二項二次形式

数学において、2項二次形式は2つの変数を持つ 2次同次多項式である。

${\displaystyle q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2},\,}$

ここで、a、b、cは係数です。係数が任意の複素数である場合、ほとんどの結果は 2 変数の場合に固有ではないため、二次形式で記述されます。整数係数を持つ二次形式は、整数二進二次形式と呼ばれ、しばしば二進二次形式と略されます。

この記事は、整二進二次形式についてのみ取り上げます。この選択は、この形式が代数的数論の発展の原動力となっていることに由来します。19 世紀後半以降、二進二次形式は代数的数論における優位性を二次数体やより一般的な数体に譲りましたが、二進二次形式に特有の進歩は今でも時々起こります。

ピエール・フェルマーは、p が奇数の素数であれば、 のときにのみ、この方程式は解を持つと述べ、 、、などの方程式についても同様のことを述べています。 などは二次形式であり、二次形式理論はこれらの定理を統一的に考察し証明する方法を提供します。 ${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}$${\displaystyle p=x^{2}+2y^{2}}$${\displaystyle p=x^{2}+3y^{2}}$${\displaystyle p=x^{2}-2y^{2}}$${\displaystyle p=x^{2}-3y^{2}}$${\displaystyle x^{2}+y^{2},x^{2}+2y^{2},x^{2}-3y^{2}}$

二次形式のもう一つの例はペル方程式 です。 ${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}$

二元二次形式は二次体のイデアルと密接に関係しています。これにより、与えられた判別式の簡約二元二次形式の数を数えることで二次体の類数を計算できます。

2 変数の古典的なシータ関数は であり、 が正定値の 2 次形式である場合は はシータ関数です。 ${\displaystyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}}q^{m^{2}+n^{2}}}$${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}}q^{f(m,n)}}$

次の条件が満たされる 整数が存在する場合、2 つの形式fとgは同等であると呼ばれます。${\displaystyle \alpha 、\beta 、\gamma 、{\text{ および }}\delta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)&=g(x,y),\\\alpha \delta -\beta \gamma &=1.\end{aligned}}}$

たとえば、、、、および の場合、fはと同等であり、に簡略化されることがわかります 。 ${\displaystyle f=x^{2}+4xy+2y^{2}}$${\displaystyle \alpha =-3}$${\displaystyle \beta =2}$${\displaystyle \gamma =1}$${\displaystyle \delta =-1}$${\displaystyle g=(-3x+2y)^{2}+4(-3x+2y)(x-y)+2(x-y)^{2}}$${\displaystyle -x^{2}+4xy-2y^{2}}$

上記の同値条件は、整二次形式の集合上の同値関係を定義します。したがって、二次形式は、二次形式のクラスと呼ばれる同値クラスに分割されます。クラス不変量は、形式の同値クラスで定義された関数、または同じクラスのすべての形式で共有されるプロパティのいずれかを意味します。

ラグランジュは、2 番目の条件が に置き換えられた、異なる同値性の概念を使用しました。ガウス以来、この定義は上記の定義よりも劣ることが認識されています。区別する必要がある場合、形式は、上記の定義を使用して 適切に同値であると呼ばれ、ラグランジュの意味で同値である場合は 不適切に同値であると呼ばれることがあります。${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1}$

以下で時々使用されるマトリックス用語では、

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}}$

が整数要素を持ち、行列式が 1 の場合、写像は の2 項二次形式の集合への(右)群作用です。上記の同値関係は群作用の一般理論から生じます。 ${\displaystyle f(x,y)\mapsto f(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

の場合、重要な不変量として以下が挙げられます。 ${\displaystyle f=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$

• 判別 式。${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}$
• a、b、cの最大公約数に等しい内容。

