スティーンロッド問題

数学、特にホモロジー理論において、スティーンロッドの問題（数学者ノーマン・スティーンロッドにちなんで名付けられた）は、ホモロジー類を特異多様体によって実現することに関する問題である。^[1]

を次元の閉じた有向多様体とし、 をその有向類とする。ここで はの整次元ホモロジー群を表す。任意の連続写像は誘導準同型を定義する。^[2]のホモロジー類は、の形である場合に実現可能と呼ばれる。スティーンロッド問題は、 の実現可能なホモロジー類を記述することに関係している。^[3]${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle [M]\in H_{n}(M)}$${\displaystyle H_{n}(M)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f\colon M\to X}$ ${\displaystyle f_{*}\colon H_{n}(M)\to H_{n}(X)}$${\displaystyle H_{n}(X)}$${\displaystyle f_{*}[M]}$${\displaystyle [M]\in H_{n}(M)}$${\displaystyle H_{n}(X)}$

のすべての要素は、が与えられた滑らかな多様体によって実現可能である。さらに、任意のサイクルは擬似多様体の写像によって実現できる。^[3]${\displaystyle H_{k}(X)}$${\displaystyle k\leq 6}$

Mが向き付け可能であるという仮定は緩和することができる。向き付け不可能な多様体の場合、（ は 2 を法とする整数を表す）のすべてのホモロジー類は、向き付け不可能な多様体 によって実現することができる。^[3]${\displaystyle H_{n}(X,\mathbb {Z} _{2})}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle f\colon M^{n}\to X}$

滑らかな多様体Mの場合、問題は準同型 の形を見つけることに帰着します。ここで はXの向き付けられたボルディズム群です。 ^[4]ボルディズム群 とトム空間MSO( k ) の関係は、スティーンロッド問題を準同型 の研究に帰着させることで明確化しました。^{[3] [5]} 1954 年の画期的な論文^[5]で、ルネ・トムは実現不可能なクラス の例を示しました。ここでMはアイレンバーグ・マクレーン空間です。 ${\displaystyle \Omega _{n}(X)\to H_{n}(X)}$${\displaystyle \Omega _{n}(X)}$${\displaystyle \Omega_{*}}$${\displaystyle H_{*}(\operatorname {MSO} (k))\to H_{*}(X)}$ ${\displaystyle [M]\in H_{7}(X)}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} _{3}\oplus \mathbb {Z} _{3},1)}$

• 特異ホモロジー
• ポントリャーギン・トム構造
• コボルディズム

• MathOverflowの Thom 構成と Steenrod 問題
• ポントリャーギン・トム構造の説明