リーマン級数定理

数学において、リーマン級数定理は、19世紀のドイツの数学者ベルンハルト・リーマンにちなんで名付けられたリーマン再配置定理とも呼ばれ、実数の無限級数が条件付きで収束する場合、その項を任意の実数に収束するように並べ替え、新しい級数が発散するように並べ替えることができると述べている。これは、実数級数が絶対収束する場合と無条件収束する場合に限り、実数級数が絶対収束することを意味している。^{[1] [2]}

例えば、シリーズ

${\displaystyle 1-1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4}}+\dots }$

0に収束する（十分に大きな項の数では、部分和は0に任意に近づく）が、すべての項をその絶対値で置き換えると、

${\displaystyle 1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}+\dots }$

合計すると無限大になる。したがって、元の級数は条件付き収束であり、（最初の2つの正の項の後に最初の負の項、次の2つの正の項、次の負の項などを取ることによって）次のように異なる合計に収束する級数に並べ替えることができる。

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}-1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{2}}+\dots }$

これはln 2と評価されます。より一般的には、この手順をp 個の正の数とq 個の負の数に適用すると、合計 ln( p / q ) が得られます。他の並べ替えでは、他の有限の合計が得られるか、どの合計にも収束しません。

有限数の和は、それらの加算順序に依存しないというのは基本的な結果である。例えば、2 + 6 + 7 = 7 + 2 + 6である。無限数列の和が加数の順序に依存するという観察は、1833 年のオーギュスタン＝ルイ・コーシーによるものと一般に考えられている。 ^[3]彼は交代調和級数を分析し、その加数の特定の並べ替えが異なる極限をもたらすことを示した。同じ頃、ピーター・グスタフ・ルジューン・ディリクレは、そのような現象は絶対収束の文脈では排除されることを強調し、絶対収束しない他のいくつかの級数に対するコーシーの現象のさらなる例を示した。^[4]

ベルンハルト・リーマンは、フーリエ級数の解析とリーマン積分理論の過程で、再配置現象の完全な特徴付けを行った。^{[5]彼は、絶対収束しない収束級数（}条件付き収束として知られる）の場合、新しい級数が任意に指定された実数に収束するように再配置できることを証明した。^{[6]リーマンの定理は現在、}数学解析の分野の基本部分と見なされている。^[7]

任意の級数について、加数の可能な並び替えすべてに対応する、すべての可能な和の集合を考えることができる。リーマンの定理は、実数の級数について、この集合は空、一点（絶対収束の場合）、または実数直線全体（条件付き収束の場合）のいずれかであると定式化できる。この定式化では、リーマンの定理はポール・レヴィとエルンスト・シュタイニッツによって、加数が複素数、またはより一般的には有限次元実ベクトル空間の要素である級数に拡張された。^{[8] [9]}彼らは、可能な和の集合が実アフィン部分空間を形成することを証明した。レヴィ・シュタイニッツの定理の無限次元空間の級数への拡張は、多くの著者によって検討されてきた。^[10]

級数が収束するとは、部分和の 列が${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \ell}$

${\displaystyle (S_{1},S_{2},S_{3},\ldots ),\quad S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k},}$

は に収束します。つまり、任意のε >  0 に対して、n  ≥  Nならば、 ${\displaystyle \ell}$

${\displaystyle \left\vert S_{n}-\ell \right\vert \leq \varepsilon .}$

数列が収束するが発散する場合、その数列は条件付きで収束します。 ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left\vert a_{n}\right\vert }$

順列とは、正の整数の集合からそれ自身への単射です。つまり、 が順列である場合、任意の正の整数に対して、 となる正の整数が 1 つだけ存在します。特に、 の場合、 となります。 ${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle b,}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \sigma (a)=b.}$${\displaystyle x\neq y}$${\displaystyle \sigma (x)\neq \sigma (y)}$

が実数列で、条件付き収束すると仮定する。が実数であるとする。すると、次のような 順列が存在する。${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=M.}$

