ペルガのアポロニウス

アポロニウス
言語
1537 年版のアポロニウスの想像上の描写
生まれる	紀元前240年頃
死亡	紀元前190年頃
知られている	円錐曲線 アポロニウスの問題 アポロニウスの円 アポロニウスのサークル
科学者としてのキャリア
フィールド	幾何学

ペルガのアポロニオス（古代ギリシア語：Ἀπολλώνιος ὁ Περγαῖος Apollṓnios ho Pergaîos、紀元前 240年頃 - 紀元前 190年頃）は、円錐曲線に関する研究で知られる古代ギリシアの幾何学者、天文学者。この分野におけるユークリッドとアルキメデスの初期の貢献を基に、彼は解析幾何学が発明される前の時代にそれをもたらした。楕円、放物線、双曲線という用語の定義は、今日でも使われているものである。アポロニオスは、先人のユークリッドやアルキメデスとともに、古代の最も偉大な数学者の一人と一般に考えられている。^[1]

アポロニウスは幾何学以外にも、天文学など数多くの分野に取り組んでいた。その著作のほとんどは現存していないが、例外としてアレクサンドリアのパップスなど他の著者が引用した断片が残っている。惑星の異常な動きを説明するために彼が立てた偏心軌道の仮説は中世まで広く信じられていたが、ルネサンス時代には廃れた。月にあるアポロニウス・クレーターは彼にちなんで名付けられた。^[2]

数学の分野に多大な貢献をしたにもかかわらず、アポロニウスに関する伝記はほとんど残っていない。6世紀のギリシャの注釈者アスカロンのエウトキオスは、アポロニウスの円錐曲線について次のように述べている。^[3]

幾何学者アポロニウスは、プトレマイオス 3 世エウエルゲテスの時代にパンフィリアのペルガ出身で、アルキメデスの伝記作者ヘラクレイオスの記録に残っています。

この一節からアポロニウスの生年月日がおおよそ特定できるが^[a]、現代の学者が述べる生没年は推測にすぎない。^[4] プトレマイオス3世エウエルゲテス（「恩人」）は、ディアドコイ朝のエジプト第3代ギリシャ王朝で、紀元前246年から222年/221年まで統治した。「時代」は常に統治者または行政官によって記録されるため、アポロニウスはおそらく紀元後246年以降に生まれた。ヘラクレイオスの正体は不明である。

ペルガはアナトリア半島のパンフィリアにあったギリシャ化した都市で、今も遺跡が残っている。ヘレニズム文化の中心地だった。エウトキオスはペルガをエジプトのプトレマイオス朝と関連づけているようだ。ペルガはエジプトの支配下には入らず、紀元前246年にはセレウコス朝が統治する独立したディアドコイ国家、セレウコス朝に属していた。紀元前3世紀後半、ペルガはセレウコス朝の支配下になったり、北のペルガモンのアッタロス朝の支配下になったりと、何度も支配者が変わった。「ペルガ出身」とされている人物は、そこに住み、働いていたと予想されるが、逆に、アポロニウスが後にペルガと特定されたとしても、それは居住地に基づくものではない。残っている自伝的資料から、彼がアレクサンドリアで生活し、学び、執筆していたことがうかがえる。

ギリシャの数学者で天文学者のヒプシクレスの手紙は、もともとユークリッドの『原論』13巻のうちの第14巻から抜粋した補足の一部であった。^[5]

ティルスのバシリデスよ、プロタルコスは、アレクサンドリアに来て父と会ったとき、数学に対する共通の関心による絆で結ばれていたため、滞在期間の大半を父と過ごした。そしてあるとき、アポロニウスが書いた、同じ球に刻まれた十二面体と二十面体の比較、つまり、それらが互いにどのような比率を持っているかという問題についての小冊子を調べたところ、彼らは、この本でのアポロニウスの扱いは正しくないという結論に達した。したがって、父から聞いたところ、彼らはそれを修正し、書き直すことになった。しかし、私自身はその後、アポロニウスが出版した別の本に出会い、その本には問題の説明が含まれており、彼の問題の研究に大いに魅了された。現在、アポロニウスが出版した本は、誰でも読むことができる。それは、後になって注意深く練り上げられた結果と思われる形で、広く流通しているからである。

円錐学派の書の現存する序文には、自伝的な内容がいくらか含まれています。これは、アポロニウスが影響力のある友人に宛てて、手紙に同封した本をレビューするよう依頼した手紙です。最初の 2 つの序文は、ペルガモンのエウデモスに宛てたものです。

エウデモスは、おそらくペルガモン博物館の研究センター長であったか、もしくはそうなった。ペルガモンは、羊皮紙という名前が由来する、書籍と羊皮紙産業で知られる都市である。アテネのリュカイオンをモデルにしたギリシャの数学機関の研究は、図書館と博物館が付属する教育活動の一部であった。そのような学校は、国王の支援を受ける国内に 1 校だけあった。書籍は希少かつ高価であり、収集は王室の義務であった。

アポロニウスの第 1 巻の序文では、最初の 4 冊は元素の発展について、最後の 4 冊は特別なトピックについて扱っているとエウデモスに伝えています。アポロニウスは、円錐曲線がもともとナウクラテスによって依頼されたことを思い出させます。ナウクラテスは幾何学者であり、アレクサンドリアの客人でしたが、それ以外は歴史上知られていません。アポロニウスはナウクラテスに 8 冊すべての最初の草稿を提供しましたが、それらは「徹底的な浄化なし」であり、完成したら各冊をリリースして、確認と修正を行うつもりでした。

ペルガモンを訪れたアポロニウス本人からこの計画を聞いたエウデモスは、出版前に各本をアポロニウスに送るよう強く求めた。この段階では、アポロニウスはまだ若い幾何学者だったようで、パップスによれば、彼はエウクレイデスの弟子たちとともにアレクサンドリアに滞在していた（エウクレイデスの時代よりずっと後だった）。おそらく、エウデモスはアポロニウスがペルガモンにいたころからの指導者だったのかもしれない。

最初の序文と 2 番目の序文の間には空白がある。アポロニウスは、同じくアポロニウスという名前の息子を 2 番目の序文を届けるために派遣した。彼はより自信を持って話し、エウデモスにこの本を特別な研究グループで使うよう提案している。アポロニウスは、ラオディキアのフィロニデスとの出会いについて述べている。フィロニデスは幾何学者で、エフェソスでエウデモスに紹介し、エウデモスの弟子となった。フィロニデスは、紀元前 2 世紀前半に主にシリアに住んでいた。この出会いが、アポロニウスが当時エフェソスに住んでいたことを示しているかどうかは不明である。地中海の知識人コミュニティは国際的であり、この「数学の黄金時代」の学者たちは、国際的に就職先を探し、お互いを訪問し、お互いの著作を読んで提案し、学生を推薦し、何らかの郵便サービスを介して連絡を取り合っていた。現存する手紙は豊富である。

