直交座標系

幾何学において、平面上の直交座標系（英: / k ɑːr ˈ t iː zj ə n /、米: / k ɑːr ˈ t iː ʒ ə n /）は、各点を座標と呼ばれる実数のペアによって一意に指定する座標系です。座標は、座標線、座標軸、またはシステムの軸（複数形は軸）と呼ばれる、 2 本の固定された垂直な線からその点までの符号付き距離です。軸が交わる点は原点と呼ばれ、座標は(0, 0)です。軸の方向は直交基底を表します。原点と基底の組み合わせは、直交フレームと呼ばれる座標フレームを形成します。

同様に、 3 次元空間内の任意の点の位置は、3 つの直交座標で指定できます。直交座標は、点から 3 つの互いに垂直な平面までの符号付き距離です。より一般的には、n直交座標は、任意の次元nのn次元ユークリッド空間内の点を指定します。これらの座標は、点からn 個の互いに垂直な固定超平面までの符号付き距離です。

デカルト座標は、 17 世紀にデカルトが座標を発明して代数と微積分を用いて幾何学の問題を表現できるようになり、数学に革命をもたらしたことにちなんで名付けられました。デカルト座標系を使用すると、幾何学的図形 (曲線など)を、図形の各点の座標を含む方程式で記述できます。たとえば、平面の原点を中心とする半径 2 の円は、座標xとyが方程式x ² + y ² = 4を満たすすべての点の集合として記述できます。この方程式から積分と導関数を使用して、任意の点における面積、周囲、接線を計算できます。この方法は、どの曲線にも適用できます。

デカルト座標は解析幾何学の基礎であり、線型代数、複素解析、微分幾何学、多変量解析、群論など、数学の他の多くの分野に啓発的な幾何学的解釈を提供します。身近な例としては、関数のグラフの概念があります。デカルト座標は、天文学、物理学、工学など、幾何学を扱うほとんどの応用分野で不可欠なツールでもあります。デカルト座標は、コンピューターグラフィックス、コンピューター支援幾何学設計、その他の幾何学関連のデータ処理で使用される最も一般的な座標系です。

形容詞「デカルト」は、1637年にオランダに住んでいた時にこのアイデアを発表したフランスの数学者で哲学者の ルネ・デカルトを指す。このアイデアはピエール・ド・フェルマーによって独立に発見されたが、フェルマーはこの発見を公表しなかった。^[1]フランスの聖職者ニコル・オレームは、デカルトやフェルマーの時代よりずっと前に、デカルト座標に似た構成を使用していた。^[2]

デカルトとフェルマーはどちらも、その説明に単一の軸を使用し、この軸を基準にして測定された可変長を持っ​​ています。^[3]一対の軸を使用するという概念は、 1649年にデカルトの『幾何学』がフランス・ファン・スホーテンとその弟子によってラテン語に翻訳された後に導入されました。これらの注釈者は、デカルトの著作に含まれるアイデアを明確にしようとしながら、いくつかの概念を導入しました。^[4]

デカルト座標系の開発は、アイザック・ニュートンとゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツによる微積分学の発展に基本的な役割を果たすことになる。^{[5]平面の2座標記述は、後に}ベクトル空間の概念に一般化される。^[6]

デカルト以来、平面の極座標や、三次元空間の 球面座標や円筒座標など、他の多くの座標系が開発されてきました。

選択された直交座標系を持つアフィン直線は数直線と呼ばれます。直線上のすべての点は実数座標を持ち、すべての実数は直線上のいずれかの点を表します。

直線の直交座標系の選択には2つの自由度があり、直線に沿って2つの異なる点を選択し、それらを2つの異なる実数（最も一般的には0と1）に割り当てることによって指定できます。その後、線形補間によって他の点に一意に数値を割り当てることができます。同様に、1つの点を特定の実数（たとえば、原点を0に対応させる）に割り当て、直線に沿った方向の長さを単位として選択し、方向によって直線に沿った方向と正または負の数との対応を示すことができます。^[7]各点は、原点からの符号付き距離（絶対値が距離に等しく、方向に基づいて+または-の符号が選択される数）に対応します。

