構築可能な宇宙

数学、集合論において、構成可能宇宙（またはゲーデルの構成可能宇宙）は、${\displaystyle L,}$これは、より単純な集合を用いて完全に記述できる、特定の種類の集合である。${\displaystyle L}$構築可能な階層の結合である$\displaystyle L_{\alpha }}$これは、クルト・ゲーデルが1938年の論文「選択公理と一般化連続体仮説の無矛盾性」で提唱したものです。^{[ 1 ]}この論文で、彼は、構成可能な宇宙がZF集合論（つまり、選択公理を除いたツェルメロ＝フレンケル集合論）の内部モデルであり、また、選択公理と一般化連続体仮説が構成可能な宇宙で真であることを証明しました。これは、ZF自体が無矛盾であれば、両方の命題が集合論の基本公理と無矛盾であることを示しています。他の多くの定理は、これらの命題の一方または両方が真であるシステムでのみ成り立つため、これらの無矛盾性は重要な結果です。

${\displaystyle L}$フォン・ノイマン宇宙の構築に似た「段階」で構築されていると考えることができる。${\displaystyle V}$段階は順序数でインデックス付けされる。フォン・ノイマンの宇宙では、後継段階で、$\displaystyle V_{\alpha +1}}$前の段階のすべての部分集合の集合であること、$\displaystyle V_{\alpha }}$対照的に、ゲーデルの構成可能な宇宙では${\displaystyle L}$前の段階のサブセットのうち、以下の条件を満たすものだけを使用する。

• 集合論の形式言語における数式で定義可能、
• 前の段階のパラメータと、
• 数量詞は前の段階の範囲を表すものとして解釈される。

既に構築されたもののみに基づいて定義された集合に限定することで、結果として得られる集合が、周囲の集合論モデルの特殊性に依存せず、かつそのようなモデルに含まれる形で構築されることが保証される。

Def演算子を定義します: ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle \operatorname {Def} (X):={\Bigl \{}\{y\in X\mid (X,\in )\models \Phi (y,z_{1},\ldots ,z_{n})\}~{\Big |}~\Phi {\text{ は一階の式であり、}}z_{1},\ldots ,z_{n}\in X{\Bigr \}}.}$$

${\displaystyle L}$は、超限再帰によって次のように定義されます。

• ${\textstyle L_{0}:=\varnothing .}$
• ${\textstyle L_{\alpha +1}:=\オペレーター名 {Def} (L_{\alpha })。}$
• もし${\textstyle \lambda }$が限界順序数である場合、${\textstyle L_{\lambda }:=\bigcup _{\alpha <\lambda }L_{\alpha }.}$ここ${\textstyle \alpha <\lambda }$手段${\textstyle \alpha }$先行する${\textstyle \lambda }$。
• ${\textstyle L:=\bigcup _{\alpha \in \mathbf {Ord} }L_{\alpha }.}$ここで、Ord はすべての順序数のクラスを表します。

もし${\displaystyle z}$は$\displaystyle L_{\alpha }}$、 それから${\displaystyle z=\{y\in L_{\alpha }\mid y\in z\}\in {\textrm {Def}}(L_{\alpha })=L_{\alpha +1}}$[ ^{3 ]}だから^​$\displaystyle L_{\alpha }}$は、$\displaystyle L_{\alpha +1}}$これは、の冪集合の部分集合である。$\displaystyle L_{\alpha }}$したがって、これは入れ子になった推移的集合の塔である。しかし${\displaystyle L}$それ自体が適切なクラスです。

要素${\displaystyle L}$これらは「構成可能」集合と呼ばれ、${\displaystyle L}$それ自体が「構築可能な宇宙」である。「構築可能性の公理」は、時には「${\displaystyle V=L}$「、すべてのセット（${\displaystyle V}$）は構築可能、すなわち${\displaystyle L}$。

同等の定義$\displaystyle L_{\alpha }}$は：

任意の序数${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle L_{\alpha }=\bigcup _{\beta <\alpha }\operatorname {Def} (L_{\beta })\!}$。

