三角関数の級数

数学では、三角級数は^{[ 1 ] [ 2 ]}の形の直交級数 の特別なクラスです。

${\displaystyle A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\cos {(nx)}+B_{n}\sin {(nx)},}$

どこ${\displaystyle x}$は変数であり、${\displaystyle \{A_{n}\}}$そして${\displaystyle \{B_{n}\}}$は係数です。これは三角多項式の無限バージョンです。

積分可能な関数のフーリエ級数は三角級数と呼ばれる。${\textstyle f}$係数が次の形式である場合：

${\displaystyle A_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }\!f(x)\cos {(nx)}\,dx}$

${\displaystyle B_{n}={\frac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\!f(x)\sin {(nx)}\,dx}$

すべてのフーリエ級数は三角級数の例を示しています。関数を次のようにします。${\displaystyle f(x)=x}$の上${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$周期的に拡張される（のこぎり波を参照）。すると、そのフーリエ係数は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\cos {(nx)}\,dx=0,\quad n\geq 0.\\[4pt]B_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\sin {(nx)}\,dx\\[4pt]&=-{\frac {x}{n\pi }}\cos {(nx)}+{\frac {1}{n^{2}\pi }}\sin {(nx)}{\Bigg \vert }_{x=-\pi }^{\pi }\\[5mu]&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}}$

これは三角関数の例です。

${\displaystyle 2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin {(nx)}=2\sin {(x)}-{\frac {2}{2}}\sin {(2x)}+{\frac {2}{3}}\sin {(3x)}-{\frac {2}{4}}\sin {(4x)}+\cdots }$

しかし、その逆は誤りである。例えば、

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\sin {(nx)}}{\log {n}}}={\frac {\sin {(2x)}}{\log {2}}}+{\frac {\sin {(3x)}}{\log {3}}}+{\frac {\sin {(4x)}}{\log {4}}}+\cdots }$

は、すべての に対して収束する三角級数である。${\displaystyle x}$しかし、フーリエ級数ではない。^{[ 3 ] [ 4 ]}

三角級数の一意性と零点は、19世紀のヨーロッパで活発に研究された分野であった。まず、ゲオルク・カントールは、三角級数が関数に収束する場合、${\displaystyle f}$インターバル中に${\displaystyle [0,2\pi ]}$が恒等的にゼロであるか、より一般的には、有限個の点においてのみゼロでない場合、級数の係数はすべてゼロになります。^{[ 5 ]}

後にカントールは、集合Sが${\displaystyle f}$がゼロでない、が無限であるが、Sの派生集合S' が_有限である場合、係数はすべてゼロになります。実際、彼はより一般的な結果を証明しました。S 0 = Sとし、S _k+1をS _kの派生集合とします。S nが有限となる有限数nが存在する場合、係数はすべてゼロになります。後に、ルベーグは、S _αが有限となる可算無限順序数αが存在する場合、級数の係数はすべてゼロになることを証明しました。カントールの一意性問題に関する研究は、S _αの添え字αとして現れる超限順序数の発明につながったことで有名です。^{[ 6 ]}

• デンジョイ・ルージン定理

• バリ、ニーナ・カルロヴナ（1964）。三角級数論第1巻。 マーガレット・F・マリンズ訳。パーガモン。
• Edwards, RE (1979).フーリエ級数. 第 64巻. ニューヨーク、NY: Springer New York. doi : 10.1007/978-1-4612-6208-4 . ISBN 978-1-4612-6210-7。
• Edwards, RE (1982).フーリエ級数. 第 85巻. ニューヨーク、NY: Springer New York. doi : 10.1007/978-1-4613-8156-3 . ISBN 978-1-4613-8158-7。
• Hardy, GH ; Rogosinski, Werner (1999). Fourier series . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-40681-7。
• ジグムント、アントニ（1968）。三角関数シリーズ。第1巻および第2巻 （第2版、再版 ）。ケンブリッジ大学出版局。MR 0236587。