テイトモジュール

数学において、アーベル群のテイト加群は、ジョン・テイトにちなんで名付けられ、アーベル群Aから構成される加群である。この構成は、多くの場合、次のような状況で行われる。Gは体K上の可換群スキーム、K ^sはKの可分閉包、A  =  G ( K ^s ) ( GのK ^s値点)。この場合、 Aのテイト加群にはKの絶対ガロア群の作用が備わっており、 Gのテイト加群と呼ばれる。

アーベル群Aと素数 p が与えられたとき、Aのp進テイト加群は

${\displaystyle T_{p}(A)={\underset {\longleftarrow }{\lim }}A[p^{n}]}$

ここで、A [ p ⁿ ] はAのp ⁿ捩れ（つまり、 p ⁿ乗写像の核）であり、逆極限は正の整数n上で、 p乗写像A [ p ^{n +1} ] → A [ p ^{n ] によって}_与えられる遷移射を持つ。したがって、テイト加群はAのすべてのp乗捩れをエンコードする。これは、

${\displaystyle z(a_{n})_{n}=((z{\text{ mod }}p^{n})a_{n})_{n}.}$

アーベル群AがKの可分閉包K ^sの単位根群である場合、Aのp進テイト加群はテイト加群と呼ばれることがある（ pとKの選択は暗黙的に理解されている）。これは、 Kの絶対ガロア群G _Kの線型作用を持つZ _p上の自由階数 1 加群である。したがって、これはKのp進円分指標とも呼ばれるガロア表現である。これは、 K上の乗法群スキームG _m、Kのテイト加群と考えることもできる。

体K上のアーベル多様体 Gが与えられたとき、GのK ^s値点はアーベル群である。Gのp進 Tate 加群T _p ( G )は、（ Kの絶対ガロア群G _Kの）ガロア表現である。

アーベル多様体に関する古典的な結果によれば、K が特性ゼロ、または素数p ≠ ℓである特性 ℓ を持つ場合、 T _p ( G ) は階数 2 dのZ _p上の自由加群であり、d はGの次元です。^{[1]他の場合には、それは依然として自由ですが、階数は 0 から}dまでの任意の値を取ります(例えばハッセ–ウィット行列を参照)。

p がKの特性と等しくない場合、Gのp進 Tate 加群はエタールコホモロジーの双対になります。 ${\displaystyle H_{\text{et}}^{1}(G\times _{K}K^{s},\mathbf {Z} _{p})}$

テイト予想の特別なケースは、テイト加群という用語で表現することができる。^[2] Kがpとは異なる特性を持つその素体（例えば、有限体、代数体、大域関数体）上で有限生成であり、AとB がK上の2つのアーベル多様体であるとする。テイト予想は、

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{K}(A,B)\otimes \mathbf {Z} _{p}\cong \mathrm {Hom} _{G_{K}}(T_{p}(A) ,T_{p}(B))}$

ここで Hom _K ( A , B ) はAからBへのアーベル多様体の射群であり、右辺はT _p ( A )からT _p ( B ) へのG _K線型写像の群である。K が有限体である場合は、1960 年代に Tate 自身によって証明された。[ ^3] Gerd Faltings は、 Kが数体である場合を、有名な「Mordell 論文」で証明した。 ^[4]

pと素の特性を持つ有限体k上の曲線C上のヤコビアンの場合、テイト加群は合成拡大のガロア群と同一視できる。

${\displaystyle k(C)\subset {\hat {k}}(C)\subset A^{(p)}\ }$

ここで、はすべてのp乗根を含むkの拡大であり、 A ^{( p )}はの最大非分岐アーベルp拡大である。^[5]${\displaystyle {\hat {k}}}$${\displaystyle {\hat {k}}(C)}$

有限体上の曲線の関数体に対するテイト加群の記述は 、岩沢健吉によって導入された大域体の別のクラスである代数体 のテイト加群の定義を示唆する。数体Kに対して、 K _{m を}のp ^m乗根による拡大、つまりK _mと の最大非分岐アーベルp拡大であるA ^{( p )}の和集合を表すものとする。 ${\displaystyle {\hat {K}}}$${\displaystyle {\hat {K}}}$

${\displaystyle T_{p}(K)=\mathrm {Gal} (A^{(p)}/{\hat {K}})\ .}$

するとT _p ( K )はプロp群であり、したがってZ _p -加群である。類体理論を用いると、 T _p ( K )はK _mの類群C _mのノルムによる逆極限に同型であると記述できる。^[5]

岩澤はT _p ( K )を完備化Z _p [[ T ]]上の加群として示し、これは類群C _mの順序におけるpの指数の式が次の形式 であることを示唆している。

${\displaystyle \lambda m+\mu p^{m}+\kappa \ .}$

フェレロ・ワシントン定理によれば、μはゼロである。^[6]

• テイト予想
• テイトツイスト
• 岩沢理論

• Faltings、Gerd (1983)、「Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern」、Inventiones Mathematicae、73 (3): 349–366、Bibcode :1983InMat..73..349F、doi :10.1007/BF01388432、S2CID  121049418
• 「テイトモジュール」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• マニン、Yu. I. ; パンチシュキン、AA (2007)、現代数論入門、数学百科事典、第49巻（第2版）、ISBN 978-3-540-20364-3、ISSN  0938-0396、Zbl  1079.11002
• マーティ、V. クマール (2000)、「アーベル多様体入門」、CRM モノグラフ シリーズ、第 3 巻、アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-1179-5
• Rohrlich, David (1994)「楕円曲線と Weil–Deligne 群」第 13 章、Kisilevsky、Hershey、Murty, M. Ram (編)、楕円曲線と関連トピック、CRM Proceedings and Lecture Notes、第 4 巻、アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-6994-9
• テイト、ジョン (1966)、「有限体上のアーベル多様体の自己準同型性」、Inventiones Mathematicae、2 (2): 134–144、Bibcode :1966InMat...2..134T、doi :10.1007/bf01404549、MR  0206004、S2CID  245902