直線の幾何学的変換は、実変数の関数によって表すことができます。たとえば、直線の平行移動は加算に相当し、直線の拡大縮小は乗算に相当します。直線上の任意の 2 つの直交座標系は、特定の点の一方の座標系から他方の座標系への座標をとる線形関数(形式の関数)によって相互に関連付けることができます。2 つの異なる直線のそれぞれに座標系を選択すると、一方の直線上の各点を、同じ座標を持つもう一方の直線上の点にとる、一方の直線からもう一方の直線へのアフィン マップが確立されます。${\displaystyle x\mapsto ax+b}$

2次元の直交座標系（直交座標系または直交座標系^[8]とも呼ばれる）は、垂直な線（軸）のペア、両方の軸の長さの単一の単位、および各軸の方向によって定義されます。軸が交わる点は両方の軸の原点と見なされ、各軸は数直線になります。任意の点Pについて、各軸に垂直な線がP を通って描かれ、その線が軸と交わる位置が数値として解釈されます。その順序で選択された2つの数値がPの直交座標です。逆の構成により、座標が与えられた場合に点P を決定することができます。

最初の座標と 2 番目の座標は、それぞれPの横座標と縦座標と呼ばれ、軸が交わる点は座標系の原点と呼ばれます。座標は通常、括弧内の 2 つの数値として、その順序でカンマで区切って記述されます (例: (3, −10.5) )。したがって、原点は座標(0, 0)であり、原点から 1 単位離れた正の半軸上の点は座標(1, 0)と(0, 1)になります。

数学、物理学、工学では、通常、最初の軸は水平で右向きとして定義または描写され、2 番目の軸は垂直で上向きです。(ただし、一部のコンピュータ グラフィックスのコンテキストでは、縦座標軸が下向きになる場合があります。) 原点はOと表記されることが多く、2 つの座標は文字XとY、またはxとyで示されることがよくあります。この場合、軸はX軸、Y軸と呼ばれることがあります。文字の選択は、アルファベットの後半部分を未知の値を示すために使用するという元の規則に由来しています。アルファベットの最初の部分は、既知の値を指定するために使用されていました。

選択された直交座標系を持つユークリッド平面は、デカルト平面。デカルト平面では、単位円（半径が長さの単位に等しく、中心が原点）、単位正方形（対角線の端点が(0, 0)と(1, 1)）、単位双曲線など、特定の幾何学的図形。

2 つの軸は平面を 4 つの直角に分割し、これを象限と呼びます。象限にはさまざまな名前や番号が付けられますが、すべての座標が正である象限は通常、第 1 象限と呼ばれます。

点の座標が( x , y )の場合、X軸からの距離は| y | 、 Y軸からの距離はそれぞれ | x | です。ここで、 | · | は数値の 絶対値を表します。

3 次元空間の直交座標系は、共通点 (原点)を通り、互いに直交する 3 本の線 (軸) の順序付けられた集合、各軸の方向、および 3 つの軸すべてに対する単一の長さの単位で構成されます。2 次元の場合と同様に、各軸は数直線になります。空間の任意の点Pについて、各座標軸に垂直なP を通る平面を考慮し、その平面が軸を切る点を数値として解釈します。P の直交座標は、選択された順序での 3 つの数値です。逆の構成により、3 つの座標が与えられた場合に 点Pが決定されます。

あるいは、点Pの各座標は、 Pから他の 2 つの軸によって定義される平面までの距離としてとらえることができ、その符号は対応する軸の方向によって決まります。

軸の各ペアは座標平面を定義します。これらの平面は空間を 8 つの八分円に分割します。八分円は次のとおりです。

$${\displaystyle {\begin{aligned}(+x,+y,+z)&&(-x,+y,+z)&&(+x,-y,+z)&&(+x,+y,- z)\\(+x,-y,-z)&&(-x,+y,-z)&&(-x,-y,+z)&&(-x,-y,-z)\end{整列しました}}}$$

座標は通常、括弧で囲まれ、カンマで区切られた3つの数値（または代数式）として記述されます（例：(3, −2.5, 1)または( t , u + v , π /2) ）。したがって、原点は座標（0, 0, 0）であり、3つの軸上の単位点は（1, 0, 0）、（0, 1, 0）、（0, 0, 1）です。

