アルキメデスのパリンプセスト

アルキメデスのパリンプセストは羊皮紙の 写本 で、もともとはアルキメデスと他の著者による編纂物のビザンチン・ギリシャ語版である。これには、失われたと考えられていたアルキメデスの2つの著作（オストマキオンと機械的定理の方法）と、彼の著作『浮体について』の唯一現存するギリシャ語原典版が含まれている。^[1]この編纂物の最初の版は、コンスタンティノープルの幾何学的に複雑なアヤソフィア大聖堂を設計したミレトスのイシドロスによって、西暦530年頃に制作されたと考えられている。 ^{[2]パリンプセストで見つかった写本は、コンスタンティノープルで}マケドニア・ルネッサンス期（西暦950年頃）にこの原本から作成されたもので、当時は首都の数学が、総主教の従兄弟であるテッサロニキの元ギリシャ正教会の司教レオ幾何学者によって復活しつつあった。^[3]

1204年に西方十字軍がコンスタンティノープルを略奪した後、写本はパレスチナの孤立したギリシャの修道院に運ばれた。これはおそらく、占領下の十字軍から写本を守るためだった。十字軍はしばしばギリシャ文字をラテン教会に対する異端とみなし、そのような文書の多くを焼き捨てたり略奪したりした（少なくともアルキメデスの文書の追加写本2部を含む）。 ^{[4] [5]}この複雑な写本は辺鄙な修道院では評価されず、すぐに（1229年に）宗教的なテキストで上書きされた。^[6]執筆から900年後の1899年、写本はまだギリシャ教会の所有下にあり、イスタンブールに戻ってギリシャ学者パパドプロス・ケラメウスによって目録化され、ヨハン・ハイベルクの注目を集めた。ハイバーグは1906年に教会の図書館を訪れ、詳細な写真を撮ることを許可された。原文のほとんどはまだ見ることができ、ハイバーグは1915年にそれを出版した。^{[7] 1922年、}第一次世界大戦後の混乱期、イスタンブールのギリシャ正教会の図書館の避難の最中に、原稿は行方不明になった。^[8]ある西洋のビジネスマンが70年以上この本を隠し、ある時点で、再販価値を高めるために一部のテキストの上に偽造された絵が描かれた。^[8]この本を個人的に売ることができなかったビジネスマンの娘は、1998年にギリシャ正教会が異議を唱えたニューヨークでの公開オークションにかける危険を冒した。米国の裁判所はオークションに判決を下し、原稿は匿名の買い手（ジェフ・ベゾスであると噂されている）によって購入された。^[9]偽造された絵画の下の文字や、以前は読めなかった文字は、紫外線、赤外線、可視光線、斜入射光、X線によって生成された画像を分析することによって明らかになった。

すべての画像と転写は現在、クリエイティブ・コモンズ・ライセンス CC BYの下、アルキメデス・デジタル・パリンプセストでウェブ上で無料で公開されています。^{[10] [11] [12]}

アルキメデスは紀元前3世紀に生き、アレクサンドリア大図書館の学者を含む同時代の人々に宛ててドーリア語で手紙を書き、その証明を記した。これらの手紙は、紀元530年頃、当時のビザンチン帝国の首都コンスタンティノープルのアヤソフィア総主教座教会の建築家であるミレトスのイシドロスによって初めて包括的なテキストにまとめられた。^[2]

イシドロスのアルキメデス版のコピーは、やはりビザンチン帝国で、匿名の筆写者によって西暦950年頃に作成された。当時、コンスタンティノープルでは、​​数学者、技術者、元ギリシャ正教会テッサロニキ大司教で、アルキメデス総主教の従兄弟であるレオ幾何学者によって設立された学校でアルキメデスの研究が盛んであった。^[7]

この中世ビザンチン写本はその後、コンスタンティノープルからエルサレムへと運ばれたが、これはおそらく1204年に十字軍がビザンチン帝国のコンスタンティノープルを略奪した後のことと思われる。 ^[7]そこで1229年、アルキメデス写本は少なくとも6つの他の部分的な羊皮紙写本とともに綴じ直され、削られ、洗浄された。その中にはヒュペレイデスの著作を含むものもあった。それらの葉は半分に折られ、再び綴じられ、後に番号が付けられた177葉のキリスト教の典礼書に再利用され、そのうち174葉が現存している（古い折られた葉はそれぞれ典礼書の2葉になった）。このパリンプセストは少なくとも16世紀を通してエルサレム近郊の孤立したギリシャ正教会のマル・サバ修道院に残っていた。 1840 年より前の時点で、このパリンプセストはエルサレムのギリシャ正教会総主教区によってコンスタンティノープルの図書館 (聖墳墓の メトキオン) に持ち帰られました。