第3巻の序文は失われており、その間にエウデモスは亡くなったと、アポロニウスは第4巻の序文で述べている。第4巻から第7巻までの序文はより形式的で、個人的な情報を省いた単なる要約である。4巻すべては謎のアッタロスに宛てられており、アポロニウスによれば、その選択は「私の作品を所有したいというあなたの切実な願いのため」に行われた。おそらくアッタロスは、アポロニウスの写本を送るのに重要な人物だったのだろう。一説によると、アッタロスはペルガモンの将軍で守護者のアッタロス2世フィラデルフォス（紀元前220年 - 紀元前138年）であり、その兄弟であるエウメネス2世が王であり、兄の病気の後、紀元前160年に共同統治者となり、紀元前158年に王位に就いた。兄弟はどちらも芸術のパトロンであり、図書館を世界的に壮麗なものにまで拡大した。アッタロスはフィロニデスと同時代の人物であり、アポロニウスの動機はアッタロスの書籍収集活動と一致している。

アポロニウスは序文 VII で、第 8 巻を「付録です。できるだけ早くお送りします」と説明しています。この巻が実際に送られたという記録はなく、アポロニウスは完成する前に亡くなった可能性があります。しかし、アレクサンドリアのパップスがこの巻に見出し語を付けたので、何らかの形で流通していたに違いありません。

アポロニウスは多作な幾何学者で、多数の著作を残した。現存するのは『円錐曲線』のみである。8冊のうち、最初の4冊だけがアポロニウスの未翻訳原文として残っている。第5巻から第7巻は、バヌー・ムーサの依頼でタビト・イブン・クルラがアラビア語に翻訳したもので、元のギリシャ語は失われている。^{[6]第8巻の状況は不明。最初の草稿は存在したが、最終草稿が作成されたかどうかは不明である。}エドモンド・ハレーによるラテン語での「再構成」が存在するが、それがアポロニウスに忠実であるかどうかは、もしあったとしても、知るすべがない。

『円錐曲線』のギリシャ語テキストでは、定義、図、その部分のユークリッド配置が使用されている。つまり、「与えられたもの」の後に「証明されるべき」命題が続く。第 1 巻から第 7 巻には 387 の命題が提示されている。このタイプの配置は、伝統的な主題を扱う現代の幾何学の教科書のどこにでも見られる。どの数学のコースでもそうであるように、内容は非常に濃密で、その考察には必然的に時間がかかる。アポロニウスは各書籍の計画を持っており、それは序文で部分的に説明されている。見出し、つまり計画へのポインターはいくぶん不足しており、アポロニウスはトピックの論理的な流れに大きく依存していた。

第 1 巻には 58 の命題が提示されています。その最も顕著な内容は、円錐と円錐曲線に関するすべての基本的な定義です。これらの定義は、同じ単語の現代の定義とまったく同じではありません。語源的には、現代の単語は古代の単語に由来していますが、語源はしばしばその反射とは意味が異なります。

円錐面は、端点がそれぞれ独自の平面内で円をなぞるように、二等分点の周りを回転する線分によって生成されます。円錐は、二重円錐面の 1 つの分岐であり、点 (頂点)、円 (底辺)、および軸 (頂点と底辺の中心を結ぶ線) を持つ表面です。

断面（ラテン語sectio、ギリシャ語tome ）は、平面による円錐の仮想的な「切断」です。

• 命題I.3:「円錐を頂点を通る平面で切断すると、その断面は三角形になる。」二重円錐の場合、断面は頂点の角度が垂直角となる2つの三角形になります。
• 命題I.4は、円錐の底辺に平行な部分は軸上に中心を持つ円であると主張している。^[b]
• 命題 I.13 は楕円を定義します。楕円は、底面の平面に対して傾斜し、底面の平面と交差する平面によって単一の円錐を切断したものと考えられています。この平面は、円錐の外側の底面の直径に垂直な線で交差します (図には示されていません)。傾斜面の角度は 0 より大きくなければなりません。そうでない場合、断面は円になります。傾斜面の角度は、軸三角形の対応する底角よりも小さくなければなりません。この角度で図形は放物線になります。
• 命題I.11は放物線を定義します。放物線の平面は軸三角形の円錐面の辺に平行です。
• 命題 I.12 は双曲線を定義します。その平面は軸に平行です。双曲線は 1 組の円錐の両方を切断し、2 つの異なる枝 (1 つだけを示しています) を取得します。

ギリシャの幾何学者は、アルキメデスなどの偉大な発明家が行っていたように、工学や建築のさまざまな用途で、手元にある図形から選んだ図形をレイアウトすることに興味を持っていました。円錐曲線の需要は当時も今も存在しています。数学的特徴付けの発達により、幾何学はギリシャ幾何代数の方向へと進みました。幾何代数は、線分に変数として値を割り当てるなどの代数的基礎を視覚的に特徴づけます。彼らは、測定グリッドと直交座標系の中間の座標系を使用しました。比例理論と面積の応用により、視覚的な方程式の開発が可能になりました。(以下の「アポロニウスの方法」を参照)。

「面積の適用」は、面積と線分が与えられたとき、この面積は適用されるか、つまり、線分上の正方形に等しいかを暗黙的に問うている。当てはまる場合、適用可能性（放物線）が確立されている。アポロニウスはユークリッドに倣い、断面上の任意の点の横座標上の長方形が縦座標の正方形に適用されるかどうかを尋ねた。^[7]当てはまる場合、彼の言葉の方程式は、放物線の方程式の現代的な形の1つであるに相当する。長方形の辺はと である。したがって、放物線という図形を「適用」と名付けたのは彼である。 ${\textstyle y^{2}=kx}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x}$

「適用不可能」なケースはさらに 2 つの可能性に分けられます。関数 が、適用可能なケースでは 、適用不可能なケースではまたは となります。前者の場合、 は省略 と呼ばれる量、「不足」だけ に足りません。後者の場合、 は、誇張と呼ばれる量、「過剰」だけ に超過します。 ${\textstyle f(x)}$${\textstyle y^{2}=g(x)}$${\textstyle y^{2}>g(x)}$${\textstyle y^{2} <g(x)}$${\displaystyle g(x)}$${\textstyle y^{2}}$${\displaystyle g(x)}$