3軸の座標の標準的な名前は、横座標、縦座標、応用座標です。^{[9]座標は、多くの場合、} x、y、zの文字で表されます。軸は、それぞれx軸、y軸、z軸と呼ばれることがあります。また、座標平面は、 xy平面、yz平面、xz平面と呼ばれることがあります。

数学、物理学、工学の分野では、最初の 2 つの軸は水平に定義または描写され、3 番目の軸は上を向いていると定義または描写されることが多い。その場合、3 番目の座標は高さまたは高度と呼ばれることがある。方向は通常、点(0, 0, 1)から見たときに最初の軸から 2 番目の軸までの 90 度の角度が反時計回りになるように選択されます。これは一般に右手の法則と呼ばれる規則です。

デカルト座標は一意かつ曖昧ではないため、デカルト平面上の点は実数のペア、つまりデカルト積 （ はすべての実数の集合）と同一視できます。同様に、 n次元の任意のユークリッド空間内の点はn 個の実数の組（リスト）で、つまりデカルト積 と同一視できます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

デカルト座標の概念は、互いに垂直でない軸や、各軸に沿った異なる単位を許容するように一般化されます。その場合、各座標は、他の軸（または、一般に、他のすべての軸によって定義される超平面）に平行な方向に沿って、1 つの軸に点を投影することによって取得されます。このような斜交座標系では、距離と角度の計算を標準のデカルト システムのものから変更する必要があり、多くの標準式（距離のピタゴラスの公式など）は成り立ちません（アフィン平面を参照）。

点の直交座標は、通常、(10, 5)や(3, 5, 7)のように括弧で囲み、カンマで区切って表記されます。原点は大文字のOで表記されることが多いです。解析幾何学では、未知または一般的な座標は、平面では文字 ( x , y )、3次元空間では文字 ( x , y , z ) で表記されることが多いです。この慣習は代数の慣習に由来しており、代数では、アルファベットの末尾近くの文字を未知の値 (多くの幾何学の問題における点の座標など) に使用し、先頭近くの文字を既知の量に使用します。

これらの慣例的な名前は、物理学や工学などの他の分野でもよく使用されますが、他の文字が使用されることもあります。たとえば、圧力が時間とともにどのように変化するかを示すグラフでは、グラフの座標はpおよびtで表されます。各軸は通常、それに沿って測定される座標にちなんで命名されます。つまり、x 軸、y 軸、t 軸などと呼ばれます。

座標の命名に関するもう 1 つの一般的な規則は、n次元空間のn座標に対して ( x ₁、x ₂、 ...、x _n )のように添え字を使用することです (特にnが 3 より大きいか指定されていない場合)。一部の著者は、番号付け ( x 0 、 x 1 、 ...、 x n −1 ) を好みます。これらの表記法は、特にコンピュータ プログラミングで便利です。ポイントの座標をレコードで_はなく配列_として保存する_{ことにより}、添え字を使用して座標をインデックス付けできます。

2 次元直交座標系の数学的な説明では、最初の座標 (伝統的に横座標と呼ばれる) は、左から右の方向の水平軸に沿って測定されます。2 番目の座標 (縦座標) は、通常、下から上の方向の垂直軸に沿って測定されます。直交座標系を学習する幼児は、通常、 2D の記憶術 (たとえば、「廊下に沿って歩き、階段を上る」は、 x軸をまっすぐ横切ってからy軸に沿って垂直に上がることに似ています) から始めて、 x軸、y軸、z軸の概念を固める前に、値の読み方の順序を学びます。

しかし、コンピュータグラフィックスと画像処理では、コンピュータディスプレイ上でy軸を下向きにした座標系がよく使用されます。この慣習は、画像がもともとディスプレイバッファに格納されていた方法から 1960 年代 (またはそれ以前) に開発されました。

3 次元システムの場合、慣例によりxy平面を水平に描き、高さ (正の上) を表すためにz軸が追加されます。さらに、 x軸をビューアーの方に向け、右または左に偏らせる慣例があります。図 ( 3D 投影または2D 透視図)でx軸とy軸がそれぞれ水平と垂直に示されている場合、z軸はビューアーまたはカメラに向かって「ページの外側」を指すように表示する必要があります。このような 3D 座標系の 2D 図では、想定されるビューアーまたはカメラの視点に応じて、 z軸は下左または下右を指す線または光線として表示されます。どの図や表示でも、3 つの軸の方向は全体として任意です。ただし、特に明記されていない限り、軸同士の相対的な方向は常に右手の法則に従う必要があります。すべての物理法則と数学法則は、この右利きを前提としており、これにより一貫性が確保されます。