任意の有限順序数に対して${\displaystyle n}$セット${\displaystyle L_{n}}$そして${\displaystyle V_{n}}$同じである（${\displaystyle V}$等しい${\displaystyle L}$またはそうでない）$\displaystyle L_{\omega }}$=$\displaystyle V_{\omega }}$: それらの要素は遺伝的に有限な集合と全く同じである。この点を超える等号は成り立たない。ZFC のモデルであっても、${\displaystyle V}$等しい${\displaystyle L}$、${\displaystyle L_{\omega +1}}$は、の真部分集合である。${\displaystyle V_{\omega +1}}$そしてその後$\displaystyle L_{\alpha +1}}$は、の冪集合の真部分集合である。$\displaystyle L_{\alpha }}$すべての人々のために${\displaystyle \alpha >\omega }$。 一方で、${\displaystyle V=L}$それは、$\displaystyle V_{\alpha }}$等しい$\displaystyle L_{\alpha }}$もし${\displaystyle \alpha =\omega _{\alpha }}$例えば、${\displaystyle \alpha }$アクセスできません。より一般的には、${\displaystyle V=L}$暗示する$\displaystyle H_{\alpha }}$=$\displaystyle L_{\alpha }}$すべての無限基数に対して${\displaystyle \alpha }$、 どこ$\displaystyle H_{\alpha }}$は、遺伝的に濃度が より小さい集合の集合です。${\displaystyle \alpha }$（遺伝的に可算な集合#一般化を参照）。

もし${\displaystyle \alpha }$が無限順序数である場合、の間に全単射が存在する$\displaystyle L_{\alpha }}$そして${\displaystyle \alpha }$そして、全単射は構成可能である。したがって、これらの集合は、それらを含む任意の推移的集合論モデルにおいて同数である。

上記で定義したとおり、$\displaystyle {\textrm {Def}}(X)}$は、 の部分集合の集合です。${\displaystyle X}$定義される$\displaystyle \Delta _{0}}$（レヴィ階層に関して、すなわち、有界量化子のみを含む集合論の式）パラメータとしてのみを使用する式${\displaystyle X}$およびその構成要素。^{[ 4 ]}

ゲーデルによる別の定義では、$\displaystyle L_{\alpha +1}}$冪集合の交差として$\displaystyle L_{\alpha }}$閉鎖に伴い${\displaystyle L_{\alpha }\cup \{L_{\alpha }\}}$ゲーデル演算に類似した、9つの明示的な関数の集合の下で定義される。この定義は定義可能性については一切言及していない。

すべての算術的部分集合${\displaystyle \omega }$関係${\displaystyle \omega }$に属する${\displaystyle L_{\omega +1}}$（算術の定義では 1 が与えられているため）${\displaystyle L_{\omega +1}}$) 逆に、${\displaystyle \omega }$に属する${\displaystyle L_{\omega +1}}$は算術的です（要素は$\displaystyle L_{\omega }}$自然数によって次のように符号化することができる。${\displaystyle \in }$定義可能、つまり算術である）。一方、${\displaystyle L_{\omega +2}}$すでに特定の非算術的部分集合を含む${\displaystyle \omega }$例えば、(自然数を符号化した)真の算術式のセット(これは以下のように定義できます)${\displaystyle L_{\omega +1}}$${\displaystyle }$だからそれは${\displaystyle L_{\omega +2}}$)

すべての超算術的部分集合${\displaystyle \omega }$関係${\displaystyle \omega }$に属する${\displaystyle L_{\omega _{1}^{\mathrm {CK} }}}$（どこ${\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}$はチャーチ・クリーネ順序数を表し、逆に の任意の部分集合は${\displaystyle \omega }$に属する${\displaystyle L_{\omega _{1}^{\mathrm {CK} }}}$超算術的である。^{[ 5 ]}

${\displaystyle (L,\in )}$は標準的な推移モデルである。${\displaystyle L}$これは推移クラスであり、解釈は実要素関係を使用するため、正当である。${\displaystyle L}$は内部モデルであり、つまり、すべての序数を含みます。${\displaystyle V}$また、以下のセット以外に「余分な」セットはありません。${\displaystyle V}$。 しかし${\displaystyle L}$厳密にはサブクラスである可能性がある${\displaystyle V}$。${\displaystyle L}$これはZFCのモデルであり、以下の公理を満たすことを意味します。