適用性は、不足分を加算するか、過剰分を減算することで達成できる。不足分を補う図形は楕円と名付けられ、過剰分を補う図形は双曲線と名付けられた。^[c]現代の方程式の項は、図形の原点からの平行移動と回転に依存するが、楕円の一般的な方程式は、 ${\textstyle y^{2}=f(x)=g(x)+d,}$${\displaystyle g(x)-s.}$

${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}=C}$

フォームに配置できる

${\displaystyle y^{2}=\left|{\frac {A}{B}}x^{2}\right|+{\frac {C}{B}}}$

は赤字であり、双曲線の方程式は、 ${\displaystyle C/B}$

${\displaystyle Ax^{2}-By^{2}=C}$

なる

${\displaystyle y^{2}=\left|{\frac {A}{B}}x^{2}\right|-{\frac {C}{B}}}$

過剰はどこにあるのか。 ^[d]${\displaystyle C/B}$

第 2 巻には 53 の命題が含まれています。アポロニウスは、「直径と軸、また漸近線やその他の可能性の限界に関する特性」を取り上げることを意図していたと述べています。彼の「直径」の定義は従来の定義とは異なり、定義については手紙の宛先に彼の著作を参照させる必要があると考えています。言及されている要素は、図形の形状と生成を指定する要素です。接線については、本の最後で説明します。

第 3 巻には 56 の命題が含まれている。アポロニウスは「立体軌跡の構築に有用な定理 ... 三線軌跡と四線軌跡...」を独自に発見したと主張している。円錐曲線の軌跡は、断面である。三線軌跡問題 (第 3 巻の付録で述べられているように) は、「3 本の固定された直線からの距離が、距離の 1 つの 2 乗が、他の 2 つの距離によって囲まれる長方形と常に一定の比率になるような点の軌跡」を求める。これは、放物線をもたらす面積の適用の証明である。^[8]四線問題の結果は、楕円と双曲線となる。解析幾何学は、デカルトが高く評価された幾何学ではなく、代数によって裏付けられたより単純な基準から同じ軌跡を導き出す。彼はその方法論においてアポロニウスに取って代わった。

第 4 巻には 57 の命題が含まれている。最初の命題はエウデモスではなくアッタロスに送られたもので、したがって彼のより成熟した幾何学的思想を表している。テーマはかなり専門的である。「円錐の断面が互いに交わる点の最大数、または円の円周が交わる点の最大数」など。しかし、彼は熱心に語り、これらの命題は問題解決に「かなり役立つ」としている (序文 4)。^[e]

第5巻はアラビア語からの翻訳でのみ知られており、77の命題が含まれており、これはどの本よりも多い。^[9]楕円（50の命題）、放物線（22）、双曲線（28）を扱っている。^[10]これらは明示的に主題ではないが、アポロニウスは序文IとVで最大線と最小線であると述べている。これらの用語は説明されていない。第1巻とは対照的に、第5巻には定義も説明もない。

この曖昧さは、アポロニウスの解釈者を引きつけてきた。彼らは、本の主要用語の意味を確信を持たずに解釈しなければならないからである。最近まで、ヒースの見解が優勢であった。すなわち、直線は断面に対する法線として扱われるべきである。[ 11 ^]この場合の法線とは、時には足と呼ばれる接点における曲線の垂線である。断面がアポロニウスの座標系（以下の「アポロニウスの方法」を参照）に従ってプロットされ、直径（ヒースによって軸と解釈されている）がx軸上に、頂点が左側の原点にある場合、命題の表現は、最小値/最大値が断面と軸の間に見つかることを示している。ヒースは、接点と直線の一方の端の両方として機能する断面上の固定点pを考慮することで、この見解に至った。軸上のある点gとpとの間の最小距離は、pからの法線でなければならない。

現代数学では、曲線の法線は、曲線の足の周りに位置する小さな部分の曲率中心の位置として知られています。足から中心までの距離は曲率半径です。後者は円の半径ですが、円以外の曲線の場合、小さな弧は円弧で近似できます。円でない曲線、たとえば円錐曲線の曲率は、断面上で変化する必要があります。曲率中心のマップ、つまり足が断面上を移動するときの軌跡は、断面の縮閉線と呼ばれます。このような図形、つまり直線の連続位置の端は、今日では包絡線と呼ばれています。ヒースは、第 5 巻で、アポロニウスが法線、縮閉線、包絡線の理論の論理的基礎を確立しているのを見ることができると信じていました。^[12]

ヒースによる解釈は、20世紀を通じて第5巻の権威ある解釈として受け入れられていたが、世紀の変わり目とともに見解の変化がもたらされた。2001年、アポロニウス研究者のフリードとウングルは、ヒースの他の章には敬意を表しつつも、第5巻のヒースの分析の歴史性に難色を示し、「ヒースは原文を現代の数学者に合うように書き直している...これは、ヒースの研究が歴史家にとって疑わしい価値を持つようにする類のものであり、アポロニウスよりもヒースの考えをより多く明らかにしている」と主張した。^[13]彼の議論の一部を要約すると、次のようになる。序文にも本自体にも、最大値/最小値自体が正規分布であるという言及はない。^[f]ヒースが法線を網羅するといわれる 50 の命題を選んだうち、最大/最小線が接線に垂直であることを述べたり暗示したりするのは、第 5 巻の 27 ～ 33 の 7 つだけです。フリードは、この 7 つを、本の主命題とは無関係な孤立した命題として分類しています。これらは、最大値/最小値が一般に法線であることを暗示するものではありません。フリードは、他の 43 の命題を徹底的に調査し、その多くが法線ではないことを証明しています。^[g]

フリードとウングルは、アポロニウスを未来の予兆ではなく過去の継続として描写することで反論する。まず、最小線と最大線へのすべての言及を徹底的に文献学的に研究し、標準的な言い回しを明らかにする。それぞれ20〜25の命題からなる3つのグループがある。^[14]最初のグループには「軸上の点から断面へ」というフレーズが含まれており、これは仮説的な「断面上の点から軸へ」の正反対である。前者は、何に対しても垂直である必要はないが、垂直である場合もある。軸上の固定点が与えられると、その点と断面のすべての点を結ぶすべての線のうち、1本が最も長く（最大）、1本が最も短い（最小）になる。他のフレーズには「断面内」、「断面から引かれた」、「断面と軸の間で切断された」、「軸によって切断された」などがあり、すべて同じイメージを指している。

