内角の測定単位はラジアンまたはです。正星型多角形の内角は、4 つの正星型多面体について説明した同じ論文で、ポアンソによって初めて研究されました。正角形 (中心密度qのp角形) の場合、各内角はラジアンまたは度です。 ^[3]${\displaystyle \left(1-{\tfrac {2}{n}}\right)\pi }$${\displaystyle 180-{\tfrac {360}{n}}}$${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$${\displaystyle {\tfrac {\pi (p-2q)}{p}}}$${\displaystyle {\tfrac {180(p-2q)}{p}}}$
• 外角– 外角は内角の補角です。凸n角形の周囲をトレースすると、角で「回転」する角度が外角または外角です。多角形を一周すると 1 回転するため、外角の合計は 360° でなければなりません。この議論は、反対方向に回転する外角を合計回転角から差し引くと、凹の単純な多角形に一般化できます。一般にn角形の周囲をトレースすると、外角の合計 (頂点で回転する合計量) は 360° の任意の整数倍dになります。たとえば、五角形の場合は 720°、角のある「8」または平行四辺形の場合は 0° です。ここで、 dは多角形の密度または回転数です

このセクションでは、検討中の多角形の頂点は順序どおりに並んでいるものとします。いくつかの式では便宜上、 ( x _n , y _n ) = ( x ₀ , y ₀ )という表記も使用されます。 ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n-1},y_{n-1})}$

多角形が自己交差しない場合（つまり単純）、符号付き面積は

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\quad {\text{ただし、}}x_{n}=x_{0}{\text{、}}y_{n}=y_{0}、}$

または、行列式を使って

${\displaystyle 16A^{2}=\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}{\begin{vmatrix}Q_{i,j}&Q_{i,j+1}\\Q_{i+1,j}&Q_{i+1,j+1}\end{vmatrix}},}$

ここで、と^{[4] [5]}の間の二乗距離は${\displaystyle Q_{i,j}}$${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$${\displaystyle (x_{j},y_{j}).}$

符号付き面積は、頂点の順序と平面の向きによって決まります。一般的に、正の向きは、正のx軸を正のy軸にマッピングする (反時計回りの) 回転によって定義されます。頂点が反時計回り (つまり、正の向きに従って) に並べられている場合、符号付き面積は正になります。それ以外の場合は、負になります。どちらの場合でも、面積の公式は絶対値で正しいです。これは一般に靴ひもの公式または測量士の公式と呼ばれます。^[6]

単純な多角形の面積Aは、辺の長さa ₁、a _{2 、} ...、a _nと外角θ ₁、θ ₂、...、θ _nが分かっている場合は、次のように計算することもできます。

${\displaystyle {\begin{aligned}A={\frac {1}{2}}(a_{1}[a_{2}\sin(\theta _{1})+a_{3}\sin(\theta _{1}+\theta _{2})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+a_{2}[a_{3}\sin(\theta _{2})+a_{4}\sin(\theta _{2}+\theta _{3})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+\cdots +a_{n-2}[a_{n-1}\sin(\theta _{n-2})]).\end{aligned}}}$

この式は1963年にロプシッツによって記述された。^[7]

多角形を等間隔のグリッド上に描画し、そのすべての頂点をグリッド ポイントにできる場合、ピックの定理により、内部グリッド ポイントと境界グリッド ポイントの数に基づいて、多角形の面積の簡単な式が得られます。つまり、前者の数に後者の数の半分を加算し、1 を引いた値になります。

周囲長がpで面積がAであるすべての多角形において、等周不等式 が成り立つ。^[8]${\displaystyle p^{2}>4\pi A}$

ボヤイ・ガーウィーン定理は、面積が等しい任意の 2 つの単純な多角形について、最初の多角形を多角形の断片に切り分け、それらを再構成して 2 番目の多角形を形成できることを主張しています。

多角形の辺の長さは、一般的には面積を決定しません。^[9]しかし、多角形が単純で環状の場合は、辺の長さによって面積が決まります。[ ^{10]辺の長さが与えられたすべての}n角形のうち、面積が最大になるものは環状です。周囲が与えられたすべてのn角形のうち、面積が最大になるものは正多角形（したがって環状）です。^[11]

正多角形の面積には多くの特殊な公式が適用されます。

正多角形の面積は、その内接円の半径rと周長pで次の ように表される。

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\cdot p\cdot r.}$

この半径は、その遠近法とも呼ばれ、として表されることが多いです。

正n角形の面積は、その外接円の半径Rによって三角法で次のように表される。^{[12] [13]}

${\displaystyle A=R^{2}\cdot {\frac {n}{2}}\cdot \sin {\frac {2\pi }{n}}=R^{2}\cdot n\cdot \sin {\frac {\pi }{n}}\cdot \cos {\frac {\pi }{n}}}$