3D図では、xとyにそれぞれ「横座標」と「縦座標」という名前が使われることはほとんどありません。使用される場合、z座標はapplicateと呼ばれることがあります。 abscissa、ordinate、applicate という単語は、座標値ではなく、座標軸を指すために使用されることがあります。^[8]

2次元直交座標系の軸は、平面を4つの無限領域に分割します。これらは象限と呼ばれ、[8] それぞれが2つの半軸で区切られています。これらは通常、1番目から4番目まで番号が付けられ、ローマ数字で表されます。I（^座標が両方とも正の符号を持つ）、II（横軸が負の-で縦軸が正の+）、III（横軸と縦軸の両方が-）、IV（横軸が+、縦軸が-）です。軸が数学の慣習に従って描かれる場合、番号は右上（「北東」）の象限から 反時計回りになります。

同様に、3次元の直交座標系では、点の座標の符号に応じて空間を8つの領域または八分円に分割します[ 8]。特定の八分円に名前を付ける際には、その符号を列挙する規則が使用されます。たとえば、( ⁺ + +)または(− + −)です。象限と八分円を任意の数の次元に一般化したものには、直交座標があり、同様の命名システムが適用されます。

直交座標を持つ平面上の2点間のユークリッド距離は 、${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$

$${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.}$$

これはピタゴラスの定理の直交座標版である。3次元空間では、点と点の間の距離は ${\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}$${\displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})}$

$${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1 })^{2}}},}$$

これはピタゴラスの定理を2回連続して適用することで得られる。^[10]

ユークリッド変換またはユークリッド運動は、ユークリッド平面上の点同士の距離が保たれる写像（全単射）である。この写像（等長写像とも呼ばれる）には、並進、回転、反射、すべり反射の4種類がある。^[11]

平面上の点の集合を、それらの間の距離と方向を保存しながら平行移動することは、集合内の各点の直交座標に固定の数値のペア( a , b )を追加することと同等である 。つまり、ある点の元の座標が( x , y )である場合、平行移動後は

$${\displaystyle (x',y')=(x+a,y+b).}$$

図形を原点を中心に反時計回りに一定の角度だけ回転させるということは、座標( x , y )の点を座標( x' , y' )の点に置き換えることと同等である。ここで、 ${\displaystyle \theta}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned}}}$$

したがって：

$${\displaystyle (x',y')=((x\cos \theta -y\sin \theta \,),(x\sin \theta +y\cos \theta \,).}$$

( x , y ) が点の直交座標である場合、 (− x , y )は、その線が鏡であるかのように、2 番目の座標軸 (y 軸) を横切るその点の反射の座標です。同様に、 ( x , − y ) は、1 番目の座標軸 (x 軸) を横切るその点の反射の座標です。より一般的には、原点を通り x 軸と角度をなす線を横切る反射は、座標( x , y )のすべての点を座標( x ′, y ′)の点に置き換えることと同等です。ここで ${\displaystyle \theta}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x\cos 2\theta +y\sin 2\theta \\y'&=x\sin 2\theta -y\cos 2\theta .\end{aligned}}}$$

したがって： $${\displaystyle (x',y')=((x\cos 2\theta +y\sin 2\theta \,),(x\sin 2\theta -y\cos 2\theta \,)).}$$

グライド反射は、線を横切る反射と、その線の方向への平行移動を組み合わせたものです。これらの操作の順序は重要ではないことがわかります (平行移動を最初に行い、その後に反射を行うこともできます)。

平面上のすべてのアフィン変換は、行列を使って統一的に記述することができる。この目的のために、点の座標は一般に列行列として表される。点にアフィン変換を適用した結果は、 2×2行列 で 列行列である式で与えられる 。 ^[12]すなわち、 ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$${\displaystyle (x',y')}$${\displaystyle (x,y)}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+b,}$$$${\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{1,1}&A_{1,2}\\A_{2,1}&A_{2,2}\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle b={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=xA_{1,1}+yA_{1,1}+b_{1}\\y'&=xA_{2,1}+yA_{2,2} +b_{2}.\end{整列}}}$$