フリードとウングルの見解では、第 5 巻の主題は、アポロニウスが言うとおり、最大線と最小線である。これらは未来の概念の暗号語ではなく、当時使用されていた古代の概念を指している。著者らは、円と、内部の点から円周までの最大距離と最小距離について扱っているユークリッドの『原論』第 3 巻を引用している。^[15]彼らは、特定の一般性を認めることなく、「のような」または「類似物」などの用語を使用している。彼らは、「ニューシスのような」という用語を考案したことで知られている。ニューシス構築は、与えられた線分を 2 つの曲線の間に当てはめる方法であった。点 P と、線分がマークされた定規が与えられると、定規を P の周りで回転させて 2 つの曲線を切り、線分が 2 つの曲線の間に収まるまで続けます。第 5 巻では、P は軸上の点です。定規をその周りで回転させるこの技法は状況に適用されていないので、neusisではない。著者らは、古代の方法との典型的な類似性を見て、neusis-likeを使用している。^[13]

第 6 巻はアラビア語からの翻訳でのみ知られており、33 の命題が含まれており、これはどの本よりも少ない数です。また、以前のテキストの損傷や破損により、テキストに大きな欠落、つまり空白があります。

主題は比較的明確で、議論の余地がありません。序文 1 では「円錐の等しい断面と相似な断面」と述べられています。アポロニウスは、ユークリッドが三角形や四辺形などのより基本的な図形に提示した合同と相似の概念を円錐断面にまで拡張しています。序文 6 では、「等しい断面と等しくない断面」、および「相似と非相似」の「断面と線分」について言及し、構成に関する情報を追加しています。

第 6 巻では、本の冒頭にある基本定義に戻ります。「等しい」かどうかは、面積の適用によって決まります。1 つの図形、つまりセクションまたはセグメントを別の図形に「適用」した場合 (ハレーのsi applicari possit altera super alteram )、それらが一致し、一方の線が他方の線と交差しない場合に「等しい」 (ハレーのaequales ) です。これは明らかに、ユークリッドの第 1 巻、共通の概念、4 節「互いに一致する ( epharmazanta ) ものは等しい ( isa )」に従った合同の基準です。一致と等しいことは重なり合っていますが、同じではありません。セクションを定義するために使用される面積の適用は、面積の量的な等しいかどうかに依存しますが、それらは異なる図形に属することができます。

互いに等しい同じ（homos）インスタンスと、異なる、または不等なインスタンスの間には、「似たような」（hom-oios）図形、つまり類似の図形があります。それらは完全に同じでも異なっているわけでもありませんが、同じ側面を共有し、異なる側面を共有していません。直感的に、幾何学者はスケールを念頭に置いていました。たとえば、地図は地形地域に似ています。したがって、図形には、それ自身よりも大きいバージョンや小さいバージョンが存在する可能性があります。

相似図形の同じ側面は図形によって異なります。ユークリッドの『原論』第 6 巻では、相似三角形は対応する角度が同じ三角形として紹介されています。したがって、三角形は好きなだけ小さいミニチュアや巨大バージョンを持つことができ、それでも元の三角形と「同じ」三角形になります。

アポロニウスの第 6 巻の冒頭の定義では、相似な直角円錐は相似な軸三角形を持つ。相似な断面および断面の線分は、まず相似な円錐内にある。さらに、一方の横座標ごとに、もう一方の横座標に、希望するスケールで横座標が存在する必要がある。最後に、一方の横座標と縦座標は、もう一方の横座標と縦座標の比率が同じ座標と一致している必要がある。全体的な効果は、断面または線分が円錐の上下に移動して異なるスケールを実現したかのようである。^[h]

第 7 巻もアラビア語からの翻訳で、51 の命題が収められている。これらは、ヒースが 1896 年の版で取り上げる最後の命題である。序文 I でアポロニウスは命題について触れていないが、これは初稿の時点では、記述できるほど首尾一貫した形で存在していなかった可能性があることを示唆している。アポロニウスは、命題を「peri dioristikon theorematon」とあいまいな言葉で表現しているが、ハリーはこれを「de theorematis ad determinationem pertinentibus」、ヒースは「極限の決定を伴う定理」と訳している。これは定義の言葉だが、定義は提示されていない。特定の種類の定義への言及であるかどうかは検討の余地があるが、これまでのところ、信頼できるものは何も提案されていない。^{[i]アポロニウスの生涯とキャリアの終わり頃に完成した第 7 巻の主題は、序文 VII で}直径と「それについて記述される図形」であると述べられているが、これには共役直径も含まれているに違いない。なぜなら、アポロニウスは共役直径に大きく依存しているからである。 「制限」や「決定」という用語がどのように適用されるかについては言及されていません。

直径とその共役は、第 1 巻 (定義 4 ～ 6) で定義されています。すべての直径に共役があるわけではありません。直径 (ギリシャ語の diametros) の地形では、規則的な曲線の 図形が必要です。現代で扱われる不規則な形状の領域は、古代の計画には含まれていません。アポロニウスが念頭に置いていたのは、もちろん円錐曲線であり、彼はしばしば複雑な言葉で円錐曲線を説明しています。「同一平面上の曲線」は円、楕円、または放物線であり、「同一平面上の 2 つの曲線」は双曲線です。弦とは、2つの端点が図形上にある直線です。つまり、弦は図形を 2 か所で切断します。図形に平行弦のグリッドが適用されている場合、直径は、すべての弦を二等分し、頂点と呼ばれる点で曲線自体に達する線として定義されます。閉じた図形である必要はありません。たとえば、放物線には直径があります。

放物線は1 次元で対称です。放物線を 1 つの直径で折ると、2 つの半分は合同、つまり互いに重なり合います。同じことが双曲線の 1 つの枝についても言えます。ただし、共役直径 (ギリシャ語では suzugeis diametroi、suzugeis は「くびきでつながれる」) は 2 次元で対称です。これらが適用される図形には、今日では重心と呼ばれる、2 方向の対称中心として機能する面中心 (ギリシャ語では kentron) も必要です。これらの図形は、円、楕円、2 分岐双曲線です。重心は 1 つだけであり、焦点と混同してはなりません。直径は重心を通る弦であり、常に重心を二等分します。

円と楕円の場合、最も長い弦が直径となり、他の弦が順に短くなり、最後の弦は弦ではなく接点となるように、図形上に平行弦のグリッドを重ねます。接点は直径と平行でなければなりません。共役直径は弦を二等分し、重心と接点の間に置かれます。さらに、両方の直径は互いに共役であり、共役ペアと呼ばれます。円の共役ペアは互いに垂直であることは明らかですが、楕円では長軸と短軸のみが垂直であり、他のすべての場合は伸長によって垂直性が失われます。

共役は、二重円錐を単一の平面で切断して得られる双曲線の 2 つの枝に対して定義されます。これらは共役枝と呼ばれます。これらは同じ直径を持ちます。その重心は頂点間の線分を二等分します。直径のような線をもう 1 本引く余地があります。直径に平行な線のグリッドで双曲線の両方の枝を切断します。これらの線は弦に似ていますが、同じ連続曲線で終了しません。弦のような線を二等分するために、重心から共役直径を描くことができます。

