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ジョン・ウィラード・ミルナー（1931年2月20日生まれ）は、微分位相幾何学、代数的K理論、低次元正則力学系の研究で知られるアメリカの数学者です。ミルナーはストーニーブルック大学の著名な教授であり、フィールズ賞、ウルフ賞、アーベル賞、そして3つのスティール賞すべてを受賞した唯一の数学者です。
ミルナーは1931年2月20日、ニュージャージー州オレンジで生まれた。[ 1 ]彼の父はエンジニアのJ・ウィラード・ミルナー[ 2 ]、母はエミリー・コックス・ミルナー[ 3 ] [ 4 ]である。プリンストン大学の学部生時代には、1949年と1950年にパトナム・フェローに選ばれ[ 5 ]、また19歳の時にファーリー＝ミルナーの定理を証明した。ミルナーは1951年にラルフ・フォックスの指導の下、「リンク群」というタイトルの卒業論文を完成させ、数学の学士号を取得して卒業した。[ 6 ]彼は大学院での研究を続けるためプリンストン大学に残り、フォックスの指導の下、「リンクの同位性」というタイトルの博士論文を完成させ、1954年に数学の博士号を取得した。[ 7 ]彼の博士論文は、リンク群（古典的な結び目群の一般化）とその関連するリンク構造に関するもので、リンクホモトピーまでブルンニアンリンクを分類し、ミルナー不変量と呼ばれる新しい不変量を導入した。博士号取得後、彼はプリンストン大学で研究を続けた。彼は1970年から1990年まで高等研究所の教授を務めた。
ミルナーは1962年以降、長年にわたり『Annals of Mathematics』の編集者を務めた。彼は『Characteristic Classes 』をはじめとする数々の著書を執筆しており、それらは明快な記述で高く評価され、出版から数十年経った後もなお、多くの数学者の研究に影響を与え続けている。彼は1976年から1977年にかけて、アメリカ数学会（AMS）の副会長を務めた。
ミルナーの教え子には、秋葉忠俊、ジョン・フォークマン、ジョン・マザー、ローラン・C・ジーベンマン、マイケル・スピヴァク、ジョナサン・ソンドーなどがいる。彼の妻であるドゥサ・マクダフはバーナード大学の数学教授であり、シンプレクティック位相幾何学の研究で知られている。
ミルナーの最も有名な業績の一つは、1956年に非標準的な微分構造を持つ7次元球面の存在を証明したことであり、これは微分トポロジーという新しい分野の始まりとなった。彼は非標準的な微分構造を持つ任意のn次元球面を指す用語として「エキゾチック球面」という用語を作り出した。ケルヴェールとミルナーはケルヴェール・ミルナー群によるエキゾチック球面の体系的な研究を開始し、特に7次元球面には15種類の異なる微分構造（向きを考慮すると28種類）があることを示した。
エグバート・ブリースコルンは、複素5次元空間における28個の複素超曲面について、特異点の周りの次元9の小球との交点がこれらの特異な球と微分同相となるような単純な代数方程式を発見した。その後、ミルナーは一般的に複素超曲面の孤立した特異点のトポロジーに取り組み、ミルナー数として知られるμ球のブーケのホモトピー型を持つファイバーを持つミルナーファイブレーションの理論を発展させた。ミルナーの1968年の著書『複素超曲面の特異点』は、今日まで発展を続ける巨大で豊かな研究分野の成長を促した。
1961年、ミルナーはライデマイスターねじれの概念を用いて、同相だが組み合わせ論的に異なる2つの単体複体を例示することで、主修正を否定した。[ 8 ]
1984年、ミルナーはアトラクターの定義を導入した。[ 9 ] これらのオブジェクトは標準的なアトラクターを一般化し、いわゆる不安定アトラクターを含み、現在ではミルナーアトラクターとして知られている。
ミルナーの現在の研究テーマは力学、特に正則力学である。彼の力学に関する研究は、ピーター・マキエンコが著書『現代数学における位相的方法』の書評の中で要約している。
ミルナーの研究によって大きく始まった低次元ダイナミクスは、現在では一般力学系理論の基礎的な部分であることが明らかです。ミルナーは1970年代半ばに力学系理論に目を向けました。その頃には、スメールの力学プログラムは完了していました。ミルナーのアプローチは、最も単純な非自明な写像の族に着目し、最初からやり直すことでした。最初の選択である1次元ダイナミクスは、サーストンとの共著論文の主題となりました。単一の臨界点を持つ単峰写像の場合でさえ、非常に豊かな内容であることが判明しました。この研究は、100年前に力学系の定性的理論を開拓したポアンカレの円微分同相写像に関する研究と比較することができます。ミルナーの研究はこの分野にいくつかの新しい方向性を開拓し、多くの基本的な概念、挑戦的な問題、そして素晴らしい定理をもたらしました。[ 10 ]
彼のその他の重要な貢献には、マイクロバンドル、ホップ代数の使用への影響、二次形式の理論および関連する対称双線形形式、高次代数的K理論、ゲーム理論、および3次元リー群などがある。
ミルナーは1961年にアメリカ芸術科学アカデミーの会員に選出された。[ 11 ] 1962年には微分位相幾何学の研究でフィールズ賞を受賞した。 1963年には米国科学アカデミー、 1965年にはアメリカ哲学協会の会員に選出された。 [ 12 ] [ 13 ]その後、国家科学賞（1967年）、1970年と1984年にレスター・R・フォード賞[ 14 ]と再び同賞[ 15 ] 、 1982年に「研究への画期的な貢献」に対するリロイ・P・スティール賞、1989年にウルフ賞（数学部門）、 2004年にリロイ・P・スティール賞（数学解説部門）、 2011年にリロイ・P・スティール生涯功労賞を受賞した。 1991年に、彼の60歳の誕生日を祝してストーニーブルック大学でシンポジウムが開催された。[ 16 ]
ミルナーは「トポロジー、幾何学、代数学における先駆的な発見」により、2011年のアーベル賞を受賞した[17][18]。受賞を受けて、ミルナーはニュー・サイエンティスト誌に「とても嬉しい」と語り、「朝6時に電話がかかってくるといつも驚くものだ」と付け加えた[ 19 ]。
2013年、彼は「微分トポロジー、幾何トポロジー、代数トポロジー、代数学、および力学系への貢献」により、アメリカ数学会のフェローとなった。[ 20 ]
2020年に、彼はロシア科学アカデミーのロモノーソフ金メダルを受賞した。 [ 21 ]