リーマン・ロッホの定理

この定理は、ある点を選択することによって説明される。${\displaystyle P}$問題の表面上および数字のシーケンスに関して

${\displaystyle \ell (n\cdot P),n\geq 0}$

すなわち、 を除くすべての場所で正則である関数の空間の次元${\displaystyle P}$関数は最大で次数 の極を持つことが許される${\displaystyle n}$。 のために${\displaystyle n=0}$したがって、関数は全体関数、すなわち表面全体で正則関数であることが求められる。${\displaystyle X}$リウヴィルの定理によれば、このような関数は必然的に定数である。したがって、${\displaystyle \ell (0)=1}$一般的に、シーケンス${\displaystyle \ell (n\cdot P)}$これは増加数列です。

属1

次のケースは種数 のリーマン面です${\displaystyle g=1}$トーラスなど${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$、 どこ${\displaystyle \Lambda }$は2次元格子（同型群）である${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$) 種数は 1 です。右の図に示すように、その最初の特異相同群は 2 つのループによって自由に生成されます。標準複素座標${\displaystyle z}$の上${\displaystyle \mathbb {C} }$1つの形式を生成する${\displaystyle \omega =dz}$の上${\displaystyle X}$つまり、あらゆる場所で正則であり、極がまったくない。したがって、${\displaystyle K}$の約数${\displaystyle \omega }$ゼロです。

この表面では、このシーケンスは

1、1、2、3、4、5...  ;

そしてこれがこの事例の特徴である${\displaystyle g=1}$実際、${\displaystyle D=0}$、${\displaystyle \ell (KD)=\ell (0)=1}$上記で述べたとおりです。${\displaystyle D=n\cdot P}$と${\displaystyle n>0}$、その程度${\displaystyle KD}$は厳密に負であるため、補正項は 0 になります。次元のシーケンスは、楕円関数の理論からも導き出すことができます。

リーマン面上の因子と正則線束との密接な対応関係を利用すると、この定理は別の、しかし同等な方法でも述べることができる。LをX上の正則線束とする。${\displaystyle H^{0}(X,L)}$Lの正則切断の空間を表す。この空間は有限次元であり、その次元は で表される。${\displaystyle h^{0}(X,L)}$X上の標準束をKとします。すると、リーマン・ロッホの定理によれば、

${\displaystyle h^{0}(X,L)-h^{0}(X,L^{-1}\otimes K)=\deg(L)+1-g}$。

前節の定理は、Lが点束である場合の特殊なケースである。

この定理は、次のようにKのg 個の線形独立な正則切断、またはX上の1 形式が存在することを示すために適用できます。Lを自明な束とすると、${\displaystyle h^{0}(X,L)=1}$X上の正則関数は定数のみであるため、 Lの次数はゼロであり、$\displaystyle L^{-1}}$は自明な束である。したがって、

${\displaystyle 1-h^{0}(X,K)=1-g}$。

したがって、${\displaystyle h^{0}(X,K)=g}$正則な1形式がg個存在することを証明する。

正規バンドル以来${\displaystyle K}$もっている${\displaystyle h^{0}(X,K)=g}$リーマン・ロッホ法を適用して${\displaystyle L=K}$与える

${\displaystyle h^{0}(X,K)-h^{0}(X,K^{-1}\otimes K)=\deg(K)+1-g}$

これは次のように書き換えることができます

${\displaystyle g-1=\deg(K)+1-g}$

したがって、正準束の次数は${\displaystyle \deg(K)=2g-2}$。

リーマン面上の因子に関するリーマン・ロッホの定理の上記の定式化における各項目は、代数幾何学において対応するものが存在する。リーマン面の対応するものは、体k上の非特異代数曲線Cである。用語の違い（曲線と面）は、実多様体としてのリーマン面の次元が2 であるのに対し、複素多様体としての次元が 1 であることに起因する。リーマン面のコンパクト性は、代数曲線が完全であるという条件に対応しており、これは射影的であることと同値である。一般の体k上では、特異（コ）ホモロジーの適切な概念は存在しない。いわゆる幾何学的種数は次のように定義される。