クラスとその形式を不変量の観点から分類するための用語が生まれた。判別式の形式はが完全な平方である場合は定型、が完全な平方である場合は退化しており、それ以外の場合は不定である。形式は、その内容が 1 の場合、つまり係数が互いに素である場合は原始的である。形式の判別式が基本判別式である場合、その形式は原始的である。^[1]判別式は${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta <0}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta \equiv 0,1{\pmod {4}}.}$

fが2次形式の場合、行列

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}}$

のがfの自己同型であるのは、次の場合である。例えば、行列 ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle f(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)=f(x,y)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3&-4\\-2&3\end{pmatrix}}}$

は形式 の自己同型です。形式の自己同型はの部分群です。f が定値のとき、群は有限であり、fが不定値のとき、群は無限かつ巡回的です。 ${\displaystyle f=x^{2}-2y^{2}}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

2 進二次形式は、整数を見つけて方程式を満たすことができる場合、整数を表します。 このような方程式は、nをqで表したものです。 ${\displaystyle q(x,y)}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle n=q(x,y).}$

ディオファントスは、奇数 に対して、 となる整数 を見つけることが可能かどうかを検討した。^[2]のとき、 ${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle n=x^{2}+y^{2}}$${\displaystyle n=65}$

${\displaystyle {\begin{aligned}65&=1^{2}+8^{2},\\65&=4^{2}+7^{2},\end{aligned}}}$

それで、うまくいくペアが見つかります。との値を入れ替えたり、との一方または両方の符号を変えたりすることで、うまくいくペアをさらに得ることができます。全部で16の異なる解のペアがあります。一方、 のとき、方程式 ${\displaystyle (x,y)=(1,8){\text{ and }}(4,7)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle n=3}$

${\displaystyle 3=x^{2}+y^{2}}$

には整数解がありません。その理由を確認するには、または でない限り、 であることに注目してください。したがって、 がでそれぞれがまたは1に等しい9 組のペアのいずれかでない限り、 は 3 を超えます。これらの 9 組を直接チェックすると、いずれも を満たさないことがわかり、したがって方程式には整数解がありません。 ${\displaystyle x^{2}\geq 4}$${\displaystyle x=-1,0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle -1,0}$${\displaystyle 3=x^{2}+y^{2}}$

同様の議論から、各 に対して、 の絶対値と が両方とも より小さくない限り はを超えるため、方程式には有限個の解しか存在しないことがわかります。この制約を満たすペアは有限個しかありません。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n=x^{2}+y^{2}}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle |x|}$${\displaystyle |y|}$${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

二次形式に関するもう一つの古い問題は、ペル方程式を解くことです。例えば、となる整数xとy を求めるとします。解のxとyの符号を変えると別の解が得られるので、正の整数の解だけを求めるだけで十分です。1 つの解は です。つまり、等式 が存在します。が の任意の解である場合、 は別のそのようなペアです。例えば、ペア から、次のように計算します。 ${\displaystyle 1=x^{2}-2y^{2}}$${\displaystyle (x,y)=(3,2)}$${\displaystyle 1=3^{2}-2\cdot 2^{2}}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle 1=x^{2}-2y^{2}}$${\displaystyle (3x+4y,2x+3y)}$${\displaystyle (3,2)}$

${\displaystyle (3\cdot 3+4\cdot 2,2\cdot 3+3\cdot 2)=(17,12)}$、

そして、これが を満たすことを確認できます。このプロセスを繰り返すと、を満たすさらなるペアが見つかります。 ${\displaystyle 1=17^{2}-2\cdot 12^{2}}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle 1=x^{2}-2y^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(3\cdot 17+4\cdot 12,2\cdot 17+3\cdot 12)&=(99,70),\\(3\cdot 99+4\cdot 70,2\cdot 99+3\cdot 70)&=(577,408),\\&\vdots \end{aligned}}}$

これらの値は大きくなり続けるので、1 を の形式で表す方法は無限にあることがわかります。この再帰的な記述は、ユークリッドの『原論』に対するスミルナのテオンの注釈で説明されています。 ${\displaystyle x^{2}-2y^{2}}$

2 項二次形式の理論における最も古い問題は、表現問題です。つまり、与えられた数の表現を、与えられた二次形式fで記述する問題です。「記述する」にはさまざまな意味があります。すべての表現を生成するアルゴリズムを与えること、表現の数に対する閉じた式を与えること、あるいは単に表現が存在するかどうかを判断することなどです。 ${\displaystyle n}$