次のような 順列も存在する。${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=\infty .}$

合計は、有限または無限の任意の限界に発散したり、それに近づかないように並べ替えることもできます。 ${\displaystyle -\infty }$

交代調和級数は、条件付き収束級数の典型的な例です。は収束しますが、は通常の調和級数であり、発散します。標準的な表現では、交代調和級数はln(2)に収束しますが、その項は任意の数に収束するように、または発散するように配置できます。 $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}$$$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\right|=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$$

その一例は次の通りです。通常の順序で書かれたシリーズから始めます。

${\displaystyle \ln(2)=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}\cdots }$

次のように用語を並べ替えてグループ化します。

${\displaystyle {\begin{aligned}&1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\=&{}\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \end{aligned}}}$

ここで、パターンは次のようになります。最初の 2 つの項は ​​1 と −1/2 で、その合計は 1/2 です。次の項は −1/4 です。次の 2 つの項は ​​1/3 と −1/6 で、その合計は 1/6 です。次の項は −1/8 です。次の 2 つの項は ​​1/5 と −1/10 で、その合計は 1/10 です。一般に、すべての奇数は正に 1 回出現し、すべての偶数は負に 1 回出現するため (半分は 4 の倍数、残り半分は奇数の 2 倍)、合計は 3 つのブロックで構成され、次のように簡略化できます。

${\displaystyle \left({\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{2(2k-1)}}\right)-{\frac {1}{4k}}=\left({\frac {1}{2(2k-1)}}\right)-{\frac {1}{4k}},\quad k=1,2,\dots .}$

したがって、上記の数列は実際には次のように記述できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}+\cdots +{\frac {1}{2(2k-1)}}-{\frac {1}{2(2k)}}+\cdots \\={}&{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2)\end{aligned}}}$

これは元々の和の半分であり、値がゼロの場合にのみ元のシーケンスと等しくなります。この数列は、2番目の部分和が半分であることを使用してライプニッツの定理の証明によってゼロより大きいことが実証できます。^[11]あるいは、収束する値はゼロにはなりません。したがって、シーケンスの値は、数列が計算される順序に依存することが示されています。 ${\displaystyle \ln(2)}$

次のシーケンスは事実です:

${\displaystyle \{b_{n}\}=1,-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{6}},-{\frac {1}{8}},{\frac {1}{5}},-{\frac {1}{10}},-{\frac {1}{12}},{\frac {1}{7}},-{\frac {1}{14}},-{\frac {1}{16}},\cdots }$

シーケンス内のすべての要素が含まれます:

${\displaystyle \{a_{n}\}=1,-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},-{\frac {1}{6}},{\frac {1}{7}},-{\frac {1}{8}},{\frac {1}{9}},-{\frac {1}{10}},{\frac {1}{11}},-{\frac {1}{12}},{\frac {1}{13}},-{\frac {1}{14}},{\frac {1}{15}},\cdots }$

しかし、和は ととして定義されているため、項の順序が極限に影響を与える可能性があります。^[11]${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}:=\lim _{n\to \infty }\left(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\right)}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}:=\lim _{n\to \infty }\left(b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n}\right)}$

前のセクションの結果を復元し一般化する効率的な方法は、次の事実を利用することである。

${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+\cdots +{1 \over n}=\gamma +\ln n+o(1),}$

ここでγはオイラー・マスケローニ定数であり、表記o (1)は現在の変数（ここでは変数 n）に依存する量を表し、変数が無限大に近づくとこの量は0になります。

q個の偶数項 の合計は次式を満たす。

${\displaystyle {1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 6}+\cdots +{1 \over 2q}={1 \over 2}\,\gamma +{1 \over 2}\ln q+o(1),}$

そしてその差をとると、 p個の奇数項 の合計が

${\displaystyle {1}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+\cdots +{1 \over 2p-1}={1 \over 2}\,\gamma +{1 \over 2}\ln p+\ln 2+o(1).}$

2 つの正の整数aとbが与えられ、交代調和級数から正の項をa個、続いて負の項をb個順に取り、このパターンを無限に繰り返すことによって交代調和級数の並べ替えが形成されるとします(交代級数自体はa = b = 1に対応し、前のセクションの例はa  = 1、b  = 2 に対応します)。