聖書学者コンスタンティン・フォン・ティッシェンドルフは1840年代にコンスタンティノープルを訪れ、ギリシャ正教会の図書館で見つけたパリンプセストに書かれたギリシャ数学に興味をそそられ、その一部を切り取った（現在はケンブリッジ大学図書館にある）。1899年、ギリシャ学者パパドプロス・ケラメウスは図書館の写本の目録を作成し、部分的に見える下書きの数行の転写を含めた。^{[7]アルキメデスの世界的権威である}ヨハン・ハイバーグはこれらの行を見て、その著作がアルキメデスの作であることを認識した。ハイバーグは1906年にコンスタンティノープルでパリンプセストを研究した際、パリンプセストに失われたと考えられていたアルキメデスの著作が含まれていることを確認した。ハイバーグはギリシャ正教会からパリンプセストのページを注意深く撮影することを許可され、その写真から転写を行い、1910年から1915年にかけてアルキメデスの全集として出版した。その後まもなく、アルキメデスのギリシャ語テキストはTLヒースによって英語に翻訳された。それまでは、数学者、物理学者、歴史家の間では広く知られていなかった。

1920年当時、この写本はまだコンスタンティノープルのエルサレムギリシャ正教会総主教区図書館（聖墳墓メトキオン）に所蔵されていた。 ^[8]その後まもなく、トルコのギリシャ人コミュニティにとって激動の時期となり、希土戦争（1919年 - 1922年）でトルコが勝利し、ギリシャ人虐殺やギリシャとトルコ間の強制的な人口交換が行われ、このパリンプセストはイスタンブールのギリシャ正教会の図書館から姿を消した。

1923年から1930年の間に、このパリンプセストは「パリに住む東洋のビジネスマン兼旅行者」であるマリー・ルイ・シリックスによって購入された。^[8]シリックスはこの写本を修道士から購入したと主張したが、修道士にはいずれにせよこの写本を売る権限はなかったはずで、シリックスにはこの貴重な写本を売ったという領収書や文書はなかった。シリックスが何年も秘密裏に地下室に保管していたこのパリンプセストは、水やカビによる損傷を受けていた。さらに、ギリシャ正教総主教区の図書館からこの写本が消えた後、偽造者が金箔で中世の福音派の肖像画のコピーを本の4ページに付け加えて売価を引き上げ、本文をさらに傷めた。^{[13]この偽造された金箔の肖像画は、その下の本文をほぼ消し去っており、後に}スタンフォード線形加速器センターでのX線蛍光画像化によって明らかにする必要があった。^[14]

シリエクスは1956年に亡くなり、1970年に彼の娘がひそかにこの貴重な写本を売ろうとし始めた。個人的には売れなかったため、1998年に彼女は最終的にクリスティーズに頼り、所有権をめぐる争いのリスクを冒して公開オークションで売ることにした。^[8]パリンプセストの所有権は、ニューヨークの連邦裁判所で、エルサレムのギリシャ正教会総主教区対クリスティーズ社の訴訟で直ちに争われた。ギリシャ正教会は、パリンプセストは1920年代の極度の迫害の時期にコンスタンチノープルの図書館から盗まれたと主張した。キンバ・ウッド判事は、不法行為を理由にクリスティーズ・オークションハウスに有利な判決を下し、パリンプセストは匿名のアメリカ人購入者によって200万ドルで購入された。匿名購入者の代理人弁護士は、購入者は「ハイテク業界」で働く「一般のアメリカ人」であり、ビル・ゲイツではないと述べた。^[9]

ボルチモアのウォルターズ美術館では、このパリンプセストは 1999 年から 2008 年にかけて、広範囲にわたる画像研究と保存修復の対象となっていました (シリックス氏の地下室にあったため、かなりカビが生えていたため)。これは、ウォルターズ美術館の写本学芸員であるウィル・ノエル博士が指揮し、RB トス・アソシエイツのマイケル・B・トスが管理し、アビゲイル・クワント博士が写本の保存修復を行いました。

デジタル化の対象となるのは、ギリシャの学者、数学の歴史家、アプリケーションを構築する人々、図書館、アーカイブ、そして画像の作成に関心のある科学者です。^[15]