• 正則性の公理：すべての空でない集合${\displaystyle x}$何らかの要素が含まれています${\displaystyle y}$そのため${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$互いに素な集合である。

${\displaystyle (L,\in )}$は、${\displaystyle (V,\in )}$これは十分に根拠のあることなので、${\displaystyle L}$根拠は十分にある。特に、${\displaystyle y\in x\in L}$推移性により${\displaystyle L}$、${\displaystyle y\in L}$同じものを使用する場合${\displaystyle y}$例えば${\displaystyle V}$すると、それはまだ${\displaystyle x}$なぜなら、私たちは同じ要素間の関係を使用しており、新しいセットは追加されていないからです。

• 外延性の公理：2つの集合は、同じ要素を持つ場合に同じ集合である。

もし${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$は${\displaystyle L}$そしてそれらは同じ要素を持っています${\displaystyle L}$すると、${\displaystyle L}$の推移性により、それらは同じ要素を持つ（${\displaystyle V}$)したがって、それらは等しい（${\displaystyle V}$そして、${\displaystyle L}$)

• 空集合の公理：{} は集合である。

${\displaystyle \{\}=L_{0}=\{y\mid y\in L_{0}\land y=y\}}$それは${\displaystyle L_{1}}$。 それで${\displaystyle \{\}\in L}$要素間の関係は同じで、新しい要素が追加されていないため、これは空集合です。${\displaystyle L}$。

• ペアリングの公理：もし${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$集合である場合、${\displaystyle \{x,y\}}$集合である。

もし${\displaystyle x\in L}$そして${\displaystyle y\in L}$すると、何らかの序数がある${\displaystyle \alpha }$そのため${\displaystyle x\in L_{\alpha }}$そして$y ∈ L_{\alpha }}$。 それから${\displaystyle \{x,y\}=\{s\mid s\in L_{\alpha }\;\mathrm {かつ} \;(s=x\;\mathrm {または} \;s=y)\}\in L_{\alpha +1}}$。 したがって${\displaystyle \{x,y\}\in L}$そしてそれは同じ意味を持ちます${\displaystyle L}$については${\displaystyle V}$。

• 和集合の公理：任意の集合に対して${\displaystyle x}$セットがあります${\displaystyle y}$その要素は、まさに${\displaystyle x}$。

もし${\displaystyle x\in L_{\alpha }}$すると、その要素は$\displaystyle L_{\alpha }}$そしてそれらの要素も$\displaystyle L_{\alpha }}$。 それで${\displaystyle y}$は、$\displaystyle L_{\alpha }}$。 それから$\displaystyle y=\{s\mid s\in L_{\alpha }\;\mathrm {かつ} \;\mathrm {そこに} \;\mathrm {存在する} \;z\in x\;\mathrm {そのような} \;\mathrm {かつ} \;s\in z\}\in L_{\alpha +1}}$。 したがって${\displaystyle y\in L}$。

• 無限公理：集合が存在する${\displaystyle x}$そのため${\displaystyle \varnothing }$は${\displaystyle x}$そしていつでも${\displaystyle y}$は${\displaystyle x}$組合も同様です${\displaystyle y\cup \{y\}}$。

超限帰納法は各順序数を示すために使用できます${\displaystyle \alpha }$は$\displaystyle L_{\alpha +1}}$。 特に、${\displaystyle \omega \in L_{\omega +1}}$そしてこうして${\displaystyle \omega \in L}$。

• 分離公理：任意の集合が与えられたとき${\displaystyle S}$そしていかなる提案も${\displaystyle P(x,z_{1},\ldots ,z_{n})}$、${\displaystyle \{x\mid x\in S\;\mathrm {and} \;P(x,z_{1},\ldots ,z_{n})\}}$集合である。