上の例では、数 3 と 65 を の形式で、数 1 を の形式で表現する問題について論じています。65 は 16 通りの方法で表現されますが、1 は によって無限に多くの方法で表現され、3 はまったく によって表現されません。最初のケースでは、16 通りの表現が明示的に記述されています。整数を で表現する方法の数は常に有限であることも示されました。平方和関数は、nの関数としてnをで表現する方法の数を与えます。閉じた式があります^[3]${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$${\displaystyle x^{2}-2y^{2}}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$${\displaystyle x^{2}-2y^{2}}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle r_{2}(n)}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$

${\displaystyle r_{2}(n)=4(d_{1}(n)-d_{3}(n)),}$

ここで、は 4 を法として 1 と合同なnの約数の数であり、は4 を法として 3 と合同な nの約数の数です。${\displaystyle d_{1}(n)}$${\displaystyle d_{3}(n)}$

表現問題に関連するクラス不変量がいくつかあります。

• クラスによって表される整数の集合。整数nがクラス内のフォームによって表される場合、その整数はクラス内の他のすべてのフォームによって表されます。
• クラスによって表される最小の絶対値。これは、クラスによって表される整数のセット内の最小の非負値です。
• クラスによって表されるクラスの判別式を法とする合同クラス。

クラスによって表される最小の絶対値は、退化クラスの場合は 0、定常クラスと不定常クラスの場合は正です。定常形式によって表されるすべての数は同じ符号を持ちます。つまり、 の場合は正、 の場合は負です。このため、前者は正定常形式と呼ばれ、後者は負定常形式と呼ばれます。 ${\displaystyle f=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$${\displaystyle a>0}$${\displaystyle a<0}$

整数nを形式fで表現する方法の数は、 fが定数値の場合は有限であり、 fが不定数値の場合は無限です。この例は、上記の例で確認しました。 は正定数値であり、は不定数値です。 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$${\displaystyle x^{2}-2y^{2}}$

形式の同値性の概念は、同値な表現に拡張することができる。表現とが同値となるのは、行列が存在する場合である。 ${\displaystyle m=f(x_{1},y_{1})}$${\displaystyle n=g(x_{2},y_{2})}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}}$

整数要素と行列式1を持つので、 ${\displaystyle f(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)=g(x,y)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\delta &-\beta \\-\gamma &\alpha \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}}$

上記の条件は、整数の 2 進二次形式による表現の集合に対する群の (正しい) 作用を与えます。したがって、このように定義された同値は同値関係であり、特に同値な表現の形式は同値な形式になります。 ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

例として、という表現を考えてみましょう。このような表現は、上記の例で説明したペル方程式の解です。行列 ${\displaystyle f=x^{2}-2y^{2}}$${\displaystyle 1=f(x_{1},y_{1})}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3&-4\\-2&3\end{pmatrix}}}$

は行列式 1 を持ち、 fの自己同型です。この行列を表現に作用させると、同等の表現 が得られます。これは、 の無限の解を生成するための、上で説明したプロセスの再帰ステップです。この行列の作用を繰り返すと、上で決定されたfによる 1 の表現の無限集合がすべて同等であることがわかります。 ${\displaystyle 1=f(x_{1},y_{1})}$${\displaystyle 1=f(3x_{1}+4y_{1},2x_{1}+3y_{1})}$${\displaystyle 1=x^{2}-2y^{2}}$

一般に、整数nを与えられた非ゼロの判別式 の形式によって表現する同値類は有限個存在します。これらのクラスの代表の完全な集合は、以下のセクションで定義される簡約形式で与えることができます。 のとき、すべての表現は簡約形式による一意の表現に等しいため、代表の完全な集合は判別式 の簡約形式によるnの有限個の表現によって与えられます。 のとき、Zagier は、判別式形式による正の整数nのすべての表現は、 f がZagier の意味で簡約され、である一意の表現に等しいことを証明しました。^[4]このような表現すべての集合は、 表現の同値類の代表の完全な集合を構成します。 ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta <0}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta >0}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle n=f(x,y)}$${\displaystyle x>0}$${\displaystyle y\geq 0}$