${\displaystyle g(C):=\dim _{k}\Gamma (C,\Omega _{C}^{1})}$

すなわち、大域的に定義された（代数的）1形式の空間の次元として（ケーラー微分を参照）。最後に、リーマン面上の有理型関数は、局所的に正則関数の分数として表現される。したがって、それらは局所的に正則関数の分数である有理関数に置き換えられる。したがって、次のように書く。${\displaystyle \ell (D)}$曲線上の有理関数の空間の次元（kに関して）で、各点における極がDの対応する係数よりも悪くない場合、上記とまったく同じ式が成り立つ。

${\displaystyle \ell (D)-\ell (KD)=\deg(D)-g+1}$。

ここで、 Cは代数的に閉じた体k上の射影的な非特異代数曲線である。実際、この式は任意の体上の射影曲線にも当てはまるが、除数の次数は、除数を支える点の基底体と剰余体の可能な拡張から生じる重複度を考慮する必要がある。^{[ 4 ]}最後に、アルティン環上の適切な曲線の場合、除数に関連付けられた線束のオイラー標数は、除数の次数（適切に定義される）と構造層のオイラー標数の合計によって与えられる。${\displaystyle {\mathcal {O}}}$[ ^{5 ]​}

定理における滑らかさの仮定も緩和できます。代数的に閉じた体上の（射影）曲線で、その局所環がすべてゴレンシュタイン環である場合、上記と同じ記述が成り立ちます。ただし、上記で定義された幾何学的種数を、次のように定義される算術的種数g _aに置き換えます。

${\displaystyle g_{a}:=\dim _{k}H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C})}$[ ^{6 ]​}

（滑らかな曲線の場合、幾何学的種数は算術的種数と一致する。）この定理は、一般的な特異曲線（および高次元多様体）にも拡張されている。^{[ 7 ]}

リーマン・ロッホの定理の重要な帰結の一つは、曲線上の線束のヒルベルト多項式を計算する公式を与えることである。線束が$\displaystyle {\mathcal {L}}}$が十分であれば、ヒルベルト多項式は1次を与える$\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes n}}$射影空間への埋め込みを与える。例えば、標準層$\displaystyle \omega _{C}}$学位を取得している${\displaystyle 2g-2}$これにより、属に対して十分な線束が得られます。${\displaystyle g\geq 2}$^{[ 8 ]}もし私たちが設定するならば$\displaystyle \omega _{C}(n)=\omega _{C}^{\otimes n}}$するとリーマン・ロッホの公式は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (\omega _{C}(n))&=\deg(\omega _{C}^{\otimes n})-g+1\\&=n(2g-2)-g+1\\&=2ng-2n-g+1\\&=(2n-1)(g-1)\end{aligned}}}$

学位を授与する${\displaystyle 1}$ヒルベルト多項式の$\displaystyle \omega _{C}}$

${\displaystyle H_{\omega _{C}}(t)=2(g-1)t-g+1}$。

三正準層${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$曲線を埋め込むためにヒルベルト多項式が使用される

${\displaystyle H_{C}(t)=H_{\omega _{C}^{\otimes 3}}(t)}$

は、曲線のヒルベルトスキーム（および代数曲線のモジュライ空間）を構築する際に一般的に考慮される。この多項式は

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{C}(t)&=(6t-1)(g-1)\\&=6(g-1)t+(1-g)\end{aligned}}}$

これは種数gの曲線のヒルベルト多項式と呼ばれます。

この方程式をさらに分析すると、オイラー標数は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (\omega _{C}^{\otimes n})&=h^{0}\left(C,\omega _{C}^{\otimes n}\right)-h^{0}\left(C,\omega _{C}\otimes \left(\omega _{C}^{\otimes n}\right)^{\vee }\right)\\&=h^{0}\left(C,\omega _{C}^{\otimes n}\right)-h^{0}\left(C,\left(\omega _{C}^{\otimes (n-1)}\right)^{\vee }\right)\end{aligned}}}$

以来${\displaystyle \deg(\omega _{C}^{\otimes n})=n(2g-2)}$

${\displaystyle h^{0}\left(C,\left(\omega _{C}^{\otimes (n-1)}\right)^{\vee }\right)=0}$。