部分式に対する帰納法によって${\displaystyle P}$、${\displaystyle \alpha }$そのため${\displaystyle L_{\alpha }}$含まれる${\displaystyle S}$そして${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$そして （${\displaystyle P}$は真実です${\displaystyle L_{\alpha }}$かつその場合に限り${\displaystyle P}$は真実です${\displaystyle L}$（）後者は「反射原理」と呼ばれる。${\displaystyle \{x\mid x\in S\;\mathrm {and} \;P(x,z_{1},\ldots ,z_{n})\;\mathrm {holds} \;\mathrm {in} \;L\}}$=${\displaystyle \{x\mid x\in L_{\alpha }\;\mathrm {and} \;x\in S\;\mathrm {and} \;P(x,z_{1},\ldots ,z_{n})\;\mathrm {holds} \;\mathrm {in} \;L_{\alpha }\}\in L_{\alpha +1}}$したがって、部分集合は${\displaystyle L}$[ ^{6 ]​}

• 置換公理：任意の集合が与えられた場合${\displaystyle S}$および任意のマッピング（正式には命題として定義される）${\displaystyle P(x,y)}$どこ${\displaystyle P(x,y)}$そして${\displaystyle P(x,z)}$暗示する${\displaystyle y=z}$)${\displaystyle \{y\mid \;\mathrm {there} \;\mathrm {exists} \;x\in S\;\mathrm {such} \;\mathrm {that} \;P(x,y)\}}$集合である。

させて${\displaystyle Q(x,y)}$相対化する式である${\displaystyle P}$に${\displaystyle L}$つまり、すべての量化子${\displaystyle P}$制限される${\displaystyle L}$。${\displaystyle Q}$は、より複雑な式です${\displaystyle Q}$しかし、それは依然として有限の式であり、${\displaystyle P}$マッピングは${\displaystyle L}$、${\displaystyle Q}$マッピングである必要があります${\displaystyle V}$;したがって、置換を適用できます${\displaystyle V}$に${\displaystyle Q}$。 それで${\displaystyle \{y\mid y\in L\;\mathrm {and} \;\mathrm {there} \;\mathrm {exists} \;x\in S\;\mathrm {such} \;\mathrm {that} \;P(x,y)\;\mathrm {holds} \;\mathrm {in} \;L\}}$=${\displaystyle \{y\mid \mathrm {there} \;\mathrm {exists} \;\mathrm {x} \in S\;\mathrm {such} \;\mathrm {that} \;Q(x,y)\}}$はセットです${\displaystyle V}$そして、${\displaystyle L}$再び置換公理を用いて${\displaystyle V}$そうすれば、${\displaystyle \alpha }$この集合が の部分集合である${\displaystyle L_{\alpha }\in L_{\alpha +1}}$すると、分離公理を使用できる。${\displaystyle L}$それが要素であることを示し終える${\displaystyle L}$

• 冪集合の公理：任意の集合に対して${\displaystyle x}$集合が存在する${\displaystyle y}$要素が${\displaystyle y}$はまさに${\displaystyle x}$。

一般に、集合のいくつかのサブセットは${\displaystyle L}$そこには${\displaystyle L}$つまり、セット全体のパワーセットは${\displaystyle L}$通常は${\displaystyle L}$ここで必要なのは、冪集合と${\displaystyle L}$は​${\displaystyle L}$置換を使用する${\displaystyle V}$交差が の部分集合となるような α が存在することを示す${\displaystyle L_{\alpha }}$すると交差点は${\displaystyle \{z\mid z\in L_{\alpha }\;\mathrm {and} \;z\;\mathrm {is} \;\mathrm {a} \;\mathrm {subset} \;\mathrm {of} \;x\}\in L_{\alpha +1}}$したがって、必要なセットは${\displaystyle L}$。

• 選択公理：集合が与えられた場合${\displaystyle x}$互いに素な空でない集合の集合が存在する。${\displaystyle y}$（選択肢セット）${\displaystyle x}$）各メンバーからちょうど１つの要素を含む${\displaystyle x}$。

Lには定義可能な整列が存在することが示せる。特に、すべての集合を順序付けることに基づく。${\displaystyle L}$定義と出現順位によって。したがって、各メンバーの最小要素を選択します。${\displaystyle x}$形成する${\displaystyle y}$結合と分離の公理を用いて${\displaystyle L}$