ロチェスター工科大学のロジャー・L・イーストン・ジュニア博士、エキポイズ・イメージング社のウィリアム・A・クリステンス・バリー博士、キース・ノックス博士（当時はボーイングLTSに勤務、現在は米空軍研究所を退職）を含む画像科学者のチームは、紫外線、可視光線、赤外線の波長を含むさまざまなスペクトル帯域からのデジタル画像をコンピュータ処理して、アルキメデスの文字を含む下にある文字の大部分を明らかにした。2006年より前に3つのスペクトル帯域でパリンプセスト全体を画像化しデジタル処理した後、2007年にパリンプセスト全体を12のスペクトル帯域と斜め光で再画像化した。紫外線：365ナノメートル、可視光線：445、470、505、530、570、617、625nm、赤外線：700、735、870nm。レイキングライト：910および470nm。チームはこれらの画像をデジタル処理し、疑似カラーで下にあるテキストをより多く明らかにしました。彼らはまた、オリジナルのハイバーグ画像もデジタル化しました。スタンフォード大学のレビエル・ネッツ博士とナイジェル・ウィルソンは、これらの画像でハイバーグの説明の空白を埋め、テキストの外交転写を作成しました。^[16]

1938 年以降、ある贋作者が、販売価格を上げるために、この写本に4 つのビザンチン様式の宗教的イメージを付け加えました。このため、写本の下の文章は永久に判読不能になったかに思われました。しかし、2005 年 5 月、カリフォルニア州メンロパークのスタンフォード線形加速器センターで生成された高度に集束されたX 線が、ウーヴェ・バーグマン博士とボブ・モートン博士によって使用され、174 ページの文章のうちまだ明らかにされていなかった部分の解読が開始されました。X 線蛍光の生成については、SSRL のディレクターであるキース・ホジソンが次のように説明しています。

シンクロトロン光は、光速に近い速度で移動する電子がストレージリングの周りを曲がった経路をたどるときに生成され、X線から赤外線波長までの電磁光を放出します。結果として生じる光線は、多くの種類の物質の複雑な構造と有用性を明らかにするのに理想的な特性を持っています。この場合、これまで隠されていたすべての科学の創始者の一人の研究です。^[17]

2007 年 4 月、パリンプセストの中に、アリストテレスの『カテゴリー』に関する約 9,000 語の注釈文が発見されたことが発表されました。このテキストの大部分は、紫外線照射によって生成された蛍光の 3 つの色帯 (赤、緑、青) に主成分分析を適用することで、2009 年初頭に復元されました。ウィル ノエル博士はインタビューで次のように述べています。

パリンプセストを 1 つ叩くだけでも金になるし、2 つ叩くと本当にすごいことだと思い始めます。しかし、その後、さらに驚くべきことが起こりました。

これは、紀元前4世紀のアテネの政治家ヒュペレイデスのテキストが以前に発見されたことに言及したもので、これもパリンプセストの中から発見されています。[ 1 ]これ^は、彼のディオンダスに対する演説からの抜粋で、2008年に学術誌「Zeitschrift für Papyrologie und Epigraphik」第165巻に掲載され、学術誌に掲載されたパリンプセストからの初の新テキストとなりました。^[18]

この本の転写はText Encoding Initiativeガイドラインに従ってデジタルエンコードされており、画像と転写のメタデータにはDublin Core メタデータ要素に基づく識別情報とカタログ情報が含まれています。メタデータとデータは Emery IT の Doug Emery によって管理されました。

2008年10月29日（オークションでパリンプセストが購入されてから10周年）に、画像や転写を含むすべてのデータが、クリエイティブ・コモンズ・ライセンスの下で無料で使用できるようにデジタル・パリンプセストのウェブページでホストされ、^[19]元のページ順に処理されたパリンプセストの画像がGoogleブックとして投稿されました。^{[20] 2011年には、}ウォルターズ美術館の展示会「失われたものと見つかったもの：アルキメデスの秘密」のテーマになりました。 2015年には、デジタルデータの保存に関する実験で、スイスの科学者がアルキメデスのパリンプセストのテキストをDNAにエンコードしました。^{[21]その解読により、一部の数学者は、アルキメデスが}積分を発明した可能性があると示唆しています。