主に第 1 巻のこれらの概念は、断面、直径、共役直径の関係を詳細に定義する第 7 巻の 51 の命題への出発点となります。アポロニウスの他の専門的トピックと同様に、解析幾何学と比較してこれらの命題が今日どのように役立つかはまだわかりませんが、彼は第 7 巻の序文で、これらの命題が有用かつ革新的であると断言しています。つまり、これらの命題の功績は彼にあるということです。

初期の印刷版は、大部分が 16 世紀に始まりました。当時のヨーロッパでは、学術書は新ラテン語で書かれることが求められていました。数学の原稿はラテン語で書かれたものがほとんどなかったため、初期の印刷版の編集者はギリシャ語やアラビア語から翻訳しました。ギリシャ語とラテン語が並置されることも多く、ギリシャ語のテキストはオリジナルか編集者の復元のいずれかを表していました。当時の批評的な論評は、通常ラテン語で書かれていました (初期の論評は、古代または中世のギリシャ語やアラビア語で書かれていました)。現代語の版が登場し始めたのは、18 世紀と 19 世紀になってからでした。初期の印刷版の代表的なリストを以下に示します。

• ペルガエウス、アポロニウス (1566)。Conicorum libri quattuor: unacum Pappi Alexandrini lemmatibus, et commentariis Eutocii Ascalonitae. Sereni Antinensis の哲学書 2 冊 ... フェデリクス コマンドヌス ヴルビナスのメンディス Quampluris expurgata と Graeco conuertit、および解説のイラスト(古代ギリシャ語とラテン語)。ボノニエ: 元職権者アレクサンドリ・ベナティ。フレデリクス・コマンディヌスによるギリシア語の円錐学説の最初の 4 巻の、彼自身のラテン語訳と、アレクサンドリアのパップス、アスカロンのエウトキオス、アンティノウプリスのセレヌスの注釈を添えた紹介。
• アポロニウス。バロー、I (1675)。 Apollonii conica: Methodo nova illustrata、および succinctè Demonstrata (ラテン語)。ロンディーニ：エクスクデバット・ギル。ゴッドビッド、リトルブリテンのロバータム・スコット夫人。バローによる『円錐曲線論』の最初の 4 巻の古代ギリシャ語から新ラテン語への翻訳。ここにリンクされている写本はボストン公共図書館にあり、かつてはジョン・アダムズが所有していた。
• アポロニウス。パプス;ハレー、E. (1706)。 Apollonii Pergaei de Sectione rationis libri due: 元アラビコ ms。ラテン語バージョン。 Accedunt ejusdem de sectione spatii libri due restituti (ラテン語)。オクソニー。アポロニウスの失われたが再構成された2つの作品の紹介。『De Sectione Rationis』は、オックスフォード大学ボドリアン図書館にあるアラビア語の未発表原稿から取られたもので、元々はエドワード・バーナードによって部分的に翻訳されていましたが、彼の死によって中断されました。それは、後にハレー彗星に名前が付けられた、天文学者、数学者、探検家である教授、エドモンド・ハレーに渡されました。彼は破損したテキストを解読することができず、それを放棄しました。その後、数学者のデイヴィッド・グレゴリーがヘンリー・アルドリッチのためにアラビア語を復元し、アルドリッチはそれを再びハレーに渡しました。アラビア語を学んだハレーは、『De Sectione Rationis』を作成し、読者への追加の報酬として、パップスの注釈から再構成された『De Sectione Spatii』の新ラテン語訳を作成しました。2つの新ラテン語作品とパップスの古代ギリシャ語の注釈は、1706年に1冊にまとめられました。アラビア語の写本の著者は不明です。この書は、825年にバグダッドの天文学者でカリフであったラテン語のアルマモン、アル・マムーンの「後援」の下で書かれたという記述に基づき、ハレーは著書「プラエファティオ・アド・レクトレム」の中で、この書が820年に書かれたとしている。
• アポロニウス。アレクサンドリヌス・パプス;ハレー, エドモンド;ユートシウス;セレヌス(1710)。 Apollonii Pergaei Conicorum libri octo, et Sereni Antissensis De Sectione cylindri & coni libri due (PDF) (ラテン語と古代ギリシャ語)。オクソニアエ：シェルドニアーノ劇場。1706年に出版されたデイヴィッド・グレゴリーのアラビア語版『de Sectione rationis』の改訂版の翻訳が成功したことに勇気づけられたハリーは、アポロニウスの『elementa conica』全巻の修復とラテン語訳を行った。^[j]第1巻から第4巻までは一度も紛失したことがなかった。ギリシャ語が1列に、ハリーのラテン語が並行して掲載されている。第5巻から第6巻は、 1626年にアレッポの古物学者ヤコブス・ゴリウスが購入した、これまで評価されていなかったギリシャ語からアラビア語への翻訳が思いがけず発見されたものである。ゴリウスが1696年に亡くなると、一連の購入と遺贈を経てボドリアン図書館に渡った（元は1070年のMS Marsh 607）。^[16]この翻訳は、かなり古いもので、アルマモンの流派のバヌー・ムーサ（「ムーサの息子たち」）と呼ばれる、9世紀に生きた3人の兄弟のグループによるもので、彼らに仕える筆者によって翻訳が行われた。^[4]ハレーの著作では、第V巻から第VII巻のラテン語訳のみが与えられている。これがその最初の印刷物である。第VIII巻は、アルマモンの学者が保存に手を貸す前に失われた。第VII巻で展開された期待とパップスの見出しに基づくハレーの創作は、ラテン語で与えられている。円錐図の解釈のガイドとして、エウトキオスの注釈、パップスの見出し、およびセレヌスの2つの関連論文が含まれている。

円錐曲線の難解さは、後代の注釈者たちにとって知的なニッチとなり、それぞれが当時の最も明快で適切な方法でアポロニウスを解説しました。注釈、膨大な序文、さまざまな形式、追加の図、頭文字の追加による表面的な再構成など、さまざまな手法が用いられています。解釈には微妙な違いがあります。

円錐曲線に関する資料は英語で書かれたものが限られている。これは、エドモンド・ハレーやアイザック・ニュートンなどのイギリスの数学者を含む 16 世紀から 18 世紀のヨーロッパの数学者が新ラテン語を好んだためである。後の世紀には、座標 (解析幾何学) を使用して幾何学が再確立され、総合的な方法が好まれなくなったため、円錐曲線の数学研究への直接的な影響は減少した。