証明に注目してください${\displaystyle L}$ZFCのモデルは、${\displaystyle V}$ZFのモデルである、つまり選択公理が成り立つとは仮定しない${\displaystyle V}$。

もし${\displaystyle W}$ZFの標準モデルは、同じ序数を共有しています。${\displaystyle V}$すると、${\displaystyle L}$で定義されています${\displaystyle W}$は、${\displaystyle L}$で定義されています${\displaystyle V}$。 特に、${\displaystyle L_{\alpha }}$同じです${\displaystyle W}$そして${\displaystyle V}$任意の序数に対して${\displaystyle \alpha }$. そして同じ式とパラメータが${\displaystyle \mathrm {Def} (L_{\alpha })}$同じ構成可能な集合を生成する${\displaystyle L_{\alpha +1}}$。

さらに、${\displaystyle L}$はサブクラスです${\displaystyle V}$同様に、${\displaystyle L}$はサブクラスです${\displaystyle W}$、${\displaystyle L}$は、ZF の内部モデルであるすべての順序数を含む最小のクラスです。実際、${\displaystyle L}$それは、そのようなすべてのクラスの共通部分です。

セットがある場合${\displaystyle W}$で${\displaystyle V}$これは ZF の内部モデルであり、順序は${\displaystyle \kappa }$は、${\displaystyle W}$、 それから${\displaystyle L_{\kappa }}$は${\displaystyle L}$の${\displaystyle W}$ZFの標準モデルであるセットが存在する場合、そのような最小のセットは、${\displaystyle L_{\kappa }}$この集合はZFCの最小モデルと呼ばれます。下方レーヴェンハイム・スコレムの定理を用いると、最小モデル（存在する場合）が可算集合であることが示せます。

もちろん、一貫性のある理論には必ずモデルが必要となるため、集合論の最小モデルの中にも、ZF（ZFが一貫性を持つと仮定した場合）のモデルとなる集合が存在する。しかし、これらの集合モデルは非標準的である。特に、それらは通常の要素関係を用いず、また、整礎的ではない。

両方とも「${\displaystyle L}$建設中${\displaystyle L}$" そして "${\displaystyle V}$建設中${\displaystyle L}$「現実の結果${\displaystyle L}$、そして両方とも${\displaystyle L}$の${\displaystyle L_{\kappa }}$そして${\displaystyle V}$の${\displaystyle L_{\kappa }}$本当の${\displaystyle L_{\kappa }}$私たちはそれを理解しています${\displaystyle V=L}$は真実です${\displaystyle L}$そしてどんな${\displaystyle L_{\kappa }}$それはZFのモデルです。しかし、${\displaystyle V=L}$ZFの他の標準モデルには当てはまりません。

整列させる方法は様々ある${\displaystyle L}$これらの中には、「微細構造」に関わるものもある。${\displaystyle L}$これは、ロナルド・ビョルン・イェンセンが1972年の論文「構築可能な階層の微細構造」で初めて記述したものです。微細構造の説明の代わりに、どのように${\displaystyle L}$上記の定義のみを用いて、秩序だった状態を作り出すことができる。

仮定する${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$2つの異なるセットがあります${\displaystyle L}$そして、私たちは、${\displaystyle x<y}$または${\displaystyle x>y}$。 もし${\displaystyle x}$初出${\displaystyle L_{\alpha +1}}$そして${\displaystyle y}$初出${\displaystyle L_{\beta +1}}$そして${\displaystyle \beta }$と異なる${\displaystyle \alpha }$すると${\displaystyle x<y}$かつその場合に限り${\displaystyle \alpha <\beta }$今後は、${\displaystyle \beta =\alpha }$。