ラグランジュは、あらゆる値Dに対して、判別式Dを持つ2進二次形式のクラスは有限個しか存在しないことを証明した。その数は判別式Dのクラス番号。彼は、各クラスにおける標準的な代表値、すなわち適切な意味で係数が最小となる 簡約形 を簡約 と呼ばれるアルゴリズムを説明しました

ガウスは『算術論』で優れた簡約アルゴリズムを提示し、それ以来この簡約アルゴリズムは教科書で最も一般的に提示されている。1981年、ザギエはガウスのアルゴリズムの代替としてさまざまな用途に使用されている代替簡約アルゴリズムを発表した。^[5]

合成は、最も一般的には、同じ判別式の形式の原始同値類に対する二項演算を指し、ガウスの最も深い発見の1つであり、これにより、この集合は判別式の形式類群（または単に類群）と呼ばれる有限アーベル群になります。 類群はそれ以来、代数的整数論の中心的なアイデアの1つになっています。現代的な観点からは、基本判別式の類群は、判別式の二次体の狭域類群と同型です。^[6]が負の場合、狭域類群は理想類群と同じですが、正の場合、2倍の大きさになることがあります。 ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {\Delta }})}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta }$

「合成」は、大まかに言えば、二項二次形式に対する二項演算を指すこともあります。「大まかに」という言葉は、2 つの注意点を示しています。合成できるのは特定の二項二次形式のペアのみであり、結果の形式は明確に定義されていません (ただし、同値クラスは明確に定義されています)。同値クラスの合成演算は、まず形式の合成を定義し、次にこれがクラスに対して明確に定義された演算を誘導することを示すことによって定義されます。

「合成」は、フォームによる整数の表現に対する二項演算を指すこともあります。この演算はフォームの合成よりもかなり複雑ですが^{[引用が必要]}、歴史的に最初に登場しました。このような演算については、以下の別のセクションで説明します。

合成とは、同じ判別式の 2 つの二次形式を取り、それらを組み合わせて同じ判別式の二次形式を作成することであり、Brahmagupta の恒等式から次のように示されます。

フォームの合成にはさまざまな定義が与えられてきましたが、その多くはガウスの極めて技術的で一般的な定義を単純化しようとする試みでした。ここでは、手計算で実行できるほど単純でありながら、かなり一般的な Arndt の方法を紹介します。別の定義については、Bhargava キューブで説明されています。

同じ判別式 と の各原始関数を持つフォームとを合成するとします。次の手順を実行します。 ${\displaystyle f_{1}=A_{1}x^{2}+B_{1}xy+C_{1}y^{2}}$${\displaystyle f_{2}=A_{2}x^{2}+B_{2}xy+C_{2}y^{2}}$${\displaystyle \Delta }$

1. とを計算し、${\displaystyle B_{\mu }={\tfrac {B_{1}+B_{2}}{2}}}$${\displaystyle e=\gcd(A_{1},A_{2},B_{\mu })}$${\displaystyle A={\tfrac {A_{1}A_{2}}{e^{2}}}}$
2. 合同法を解く

   ${\displaystyle {\begin{aligned}x&\equiv B_{1}{\pmod {2{\tfrac {A_{1}}{e}}}}\\x&\equiv B_{2}{\pmod {2{\tfrac {A_{2}}{e}}}}\\{\tfrac {B_{\mu }}{e}}x&\equiv {\tfrac {\Delta +B_{1}B_{2}}{2e}}{\pmod {2A}}\end{aligned}}}$

   このシステムは常に を法とする一意の整数解を持つことが示せます。そのような解を任意に選択し、それをBと呼びます。${\displaystyle 2A}$
3. となるC を計算します。Cが整数であることが示されます。${\displaystyle \Delta =B^{2}-4AC}$