${\displaystyle {1}+{1 \over 3}+\cdots +{1 \over 2a-1}-{1 \over 2}-{1 \over 4}-\cdots -{1 \over 2b}+{1 \over 2a+1}+\cdots +{1 \over 4a-1}-{1 \over 2b+2}-\cdots }$

すると、この並べ替えられた級数の( a  +  b ) n次部分和には、 p = an個の正の奇数項とq = bn 個の負の偶数項が含まれるので、

${\displaystyle S_{(a+b)n}={1 \over 2}\ln p+\ln 2-{1 \over 2}\ln q+o(1)={1 \over 2}\ln \left({\frac {a}{b}}\right)+\ln 2+o(1).}$

この並べ替えられた級数の和は^{[12]となる。}

${\displaystyle {1 \over 2}\ln \left({\frac {a}{b}}\right)+\ln 2=\ln \left(2{\sqrt {\frac {a}{b}}}\right).}$

ここで、より一般的に、交代調和級数の並べ替えられた級数が、n次の部分和における正の項と負の項の数の比p _n / q _nが正の極限rに近づくような方法で構成されていると仮定する。この場合、このような並べ替えの和は、

${\displaystyle \ln \left(2{\sqrt {r}}\right),}$

これは、任意の実数x が交代調和級数の並べ替えられた級数の和として得られることを説明しています。つまり、極限rがe ^{2 x} / 4に等しい並べ替えを形成すれば十分です。

リーマンの定理とその証明の記述は次のように全文で述べられている: ^[13]

… 無限級数は、すべての項を正にしたときに収束するかどうかによって、2 つの異なるクラスに分類されます。最初のクラスでは、項を任意に並べ替えることができます。一方、2 番目のクラスでは、値は項の順序に依存します。実際、2 番目のクラスの級数の正の項をa ₁、a ₂、a ₃、...で表し、負の項を− b ₁、 − b ₂、 − b ₃、...で表すと、 Σ aとΣ b が無限大でなければならないことは明らかです。なぜなら、両方が有限であれば、すべての符号を同じにした後でも級数は収束するからです。一方だけが無限大であれば、級数は発散します。明らかに、項を適切に並べ替えることで、任意に与えられた値C を得ることができます。級数の正の項を合計がCより大きくなるまで交互に取り、次に負の項を合計がCより小さくなるまで交互に取ります。Cからの偏差は、符号が最後に入れ替わった箇所の項の大きさを超えることはありません。さて、数aと数b は指数が増加するにつれて無限に小さくなるため、 Cからの偏差も同様に小さくなります。この数列を十分に進めていくと、偏差は任意に小さくなり、つまり数列はCに収束します。

これをさらに詳しく説明すると次のようになる。^[14]実数項の条件付き収束級数には、無限に多くの負の項と無限に多くの正の項があることを思い出してください。まず、2つの量を定義し、次のようにします。 ${\displaystyle a_{n}^{+}}$${\displaystyle a_{n}^{-}}$

${\displaystyle a_{n}^{+}={\begin{cases}a_{n}&{\text{if }}a_{n}\geq 0\\0&{\text{if }}a_{n}<0,\end{cases}}\qquad a_{n}^{-}={\begin{cases}0&{\text{if }}a_{n}\geq 0\\a_{n}&{\text{if }}a_{n}<0.\end{cases}}}$

つまり、級数にはすべての負の項がゼロに置き換えられた正のn_がすべて含まれ、級数にはすべての負のn_がすべて含まれ、正の項がすべてゼロに置き換えられた負の n がすべて含まれる。は条件付き収束なので、「正」級数と「負」級数はどちらも発散する。M を任意の実数とする。正の項を、その合計がM を超えるようにちょうど十分な数だけ取る。つまり、p _{1 を}最小の正の整数とする。 ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{+}}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{-}}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$${\displaystyle a_{n}^{+}}$