ステージ${\displaystyle L_{\alpha +1}=\mathrm {Def} (L_{\alpha })}$パラメーターを含む数式を使用します${\displaystyle L_{\alpha }}$セットを定義する${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$パラメータを（一時的に）無視すれば、式は自然数による標準的なゲーデル番号付けを与えることができる。${\displaystyle \Phi }$は、定義するために使用できる最小のゲ​​ーデル数を持つ式です。${\displaystyle x}$、 そして${\displaystyle \Psi }$は、定義するために使用できる最小のゲ​​ーデル数を持つ式です。${\displaystyle y}$、 そして${\displaystyle \Psi }$と異なる${\displaystyle \Phi }$すると${\displaystyle x<y}$かつその場合に限り${\displaystyle \Phi <\Psi }$ゲーデル数化において。以下では、${\displaystyle \Psi =\Phi }$。

仮に${\displaystyle \Phi }$使用する${\displaystyle n}$パラメータから${\displaystyle L_{\alpha }}$。 仮定する${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$は、使用できるパラメータのシーケンスです。${\displaystyle \Phi }$定義する${\displaystyle x}$、 そして${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$同じことをします${\displaystyle y}$.次に${\displaystyle x<y}$いずれかが該当する場合に限り${\displaystyle z_{n}<w_{n}}$または （${\displaystyle z_{n}=w_{n}}$そして${\displaystyle z_{n-1}<w_{n-1}}$） または （${\displaystyle z_{n}=w_{n}}$そして${\displaystyle z_{n-1}=w_{n-1}}$そして${\displaystyle z_{n-2}<w_{n-2}}$）、など。これは逆辞書式順序と呼ばれます。1 つのセットを定義するパラメータのシーケンスが複数ある場合、この順序の下で最小のものを選択します。各パラメータの可能な値は、順序の制約に従って順序付けられることを理解してください。${\displaystyle L}$に${\displaystyle L_{\alpha }}$したがって、この定義には超限再帰が含まれます${\displaystyle \alpha }$。

単一パラメータの値の整列性は、超限帰納法の帰納的仮説によって保証される。${\displaystyle n}$パラメータのタプルは積の順序によって整列されます。パラメータを含む式は、整列の順序付き和（ゲーデル数による）によって整列されます。そして${\displaystyle L}$は、順序付き和（インデックス付き）によって整列されています。${\displaystyle \alpha }$) の順序付け${\displaystyle L_{\alpha +1}}$。

この整列は、${\displaystyle L}$それ自体は、パラメータがなく、自由変数のみを持つ集合論の公式によって表される。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$そしてこの式は、評価されるかどうかに関わらず同じ真理値を与える。${\displaystyle L}$、${\displaystyle V}$、 または${\displaystyle W}$（同じ順序数を持つZFの他の標準モデル）そして、以下のいずれかの場合、式は偽であると仮定します。${\displaystyle x}$または${\displaystyle y}$は${\displaystyle L}$。

選択公理は、あらゆる集合を整列させる能力と同等であることはよく知られている。適切なクラスを整列させる能力${\displaystyle V}$（ここで私たちがやったように${\displaystyle L}$) は、大域選択公理と同等であり、空でない集合の適切なクラスもカバーするため、通常の選択公理よりも強力です。

分離公理、置換公理、選択公理が成り立つことを証明する${\displaystyle L}$（少なくとも上記のように）反射原理の使用を必要とする${\displaystyle L}$ここでは、そのような原理について説明します。

導入により${\displaystyle n<\omega }$ZF を使用できる${\displaystyle V}$任意の順序数に対して証明する${\displaystyle \alpha }$序数があります${\displaystyle \beta >\alpha }$任意の文に対して${\displaystyle P(z_{1},\ldots ,z_{k})}$と${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k}}$で${\displaystyle L_{\beta }}$より少ない数を含み、${\displaystyle n}$記号（要素の定数記号を数える）${\displaystyle L_{\beta }}$（一つのシンボルとして）${\displaystyle P(z_{1},\ldots ,z_{k})}$保持する${\displaystyle L_{\beta }}$が成り立つ場合に限り、${\displaystyle L}$。