辺がsで内角が 1 の単位半径の円に内接する正n角形の面積は、三角法では次のように表すこともできます。 ${\displaystyle \alpha ,}$

${\displaystyle A={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\alpha }{n-2}}=n\cdot \sin {\frac {\alpha }{n-2}}\cdot \cos {\frac {\alpha }{n-2}}.}$

自己交差多角形の面積は2 つの異なる方法で定義でき、それぞれ異なる答えが得られます。

• 単純な多角形の公式を使用すると、多角形内の特定の領域の面積に、その領域の密度と呼ばれる係数を掛け合わせることができます。たとえば、五芒星の中心にある中央の凸五角形の密度は2です。交差四辺形（8の字のような）の2つの三角形の領域は、反対の符号の密度を持ち、それらの面積を合計すると、図形全体の総面積が0になることがあります。^[14]
• 囲まれた領域を点集合として考えると、囲まれた点集合の面積を求めることができます。これは、多角形が覆う平面の面積、または自己交差する多角形と同じ輪郭を持つ 1 つ以上の単純な多角形の面積に対応します。交差四辺形の場合は、2 つの単純な三角形として扱われます。^{[引用が必要]}

前のセクションと同じ頂点座標の規則を使用すると、単純な多角形の重心の座標は次のようになります。

${\displaystyle C_{x}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}),}$

${\displaystyle C_{y}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}).}$

これらの式では、面積の符号付きの値を使用する必要があります。 ${\displaystyle A}$

三角形（n = 3 ）の場合、頂点の重心と立体の重心は同じですが、一般にn > 3の場合はそうではありません。n個の頂点を持つ多角形の頂点集合の重心の座標は次のようになります 。

${\displaystyle c_{x}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}x_{i},}$

${\displaystyle c_{y}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}y_{i}.}$

多角形の概念はさまざまな方法で一般化されてきました。重要なもののいくつかを以下に示します。

• 球面多角形は、球面の表面にある大円 (辺) と頂点の弧の回路です。これにより、平面では不可能な 2 つの辺と 2 つの角しかない多角形 (二角形) が可能になります。球面多角形は、地図作成や、ワイトフの均一多面体の構築において重要な役割を果たします。
• 斜め多角形は平面上に存在せず、3 次元 (またはそれ以上) でジグザグに伸びます。正多面体のペトリー多角形はよく知られた例です。
• アペイロゴンは、辺と角度の無限の連続であり、閉じられていないが、両方向に無限に伸びているため、終わりがありません。
• 斜めアペイロゴンは、平面上に存在しない辺と角度の無限のシーケンスです。
• 穴のあるポリゴンは、1 つの外部境界と 1 つ以上の内部境界 (穴) を持つ、領域接続または多重接続された平面ポリゴンです。
• 複素多角形は、実数2 次元と虚数2 次元の複素平面に存在する、通常の多角形に類似した構成です。
• 抽象多角形は、さまざまな要素 (辺、頂点など) とそれらの接続を表す代数的部分順序集合です。実際の幾何学的多角形は、関連する抽象多角形の実現であると言われています。マッピングに応じて、ここで説明するすべての一般化を実現できます。
• 多面体は、2次元の多角形に類似した、平らな多角形の面で囲まれた3次元の立体です。4次元以上の対応する形状は多面体と呼ばれます。^{[15] （他の慣習では、}多面体と多面体という言葉はどの次元でも使用されますが、多面体は必ず境界があるという点で両者を区別しています。^[16]）

多角形という言葉は、後期ラテン語の polygōnum (名詞)に由来し、ギリシア語のπολύγωνον ( polygōnon/polugōnon ) から来ており、これは πολύγωνος ( polygōnos/polugōnos 、男性形容詞)の中性形が名詞化したもの、「多角形の」という意味です。個々の多角形は、ギリシア語の - 由来の数字の接頭辞と接尾辞-gonを組み合わせて、辺の数に応じて命名 (および分類) されます(例: pentagon、dodecagon)。三角形、四辺形、九角形は例外です。

十角形（10辺）と十二角形（12辺）以外では、数学者は一般的に17角形や257角形などの数値表記法を使用します。^[17]