完全にネイティブ英語で書かれたプレゼンテーションは 19 世紀後半に始まります。

特に影響力が大きかったのは、トーマス・ヒースの翻訳『円錐曲線論』である。彼の広範な序文には、ギリシャ語、意味、使用法を記したアポロニウスの幾何学用語辞典などが含まれている。^[17]「この論文の明らかに不吉な分量のために、多くの人がその理解をためらっている」とコメントし、^[18]見出しを追加し、表面的に構成を変え、現代の表記法で本文をわかりやすくすることを約束している。このように、彼の著作は、括弧で相互参照された彼自身の構成システムとアポロニウスの構成システムの 2 つを参照している。

ヒースは19世紀後半から20世紀前半にかけて活躍し、1940年に他界したが、その間に別の観点が生まれた。セント・ジョンズ・カレッジ（アナポリス/サンタフェ）は、隣接するメリーランド州アナポリスのアメリカ海軍兵学校に先立つ植民地時代からの陸軍士官学校であったが、1936年に認可を失い、破産寸前であった。窮した理事会は、古典文学の指導のための新しい理論的プログラムを開発していたシカゴ大学からストリングフェロー・バーとスコット・ブキャナンを招集した。この機会に飛びついた彼らは、1937年にセント・ジョンズで「新プログラム」を制定した。これは後にグレート・ブックス・プログラムと呼ばれるようになったもので、西洋文明の文化に貢献した選りすぐりの重要人物の作品を教える固定カリキュラムであった。セント・ジョンズでは、アポロニウスは解析幾何学の補助としてではなく、彼自身として教えられるようになりました。

アポロニウスの「家庭教師」は、 1937年にヴァージニア大学で博士号を取得したばかりのR・ケイツビー・タリアフェロであった。彼は1942年まで、そしてその後1948年には1年間、プトレマイオスの『アルマゲスト』とアポロニウスの『円錐図法』の英訳を自ら手掛け、家庭教師を務めた。これらの翻訳は、ブリタニカ百科事典の『西洋世界の名著』シリーズの一部となった。第I巻から第III巻のみが収録されており、特別なトピックについては付録が付されている（円錐図法の第IV巻のマイケル・N・フリードによる翻訳は2002年に出版された）。ヒースとは異なり、タリアフェロは表面的にさえアポロニウスを再編成したり、書き直したりはしなかった。彼の現代英語への翻訳は、ギリシャ語にかなり忠実に従っている。彼はある程度、現代の幾何学的記法を使用している。

タリアフェロの著作と同時期に、第二次世界大戦時代のオックスフォード大学の教授アイヴァー・トーマスがギリシャ数学に強い関心を抱いていた。トーマスは選集を企画し、ロイヤル・ノーフォーク連隊の士官として兵役に就いている間に完成させた。戦後、その選集はローブ古典図書館に収蔵され、ローブシリーズの慣例に従い、ページの片側にギリシャ語、もう片側に英語が記された2巻本となっている。トーマスの著作は、ギリシャ数学の黄金時代のハンドブックとしての役割を果たしてきた。アポロニウスについては、第1巻のうち、セクションを定義する部分のみを主に収録している。

アポロニウスのその他の著作は断片的であるか、失われています。失われた著作の多くは、解説者によって記述または言及されています。さらに、文書化されていない他の著者によってアポロニウスに帰せられる考えもあります。信憑性があるかどうかは別として、それらは伝聞です。著者の中には、アポロニウスを特定のアイデアの著者とみなし、その結果、彼の名前が付けられた人もいます。また、アポロニウスを現代の表記法や表現法で表現しようとする人もいますが、忠実度の程度は不明です。

エドモンド・ハレーは『De Rationis Sectione』と『De Spatii Sectione』を再構成しました。これらの作品以外では、いくつかの断片を除いて、アポロニウスから派生したと解釈できる文書は存在しません。

円錐曲線のほかに、パップスはアポロニウスの他の論文にも言及している。

• Λόγου ἀποτομή、De Rationis Sectione (「比率のカット」)
• Χωρίου ἀποτομή, De Spatii Sectione (「領域の切断」)
• Διωρισμένη τομή, De Sectione Determinata (「決定セクション」)
• Ἐπαφαί、De Tactionibus (「タンジェンシー」) ^[19]
• Νεύσεις、De Inclinationibus (「傾斜」)
• Τόποι ἐπίπεδοι、De Locis Planis (「平面軌跡」)。

これらはそれぞれ2冊の本に分かれており、パプスによれば、ユークリッドの『データ』、『多角形』、『曲面軌跡』 、アポロニウスの『円錐曲線』とともに、古代の解析学の本文に含まれていた。^[8]上記の6つの作品について以下に説明する。

De Rationis Sectioneは、単純な問題を解決しようとした。2本の直線とそれぞれの直線上の点が与えられたとき、3番目の与えられた点を通って、2本の固定された直線を切断する直線を描き、それらの直線上の与えられた点とこの3番目の直線との交点との間の交差部分が与えられた比率を持つようにする。^[8]

De Spatii Sectioneは、 2つの切片によって囲まれる長方形が与えられた長方形と等しくなければならないという同様の問題を議論した。^[8]

17 世紀後半、エドワード・バーナードはボドリアン図書館で『De Rationis Sectione』の翻訳版を発見しました。バーナードは翻訳を開始しましたが、翻訳を完了し、1706 年に『De Spatii Sectione』の修復版として出版された書籍に収録したのはハリーでした。

『定点』は、一次元解析幾何学とも呼べる方法で、他の点と比になっている直線上の点を見つける問題を扱っている。^[20]具体的な問題は、直線上の2点、3点、または4点が与えられたとき、その直線上の別の点を見つける。その点から与えられた点までの距離が、1点上の正方形または2点に囲まれた長方形が、(1) 残りの1点上の正方形または残りの2点に囲まれた長方形に対する比率、または(2) 残りの1点と別の与えられた直線によって囲まれる長方形に対する比率のいずれかを満たすという条件を満たすような点である。アポロニウスの解答を見つけるためにテキストを復元しようとした者は数人おり、その中にはスネリウス ( Willebrord Snell、ライデン、1698年)、アバディーンのアレクサンダー・アンダーソン ( Apollonius Redivivus、パリ、1​​612年)の補遺、そしてロバート・シムソン( Opera quaedam reliqua 、グラスゴー、1776年)がおり、これが断然最良の試みである。^[8]