• 平面の平衡について
• 螺旋について
• 円の測定
• 球と円柱について
• 浮遊する物体について
• 機械的定理の方法
• オストマキオン
• 紀元前4世紀の政治家ヒュペレイデスの演説
• ポルピュリオス（またはアフロディシアスのアレクサンダー）によるアリストテレスのカテゴリーの注釈^[22]
• その他の作品

出典: ^[1]

このパリンプセストには、 『機械的定理の方法』の唯一知られている写本が含まれています。

アルキメデスは他の著作で、2 つの面積または体積が等しいことを、現代の極限法に相当する古代ギリシャのエウドクソスの尽力法で証明することが多い。ギリシャ人は無理数があることを知っていたため、実数の概念は2 つの数列で近似される量 Q であり、1 つは上限を提供し、もう 1 つは下限を提供するものであった。2 つの数列 U と L が見つかり、U が常に Q より大きく、L が常に Q より小さい場合、2 つの数列が最終的に事前に指定された量よりも近づくと、Q はU と L によって 見つかる、つまり尽力される。

アルキメデスは、定理を証明するために徹底的な手法を採用した。これは、面積を計算したい図形を、図形の面積の上限と下限を与える既知の面積の部分に近似することを伴った。そして、分割が任意に細かくなると、2 つの境界が等しくなることを証明した。これらの証明は、今でも厳密で正しいと考えられており、幾何学を非常に巧みに利用している。後世の著述家は、アルキメデスがそもそもどのようにして結果に至ったかを説明していないとしばしば批判した。この説明は『方法』に記載されている。^[要出典]

アルキメデスが説明した方法は、彼の物理学の研究、つまり質量の中心とてこの法則に基づいていました。彼は、総質量と質量の中心を知っている図形の面積または体積を、何も知らない別の図形の面積または体積と比較しました。彼は、後の不可分法のように、平面図形を無限の線でできているものとみなし、てこの上で、1 つの図形の各線またはスライスを 2 番目の図形の対応するスライスに対して釣り合わせました。重要な点は、2 つの図形が異なる向きになっているため、対応するスライスが支点から異なる距離にあり、スライスが釣り合う条件は図形が等しいという条件と同じではないということです。

一方の図形の各スライスが他方の図形の各スライスと釣り合うことを示すと、彼は 2 つの図形が互いに釣り合っていると結論付けます。しかし、一方の図形の質量の中心はわかっており、全体の質量をこの中心に置いてもバランスが取れます。2 番目の図形の質量はわかりませんが、対称性という幾何学的議論により、その質量の中心の位置は支点から特定の距離に制限される可能性があります。2 つの図形が釣り合うという条件により、彼はもう一方の図形の合計質量を計算できるようになりました。彼はこの方法を便利なヒューリスティックだと考えましたが、この方法では上限と下限が提供されなかったため、見つけた結果を必ず徹底的に証明するようにしました。

この方法を用いて、アルキメデスは、現在では積分学で扱われているいくつかの問題を解くことができました。積分学は、17 世紀にアイザック・ニュートンとゴットフリート・ライプニッツによって現代的な形にされました。それらの問題の中には、固体半球の重心、円形放物面の錐台重心、放物線とその割線の 1 つで囲まれた領域の面積を計算する問題がありました。(明確な詳細については、アルキメデスの無限小の使用を参照してください。)

体積に関する定理を厳密に証明する際、アルキメデスは、断面積が等しい 2 つの体積は等しいというカヴァリエリの原理の一種を使用しました。同じ原理がリーマン和の基礎を形成します。『球と円筒について』では、球を等しい幅の断片に切断して、球の表面積の上限と下限を示しています。次に、各断片の面積を内接円錐と外接円錐の面積で制限し、それぞれの面積がそれに応じて大きいか小さいかを示します。

しかし、アルキメデスの方法と 19 世紀の方法には 2 つの重要な違いがあります。

1. アルキメデスは微分法を知らなかったので、対称性による重心考慮から得られる積分以外の積分は計算できませんでした。線形性の概念は持っていましたが、球の体積を求めるには 2 つの図形を同時にバランスさせる必要がありました。変数を変更する方法や部分積分の方法を決定することはありませんでした。
2. 近似和を計算する際、彼は和が厳密な上限と下限を提供するというさらなる制約を課しました。これは、近似値の誤差項が小さいことを立証できる代数的手法がギリシャ人にはなかったために必要でした。