${\displaystyle M<\sum _{n=1}^{p_{1}}a_{n}^{+}.}$

これは、級数の部分和が となる傾向があるため可能です。ここで、q _{1 を}最小の正の整数とすると、 ${\displaystyle a_{n}^{+}}$${\displaystyle +\infty }$

${\displaystyle M>\sum _{n=1}^{p_{1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{1}}a_{n}^{-}.}$

この数が存在するのは、 の部分和が になる傾向があるからです。次に、帰納的に、p _{2 を}p ₁より大きい 最小の整数として定義し、${\displaystyle a_{n}^{-}}$${\displaystyle -\infty }$

${\displaystyle M<\sum _{n=1}^{p_{2}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{1}}a_{n}^{-},}$

結果は新しいシーケンスとして見ることができる。

${\displaystyle a_{1}^{+},\ldots ,a_{p_{1}}^{+},a_{1}^{-},\ldots ,a_{q_{1}}^{-},a_{p_{1}+1}^{+},\ldots ,a_{p_{2}}^{+},a_{q_{1}+1}^{-},\ldots ,a_{q_{2}}^{-},a_{p_{2}+1}^{+},\ldots .}$

さらに、この新しい数列の部分和はMに収束する。これは、任意のiに対して、

${\displaystyle \sum _{n=1}^{p_{i+1}-1}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i}}a_{n}^{-}\leq M<\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i}}a_{n}^{-},}$

最初の不等式は、p _{i +1が}p _iより大きい最小の数として定義されているため成り立ち、これにより2番目の不等式が成り立つ。その結果、

${\displaystyle 0<\left(\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i}}a_{n}^{-}\right)-M\leq a_{p_{i+1}}^{+}.}$

条件付き収束の仮定により右辺はゼロに収束するので、これは、新しいシーケンスの( p _{i +1} + q _i )番目の部分和がi が増加するにつれてMに収束することを示しています。同様に、( p _{i +1} + q _{i +1} )番目の部分和もMに収束します。( p _{i +1} + q _i + 1)番目、( p _{i +1} + q _i + 2)番目、... ( p _{i +1} + q _{i +1} − 1)番目の部分和は、 ( p _{i +1} + q _i )番目と( p _{i +1} + q _{i +1} )番目の部分和の間に値があるため、部分和のシーケンス全体がMに収束することになります。

元のシーケンスa _nのすべてのエントリは、部分和がMに収束するこの新しいシーケンスに現れます。元のシーケンスのゼロのエントリは、新しいシーケンスに 2 回現れます (「正」シーケンスに 1 回、「負」シーケンスに 1 回)。このような出現は 2 回目ごとに削除できますが、これは和にはまったく影響しません。したがって、新しいシーケンスは元のシーケンスの順列です。

を条件付き収束級数とします。以下は、この級数を並べ替えて となる傾向があることの証明です(同様の議論を使用してとなることも示せます)。 ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle -\infty }$

リーマンの元の定式化の上記の証明は、p _{i +1が}p _iより大きい最小の整数として選択されるように修正するだけでよく、

${\displaystyle i+1<\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i}}a_{n}^{-},}$

q _{i +1}はq _iより大きい最小の整数として選ばれ、

${\displaystyle i+1>\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i+1}}a_{n}^{-}.}$

左辺のi +1の選択は重要ではなく、無限大まで増加する任意の数列に置き換えることができる。nが増加するにつれて0に収束するので、十分に大きいiに対しては ${\displaystyle a_{n}^{-}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i+1}}a_{n}^{-}>i,}$

そしてこれは（上記の収束の分析と同様に）新しい数列の部分和の数列が無限大に発散することを証明します。

上記の証明は、 p _{i +1が}p _iより大きい最小の整数として選択されるように修正するだけでよい。

${\displaystyle 1<\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i}}a_{n}^{-},}$

q _{i +1}はq _iより大きい最小の整数として選ばれ、

${\displaystyle -1>\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i+1}}a_{n}^{-}.}$

これは、部分和のシーケンスに 1 より大きいエントリが無限に含まれ、また-1より小さいエントリも無限に含まれており、そのため部分和のシーケンスは収束できないことを直接示しています。