『デ・タクティブス』は次のような一般的な問題を取り上げた。所定の位置にある 3 つの物体 (点、直線、円) が与えられたとき、与えられた点を通り、与えられた直線または円に接する円を描きなさい。最も難しく、歴史的にも興味深いケースは、与えられた 3 つの物体が円である場合に生じる。16 世紀に、ヴィエタはこの問題 (アポロニウス問題とも呼ばれる) をアドリアヌス・ロマヌスに提示し、彼は双曲線でこれを解いた。ヴィエタはそれを受けてより単純な解決法を提案し、最終的にアポロニウスの論文全体を小著『アポロニウス・ガルス』 (パリ、1600 年) として復元することとなった。この問題の歴史は、JW カメラーの短い著書『アポロニウス・ペルガイの超越、天秤座における最大の補題、観測を伴う』 (ゴータエ、1795 年、第 8 巻)の序文で、非常に詳細に探求されている。 ^[8]

『傾斜角論』の目的は、与えられた点に向かう与えられた長さの直線を、与えられた2本の直線（直線または円）の間に挿入する方法を示すことであった。マリン・ゲタルディッチとヒューゴ・ドメリク（『幾何学的分析』、カディス、1698年）が復元を試みたものの、最も優れたものはサミュエル・ホースリー（1770年）によるものである。^[8]

『平面の軌跡』は直線または円である軌跡に関する命題集である。パップスはその命題の詳細をかなり詳しく述べているため、このテキストを復元する試みも行われ、フェルマー（Oeuvres , i., 1891, pp. 3-51）やスクーテン（ライデン、1656）だけでなく、最も成功したのはシムソン（グラスゴー、1749）によるものであった。^[8]

古代の作家たちは、今はもう存在しないアポロニウスの他の著作に言及している。

• Περὶ τοῦ πυρίου、「On the Burning-Glass」、おそらく放物線の焦点特性を調査した論文
• Περὶ τοῦ κοχλίου、円筒螺旋について(Proclus が言及)
• 同じ球に内接する正十二面体と正二十面体の比較
• Ἡ καθόλου πραγματεία、おそらくアポロニウスの批判とユークリッド要素の改良のための提案を含む、数学の一般原理に関する著作
• エウトキオスによれば、アポロニウスはπの値の限界をアルキメデスの限界よりも近い値にする方法を示した。アルキメデスは3を計算した。+1 ⁄ 7を上限とし、 3+下限は10 ⁄ 71
• アルキメデスの『砂の計算』よりも日常的な言語で大きな数を表現し、またその大きな数を掛け合わせるためのシステムに関する算術作品（パップスを参照）
• ユークリッドの第10巻で解説された無理数理論の、二項無理数から多項無理数へ、順序付き無理数から順序なし無理数への大きな拡張（アラビア語で保存され、1856年にヴォエプケによって出版された、ユークリッド第10巻に関するパップスの評論からの抜粋を参照）。^[8]

惑星の運動に関する 2 つの記述、すなわち偏心円を用いた記述と従円および周転円を用いた記述の同等性は、アポロニウスに帰せられる。プトレマイオスは『アルマゲスト』の中でこの同等性を述べている。

ヒースによれば^[21] 、 「アポロニウスの方法」は彼個人のものではなく、彼が後の理論家に与えた影響は幾何学の影響であり、彼自身の技術革新によるものではない。ヒースは言う。

円錐曲線で採用されている手法を詳細に検討する前提として、一般的には、円錐曲線は『ユークリッド原論』で明確に表現された幾何学的研究の受け入れられた原理に忠実に従っていると言えるでしょう。

黄金時代の幾何学者について言及する場合、現代の学者は「方法」という用語を、幾何学者が今日の代数学で得られる結果と同等の結果を生み出す視覚的かつ再構成的な方法の意味で使用します。簡単な例として、正方形の面積を計算する代数的方法は、辺の長さを二乗することです。類似の幾何学的方法は、視覚的な正方形を構築することです。黄金時代の幾何学的方法は、初等代数学の結果のほとんどを生み出すことができました。

ヒースは、黄金時代全体の方法に対して幾何学的代数という用語を使用しています。 ^[k]この用語は、 1890年かそれ以前にヘンリー・バーチャード・ファインによって定義されており、彼はそれを解析幾何学の最初の本格的な作品であるルネ・デカルトの『幾何学』に適用しました。^[22]「2つの代数は形式的に同一であり、その基本的な演算は形式的に同じである」という前提条件を確立した上で、ファイン氏は、デカルトの著作は「単なる数値代数ではなく、より適切な名前がないため線分の代数と呼ぶことができるものである。その記号表現は数値代数の記号表現と同じである」と述べています。

たとえば、アポロニウスでは、線分 AB (点 A と点 B を結ぶ線) は、線分の数値的な長さでもあります。線分の長さは任意です。したがって、AB は、任意の値を割り当てることができる代数変数( x (未知数)など) と同じになります (例: x =3)。

アポロニウスでは、変数は「断面上の任意の点から直径までの距離を AB とする」などの言葉で定義されており、この慣習は今日でも代数学に引き継がれています。基礎代数学を学ぶ生徒は皆、「文章問題」を代数変数と代数方程式に変換することを学ばなければなりません。代数の規則はx を解く際に適用されます。アポロニウスにはそのような規則はありませんでした。彼の解法は幾何学的なものでした。

図解で簡単には表せない関係は彼の理解を超えていましたが、彼の図解のレパートリーは、今日では一般に知られていない（または必要とされない）複雑な幾何学的解のプールから生まれました。よく知られている例外の 1 つは、不可欠なピタゴラスの定理です。これは、今でも a ² + b ² = c ²などの式を示す、各辺に正方形がある直角三角形で表されます。ギリシャの幾何学者は、これらの用語を「AB 上の正方形」などと呼びました。同様に、AB と CD によって形成される長方形の面積は、「AB と CD 上の長方形」でした。

これらの概念により、ギリシャの幾何学者は、一次関数と二次関数(後者は円錐曲線) を代数的に扱うことができました。これらの関数にはそれぞれ 1 または 2 の累乗が含まれています。円錐は立体ですが、アポロニウスは立方体 (立体幾何学で登場) をあまり利用しませんでした。彼の関心は平面図形である円錐曲線にありました。4 以上の累乗は視覚化できず、幾何学では利用できない程度の抽象化が必要でしたが、代数学では容易に利用できました。

物差しなどの標準的な公共の機器を使用してインチなどの公共単位で長さを通常測定することは、デカルト座標系、つまり 1 平方インチなどの単位正方形に分割された表面と、1 立方インチなどの単位立方体に分割された空間を公共で認識していることを意味します。古代ギリシャの測定単位は、青銅器時代以来、ギリシャの数学者にそのようなグリッドを提供していました。アポロニウス以前に、メナエクモスとアルキメデスは、低い測定値を示す左側の垂直線と低い測定値を示す下部の水平線から測定されると考えられた距離を参照することにより、共通グリッドの暗黙の窓上に図形を配置し始めていました。方向は直線、つまり互いに垂直です。^[23]これらの窓の端は、デカルト座標系では軸になります。任意の点の軸からの直線距離を座標として指定します。古代ギリシャにはそのような慣習はなく、単に距離を参照しただけです。

