ハーン・バナッハの定理

関数解析において、ハーン・バナッハの定理は、あるベクトル空間のベクトル部分空間で定義された有界線形汎関数を空間全体に拡張することを可能にする中心的な結果である。この定理はまた、双対空間を研究するために、すべてのノルム付きベクトル空間で定義された十分な連続線形汎関数が存在することも示している。ハーン・バナッハの定理の別のバージョンは、ハーン・バナッハ分離定理または超平面分離定理として知られており、凸幾何学において数多くの用途がある。

この定理は、1920年代後半にそれぞれ独立に証明した数学者ハンス・ハーンとシュテファン・バナッハにちなんで名付けられました。空間に対するこの定理の特殊なケース${\displaystyle C[a,b]}$区間上の連続関数の拡張定理は、1912 年にエドゥアルト・ヘリーによって証明されており、^{[ 1 ]}ハーン・バナッハの定理を導出できるより一般的な拡張定理であるM. リース拡張定理は、1923 年にマルセル・リースによって証明された。^{[ 2 ]}

最初のハーン・バナッハの定理は、 1912年にエドゥアルト・ヘリーによって証明され、ある種のノルム空間の部分空間上で定義された特定の線形汎関数が、${\displaystyle \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }}$) は同じノルムの拡張を持っていた。ヘリーは、まず 1 次元拡張(線形汎関数の定義域が 1 次元拡張される) が存在することを証明し、次に帰納法を用いるという手法でこれを行った。1927 年、ハーンは一般のバナッハ空間を定義し、ヘリーの手法を用いてバナッハ空間に対するハーン・バナッハ定理のノルム保存版 (部分空間上の有界線形汎関数が同じノルムの有界線形拡張を空間全体に持つ) を証明した。1929 年、ハーンの結果を知らなかったバナッハは、ノルム保存版を劣線形関数を用いる支配拡張版に置き換えることでこれを一般化した。ヘリーの証明は数学的帰納法を用いたが、ハーンとバナッハはともに超限帰納法を用いた。^{[ 3 ]}

ハーン・バナッハの定理は、無限個の線形方程式系を解こうとする試みから生まれた。これは、モーメント問題のような問題を解くために必要となる。モーメント問題とは、関数のすべての潜在的なモーメントが与えられたとき、それらのモーメントを持つ関数が存在するかどうかを判定し、存在する場合は、それらのモーメントを用いてその関数を求める問題である。フーリエ余弦級数問題も同様の問題であり、フーリエ余弦のすべての潜在的な係数が与えられたとき、それらの係数を持つ関数が存在するかどうかを判定し、存在する場合は、その関数を求める問題である。

リースとヘリーは、特定のクラスの空間（例えば、${\displaystyle L^{p}([0,1])}$そして${\displaystyle C([a,b])}$）彼らは、解の存在が特定の線形汎関数の存在と連続性に等しいことを発見した。事実上、彼らは次の問題を解決する必要があった。^{[ 3 ]}

（ベクトル問題）コレクションが与えられた場合${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ノルム空間上の有界線形汎関数${\displaystyle X}$そしてスカラーの集合${\displaystyle \left(c_{i}\right)_{i\in I},}$存在するかどうかを判断する${\displaystyle x\in X}$そのため${\displaystyle f_{i}(x)=c_{i}}$すべての人々のために${\displaystyle i\in I.}$

もし${\displaystyle X}$反射空間である場合、ベクトル問題を解くには、次の双対問題を解けば十分である。^{[ 3 ]}

（機能的な問題）コレクションが与えられた場合${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ノルム空間におけるベクトル${\displaystyle X}$そしてスカラーの集合${\displaystyle \left(c_{i}\right)_{i\in I},}$有界な線形汎関数が存在するかどうかを判定する${\displaystyle f}$の上${\displaystyle X}$そのため${\displaystyle f\left(x_{i}\right)=c_{i}}$すべての人々のために${\displaystyle i\in I.}$

リースは定義を続けた${\displaystyle L^{p}([0,1])}$空間（${\displaystyle 1<p<\infty }$）1910年に$\displaystyle \ell ^{p}}$1913年に空間を研究していた彼は、これらの空間を研究する中で、ハーン・バナッハの定理の特殊な場合を証明した。ヘリーも1912年にハーン・バナッハの定理の特殊な場合を証明した。1910年にリースは特定の空間について関数問題を解決し、1912年にヘリーはより一般的なクラスの空間についてそれを解決した。1932年になってようやく、バナッハはハーン・バナッハの定理の最初の重要な応用の1つで、一般的な関数問題を解決した。次の定理は、一般的な関数問題を述べ、その解を特徴づけている。^{[ 3 ]}