させて${\displaystyle S\in L_{\alpha }}$、そして${\displaystyle T}$は、 の任意の構成可能な部分集合である。${\displaystyle S}$すると、${\displaystyle \beta }$と${\displaystyle T\in L_{\beta +1}}$、 それで${\displaystyle T=\{x\in L_{\beta }:x\in S\wedge \Phi (x,z_{i})\}=\{x\in S:\Phi (x,z_{i})\}}$何らかの式の場合${\displaystyle \Phi }$そしていくつか${\displaystyle z_{i}}$から引き出された${\displaystyle L_{\beta }}$下方レーヴェンハイム・スコレム定理とモストフスキー崩壊により、推移的な集合が存在する必要がある。${\displaystyle K}$含む${\displaystyle L_{\alpha }}$そしていくつか${\displaystyle w_{i}}$、そして同じ一次理論を持つ${\displaystyle L_{\beta }}$と共に${\displaystyle w_{i}}$に代えて${\displaystyle z_{i}}$; そしてこれ${\displaystyle K}$同じ基数を持つ${\displaystyle L_{\alpha }}$。 以来${\displaystyle V=L}$は真実です${\displaystyle L_{\beta }}$Kにおいても同様に、${\displaystyle K=L_{\gamma }}$一部の人にとって${\displaystyle \gamma }$同じ基数を持つ${\displaystyle \alpha }$。 そして${\displaystyle T=\{x\in L_{\beta }:x\in S\wedge \Phi (x,z_{i})\}=\{x\in L_{\gamma }:x\in S\wedge \Phi (x,w_{i})\}}$なぜなら${\displaystyle L_{\beta }}$そして${\displaystyle L_{\gamma }}$同じ理論を持っている。だから${\displaystyle T}$実際には${\displaystyle L_{\gamma +1}}$。

つまり、無限集合の構成可能な部分集合はすべて${\displaystyle S}$（最大で）同じ基数を持つ${\displaystyle \kappa }$ランクとして${\displaystyle S}$;したがって、${\displaystyle \delta }$は、${\displaystyle \kappa ^{+}}$、 それから${\displaystyle L\cap {\mathcal {P}}(S)\subseteq L_{\delta }}$「パワーセット」として機能する${\displaystyle S}$内で${\displaystyle L}$したがって、この「権力セット」${\displaystyle L\cap {\mathcal {P}}(S)\in L_{\delta +1}}$そしてこれは、${\displaystyle S}$最大で枢機卿${\displaystyle \vert \delta \vert }$と仮定すると${\displaystyle S}$それ自体は基数を持つ${\displaystyle \kappa }$すると、「冪集合」の基数はちょうど${\displaystyle \kappa ^{+}}$しかし、これはまさに一般化された連続体仮説を相対化したものである。${\displaystyle L}$。

集合論には、次のような考え方を表す公式がある。${\displaystyle X=L_{\alpha }}$自由変数は${\displaystyle X}$そして${\displaystyle \alpha }$これを用いることで、各構成可能集合の定義を拡張することができる。${\displaystyle S\in L_{\alpha +1}}$、 それから${\displaystyle S=\{y\mid y\in L_{\alpha }\;\mathrm {and} \;\Phi (y,z_{1},\ldots ,z_{n})\;\mathrm {holds} \;\mathrm {in} \;(L_{\alpha },\in )\}}$ある数式に対して${\displaystyle \Phi }$そしていくつか${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$で${\displaystyle L_{\alpha }}$これは、すべての${\displaystyle y}$、${\displaystyle y\in S}$存在する場合に限り${\displaystyle X}$そのため${\displaystyle X=L_{\alpha }}$そして${\displaystyle y\in X}$そして${\displaystyle \Psi (X,y,z_{1},\ldots ,z_{n})}$] どこ${\displaystyle \Psi (X,\ldots )}$これは、各量化子を制限した結果です。${\displaystyle \Phi (\ldots )}$に${\displaystyle X}$それぞれの${\displaystyle z_{k}\in L_{\beta +1}}$一部の人にとって${\displaystyle \beta <\alpha }$. 式を組み合わせて${\displaystyle z}$の式で${\displaystyle S}$そして存在量化子を${\displaystyle z}$の外側では、構成可能な集合を定義する式が得られます。${\displaystyle S}$序数のみを使用する${\displaystyle \alpha }$次のような表現に現れる${\displaystyle x=L_{\alpha }}$パラメータとして。