この方法でのみ解決される問題は、円筒形のくさびの体積の計算であり、その結果はケプラーの立体測定法の定理 XVII (図式 XIX) として再現されます。

この方法のいくつかのページはパリンプセストの作者によって使われず、現在も失われています。その中で発表された結果は、2 つの円筒の交差部分の体積に関するもので、アポストルとムナツァカニアンはこの図をn = 4 アルキメデスの球体(およびその半分をn = 4 アルキメデスのドーム)と改名しました 。この体積はn多角形のピラミッドに関係しています。

ハイバーグの時代には、面積、体積、重心に関する問題を解くために不可分数を用いたアルキメデスの見事な手法に多くの注目が集まった。パリンプセストで扱われているオストマキオンという問題にはそれほど注目が集まっていなかった。これは子供のパズルを扱っていると思われる問題である。スタンフォード大学のレヴィエル・ネッツは、アルキメデスはパズルを解く方法、つまりピースを箱に戻す方法の数について議論したと主張している。ピースが特定されたことはなく、ピースを裏返しにできるかどうかなどの配置規則も不明であり、盤についても疑問が残る。

ここで示されているボードは、ネッツが示したものと同様、ハインリッヒ・ズーターが、2 とイコールが混同されやすい、点のないアラビア語のテキストを翻訳する際に提案したものです。ズーターは、重要な点で少なくとも 1 つの誤植を犯しており、辺と対角線の長さを同じにしていますが、この場合、ボードは長方形にはなり得ません。しかし、正方形の対角線は直角に交わるため、直角三角形の存在により、アルキメデスのオストマキオンの第一命題が直ちに可能になります。むしろ、第一命題は、2 つの正方形が並んだボード (タングラ​​ムのように) を設定します。ズーターのボードとこのコーデックス ボードを調和させたものが、リチャード・ディクソン・オールダム(FRS)によって1926 年 3 月にネイチャー誌に発表され、その年にオストマキオンブームが巻き起こりました。

現代の組み合わせ論によれば、スーター盤のピースを配置して正方形を作り直し、裏返せるようにする方法は 17,152 通りある。ピースを裏返せない場合は、その数は 64 通りとかなり少なくなる。スーター盤の一部の角は鋭いため製造が難しく、尖ったピースを裏返すと遊びにくい場合がある。コデックス盤の場合 (タングラ​​ムの場合も同様)、ピースを詰める方法は 3 つある。2 つの単位正方形を横に並べる、2 つの単位正方形を上下に重ねる、2 の平方根を辺とする単一の正方形にする。しかし、これらの詰め方の鍵は、プラトンの『メノン』でソクラテスが奴隷の少年に考えさせたように、直角二等辺三角形を形成することである。ソクラテスは記憶による知識を主張していたが、ここではパターン認識と記憶の方が解の数よりも適切であるように思われる。コーデックスボードは、7×7の正方形のグリッドでソクラテスの議論を拡張したものとして見ることができ、2の平方根に有理数の近似値を与える側直径の数字の反復的な構成を示唆しています。

パリンプセストの断片的な状態は多くの疑問を残します。しかし、アルキメデスがコデックスのボードではなくスーターボードを使用していたとしたら、それは確かに謎をさらに深めるでしょう。しかし、ネッツが正しいとすれば、これはギリシャ古代の組み合わせ論の分野で最も洗練された作品だったかもしれません。アルキメデスが、ピースを裏返すことが許されていたスーターボードを使用したか、スーターボードの統計が無関係であるかのどちらかです。

• 最も高価な本と原稿のリスト

• ダイクスターハウス、EJ ダイクスターハウス (1987)。アルキメデス。ニュージャージー州プリンストン：プリンストン大学出版局。 129–133ページ。ISBN 0-691-08421-1。
• レビエル・ネッツとウィリアム・ノエル。『アルキメデスのコーデックス』、ヴァイデンフェルト＆ニコルソン、2007
• ノヴァプログラムの概要
• Novaプログラムの教師版
• メソッド：英語訳（ハイバーグの1909年の転写）
• アイザック・バローはそれを読みましたか？
• ウィル・ノエル: アルキメデスのパリンプセストの復元 (YouTube)、Ignite (O'Reilly)、2009 年 8 月
• エルサレムギリシャ正教会総主教区対クリスティーズ社、1999 US Dist. LEXIS 13257 (SDNY 1999) (Archive.org 経由)

ウィキメディア・コモンズには、アルキメデスのパリンプセストに関連するメディアがあります。

• デジタルアルキメデスパリンプセスト（公式ウェブサイト）