アフィン変換のうち、ユークリッド変換は行列が直交するという事実によって特徴付けられる。つまり、その列はユークリッドノルム1の直交ベクトルであり、明示的には 、 ${\displaystyle A}$$${\displaystyle A_{1,1}A_{1,2}+A_{2,1}A_{2,2}=0}$$$${\displaystyle A_{1,1}^{2}+A_{2,1}^{2}=A_{1,2}^{2}+A_{2,2}^{2}=1.}$$

これは、 Aにその転置を掛けたものが単位行列であると言うことと同じです。これらの条件が成り立たない場合、式はより一般的なアフィン変換を表します。

変換は、Aが単位行列である場合にのみ平行移動となります。変換は、 Aが回転行列である場合にのみ、ある点の周りの回転となります。つまり、Aは回転行列であり、直交し、 $${\displaystyle A_{1,1}A_{2,2}-A_{2,1}A_{1,2}=1.}$$

反射または滑走反射は、次のような場合に得られます。 $${\displaystyle A_{1,1}A_{2,2}-A_{2,1}A_{1,2}=-1.}$$

変換が使用されていないと仮定すると (つまり、)、変換は関連する変換行列を単純に掛け合わせることで構成できます。 一般的なケースでは、変換の拡張行列を使用すると便利です。つまり、変換式を に書き直すことです。 この トリックを使用すると、アフィン変換の合成は拡張行列を掛け合わせることで得られます。 ${\displaystyle b_{1}=b_{2}=0}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}}=A'{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}},}$$$${\displaystyle A'={\begin{pmatrix}A_{1,1}&A_{1,2}&b_{1}\\A_{2,1}&A_{2,2}&b_{2}\\0&0&1\end{pmatrix}}.}$$

ユークリッド平面のアフィン変換は、線を線にマッピングする変換ですが、距離と角度が変わる場合があります。前のセクションで述べたように、これらは拡張行列で表すことができます。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1,1}&A_{2,1}&b_{1}\\A_{1,2}&A_{2,2}&b_{2}\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}}.}$$

ユークリッド変換は、 の 2×2 行列が直交するようなアフィン変換です。 ${\displaystyle A_{i,j}}$

2 つのアフィン変換の合成を表す拡張行列は、それらの拡張行列を乗算することによって得られます。

ユークリッド変換ではないアフィン変換には、特定の名前が付けられているものもあります。

ユークリッド変換ではないアフィン変換の例としては、スケーリングが挙げられます。図形を大きくしたり小さくしたりすることは、すべての点の直交座標に同じ正の数mを掛けることと同じです。( x , y )が元の図形上の点の座標である場合、拡大された図形上の対応する点は座標を持ちます。

$${\displaystyle (x',y')=(mx,my).}$$

mが 1 より大きい場合、数字は大きくなります。mが0 から 1 の間の場合、数字は小さくなります。

せん断変形は、正方形の上部を横に押して平行四辺形を形成します。水平せん断は次のように定義されます。

$${\displaystyle (x',y')=(x+ys,y)}$$

せん断は垂直方向にも適用できます。

$${\displaystyle (x',y')=(x,xs+y)}$$

x軸を固定または選択すると、y軸の方向が決まります。つまり、y軸は必然的に、x軸上の 0 とマークされた点を通るx軸に対する垂線になります。ただし、垂線上の 2 つの半直線のどちらを正として、どちらを負として指定するかは選択できます。これら 2 つの選択はそれぞれ、直交平面の 異なる方向 (利き手とも呼ばれます) を決定します。

平面を方向付ける通常の方法は、正のx軸が右を指し、正のy軸が上を指す ( x軸が「最初の」軸で、y軸が「2 番目の」軸) もので、正の方向または標準の方向 (右手方向とも呼ばれる)と見なされます。

正の方向を定義するためによく使用される記憶法は、右手の法則です。親指を上に向けて右手をやや閉じた状態で平面上に置くと、指は正の方向の座標系でx軸からy軸を指します。