のために${\displaystyle n\geq 3}$すべてにおいてその次数が負であるため${\displaystyle g\geq 2}$グローバルセクションが存在しないことを意味するが、グローバルセクションから射影空間への埋め込みが存在する。${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes n}}$。 特に、${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$埋め込みを与える${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}\cong \mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 3}))}$どこ${\displaystyle N=5g-5-1=5g-6}$以来${\displaystyle h^{0}(\omega _{C}^{\otimes 3})=6g-6-g+1}$これは、代数曲線のモジュライ空間の構築において有用である。なぜなら、ヒルベルト多項式を用いたヒルベルトスキームを構築するための射影空間として使用できるからである。${\displaystyle H_{C}(t)}$[ ^{9 ]​}

次数dの既約平面代数曲線は、正しく数えると( d  −  1)( d  −  2)/2  − g個の特異点を持つ。したがって、曲線が ( d − 1)( d − 2)/2 個の異なる特異点を持つ場合、それは有理曲線であり、有理パラメータ化が可能である。     

リーマン面または代数曲線間の（分岐）写像に関するリーマン・フルヴィッツの公式は、リーマン・ロッホの定理の帰結である。

クリフォードの特殊因子に関する定理もリーマン・ロッホの定理の帰結である。それは、特殊因子（すなわち、${\displaystyle \ell (K-D)>0}$満足${\displaystyle \ell (D)>0}$、次の不等式が成り立つ：^{[ 10 ]}

${\displaystyle \ell (D)\leq {\frac {\deg D}{2}}+1}$。

代数曲線に関する命題は、セールの双対性を用いて証明できる。整数${\displaystyle \ell (D)}$は、線束のグローバルセクションの空間の次元です。${\displaystyle {\mathcal {L}}(D)}$Dに関連付けられている（カルティエ因子を参照）。したがって、層コホモロジーの観点から、次のようになる。${\displaystyle \ell (D)=\mathrm {dim} H^{0}(X,{\mathcal {L}}(D))}$、同様に${\displaystyle \ell ({\mathcal {K}}_{X}-D)=\dim H^{0}(X,\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}(D)^{\vee })}$しかし、曲線の特定の場合における非特異射影多様体のセール双対性は、${\displaystyle H^{0}(X,\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}(D)^{\vee })}$双対と同型である${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {L}}(D))^{\vee }}$左辺は除数Dのオイラー標数に等しい。D = 0 の場合、構造層のオイラー標数は次のようになる。${\displaystyle 1-g}$定義により、一般の除数に対する定理を証明するには、除数に点を一つずつ追加していき、オイラー標数がそれに応じて右辺に変化するようにすればよい。

コンパクトリーマン面に関する定理は、チョウの定理とGAGA原理を用いて代数的な定理から導き出すことができます。実際、すべてのコンパクトリーマン面は、ある複素射影空間における代数方程式によって定義されます。（チョウの定理は、射影空間の任意の閉じた解析的部分多様体は代数方程式によって定義されることを示し、GAGA原理は、代数多様体の層コホモロジーは、同じ方程式によって定義される解析多様体の層コホモロジーと同じであることを示しています。）

代数曲線の場合の証明と全く同じように議論することで、チョウの定理の使用を避けることができるが、${\displaystyle {\mathcal {L}}(D)}$束と共に${\displaystyle {\mathcal {O}}_{D}}$有理型関数hの係数はすべて、${\displaystyle (h)+D}$は非負である。ここで、除数に点を加えるとオイラー標数が望ましいように変換されるという事実は、短完全数列によって誘導される長完全数列から読み取ることができる。

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{D}\to {\mathcal {O}}_{D+P}\to \mathbb {C} _{P}\to 0}$

どこ${\displaystyle \mathbb {C} _{P}}$Pにある超高層ビル束と地図${\displaystyle {\mathcal {O}}_{D+P}\to \mathbb {C} _{P}}$返します${\displaystyle -k-1}$th ローラン係数、ここで${\displaystyle k=D(P)}$[ ^{11 ]​}