ハーン・バナッハの定理は上記の記述を暗示している。^{[ 3 ]}それを確認するには、連続線形汎関数の存在を観察するだけでよい。${\displaystyle f:X\longrightarrow {\mathbb {K} }}$、 どこ${\displaystyle {\mathbb {K} }}$どちらか${\displaystyle {\mathbb {R} }}$または${\displaystyle {\mathbb {C} }}$は、単に${\displaystyle K}$（有限）ノルム${\displaystyle f}$は非負の実数である。逆については、${\displaystyle M}$のベクトル部分空間とする${\displaystyle X}$家族によって生成された${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$すると、この不等式は、明確に定義された線形関数が存在することを意味する。${\displaystyle g:M\longrightarrow {\mathbb {K} }}$、したがって${\displaystyle g\left(x_{i}\right)=c_{i}}$すべての${\displaystyle i\in I}$さらに、前述の不等式は、この線形関数が${\displaystyle g}$も連続であり、その規範は${\displaystyle \vert \vert g\vert \vert }$境界は${\displaystyle K}$連続線形演算子として。とにかく、${\displaystyle p:X\longrightarrow {\mathbb {R} }}$定義される${\displaystyle p(v):=K\vert \vert v\vert \vert }$我々はすぐに次の結論を下す。${\displaystyle p}$半規範であり、${\displaystyle \vert g(w)\vert \leq p(w)}$すべての${\displaystyle w\in M}$したがって、ハハン・バナックの定理（下記の「実数または複素数」バージョンを参照）は、次の存在を意味する。${\displaystyle f:V\longrightarrow {\mathbb {K} }}$拡張${\displaystyle g}$ノルムは、線形演算子として、以下によって上から制限される。${\displaystyle K}$したがって、連続的である。${\displaystyle f}$g を拡張すると、${\displaystyle f}$最初の主張を満たす。言い換えれば、ハーン＝バナッハの定理は、述べられているようにこの定理を導く。${\displaystyle X}$は再帰的であり、どちらの文も同等です。

実数値関数${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$部分集合上で定義される${\displaystyle M}$の${\displaystyle X}$と言われている（上図のように）関数${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$もし${\displaystyle f(m)\leq p(m)}$すべての${\displaystyle m\in M.}$ このため、ハーン・バナッハの定理の次のバージョンは、優越拡張定理と呼ばれます。

定理は、以下の要件が満たされる場合に真であり続ける。${\displaystyle p}$緩和されて、${\displaystyle p}$凸関数である: ^{[ 7 ] [ 8 ]}$${\displaystyle p(tx+(1-t)y)\leq tp(x)+(1-t)p(y)\qquad {\text{ for all }}0<t<1{\text{ and }}x,y\in X.}$$ 関数${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$凸であり、${\displaystyle p(0)\leq 0}$かつその場合に限り${\displaystyle p(ax+by)\leq ap(x)+bp(y)}$すべてのベクトルについて${\displaystyle x,y\in X}$およびすべての非負の実数${\displaystyle a,b\geq 0}$そのため${\displaystyle a+b\leq 1.}$すべての劣線形関数は凸関数である。一方、${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$凸型で${\displaystyle p(0)\geq 0,}$すると、関数は次のように定義されます。${\displaystyle p_{0}(x)\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\inf _{t>0}{\frac {p(tx)}{t}}}$は正に均質である （なぜなら、すべての${\displaystyle x}$そして${\displaystyle r>0}$1つは${\displaystyle p_{0}(rx)=\inf _{t>0}{\frac {p(trx)}{t}}=r\inf _{t>0}{\frac {p(trx)}{tr}}=r\inf _{\tau >0}{\frac {p(\tau x)}{\tau }}=rp_{0}(x)}$）したがって凸関数であるため、劣線形である。また、上界は である。${\displaystyle p_{0}\leq p,}$そして満たす${\displaystyle F\leq p_{0}}$すべての線形関数に対して${\displaystyle F\leq p.}$したがって、ハーン・バナッ