形式はとの合成です。最初の係数は明確に定義されていますが、他の 2 つはBとCの選択に依存します。これを明確に定義する 1 つの方法は、B の選択方法について任意の規則を作成することです。たとえば、上記の合同法の最小の正の解としてB を選択します。または、合成の結果を形式としてではなく、形式の行列のグループの作用を法とする形式の同値類として見ることができます。 ${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}}}$、

ここでnは整数です。この作用の下でのクラスを考えると、クラス内の形式の中間係数は 2 Aを法とする整数の合同クラスを形成します。したがって、合成により、2 進二次形式のペアからそのようなクラスへの明確に定義された関数が与えられます。 ${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}}$

および がそれぞれおよびと同等である場合、との合成はおよびの合成と同等であることが示されます。したがって、合成は判別式 の原始クラスに対して明確に定義された操作を誘導し、前述のように、ガウスはこれらのクラスが有限アーベル群を形成することを示しまし た。群の恒等クラスは、すべての形式、つまり第 1 係数が 1 である唯一のクラスです。(このような形式はすべて単一のクラスに存在することが示され、制約はすべての判別式のこのような形式が存在することを意味します。)クラスを反転するには、代表を取り、 のクラスを形成します。あるいは、と は同等であるため、のクラスを形成することもできます。 ${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}}$${\displaystyle g_{1}}$${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}}$${\displaystyle g_{1}}$${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle x^{2}+Bxy+Cy^{2}}$${\displaystyle \Delta \equiv 0{\text{ or }}1{\pmod {4}}}$${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}}$${\displaystyle Ax^{2}-Bxy+Cy^{2}}$${\displaystyle Cx^{2}+Bxy+Ay^{2}}$${\displaystyle Ax^{2}-Bxy+Cy^{2}}$

ガウスは同値性のより粗い概念も考え、各粗いクラスを形式の種数と呼んだ。各種数は、同じ判別式の有限個の同値クラスの和集合であり、クラスの数は判別式のみに依存する。2 項二次形式のコンテキストでは、種数は、形式によって表される数の合同クラス、または形式の集合上で定義される種数指標のいずれかによって定義できる。3 番目の定義は、n 変数の二次形式の種の特殊なケースである。これは、形式がすべての有理数素数 (アルキメデスの場所を含む) で局所的に同値である場合に、それらの形式は同じ種数にあると述べている。

二元二次形式を含む代数的恒等式に関する先史時代の知識の状況証拠がある。^[7] 二元二次形式に関する最初の問題は、特定の二元二次形式による整数の表現の存在または構成を問うものである。主な例は、ペル方程式の解と、2つの平方の和としての整数の表現である。ペル方程式は、7世紀のインドの数学者ブラフマグプタによってすでに考えられていた。数世紀後、彼のアイデアはペル方程式の完全な解法にまで拡張され、チャクラヴァラ法として知られ、インドの数学者ジャヤデーヴァまたはバースカラ2世に帰せられる。^[8]整数を2つの平方の和で表現する問題は、3世紀にディオファントスによって考えられた。^[9] 17世紀、ディオファントスの『算術』を読んでインスピレーションを得たフェルマーは、現在では2つの平方数の和に関するフェルマーの定理として知られているものを含む、特定の二次形式による表現に関するいくつかの観察を行った。^[10] オイラーはフェルマーの観察の最初の証明を提供し、証明なしで特定の形式による表現に関するいくつかの新しい予想を加えた。^[11]

二次形式の一般理論は、1775年にラグランジュが著書『算術の研究』で提唱した。ラグランジュは「首尾一貫した一般理論には、すべての形式を同時に考慮する必要がある」と初めて認識した人物である。^[12] 彼は判別式の重要性を認識し、同値と簡約という基本概念を定義した最初の人物であり、ヴェイユによれば、これらは「それ以来、二次形式の主題全体を支配してきた」。^[13] ラグランジュは、与えられた判別式の同値類が有限個存在することを示し、それによって初めて算術類数を定義した。彼が簡約を導入したことで、与えられた判別式の類を素早く列挙できるようになり、インフラストラクチャの最終的な発展を予見した。 1798年、ルジャンドルは『数論の理論に関するエッセイ』を出版した。この本ではオイラーとラグランジュの研究を要約し、さらに形式上の合成演算を初めて垣間見るなど、ルジャンドル自身の貢献もいくつか加えられている。