例外として、言葉で簡単に表現できる辺の数 (20 や 30 など) や、数学者以外の人が使用する辺の数があります。特殊な多角形には独自の名前が付けられているものもあります。たとえば、正星 型 五角形は五芒星とも呼ばれます。

20以上100未満の辺を持つ多角形の名前を作成するには、次のように接頭辞を組み合わせます。^[21]「kai」という用語は13角形以上に適用され、ケプラーによって使用され、準正多面体の命名における連結された接頭辞番号の明確さのためにジョン・H・コンウェイによって提唱されましたが、^[25]すべての情報源で使用されているわけではありません。

多角形は古代から知られていました。正多角形は古代ギリシャにも知られており、非凸正多角形（星型多角形）である五芒星は紀元前7世紀にはすでにアリストパネスのクラテルに登場しており、カエレで発見され、現在はカピトリーノ美術館に所蔵されています。^{[40] [41]}

非凸多角形一般に関する最初の体系的な研究は、14世紀にトーマス・ブラッドワーディンによって行われた。 ^[42]

1952年、ジェフリー・コリン・シェパードは多角形の概念を複素平面に一般化し、各実数次元に虚数次元を伴って複素多角形を作成しました。^[43]

多角形は岩石層に現れ、最も一般的には結晶の平らな面として現れます。辺の間の角度は、結晶が作られている鉱物の種類によって異なります。

正六角形は、溶岩が冷えて玄武岩の柱が密集した領域が形成されるときに発生することがあり、北アイルランドのジャイアンツ・コーズウェイやカリフォルニアのデビルズ・ポストパイルで見ることができます。

生物学では、ミツバチが作る蜜ろうの巣の表面は六角形の配列になっており、各巣の辺と底も多角形になっています。

コンピュータグラフィックスにおいて、ポリゴンはモデリングやレンダリングに使用されるプリミティブです。ポリゴンはデータベースで定義され、頂点の配列（幾何学的頂点の座標、および色、陰影、テクスチャなどのポリゴンのその他の属性）、接続情報、およびマテリアルが含まれています。^{[44] [45]}

あらゆる表面は、ポリゴン メッシュと呼ばれるテッセレーションとしてモデル化されます。正方形のメッシュが1 辺あたりn + 1 個のポイント (頂点) を持つ場合、メッシュにはn 個の正方形の平方、または正方形には 2 つの三角形があるため 2 n 個の正方形の三角形があります。三角形あたり( n + 1) ² / 2( n ² )個の頂点があります。nが大きい場合、これは半分に近づきます。または、正方形のメッシュ内の各頂点は 4 つのエッジ (線) を接続します。

イメージング システムは、データベースからシーンの作成に必要なポリゴン構造を呼び出します。これはアクティブ メモリに転送され、最終的には表示システム (画面、TV モニターなど) に転送されてシーンを表示できるようになります。このプロセス中に、イメージング システムはポリゴンを正しい遠近法でレンダリングし、処理されたデータを表示システムに転送できるようにします。ポリゴンは 2 次元ですが、システム コンピューターによって、正しい 3 次元方向で視覚シーンに配置されます。

コンピュータグラフィックスや計算幾何学では、与えられた点が線分の列で与えられた単純な多角形の内側にあるかどうかを判断することがしばしば必要となる。これは多角形内の点のテストと呼ばれる。^[46]${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$

• Coxeter, HSM ; Regular Polytopes、Methuen and Co.、1948 年 (第 3 版、Dover、1973 年)。
• クロムウェル、P.;多面体、CUP hbk (1997)、pbk. (1999)。
• Grünbaum, B.; あなたの多面体は私の多面体と同じですか?離散および計算。geom: Goodman-Pollack festschrift、Aronov 他編。Springer (2003) pp. 461–488。(pdf)

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ウィキメディア・コモンズには、ポリゴンに関連するメディアがあります。

• Weisstein、Eric W.「多角形」。MathWorld。
• 多面体とは何か？ギリシャ数字の接頭辞付き
• ポリゴン、ポリゴンの種類、ポリゴンのプロパティ、インタラクティブなアニメーション
• 画面上にモノクロの直交多角形を描く方法、Herbert Glarner 著
• comp.graphics.algorithms よくある質問、2D および 3D ポリゴンを計算する数学的問題の解決策
• ポリゴンブール演算のさまざまなアルゴリズムの比較、機能、速度、数値の堅牢性を比較します。
• 多角形の内角の合計: 一般的な公式。単純な閉じた多角形の内角の合計の公式を交差した (複雑な) 多角形を含むように拡張する対話型 Java 調査を提供します。