無限級数 が与えられた場合、「固定点」 の集合を考え、 内の添字の入れ替えのみが許される場合に、級数を合計すると得られる実数を調べることができます。つまり、とします。この表記法では、次の式が得られます。 ${\displaystyle a=(a_{1},a_{2},...)}$${\displaystyle I\subset \mathbb {N} }$${\displaystyle I}$$${\displaystyle S(a,I)=\left\{\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{\pi (n)}:\pi {\text{ is a permutation on }}\mathbb {N} ,{\text{ such that }}\forall n\not \in I,\pi (n)=n,{\text{ and the summation converges.}}\right\}}$$

• が有限であれば、 となります。ここで は対称差を意味します。${\displaystyle I\mathbin {\triangle } I'}$${\displaystyle S(a,I)=S(a,I')}$${\displaystyle \triangle }$
• もしそうなら。${\displaystyle I\subset I'}$${\displaystyle S(a,I)\subset S(a,I')}$
• 級数が絶対収束する和である場合、任意の に対して となります。${\displaystyle S(a,I)=\left\{\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}\right\}}$${\displaystyle I}$
• 級数が条件付き収束和である場合、リーマン級数定理により、 となります。${\displaystyle S(a,\mathbb {N} )=[-\infty ,+\infty ]}$

シェルピンスキーは、正の項だけを並べ替えると、元の級数の和以下の任意の所定の値に収束する級数を得ることができるが、一般にそれより大きな値を得ることはできないことを証明した。^{[15] [16] [17]}つまり、を条件付き収束和とすると、にはが含まれますが、他の数が含まれるという保証はありません。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle S(a,\{n\in \mathbb {N} :a_{n}>0\})}$${\displaystyle \left[-\infty ,\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}\right]}$

より一般的には、を のイデアルとすると、 を定義できます。 ${\displaystyle J}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle S(a,J)=\cup _{I\in J}S(a,I)}$

をすべての漸近密度零集合の集合、つまり とします。が のイデアルであることは明らかです。 ${\displaystyle J_{d}}$${\displaystyle I\subset \mathbb {N} }$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {|[0,n]\cap I|}{n}}=0}$${\displaystyle J_{d}}$${\displaystyle \mathbb {N} }$

証明の概要:条件付き収束する和が与えられたとき、とが両方とも条件付き収束するようなを構築します。次に、 を整理するだけで 内の任意の数に収束します。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle I\in J_{d}}$${\displaystyle \sum _{n\in I}a_{n}}$${\displaystyle \sum _{n\not \in I}a_{n}}$${\displaystyle \sum _{n\in I}a_{n}}$${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$

フィリポフとシュカは他のイデアルもこの性質を持つことを証明した。^[19]

収束する複素数級数が与えられた場合、その級数の項を並べ替える（入れ替える）ことによって得られる すべての級数の可能な和の集合を考えると、いくつかのケースが発生する可能性があります。${\textstyle \sum a_{n}}$${\textstyle \sum a_{\sigma (n)}}$

• 級数は無条件に収束する可能性がある。その場合、並べ替えられた級数はすべて収束し、同じ和を持つ。並べ替えられた級数の和の集合は 1 つの点に縮小される。${\textstyle \sum a_{n}}$
• 級数は無条件に収束しない可能性があります。S が収束する並べ替えられた級数の和の集合を表す場合、集合S は複素平面 C上の形式の直線Lであるか、集合Sが複素平面 C全体であるかのどちらかです。${\textstyle \sum a_{n}}$$${\displaystyle L=\{a+tb:t\in \mathbb {R} \},\quad a,b\in \mathbb {C} ,\ b\neq 0,}$$

より一般的には、有限次元実ベクトル空間 E内のベクトルの収束する級数が与えられた場合、収束する並べ替えられた級数の和の集合はEの アフィン部分空間です。

• 絶対収束 § 再配置と無条件収束
• アグニューの定理— すべての収束級数に対して同じ和への収束を保つすべての並べ替えを記述する

• Weisstein, Eric W.「リーマン級数定理」。MathWorld 。 2023年2月1日閲覧。