この理論は、ガウスが『算術論』第 5 章で大幅に拡張し、洗練させた。ガウスは、異なる判別式と原始形式の偶数形式を合成できる、非常に一般的なバージョンの合成演算子を導入した。彼は、ラグランジュの同値性をより正確な真同値性の概念に置き換え、これにより、与えられた判別式の原始類が合成演算子の下で群を形成することを示すことができた。彼は、類群を平方の部分群で割った商を理解するための強力な方法となる種数論を導入した。(ガウスとその後の多くの著者は、bの代わりに2 bと書いた。 xyの係数が奇数であることを許可する現代の慣例は、アイゼンシュタインによるものである。)

ガウスのこれらの研究は、2つ以上の変数を持つ二次形式の算術理論と、二次体をより一般的な数体に置き換えた代数的整数論のその後の発展の両方に強い影響を与えました。しかし、その影響はすぐには現れませんでした。Disquisitionesの第Vセクションには、真に革新的なアイデアが含まれており、非常に複雑な計算が含まれており、読者に任せることもありました。目新しさと複雑さが相まって、第Vセクションは難解なことで有名でした。ディリクレは、より幅広い読者に理解しやすいように理論​​を簡略化して出版しました。この研究の集大成は、彼のテキストであるVorlesungen über Zahlentheorieです。この研究の第3版には、デデキントによる2つの補遺が含まれています。補足XIでは環論が導入され、それ以降、特に1897年にヒルベルトの 論文が出版されてからは、二元二次形式の理論は代数的数論における卓越した地位を失い、より一般的な代数体理論に影を落とされるようになった。

それでも、整数係数を持つ2次二次形式の研究は現在まで続いています。これには、2次二次形式の言語に翻訳できることが多い2次数体に関する多数の結果が含まれますが、Shanksのインフラストラクチャ、Zagierの縮小アルゴリズム、Conwayのトポグラフ、BhargavaのBhargavaキューブによる合成の再解釈など、形式自体に関する開発や形式について考えることから生まれた開発も含まれます。

• バーガヴァキューブ
• 2平方数の和に関するフェルマーの定理
• ルジャンドル記号
• ブラフマグプタの正体

• Johannes Buchmann、Ulrich Vollmer: Binary Quadratic Forms、Springer、ベルリン 2007、ISBN  3-540-46367-4
• ダンカン A. ビューエル:バイナリ二次形式、シュプリンガー、ニューヨーク、1989
• デイビッド・A・コックス、の形の素数、フェルマー、類体論、複素乗算${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$
• コーエン、アンリ（1993）、計算代数的数論講座、大学院数学テキスト、第138巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-3-540-55640-4、MR  1228206
• フレーリッヒ、アルブレヒト、テイラー、マーティン（1993）、代数的数論、ケンブリッジ高等数学研究、第27巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-43834-6、MR  1215934
• ハーディ、GH ;ライト、EM (2008) [1938]、数論入門、 DRヒースブラウンとJHシルバーマン改訂。アンドリューワイルズによる序文。(第6版)、オックスフォード：クラレンドンプレス、ISBN 978-0-19-921986-5、MR  2445243、Zbl  1159.11001
• ヴェイユ、アンドレ（2001）、数論：ハンムラピからルジャンドルまでの歴史を通したアプローチ、ビルクハウザー・ボストン
• Zagier, Don (1981)、Zetafunktionen undquadratische Körper: eine Einführung in die höhere Zahlentheorie、Springer

• ピーター・ルシュニー、二進法の二次形式で表された正の数
• AV Malyshev (2001) [1994]、「二元二次形式」、数学百科事典、EMS Press