例: セット${\displaystyle \{5,\omega \}}$構築可能です。これは唯一の集合です。${\displaystyle s}$これは以下の式を満たす。

$${\displaystyle \forall y(y\in s\iff (y\in L_{\omega +1}\land (\forall a(a\in y\iff a\in L_{5}\land Ord(a))\lor \forall b(b\in y\iff b\in L_{\omega }\land Ord(b)))))}$$

どこ${\displaystyle Ord(a)}$は、次の略です。

$${\displaystyle \forall c\in a(\forall d\in c(d\in a\land \forall e\in d(e\in c))).}$$

実際、この複雑な公式でさえ、最初の段落で示された指示から得られるものより簡略化されている。しかし、重要な点は、望ましい構成可能集合に対してのみ真となる集合論の公式が存在するということである。${\displaystyle S}$そして、それは順序数に関するパラメータのみを含んでいます。

集合論のモデルを狭く見つけることが望ましい場合もある。${\displaystyle L}$しかし、それは構成不可能な集合を含むか、あるいはその影響を受ける。これにより相対的構成可能性の概念が生じ、それは で表される 2 つの種類がある。${\displaystyle L(A)}$そして${\displaystyle L[A]}$。

クラス${\displaystyle L(A)}$非構成可能集合の場合${\displaystyle A}$は、集合論の標準モデルであり、かつ${\displaystyle A}$そしてすべての序数。

${\displaystyle L(A)}$超限再帰によって次のように定義できる。

• ${\displaystyle L_{0}(A)}$= 最小の推移的集合${\displaystyle A}$要素として、すなわち推移閉包${\displaystyle \{A\}}$。
• ${\displaystyle L_{\alpha +1}(A)}$=${\displaystyle \mathrm {Def} (L_{\alpha }(A))}$
• もし${\displaystyle \lambda }$が限界順序数である場合、${\displaystyle L_{\lambda }(A)=\bigcup _{\alpha <\lambda }L_{\alpha }(A)}$。
• ${\displaystyle L(A)=\bigcup _{\alpha }L_{\alpha }(A)}$。

もし${\displaystyle L(A)}$推移閉包の整列を含む${\displaystyle \{A\}}$すると、これは整列に拡張できる。${\displaystyle L(A)}$そうでなければ、選択公理は失敗するだろう${\displaystyle L(A)}$。

一般的な例としては${\displaystyle L(\mathbb {R} )}$これは、すべての実数を含む最小のモデルであり、現代の記述集合論で広く使用されています。

クラス${\displaystyle L[A]}$は、その構成が影響を受ける集合のクラスである。${\displaystyle A}$、 どこ${\displaystyle A}$は、（おそらく構築不可能な）集合または適切なクラスである可能性があります。このクラスの定義では、${\displaystyle \mathrm {Def} _{A}(X)}$これは、${\displaystyle \mathrm {Def} (X)}$ただし、式の真偽を評価する代わりに${\displaystyle \Phi }$モデルでは${\displaystyle (X,\in )}$モデルを使用する${\displaystyle (X,\in ,A)}$どこ${\displaystyle A}$は単項述語です。${\displaystyle A(y)}$は${\displaystyle y\in A}$。次に定義${\displaystyle L[A]}$まさに${\displaystyle L}$のみ${\displaystyle \mathrm {Def} }$に置き換えられました${\displaystyle \mathrm {Def} _{A}}$。

${\displaystyle L[A]}$は常に選択公理のモデルである。${\displaystyle A}$集合です。${\displaystyle A}$それ自体は必ずしもメンバーではない${\displaystyle L[A]}$常にそうであるならば${\displaystyle A}$は順序数の集合です。

セット${\displaystyle L(A)}$または${\displaystyle L[A]}$これらは通常、実際に構築可能ではなく、これらのモデルの特性は、${\displaystyle L}$自体。

• 構築可能性の公理
• Lにおいて正しい記述
• 反射原理
• 公理的集合論
• 推移的集合
• L（R）
• 順序定義可能
• 凝縮補題

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