飛行機の向きを決めるもう 1 つの方法は、左手の法則に従って、左手を平面に置き、親指を上に向けたままにします。

親指を原点から離れて軸に沿って正の方向に向けると、指の曲率はその軸に沿った正の回転を示します。

平面の方向付けに使用されるルールに関係なく、座標系を回転すると方向が保持されます。いずれかの軸を切り替えると方向が反転しますが、両方の軸を切り替えると方向は変わりません。

x軸とy軸が指定されると、それらによって z 軸が沿う線が決まりますが、この線には 2 つの方向が考えられます。結果として得られる 2 つの座標系は、「右手」と「左手」と呼ばれます。^[13] xy平面が水平でz軸が上を向いている標準的な方向（ xy平面の上から観察すると、 x軸とy軸がxy平面内で正の方向の2次元座標系を形成する）は、右手または正と呼ばれます。

この名前は右手の法則に由来しています。右手の人差し指を前に向け、中指を人差し指に対して直角に内側に曲げ、親指をその両方に対して直角に置くと、3 本の指は右利きシステムにおけるx軸、y軸、z軸の相対的な方向を示します。親指はx軸、人差し指はy軸、中指はz軸を示します。逆に、同じことを左手で行えば、左利きシステムになります。

図 7 は、左手座標系と右手座標系を示しています。3 次元オブジェクトが 2 次元画面に表示されるため、歪みや不明瞭さが生じます。下向き (右向き) の軸は観察者の方向を指し、一方、「中央」の軸は観察者から遠ざかる方向を指します。赤い円は水平のxy平面に平行で、 x軸からy軸への回転(どちらの場合も) を示します。したがって、赤い矢印は z 軸の前を通過します。

図 8 は、右手座標系を描写する別の試みです。ここでも、3 次元座標系を平面に投影することによって、あいまいさが生じます。多くの観察者は、図 8 が凸状の立方体と凹状の「角」の間を「反転」しているように見えます。これは、空間の 2 つの可能な方向に対応しています。図を凸状として見ると、左手座標系になります。したがって、図 8 を見る「正しい」方法は、x軸が観察者の方向を指し、凹状の角が見えると考えることです。

デカルト座標系における空間内の点は位置ベクトルで表すこともできます。これは、座標系の原点からその点を指す矢印と考えることができます。^[14]座標が空間的な位置（変位）を表す場合、原点から関心のある点へのベクトルを と表すのが一般的です。2次元では、原点からデカルト座標 (x, y) の点へのベクトルは次のように表すことができます。 ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} ,}$$

ここで、およびはそれぞれx軸とy軸の方向の単位ベクトルであり、一般に標準基底と呼ばれます（一部の応用分野では、これらはベルソルと呼ばれることもあります）。同様に、3次元では、原点から直交座標の点へのベクトルは次のように表すことができます。^[15]${\displaystyle \mathbf {i} ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$${\displaystyle \mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$${\displaystyle (x,y,z)}$ $${\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} ,}$$

どこでそして${\displaystyle \mathbf {i} ={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},}$ ${\displaystyle \mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},}$${\displaystyle \mathbf {k} ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.}$

ベクトルを乗算してすべての次元で機能する別のベクトルを得るという自然な解釈はありませんが、複素数を使用してそのような乗算を行う方法はあります。 2 次元の直交平面で、座標( x、y )の点を複素数z = x + iyと同一視します。ここで、i は虚数単位であり、座標(0、1)の点と同一視されるため、x軸方向の単位ベクトルではありません。複素数を乗算して別の複素数を得ることができるため、この同一視はベクトルを「乗算」する手段となります。 3 次元の直交空間では、四元数のサブセットを使用して同様の同一視を行うことができます。

• 直交座標ロボット
• 水平と垂直
• ジョーンズ図は2つの変数ではなく4つの変数をプロットする。
• 直交座標
• 極座標系
• 規則的なグリッド
• 球面座標系

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• ザウアー R、ザボー I (1967)。Ingenieurs の数学。ニューヨーク: Springer Verlag。LCCN  67-25285。

• 直交座標系
• Weisstein、Eric W.「直交座標」。MathWorld。
• 座標コンバーター – 極座標、直交座標、球座標を変換します
• 点の座標 – 点の座標を調べるためのインタラクティブ ツール
• 2D/3D 直交座標系操作用のオープンソース JavaScript クラス