アポロニウスは、図を配置する標準的な窓を持っています。垂直方向の測定は、彼が「直径」と呼ぶ水平線から行われます。この単語はギリシャ語でも英語でも同じですが、ギリシャ語の方が理解範囲がやや広いです。^[24] 円錐曲線の図形が平行線のグリッドで切断されている場合、直径は図形の枝の間に含まれるすべての線分を二等分します。直径は頂点 (koruphe、「王冠」) を通らなければなりません。したがって、直径は放物線などの開いた図形と円などの閉じた図形で構成されます。直径が平行線に垂直でなければならないという指定はありませんが、アポロニウスは直線の図形のみを使用します。

断面上の点から直径までの直線距離は、ギリシャ語で tetagmenos と呼ばれ、語源は単に「延長」を意味します。これは「下」(kata-) または「上」(ana-) の方向にのみ延長されるため、翻訳者はこれを縦座標として解釈します。その場合、直径が x 軸になり、頂点が原点になります。y 軸は、頂点での曲線の接線になります。横座標は、縦座標と頂点の間の直径の部分として定義されます。

アポロニウスは、彼独自の座標系を使用して、円錐曲線の方程式の幾何学的等価物を図式で展開することに成功しました。これにより、彼の座標系が直交座標系であると考えられるかどうかという疑問が生じます。いくつかの違いがあります。直交座標系は、計算が行われる前に適用されるすべての空間のすべての図形をカバーする普遍的なものと見なされます。直交座標系には、交差する 2 つの軸によって分割された 4 つの象限があります。象限のうち 3 つには、基準軸の 0 と反対の方向を意味する負の座標が含まれます。

アポロニウスは負の数を持たず、ゼロを表す数を明示的に持たず、円錐曲線とは独立して座標系を展開していない。彼は基本的に第1象限のみ、つまりすべての座標が正である。そのため、現代の数学史家カール・ボイヤーは次のように述べている。^[25]

しかし、ギリシャの幾何代数は負の大きさを想定しておらず、さらに、座標系は、その特性を研究するために、常に、与えられた曲線に事後的に重ね合わされていました...。古代の最も偉大な幾何学者アポロニウスは、解析幾何学を開発できませんでした...。

しかしながら、ボイヤーによれば、アポロニウスの曲線の扱い方は、ある意味では現代の扱い方に似ており、彼の研究は解析幾何学を先取りしているようだ。^[25] アポロニウスは、従来の測定のグリッドシステムと解析幾何学の完全に発達した直交座標系との間の中間的な位置を占めている。アポロニウスを読む際には、彼の用語に現代的な意味を想定しないように注意する必要がある。

アポロニウスは、ユークリッドの『原論』第5巻と第6巻に述べられている「比例の理論」を用いている。クニドスのエウドクソスによって考案されたこの理論は、純粋に図形的な方法と現代の数論の中間である。標準的な十進法は欠如しており、分数の標準的な扱いも欠如している。しかし、命題は算術において分数を扱うための規則を言葉で表現している。ヒースは、これらが乗算と除算の代わりとなることを提案している。^[26]

エウドクソスは「大きさ」という用語によって、数を超えて一般的な大きさの感覚にまで到達しようとしたが、その意味は今も残っている。ユークリッドの図形に関しては、それはほとんどの場合数を意味し、それはピタゴラスのアプローチであった。ピタゴラスは宇宙は量によって特徴付けられると信じ、この信念は現在の科学的教義となっている。ユークリッドの第 5 巻は、大きさ (メゲトス、「大きさ」) は単位 (メロス、「部分」) に均等に分割できなければならないと主張することから始まります。したがって、大きさは単位の倍数です。それらはメートルやフィートなどの標準的な測定単位である必要はありません。1 つの単位は、指定された任意の線分になります。

おそらく科学で考案された中で最も有用な基本的定義がこれに続く。比率（ギリシャ語のlogos、おおよそ「説明」を意味する）は相対的な大きさの記述である。2 つの大きさ、たとえば線分 AB と CD があるとする。CD を単位とする AB と CD の比率は、AB における CD の数である。たとえば、4 の 3 倍、または 60 万分の 1 である。ここで、ppmでは依然として「部分」という用語が使用される。この比率は現代の分数の基礎であり、分数も依然として「部分」または「断片」を意味し、ラテン語の crushup と同じ語源である。この比率は、「比率」（ギリシャ語の analogos）と呼ばれる論理構造における数学的予測の基礎である。比率によれば、2 つの線分 AB と CD の比率が他の 2 つ EF と GH の比率と同じであれば、AB と CD は EF と GH に比例する。または、ユークリッドで言うように、AB と CD は EF と GH の関係にある。

代数学では、この一般的な概念を AB/CD = EF/GH という式にまとめます。3 つの項が与えられれば、4 番目の項を未知数として計算できます。上記の式を変形すると、AB = (CD/GH)•EF となり、y = kx と表される CD/GH は「比例定数」として知られています。ギリシャ人は、おそらく連続加算によって倍数 (ギリシャ語の pollaplasiein) を取ることにほとんど苦労しませんでした。

アポロニウスは、正方形や長方形で表される線分と面積の比率をほぼ独占的に使用しています。翻訳者は、ライプニッツが1684年に著した『Acta Eruditorum』^{で導入したコロン表記法を使用することに決めました。 [27]以下は、}円錐曲線論の第1巻、命題11に関する 例です。

ギリシャ語の直訳：BCの（正方形）がBACの（長方形）に対して、FHがFAに対してであるように設計されよう。

タリアフェロの翻訳：「正方形 BC : 長方形 BA.AC :: FH : FA としよう」

代数的等価性: BC ² /BA•BC = FH/FA

• ブリタニカ百科事典編集部 (2006)。「ペルガのアポロニウス」。ブリタニカ百科事典。
• ジョン・J・オコナー;ロバートソン、エドマンド F.、「ペルガのアポロニウス」、MacTutor History of Mathematics Archive、セント アンドリュース大学
• David Dennis、Susan Addington (2009)。「アポロニウスと円錐曲線」(PDF)。数学的意図。quadriium.info。
• wilbourhall.org にあるアポロニウスの作品のいくつかの古い版のスキャンは、複数の言語で提供されています。